《中位线》PPT课件
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华师大版九级数学上册教学课件：23.4中位线 (共14张PPT)精品
证明：连结DE、EF
∵AD=DB ，BE=EC ∴DE∥AC（三角形的中位线平行于 第三边，并且等于第三边的一半） 同理可得EF∥BA ∴四边形ADEF是平行四边形 ∴AE、DF互相平分
图 24.4.3
பைடு நூலகம்
• 例2 如图24．4．4，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相 交于G．
求证：
A
B
D
(2)
（B）一定是菱形 （D）对角线一定相等
4、已知： 在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD 的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证∠PMN＝ ∠PNM．
（第 4题）
仅供学习交流！
B
C
连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线
三角形的中位线与三角形的中线的区别是什么？
答：三角形的中位线的两端都是中点 三角形的中线 一端是中点，另一端是顶点
自主探究
• 例1 求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
图 24.4.3
已知：如图，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC。 求证：AE、DE互相平分。
四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？
A
❖解：四边形EFGH是平行四边形
H
连接DB
E D
因为E、H分别是AB、AD的中点 ，
G
即EH是ΔABD的中位线
B
C
F
所以EH∥BD，EH=½ BD，理由是：三角形的中位线平
行于第三边，并且等于它的一半。
同理可得，FG∥BD FG=½BD 所以EH∥FG，EH=FG 故四边形EFGH是平行四边形，理由是；一组 对边平行且相等的四边形是平行四边形
知识梳理
• １．理解三角形中位线的概念：连接三角形两边的中点的线段叫做三角 形的中位线。
∵AD=DB ，BE=EC ∴DE∥AC（三角形的中位线平行于 第三边，并且等于第三边的一半） 同理可得EF∥BA ∴四边形ADEF是平行四边形 ∴AE、DF互相平分
图 24.4.3
பைடு நூலகம்
• 例2 如图24．4．4，△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相 交于G．
求证：
A
B
D
(2)
（B）一定是菱形 （D）对角线一定相等
4、已知： 在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD 的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证∠PMN＝ ∠PNM．
（第 4题）
仅供学习交流！
B
C
连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线
三角形的中位线与三角形的中线的区别是什么？
答：三角形的中位线的两端都是中点 三角形的中线 一端是中点，另一端是顶点
自主探究
• 例1 求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
图 24.4.3
已知：如图，在△ABC中，AD=DB，BE=EC，AF=FC。 求证：AE、DE互相平分。
四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？
A
❖解：四边形EFGH是平行四边形
H
连接DB
E D
因为E、H分别是AB、AD的中点 ，
G
即EH是ΔABD的中位线
B
C
F
所以EH∥BD，EH=½ BD，理由是：三角形的中位线平
行于第三边，并且等于它的一半。
同理可得，FG∥BD FG=½BD 所以EH∥FG，EH=FG 故四边形EFGH是平行四边形，理由是；一组 对边平行且相等的四边形是平行四边形
知识梳理
• １．理解三角形中位线的概念：连接三角形两边的中点的线段叫做三角 形的中位线。
中位线课件ppt
A E
G
B D．
①
如果在图①中，取AC的中点F， 假设BF与AD交于G′，如图② ， 那么我们
同理有 GDGF1，所以
AD BF 3
C
有
GDGD1 AD AD 3
，即两图中
的点G与G′是重合的．
三角形三条边上的中线交于一点， 这个点就是三角形的重心，重心与一边 中点的连线的长是对应中线长的 1
3
②
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
∴ AE、DF互相平分（平行四边形
的对角线互相平分）．
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
例2 如图，△ABC中，D、E分别是边BC、
AB的中点，AD、CE相交于G． 求证：GE GD1
CE AD 3 证明: 连结ED，
（2）若BC=8cm，
则DE= 4 cm，为什么？
B
图1
C
B
如图2：在△ABC中，D、E、F分别
D 4F 53
A
E
图2
是各边中点
AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，
则△DEF的周长= 12 cm
C
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
如图，
△ABC
G
B D．
①
如果在图①中，取AC的中点F， 假设BF与AD交于G′，如图② ， 那么我们
同理有 GDGF1，所以
AD BF 3
C
有
GDGD1 AD AD 3
，即两图中
的点G与G′是重合的．
三角形三条边上的中线交于一点， 这个点就是三角形的重心，重心与一边 中点的连线的长是对应中线长的 1
3
②
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
∴ AE、DF互相平分（平行四边形
的对角线互相平分）．
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
例2 如图，△ABC中，D、E分别是边BC、
AB的中点，AD、CE相交于G． 求证：GE GD1
CE AD 3 证明: 连结ED，
（2）若BC=8cm，
则DE= 4 cm，为什么？
B
图1
C
B
如图2：在△ABC中，D、E、F分别
D 4F 53
A
E
图2
是各边中点
AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，
则△DEF的周长= 12 cm
C
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
如图，
△ABC
三角形的中位线ppt课件
∴AB= + = + =13.
∵点 D,E 分别是直角边 BC,AC 的中点,
∴DE 是 Rt△ABC 的中位线.
∴DE= AB=6.5.
三角形中位线的两个作用
位置关系: ∵ ,分别为,
⇒
的中点, ∴ ∥ .
数量关系: ∵ ,分别为,
的中点, ∴ = .
新知应用
1.如图所示,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,若DE=2,则BC的长
为( D
)
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,D,E,F分别是边
AB,BC,AC的中点,连接DE,DF,EF,∠ADF的度数为53°.求:
A.1
B.2
C.3
D.4
4.如图所示,在四边形ABCD中,AC⊥BD,AC=6,BD=8,点E,F分别是边AD,BC
5
的中点,连接EF,则EF的长是
.
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D是边AB上一点,DE∥BC交AC于点E,连
接BE,点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点.求证:FG=FH.
点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.求证:四边形DEFG是平行四边形.
证明:∵AB,OB,OC,AC 的中点分别为 D,E,F,G,
∴DG 是△ABC 的中位线,EF 是△OBC 的中位线.
∴DG∥BC,DG= BC,EF∥BC,EF= BC.∴DG∥EF,DG=EF.
∴四边形 DEFG 是平行四边形.
到点D,使AB=2AD,连接DE,DF,AE,EF,AF与DE交于点O.试说明AF与DE互相
∵点 D,E 分别是直角边 BC,AC 的中点,
∴DE 是 Rt△ABC 的中位线.
∴DE= AB=6.5.
三角形中位线的两个作用
位置关系: ∵ ,分别为,
⇒
的中点, ∴ ∥ .
数量关系: ∵ ,分别为,
的中点, ∴ = .
新知应用
1.如图所示,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,若DE=2,则BC的长
为( D
)
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,D,E,F分别是边
AB,BC,AC的中点,连接DE,DF,EF,∠ADF的度数为53°.求:
A.1
B.2
C.3
D.4
4.如图所示,在四边形ABCD中,AC⊥BD,AC=6,BD=8,点E,F分别是边AD,BC
5
的中点,连接EF,则EF的长是
.
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D是边AB上一点,DE∥BC交AC于点E,连
接BE,点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点.求证:FG=FH.
点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.求证:四边形DEFG是平行四边形.
证明:∵AB,OB,OC,AC 的中点分别为 D,E,F,G,
∴DG 是△ABC 的中位线,EF 是△OBC 的中位线.
∴DG∥BC,DG= BC,EF∥BC,EF= BC.∴DG∥EF,DG=EF.
∴四边形 DEFG 是平行四边形.
到点D,使AB=2AD,连接DE,DF,AE,EF,AF与DE交于点O.试说明AF与DE互相
苏科版数学九上3.5《中位线》课件
交通规划
在交通规划中，中位线也被用来确定道路的 走向、交叉路口的设计以及交通信号灯的位 置。合理的交通规划有助于提高道路通行效 率，减少交通拥堵。
05
CATALOGUE
中位线的变式与拓展
中位线的变式问题
三角形中位线定理的变式
除了基本的三角形中位线定理外，还可以探索中位线与三角形其他边的关系，如中位线 与第三边的平行关系等。
总结词
通过构造辅助线证明中位线定理
详细描述
通过作辅助线，将中位线与第三边平行，利用平行线的性质和平行四边形的性质，推导出中位线的性质和定理。
证明中位线定理的方法二
总结词
利用相似三角形证明中位线定理
详细描述
通过构造两个相似三角形，利用相似三角形的性质，推导出中位线的性质和定理。
证明中位线定理的方法三
中位线与面积的关系
探讨中位线与三角形、四边形等图形的面积 之间的关系，以及如何利用中位线来计算面 积。
中位线与函数、方程等数 学知识的结合
研究如何将中位线问题转化为函数、方程等 问题，并利用数学知识进行求解。TΒιβλιοθήκη ANKS感谢观看总结词
利用面积法证明中位线定理
详细描述
通过比较三角形面积和与中位线相关的四边形面积，利用面 积的性质，推导出中位线的性质和定理。
04
CATALOGUE
中位线的实际应用
中位线在建筑学中的应用
建筑结构设计
中位线在建筑结构设计中有着广泛的 应用，特别是在桥梁、高层建筑和大 型工业厂房的结构设计中。它用于确 定结构的稳定性、承载能力和抗震性 能。
中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且 等于第三边的一半。
中位线的性质
性质1
(完整版)三角形中位线课件.ppt
CD、EF的长短相等吗？为什么？
EC
A
l
1
l2
FD
B
夹在两平行线间的平行线段相等。
2.如图,在四边形ABCD中, AB∥CD, 且 CD等于AB的一半。E是BC的中点,DE交 AC于点F , 求证 : DE被AC平分.
A
没有任何测量工具的情况下,小明
M
通过学习,估测出了A,B两地之间
的距离:先在AB外选一点C,然后步 C 测出AC,BC的中点M,N,并测出
N
B
MN的长,由此他就知道了A,B间的
距离.你能说出其中的道理吗?
其中的道理是:
连结A、B, ∵MN是△ABC的的中位线,∴AB=2MN.
中位线定理应用
已知：在四边形ABCD中，AD＝BC， P是对角线BD的中点，M是DC的中点，
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均 分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小 相同，请设计合理的解决方案。
三角形的中位线
获取新知
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A 你还能画出几条三角形的中位线？
D
E
B
F
C
温馨提示
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线不同
A 概念对比 A
D
E
D 中线DC
1 2
BC
D
E
B
C
A
D
E F
B
C
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言：
D E ∵DE是△ABC的中位线
（或AD=BD,AE=CE)
B
C
D E/
/
1 2
B
C
用 ① 证明平行问题
EC
A
l
1
l2
FD
B
夹在两平行线间的平行线段相等。
2.如图,在四边形ABCD中, AB∥CD, 且 CD等于AB的一半。E是BC的中点,DE交 AC于点F , 求证 : DE被AC平分.
A
没有任何测量工具的情况下,小明
M
通过学习,估测出了A,B两地之间
的距离:先在AB外选一点C,然后步 C 测出AC,BC的中点M,N,并测出
N
B
MN的长,由此他就知道了A,B间的
距离.你能说出其中的道理吗?
其中的道理是:
连结A、B, ∵MN是△ABC的的中位线,∴AB=2MN.
中位线定理应用
已知：在四边形ABCD中，AD＝BC， P是对角线BD的中点，M是DC的中点，
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均 分给四个小朋友，要求四人所分的形状大小 相同，请设计合理的解决方案。
三角形的中位线
获取新知
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A 你还能画出几条三角形的中位线？
D
E
B
F
C
温馨提示
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线不同
A 概念对比 A
D
E
D 中线DC
1 2
BC
D
E
B
C
A
D
E F
B
C
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言：
D E ∵DE是△ABC的中位线
（或AD=BD,AE=CE)
B
C
D E/
/
1 2
B
C
用 ① 证明平行问题
【中位线】PPT课件
整合方法
10．【中考·湖州】如图，已知在△ABC中，D，E，F分别 是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF. (1)求证：四边形BEFD是平行四边形． 证 明 ： ∵ D ， E ， F 分 别 是 AB ， BC ， AC 的 中 点 ， ∴DF∥BC，EF∥AB. ∴四边形BEFD是平行四边形．
夯实基础
9．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E， F分别是线段AO，OB的中点，若AC＋BD＝24 cm， △OAB的周长是18 cm，则EF＝___3_____cm.
【点拨】∵AC＋BD＝24 cm，OA＝OC， OB＝OD，E，F分别是线段AO，OB的中点， ∴OE＋OF＝6 cm.∵△OAB的周长是18 cm，∴根据中 位线定理，可知△OEF的周长是9 cm，∴EF＝3 cm.本 题易忽视运用整体思想而求不出中位线的长．
3 C.2
D．2
夯实基础
【点拨】如图，连结 CP 并延长，交 AB 于 D，∵P 是 Rt△ABC 的重心，∴CD 是△ABC 的中线，PD＝13CD， ∴AD＝BD＝12AB＝3.∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴CD⊥AB，∠A＝∠ACD＝45°，∴CD＝AD＝3. ∴PD＝1，即点 P 到 AB 所在直线的距离等于 1，故选 A. 【答案】A
1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
A．2
4 B.3
C．3
3 D.2
中位线复习PPT课件(华师大版)
∵D,F,K是AB,DC,AD边的中点
C
∴EK∥BD, EK=½BD FK∥AC, FK=½AC
∴∠1=∠3 ,∠2=∠4
∵AC=BD ∴EK=FK
∴∠3=∠4 ∴∠1=∠2 ∴OG=OH
10
例4：如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC与BD垂直相交 于点O,MN是梯形ABCD的中位线,∠1＝30°.
8
例3:如图，D,E,F,分别是△ABC各边的中点，AH是△ABC的高，四边 形DHEF是等腰梯形吗？
D B
∟
A HE
证明： ∵D,F是△ABC两边的中点
∴DF是△ABC的中位线
F
∴DF∥BC,即DF∥HE
∵DH、EF 不平行
∴四边形DHEF是梯形 C ∵ AH是△ABC的高，D是AB的中点
∴DH=½AB ( ? )
连接E与DC边中点F
A
D
EF=½.(AD+BC）（梯形中位线）
E·
F
EF=½.DC（直角三角形斜边中线等
于斜边一半）
B
C
12
作业：
1. 梯形的中位线是16cm，它被一条对角线分成两部分差是4， 求梯形的两底。
2. 梯形上底长10，中位线长12，求下底及梯形被中位线分成的 两部分的面积比。
3. 等腰梯形两底差为4，中位线长为6，腰长为4，求等腰梯形的 面积
长和各角的度数。
A
D
解：(1)∵EF是梯形的中位线
∴EM=½AD;MF=½BC ( ?
即:AD=2EM; BC=2MF ∵EM=4,FM=10 ∴AD=8; BC=20 ∵AB=DC;AB=12 ∴周长=8+20+12+12=52
中位线ppt课件免费
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目录
• 中位线的定义 • 中位线在数据分析中的应用 • 中位线的优缺点 • 中位线与其他统计指标的比较 • 中位线在不同领域的应用案例 • 中位线的未来发展与展望
中位线的定义
01
什么是中位线
01
定义
中位线是指将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位 置的数值。
02
特点
中位线是统计学中常用的一个指标，它不受数据分布的 影响，具有稳健性。
优点
A
易于理解
中位线PPT课件通常采用简洁明了的图表和数据 ，使得信息更易于理解和接受。
直观展示
通过使用图表、图片和动画等多媒体元素 ，中位线PPT课件能够直观地展示数据和信 息，帮助观众更好地理解内容。
B
C
方便快捷
中位线PPT课件可以在多个平台和设备上轻 松打开和播放，方便用户随时随地学习和交 流。
中位线在人工智能领域的应用
机器学习算法中的异常检测
利用中位数在异常值处理中的优势，可以应用于机器学习算法中的异常检测，提高算法的准确性和稳 定性。
数据可视化的辅助工具
中位数可以作为数据可视化的一部分，帮助更好地展示数据的分布和中心趋势，为人工智能领域的决 策提供支持。
谢谢聆听
中位线的计算方法
排序
将数据按照从小到大的顺序排列 。
确定中间位置
如果数据的个数是奇数，则中位线 位于中间的数值上；如果数据的个 数是偶数，则中位线位于中间两个 数值的平均值上。
计算中位数值
根据中间位置的数值计算出中位数 值。
02 中位线在数据分析中的应用
描述数据分布情况
总结词
中位线可以用来描述数据分布情况，帮助我们了解数据的集中趋势和离散程度 。
目录
• 中位线的定义 • 中位线在数据分析中的应用 • 中位线的优缺点 • 中位线与其他统计指标的比较 • 中位线在不同领域的应用案例 • 中位线的未来发展与展望
中位线的定义
01
什么是中位线
01
定义
中位线是指将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位 置的数值。
02
特点
中位线是统计学中常用的一个指标，它不受数据分布的 影响，具有稳健性。
优点
A
易于理解
中位线PPT课件通常采用简洁明了的图表和数据 ，使得信息更易于理解和接受。
直观展示
通过使用图表、图片和动画等多媒体元素 ，中位线PPT课件能够直观地展示数据和信 息，帮助观众更好地理解内容。
B
C
方便快捷
中位线PPT课件可以在多个平台和设备上轻 松打开和播放，方便用户随时随地学习和交 流。
中位线在人工智能领域的应用
机器学习算法中的异常检测
利用中位数在异常值处理中的优势，可以应用于机器学习算法中的异常检测，提高算法的准确性和稳 定性。
数据可视化的辅助工具
中位数可以作为数据可视化的一部分，帮助更好地展示数据的分布和中心趋势，为人工智能领域的决 策提供支持。
谢谢聆听
中位线的计算方法
排序
将数据按照从小到大的顺序排列 。
确定中间位置
如果数据的个数是奇数，则中位线 位于中间的数值上；如果数据的个 数是偶数，则中位线位于中间两个 数值的平均值上。
计算中位数值
根据中间位置的数值计算出中位数 值。
02 中位线在数据分析中的应用
描述数据分布情况
总结词
中位线可以用来描述数据分布情况，帮助我们了解数据的集中趋势和离散程度 。
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Biblioteka 长的1 ;3
(2) 重心与三角形一个顶点的连线的长是对应中线长
的2 ;
3
(3) 重心分中线所成两条线段的比为2∶1.
知2－练
1 如图所示，已知点E、F分别是△ABC的边AC、
AB的中点，BE、CF相交于点G，FG＝1，则CF
的长为( )
A．2
B．1.5
C．3
D．4
知2－练
2 给出以下判断： (1) 线段的中点是线段的重心； (2) 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角 形的重心； (3) 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点； (4) 三角形的重心是它的中线的一个三等分点． 那么以上判断中正确的有( ) A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
拓展：由三角形三条中位线组成的三角形与原三角形相似，
它的周长等于原三角形周长的 1 ，面积等于原三角形面
积的 1 .
2
4
知1－讲
例1 如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC
的中点，若BC＝6 cm，则DE的长为___3_c_m___．
导引：直接根据三角形的中位线定理
解答即可．因为D，E分别是边
BC
易推知点
E也是AC的中点，并且
DE
1 BC .
2
画画看， 你能有什
现在换一个角度考虑，如果已知点D、E分别 么猜想？
是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE//BC?
DE与BC之间又存在怎样的数量关系呢？
知识点 1 三角形的中位线
猜想
如图，在△ABC中，点D、E分别是 AB与AC 的中点.根据画出的图形， 可以猜想： DE // BC,且DE = 1 BC.
第23章 图形的相似
23.4 中位线
1 课堂讲解
三角形的中位线 三角形的重心
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
在23.3节中，我们曾得到如下结论:
A
如图, 在△ABC中，DE//BC，则
△ADE∽△ABC.
在推理过程中，我们由DE∥BC推得
AD AB
AE AC
DE .那么当点D是AB的中点时，利用该比例式容
CE AD 3
证明：连结ED. ∵D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE//AC
，
DE AC
=
1 2
.
(三角形的中位线平行于第
三边，并且等于第三边的一半).
∴△ACG∽△DEG, ∴ GE = GD DE 1 .
GC GA AC 2
∴ GE = GD 1 . CE AD 3
知2－讲
1. 三角形的重心的定义：三角形的重心是三角形三 条中线的交点．
总结
知1－讲
三角形的中位线定理是证明两条线段倍分关 系的重要依据．当已知线段的中点求某条线段的 长度时，通常要考虑运用三角形的中位线定理解 答．
知1－练
1 如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，
D,E,F分别为AB,BC,AC的中点，连结DF，FE,则
四边形DBEF的周长是 ( ) A．5 B．7 C．9 D．11
运用中位线定理证明线段相等或计算线段长度的方法： 当题目中有中点时，特别是有两个中点时，如果
中点都在一个三角形中，直接用中位线定理.如果不在 一个三角形中，就需要作辅助线取某边上的中点，构 造三 角形的中位线，然后利用中位线定理及相关的知 识解决问题.
1.必做: 完成教材P79-80，习题23.4T1-T4 2.补充: 请完成《XXXXX》剩余部分习题
2 对此，我们可以用演绎推理给出证明.
知1－导 C
证明：在△ABC中，
∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴ AD AE 1 .
AB AC 2
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC ∵∠ADE = ∠ABC, DE AD 1 ,
BC AB 2
∴ DE BC,且DE 1 BC.
2
知1－导
知1－讲
感谢
聆听
授课老师：xxx
2. 三角形重心的性质：三角形的重心与一边中点的 连线的长是对应中线长的 1 . 3
知2－讲
例4 如图所示，在△ABC中，G为重心，连结AG并延长，交 边BC于点D，若△ABC的面积为6 cm2，则△BGD的面 积为________．
导引： 由点G为△ABC的重心可知AD为
BC边上的中线，且DG＝
1. 三角形中位线的定义： 连结三角形两边中点的线段叫做三
角形的中位线．一个三角形共有3条中位线.
易错警示：三角形的中位线要与三角形的中线严格区别开来，
三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段，而三角形
的中线是三角形的顶点与对边中点的连线．
2. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并
且等于第三边的一半．
知1－练
2 如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中 点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC， ∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是( ) A．15° B．20° C．25° D．30°
知识点 2 三角形的重心
知2－导
例3 如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的
中点，AD、CE相交于点G.求证： GE GD 1 .
1 3
AD，
故S△ABD＝
1 2
S△ABC＝3
cm2，
由△BGD与△ABD同高不等底易
得 S BGD DG 1 ,
S ABD AD 3
故S△BGD＝
1 3
S△ABD＝
1 3
×3＝1(cm2)．
总结
知2－讲
已知三角形的重心求线段的长度或比值时，要
准确把握以下几点：
(1) 三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线
AB，AC的中点，
所以DE是△ABC的中位线，
所以DE＝
1 2
BC＝
1 2
×6＝3(cm)．
知1－讲
例2 求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相 平分. 已知：如图, 在 △ABC 中，AD =DB， BE=EC, AF = FC. 求证：AE、DF互相平分.
证明：连结DE、EF. ∵AD = DB,BE = EC, ∴DE//AC(三角形的中位线平行于第 三边，并且 等于第三边的一半). 同理可得EF//BA. ∴四边形ADEF是平行四边形. ∴ AE、DF互相平分.
(2) 重心与三角形一个顶点的连线的长是对应中线长
的2 ;
3
(3) 重心分中线所成两条线段的比为2∶1.
知2－练
1 如图所示，已知点E、F分别是△ABC的边AC、
AB的中点，BE、CF相交于点G，FG＝1，则CF
的长为( )
A．2
B．1.5
C．3
D．4
知2－练
2 给出以下判断： (1) 线段的中点是线段的重心； (2) 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角 形的重心； (3) 平行四边形的重心是它的两条对角线的交点； (4) 三角形的重心是它的中线的一个三等分点． 那么以上判断中正确的有( ) A．一个 B．两个 C．三个 D．四个
拓展：由三角形三条中位线组成的三角形与原三角形相似，
它的周长等于原三角形周长的 1 ，面积等于原三角形面
积的 1 .
2
4
知1－讲
例1 如图所示，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC
的中点，若BC＝6 cm，则DE的长为___3_c_m___．
导引：直接根据三角形的中位线定理
解答即可．因为D，E分别是边
BC
易推知点
E也是AC的中点，并且
DE
1 BC .
2
画画看， 你能有什
现在换一个角度考虑，如果已知点D、E分别 么猜想？
是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE//BC?
DE与BC之间又存在怎样的数量关系呢？
知识点 1 三角形的中位线
猜想
如图，在△ABC中，点D、E分别是 AB与AC 的中点.根据画出的图形， 可以猜想： DE // BC,且DE = 1 BC.
第23章 图形的相似
23.4 中位线
1 课堂讲解
三角形的中位线 三角形的重心
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
在23.3节中，我们曾得到如下结论:
A
如图, 在△ABC中，DE//BC，则
△ADE∽△ABC.
在推理过程中，我们由DE∥BC推得
AD AB
AE AC
DE .那么当点D是AB的中点时，利用该比例式容
CE AD 3
证明：连结ED. ∵D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE//AC
，
DE AC
=
1 2
.
(三角形的中位线平行于第
三边，并且等于第三边的一半).
∴△ACG∽△DEG, ∴ GE = GD DE 1 .
GC GA AC 2
∴ GE = GD 1 . CE AD 3
知2－讲
1. 三角形的重心的定义：三角形的重心是三角形三 条中线的交点．
总结
知1－讲
三角形的中位线定理是证明两条线段倍分关 系的重要依据．当已知线段的中点求某条线段的 长度时，通常要考虑运用三角形的中位线定理解 答．
知1－练
1 如图，在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=2，
D,E,F分别为AB,BC,AC的中点，连结DF，FE,则
四边形DBEF的周长是 ( ) A．5 B．7 C．9 D．11
运用中位线定理证明线段相等或计算线段长度的方法： 当题目中有中点时，特别是有两个中点时，如果
中点都在一个三角形中，直接用中位线定理.如果不在 一个三角形中，就需要作辅助线取某边上的中点，构 造三 角形的中位线，然后利用中位线定理及相关的知 识解决问题.
1.必做: 完成教材P79-80，习题23.4T1-T4 2.补充: 请完成《XXXXX》剩余部分习题
2 对此，我们可以用演绎推理给出证明.
知1－导 C
证明：在△ABC中，
∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴ AD AE 1 .
AB AC 2
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC ∵∠ADE = ∠ABC, DE AD 1 ,
BC AB 2
∴ DE BC,且DE 1 BC.
2
知1－导
知1－讲
感谢
聆听
授课老师：xxx
2. 三角形重心的性质：三角形的重心与一边中点的 连线的长是对应中线长的 1 . 3
知2－讲
例4 如图所示，在△ABC中，G为重心，连结AG并延长，交 边BC于点D，若△ABC的面积为6 cm2，则△BGD的面 积为________．
导引： 由点G为△ABC的重心可知AD为
BC边上的中线，且DG＝
1. 三角形中位线的定义： 连结三角形两边中点的线段叫做三
角形的中位线．一个三角形共有3条中位线.
易错警示：三角形的中位线要与三角形的中线严格区别开来，
三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段，而三角形
的中线是三角形的顶点与对边中点的连线．
2. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并
且等于第三边的一半．
知1－练
2 如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中 点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC， ∠PEF＝30°，则∠PFE的度数是( ) A．15° B．20° C．25° D．30°
知识点 2 三角形的重心
知2－导
例3 如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的
中点，AD、CE相交于点G.求证： GE GD 1 .
1 3
AD，
故S△ABD＝
1 2
S△ABC＝3
cm2，
由△BGD与△ABD同高不等底易
得 S BGD DG 1 ,
S ABD AD 3
故S△BGD＝
1 3
S△ABD＝
1 3
×3＝1(cm2)．
总结
知2－讲
已知三角形的重心求线段的长度或比值时，要
准确把握以下几点：
(1) 三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线
AB，AC的中点，
所以DE是△ABC的中位线，
所以DE＝
1 2
BC＝
1 2
×6＝3(cm)．
知1－讲
例2 求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相 平分. 已知：如图, 在 △ABC 中，AD =DB， BE=EC, AF = FC. 求证：AE、DF互相平分.
证明：连结DE、EF. ∵AD = DB,BE = EC, ∴DE//AC(三角形的中位线平行于第 三边，并且 等于第三边的一半). 同理可得EF//BA. ∴四边形ADEF是平行四边形. ∴ AE、DF互相平分.