定积分在物理中的应用

定积分在物理中的应用目录：一．摘要二．变力沿直线所作的功三．液体的侧压力四．引力问题五．转动惯量摘要：伟大的科学家牛顿，有很多伟大的成就，建立了经典物理理论，比如：牛顿三大定律，万有引力定律等；另外，在数学上也有伟大的成就，创立了微积分。

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。

它是数学的一个基础学科。

内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。

微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。

它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。

积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近"，好像一个事物始终在变化你很难研究，但通过微元分割成一小块一小块，那就可以认为是常量处理，最终加起来就行。

微积分学是微分学和积分学的总称。

它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。

无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。

微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

在高中物理中，微积分思想多次发挥了作用。

定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a ，b]中任意插入若干个分点 a=X0<X1<...<Xn-1<Xn=b 把区间[a ，b]分成n 个小区间 [X0，X1]，...[Xn-1，Xn]。

在每个小区间[Xi-1，Xi]上任取一点ξi(Xi-1≤ξi≤Xi)，作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△Xi ，并作出和()in i ix s ∆=∑=1ξ如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi 怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S 总趋于确定的极限I ， 这时我们称这个极限I 为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分， 记作： ()dx x f ab ⎰即： ()()ini iab x f I dx x f ∆==∑⎰==11lim ξλ变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x)作用下沿x 轴从x=a 移动到x=b,力的方向与运动方向平行,求变力所作的功.在[a,b]上任取子区间[x,x+dx],在其上所作的功元素为()dx x F dW =因此变力F(x)在区间[a,b]上所作的功为()dx x F W b a⎰=例1．在一个带+q 电荷所产生的电场作用下，一个单位正电荷沿直线从距离点电荷a 处移动到b 处（a<b ）,求电场力所做的功.解：当单位正电荷距离原点r 时，由库仑定律电场力为2rq kF =则功的元素为dr rkq dW 2=所求功为：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰b a kq r kq dr r kq W bab a1112说明：电场在r=a 处的电势为akq dr r kq a=⎰∞+2例2. 在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，由于气体的膨胀，把容器中的一个面积为S 的活塞从点a 处移动到点b 处（如图），求移动过程中气体压力所作的功.解：建立坐标系如图.由博伊尔马略特定律知压强p 与体积V 成反比，即xSk V k p == 故作用在活塞上的力为xkpS F ==功元素为dx xkFdx dW ==所求功为[]ab k x k dx x k W babaln ln ===⎰例3.一蓄满水的圆柱形水桶高为5m ，底圆半径为3m ，试问要把桶中的水全部吸出需做多少功？解：建立坐标系如图，在任一小区间[x,x+dx]上的一薄层水的重量为dx g 23πρ⋅⋅（KN ）这薄层水吸出桶外所做的功(功元素)为xdx dW πρ9=故所求功为：5502299⎰==xg xdx g W ρπρπρπg 5.112=（KJ ）液体侧压力设液体密度为ρ 深为h 处的压强：h g pρ=*当平板与水面平行时，平板一侧所受的压力为 pA P=*当平板不与水面平行时，所受侧压力就需用积分解决.例4.一水平横放的半径为R 的圆桶，内盛半桶密度为ρ的液体，求桶的一个端面所受的侧压力. 解：建立坐标系如图.所论半圆的方程为 22xR y-±=()R x ≤≤0利用对称性，侧压力元素 dx x R x g dP222-=ρ端面所受侧压力为322322R g dx x R x g P ⎰=-=ρρ说明：当桶内充满液体时，小窄条上的压强为()x R g +ρ,侧压力元素 ()dx x R x R g dP222-+=ρ，故端面所受侧压力为 ()dx x R x R g PR R222++=⎰-ρ令 t R x sin =↓RR x R x R xRg 0222arcsin 224⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=ρ3R g ρπ=引力问题质量分别为1m ，2m 的质点，相距r ， 二者间的引力：大小：221rmm kF =方向： 沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力，则需用积分解决.例5.设有一长度为l ，线密度为μ的均匀直棒，在其中垂线上距a单位处有一质量为m 的质点M.式计算该棒对质点的引力.解：建立坐标系如图.细棒上小段[x ，x+dx]对质点的引力大小为22xa dxm kdF +=μ故垂直分力元素为αcos dF dF y-=2222xa a x a dx m k +⋅+-=μ()2322x a dxakm +-=μ棒对质点的引力的垂直分力为()⎰+-=2023222l yxa dxa km F μ2222l x a a x a km ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=μ22412la a l km +-=μ棒对质点引力的水平分力0=x F故棒对质点的引力大小为22412la a l km F +=μ说明1.当细棒很长时，可视l 为无穷大，此时引力大小为akm μ2方向与细棒垂直且指向细棒.2. 若考虑质点克服引力沿y 轴从a 处移动到b （a<b ）处时克服引力作的功， 则有dy ly y l km dW 22412+-=μ⎰+-=b aly y dyl km W 2242μ3.当质点位于棒的左端点垂线上时，()2322cos xa dxakm dF dF y+-=⋅-=μα()2322sin xa xdxkm dF dF x+=⋅=μα∴ ()⎰+-=lyxa dxa km F 02322μ()⎰+=lxxa xdxkm F 02322μ引力大小为yxFF F22+=转动惯量质量为m 的质点关于轴l 的转动惯量为2mr I =与轴l 的距离为ir ，质量为im （i =1,2,…,n ）的质点系关于轴l 的转动惯量为2inli irm I ∑==若考虑物体的转动惯量，则需用积分解决. 例6.设有一个半径为R,质量为M 的均匀圆盘， （1） 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量. （2） 求圆盘对直径所在轴的转动惯量.解：（1）建立坐标系如图.设圆盘面积为ρ.对应于[x,x+dx]的小圆环对轴l 的转动惯量为 dx x dI32πρ=故圆盘对轴l 的转动惯量为24321212I MRR dx x ===⎰πρπρ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2R M πρ(2)取旋转轴为y 轴，建立坐标系如图.对应于[x,x+dx]的平行y 轴的细条关于y 轴的转动惯量元素为dx x R x dx yx dI y 222222-==ρρ 故圆盘对y 轴的转动惯量为dx x R R Ry ⎰--=222I ρ dx x R x R 22024-=⎰ρ tdt t R 22024cos sin 4⎰=πρ（令x=Rsint ） 244141MR R ==ρπ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2R M πρ 1. 用定积分求一个分布在某区间上的整体量Q 的步骤：（1） 先用微分分析法求出它的微分表达式dQ 一般微分的几何形状有：条、段、环、带、扇、片、壳等.（2） 然后用定积分来表示整体量Q ，并计算他.2. 定积分的物理应用：变力做功，侧压力，引力，转动惯量等.○1抓起污泥后提出井口，已知井深30m ，抓斗自重400N ，缆绳每米重50N ，抓斗抓起的污泥中2000N ，提升速度为3m/s,在提升过程中污泥以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升到井口，问克服重力需做多少焦耳（J ）功？（99考研）提示：作x 轴如图.将抓起污泥的抓斗由x 提升dx 所作的功为井深30m ，抓斗自重400N ，缆绳每米重50N ，抓斗抓起的污泥中2000N,提升速度为3m/s,污泥以20N/s 的速度从抓斗缝隙中漏掉321d dW dW dW W ++= 克服抓斗自重：dx dW 4001= 克服缆绳中：()dx x dW -⋅=30502抓斗升至x 处所需时间：3x （s ） 提升抓斗中的污泥：dx x dW ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=32020003()dx x x W ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+-+=∴30032020003050400 ()J 91500= ○2.设星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =上没一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方，再点O 处有一单位质点，求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.提示：如图.()()ds y x k yx ds y x k dF 2122222322+=++= αcos ⋅=dF dF x ()ds y x x y x k 222122+⋅+= kxds =kyds dF dF y=⋅=αsin ()[]()dt t t a t t a t a k F x 22223cos sin 3sin cos 3cos ⋅+-⋅⋅=⎰ ⎰⋅=2042sin cos 3πtdt t k a 253ka = 同理253ka F y = 故星形线在第一象限的弧段对该质点的引力大小为 2253ka F =在高中物理中还有很多例子，比如我们学过的瞬时速度，瞬时加速度、感应电动势、引力势能等都用到了微积分思想，所有这些例子都有它的共性。

作为大学知识在高中的应用，虽然微积分高中不要求，但他的思想无不贯穿整个高中物理。

“微积分思想”丰富了我们处理问题的手段，拓展了我们的思维。

我们在学习的时候，要学会这种研究问题的思想方法，只有这样，在紧张的学习中，我们才能做到事半功倍。