逻辑代数的基本定理_基本规则_逻辑函数简化(18)
22逻辑代数的基本定律和规则
A+ AB
B0 = 1A + C0，则 B0 = C 吗？ =11AC10，则00B = C00吗？
逻辑代数基础
三、重要规则
(一) 代入规则 将逻辑等式两边的某一变量均用同
一个逻辑函数替代，等式仍然成立。 AA A
A均用 代替 A均用 代替 B均用C代替
利用代入规则能扩展基本定律的应用。
逻辑代数基础
0
011 1
1
100 1
1
101 1
1
110 1
1
111 1
1
公式法 右式 = (A + B) (A + C)
用分配律展开
= AA + AC + BA + BC
= A + AC + AB + BC
= A (1 + C + B) + BC
= A ·1 +BC
= A + BC
逻辑代数基础
(二) 逻辑代数的特殊定理
作业题： 2. 5 2.6
(二) 反演规则 对任一个逻辑函数式 Y，将“·”换成
“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”， “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量
换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数 Y 。
变换时注意： (1) 不能改变原来的运算顺序。 (2) 反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非
号保持不变。
原运算次序为 可见，求逻辑函数的反函数有两种方法： 利用反演规则或摩根定律。
(三) 对偶规则
逻辑代数基础
对任一个逻辑函数式 Y，将“·”换成 “+”，“+”换成“·”，“0”换成 “1”，“1”换成“0”，则得到原逻 辑函数式的对偶式 Y 。
逻辑代数基本原理及公式化简
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
附加公式二： 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为 x·f和
x·f的逻辑或。 一个包含有变量x、x 的函数f，可展开为（x+f）和
（x+f）的逻辑与。
利用附加公式一，可以改写为：
2.1.3 逻辑代数的基本规则
4、附加公式
例题：化简函数 AB BD （A B）(A B)(B E)
2.1.2 逻辑代数的基本公式
基本公式验证方法： 真值表 利用基本定理化简公式 例：真值表验证摩根定律
A B A B A＋B A＋B A B 00 1 1 1 1 01 1 1 0 0 10 1 1 0 0 11 0 0 0 0
A______•____B______
__ __
A B
__ __
A B A • B
2.1.2 逻辑代数的基本公式
真值表 利用基本定理化简公式 例：证明包含律
AB AC BC AB AC
证明：
AB（C C） AC(B B ) BC(A A) 1律、互补律 ABC ABC ABC ABC ABC ABC 分配律 ABC ABC ABC ABC 重叠律 AB AC 分配律、互补律
比较两种方法，应用反演规则比较方便。
2.1.3 逻辑代数的基本规则
2、反演规则
例题：求下列函数的反函数 1、F AB CD 2、F A B BCD
2.1.3 逻辑代数的基本规则
3、对偶规则
如果将逻辑函数F 中所有的“”变成“+”,“+”变
成“”,“0”变成“1”,“1”变成“0”, 则所得到的新
A
F
A1 F
非门 （A是输入，F是输出）
逻辑代数的基本定律及规则2010.9.23
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三变量最小项的编号
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最大项
最大项标准式是以“或与”形式出现的标准式。 最大项： 对于一个给定变量数目的逻辑函数， 所有变 量参加相“或”的项叫做最大项。 在一个最大项中， 每个 变量只能以原变量或反变量出现一次。 例如， 一个变量A有二个最大项： (2 ) A, A。
例题：化简函数
AB + AC + BC = AB + AC
F = ABC + AD + C D + BD
F = ABC + AD + C D + BD
= ABC + ( A + C ) D + BD
= AC ⋅ B + AC ⋅ D + BD
= AC ⋅ B + AC ⋅ D
= ABC + AD + C D
最小项
2 n 个最小项。最小项通 以此类推，n变量共有
常用 mi 表示。 最小项标准式：全是由最小项组成的“与或” 式，便是最小项标准式(不一定由全部最小项 组成)。 例如：
F ( ABC ) = A B C + BC + A C = A B C + ABC + A BC + AB C + AB C = ∑ m(0,3,4,6,7)
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逻辑代数的基本定律及规则
对合律： A = A
冗余律： AB + A C + BC = AB + A C
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逻辑代数的基本定律及规则
3 基本规则
代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有 出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然 成立。这个规则称为代入规则。 反演规则：对于任何一个逻辑函数F，想要得到F的反 函数，只需要将F中的所有“·”换成“＋”，“＋”换 成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反 变量，反变量换成原变量。 长春理工大学软件学院
逻辑代数的基本定理_基本规则_逻辑函数简化(18)
Y AB AC
①求出反函数的最简 与或表达式
Y AB AC (A B)(A C) AB AC BC AB AC
②利用反演规则写出函数的最 简或与表达式
Y ( A B)( A C )
15
4、最简或非-或非表达式
非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或非表达式。
则可得到的一个新的函数表达式Y＇，Y＇称为函Y的对
偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：
Y AB CDE
Y (A B)(C D E)
Y ABC DE
Y ABC DE
8
P21 表2.3.4
对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶 规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：
0
00
1 11
0
101 101源自001 011
11
0 00
A B A+B A+B A B
0
00
1 11
0
11
0 10
1
01
0 01
1
11
0 00
A+B
1 1 1 0
A·B 1 0 0 0
2
2.3.2 逻辑代数的基本定 律
（1）常量之间的关系
与运算：0 0 0 0 1 0 1 0 0 111
或运算：0 0 0 0 11 1 0 1 111
10
本节小结
逻辑代数是分析和设计数字电路的重 要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻 辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可 以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的 分析和设计问题。
与、或、非是3种基本逻辑关系，也 是3种基本逻辑运算。与非、或非、与或 非、异或则是由与、或、非3种基本逻辑 运算复合而成的4种常用逻辑运算。
逻辑代数的运算法则
逻辑代数的运算法则逻辑代数又称布尔代数。
逻辑代数与普通代数有着不同概念，逻辑代数表示的不是数的大小之间的关系，而是逻辑的关系，它仅有0、1两种状态。
逻辑代数有哪些基本公式和常用公式呢？1.变量与常量的关系与运算公式 一、基本公式A·1=AA·0=0或运算公式A+0=A A+1=101律2.与普通代数相似的定律与运算公式A·B=B·A 或运算公式A+B=B+A交换律A·(B·C)=(A·B)·C A+(B+C)=(A+B)+C 结合律A·(B+C)=A·B+A·C A+(B·C)=(A+B)(A+C)分配律3.逻辑代数特有的定律与运算公式或运算公式互补律重叠律（同一律） 反演律（摩根定律）0=⋅A A 1=+A A BA B A +=⋅BA B A ⋅=+ 非非律（还原律）AA =A A A =⋅A A A =+真值表证明摩根定律0001101111111100结论：BA B A +=⋅ 以上定律的证明，最直接的办法就是通过真值表证明。
若等式两边逻辑函数的真值表相同，则等式成立。
【证明】公式1AB A AB =+B A AB +）（B B A += 互补律1⋅=A 01律A= 合并互为反变量的因子【证明】公式2AAB A =+AB A +）（B A +=1 01律A= 吸收多余项【证明】公式3BA B A A +=+B A A +BA AB A ++=B A A A ）（++= 互补律BA += 消去含有另一项的反变量的因子【证明】CA AB BC C A AB +=++BC A A C A AB ）（+++=BC C A AB ++ 分配律BC A ABC C A AB +++= 吸收多余项公式2互补律CA AB += 公式2逻辑代数的运算法则一、基本公式二、常用公式A·1=AA·0=0A+0=A A+1=1 1.变量与常量的关系01律2.与普通代数相似的定律交换律A·B=B·A A+B=B+A结合律 分配律3.逻辑代数特有的定律互补律A·A=A A+A=A 重叠律（同一律）反演律（摩根定律）0=⋅A A 1=+A A BA B A +=⋅BA B A ⋅=+非非律（还原律）AA =AB A AB =+.1AAB A =+.2BA B A A +=+.3CA AB BC C A AB +=++.4A·(B·C )=(A·B )·C A+(B+C )=(A+B )+C A·(B+C )=A·B+A·CA +(B·C )=(A+B )(A+C )谢谢！。
逻辑代数的基本知识
逻辑代数的基本知识 1. 逻辑代数的基本定律根据逻辑变量和逻辑运算的基本定义，可得出逻辑代数的基本定律。
①交换律： A+B = B+A ， A • B = B • A；②结合律： A+(B+C) = (A+B)+ C ， A • (B • C) = (A • B) • C；③分配律: A •(B+C) = A • B+A • C ， A+B • C=(A+B) • (A+C)；④互非定律: A+A = l ，A • A = 0 ；1=+A A ，0=•A A ； ⑤重叠定律（同一定律）：A • A=A， A+A=A ；⑥反演定律(摩根定律）：A • B=A+B 9 A+B=A • B B A B A •=+，B A B A +=•；⑦还原定律: A A = 2. 逻辑代数的基本运算规则 （1）代入规则在逻辑函数表达式中凡是出现某变量的地方都用另一个逻辑函数代替，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。
例如，已知A+AB=A ，将等式中所有出现A 的地方都以函数(C+D)代替则等式仍然成立，即（C+D) + (C+D)B = C+D 。
（2）反演规则对于任意的Y 逻辑式，若将其中所有的“ • ”换成“ + ”换成“ • ”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原函数Y 的反函数，运用它可以简便地求出一个函数的反函数。
运用反演规则时应注意两点： ① 要注意运算符号的优先顺序，不应改变原式的运算顺序。
例：CD B A Y +=应写为))((D C B A Y ++= 证： ))((D C B A CD B A CD B A Y ++=•=+=② 不属于单变量上的非号应保留不变。
例：)(E D C C B A Y•+•= 则[])()(E D C C B A Y ++•++=D C B A Y +•= 则 D C B A Y •++=（3）对偶规则对于任何一个逻辑函数，如果将其表达式Y 中所有的算符“ • ”换成“ + ”换成“ •”，常量 “0”换成换成“0”，而变量保持不变，则得出的逻辑函数式就是Y 的对偶式，记为Y’。
逻辑代数的基本定理基本规则逻辑函数简化(18)
A B ，用函数Y=AC代 例如，已知等式 AB 替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：
( AC ) B AC B A B C
5
例、证明：A+C+D=A • C • D
证明： A+C+D=A • C+D 求反律A+B=A•B 用Y=C+D代替B
=A • C • D
它们的变量都是A、B、C、…，如果对应于变量A、B、 C、…的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，则称Y1和 Y2是相等的，记为Y1=Y2。
若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之， 若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。因此 ，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表 ，看看它们的真值表是否相同即可。
Y A B C D E
Y ( A B )( C D E )
对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函 数也相等。利用对偶规则 , 可以使要证明及要记忆的公式数目减 少一半。例如：
A B A B A
即就是摩根定理，可以推广到多个变量
6
（ 2 ）反演 ( 求反 ) 规则：对于任何一个逻辑表达式 Y ，如果将 表达式中的所有“ ·” 换成“＋”，“＋”换成“ ·” ，“ 0” 换成 “ 1” ，“ 1” 换成“ 0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量 ，那么所得到的表达式就是函数 Y的反函数Y（或称补函数）。 这个规则称为反演规则，亦称求反规则。例如：
F与/或
与非/与
反演规则
两次求反 一次摩根定律
再用 一次摩根定律
再用 一次摩根定律
18
非 运 算 ： 1 0
逻辑代数的公式与基本定理
序号
公式
序号
公式
规律
1
A·0=0
10
A+1=1
0-1律
2
A·1=A
11
A+0=A
0-1律
3
0 1； 1 0
12
4
A·A= A
13
A A
A+A=A
还原律 重叠律
5
A A 0
14
A A1
互补律
6
A·B=B·A
15
A+B=B+A
交换律
7
A·(B·C) = (A·B)·C
16 A+(B+C)=(A+B)+C 结合律
AB CD ABD(E F) AB CD
被吸收
2.反变量的吸收：
证明： A AB A AB AB
长中含反， 去掉反。
A B(A A) A B
例如： A ABC DC A BC DC 被吸收
3.混合变量的吸收：
证明： AB AC BC
1
AB AC ( A A)BC
2
A AB A B
3
AB AB A
4
A(A+B)= A
AB AC BC AB AC
5
AB AC BCD AB AC
6
AAB AB ； AAB A
规律 吸收律 吸收律
吸收律
1.原变量的吸收： A+AB=A 证明： A+A=BA(1+B=)A•1=A
长中含短，留下短。
利用运算规则可以对逻辑式进行化简。 例如：
8
A·(B+C)=A·B + A·C 17 A+B·C =(A+B) ·(A+C) 分配律
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（2）反演(求反)规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将 表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成 “1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量 ，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。 这个规则称为反演规则，亦称求反规则。例如：
Y AB CDE
0
00
1 11
0
10
1 10
1
00
1 01
1
11
0 00
A B A+B A+B A B
0
00
1 11
0
11
0 10
1
01
0 01
1
11
0 00
A+B
1 1 1 0
A·B 1 0 0 0
2
2.3.2 逻辑代数的基本定律
（1）常量之间的关系
与运算：0 0 0 0 1 0 1 0 0 111
AB AB A
(A B) (A B) A
A(B C) AB AC
A BC (A B)(A C)
注意：1、在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运 算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最 后非运算，否则容易出错。
2、F的对偶式F’与反函数F不同，在求F’时不要求将 原变量和反变量互换，所以一般情况下，F’ ≠ F，只有在特殊情 况下才相等。
若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之， 若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。因此 ，要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表 ，看看它们的真值表是否相同即可。
1
例2.3.1 用真值表证明摩根定律A•B=A+B，A+B=A •B
证明：列出真值表
A
B AB A•B A B
12
一个逻辑函数的表达式可以 有与或表达式、或与表达式、与 非-与非表达式、或非-或非表达 式、与或非表达式5种基本表示形 式。对应的门为与或门、或与门 、与非门、或非门、与或非门。
13
1、化简为最简与或表达式
乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与 或表达式。
Y ABE AB AC ACE BC BCD
Y (A B)(C D E)
注意：
1、变换时要保持原式中的运算顺序。
2、不是在“单个”变量上面的“非”号应保持不
变Y 。A B C D E
Y AB CD E
Y ABC DE
Y=A•B •C •D •E
7
（3）对偶规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将 表 达 式 中 的 所 有 “ ·” 换 成 “ ＋ ” ， “ ＋ ” 换 成 “ ·” ， “0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则可
得到的一个新的函数表达式Y＇，Y＇称为函Y的对偶函
数。这个规则称为对偶规则。例如：
Y AB CDE
Y (A B)(C D E)
Y ABC DE
Y ABC DE
8
P21 表2.3.4
对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函 数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减 少一半。例如：
2.3 逻辑代数的基本定理和基本规则
2.3.1 逻辑函数的相等
逻辑函数相等的概念：设有两个逻辑函数
Y1 f ( A, B,C,) Y2 g( A, B,C,)
它们的变量都是A、B、C、…，如果对应于变量A、B、 C、…的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，则称Y1和 Y2是相等的，记为Y1=Y2。
AB AC BC AB AC
最简与或表达式
14
2、最简与非-与非表达式
非号最少、并且每个非号下面乘积项中的变量也最少的与非
-与非表达式。
Y AB AC AB AC AB AC
②用摩根定律去 掉下面的非号
①在最简与或表达式的基础上两次取反
3、最简或与表达式
例如，已知等式 AB A B ，用函数Y=AC代
替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：
( AC)B AC B A B C
5
例、证明：A+C+D=A • C • D
证明： A+C+D=A • C+D =A • C • D
求反律A+B=A•B 用Y=C+D代替B
即就是摩根定理，可以推广到多个变量
9
逻辑代数的运算顺序和书写方式有如下规定：
1、运算顺序和普通代数一样，应先算括号里内容，然后算 乘法，最后算加法。 2、“•”一般 可省略，逻辑式求反时可以不再加括号。
如：（A•B+C）+（D•E）•F ==> AB+C+DEF
3、先或后与的运算式，或运算要加括号。
如： （A+B) •(C+D)不能写成A+B •C+D。
逻辑代数的公式和定理是推演、变 换及化简逻辑函数的依据。
11
2.3.4 逻辑函数简化的意义和最简的概念
逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单 ，实现它的电路越简单，电路工作越稳定可靠 。
例:化简Y=ABC+ABC+AB
解： Y=ABC+ABC+A+AB =A
输入A = 输出Y, 不需要门
括号最少、并且每个括号内相加的变量也最少的或与表达式。
Y AB AC
①求出反函数的 最简与或表达式
Y AB AC (A B)(A C) AB AC BC AB AC
10
本节小结
逻辑代数是分析和设计数字电路的重 要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻 辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可 以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的 分析和设计问题。
与、或、非是3种基本逻辑关系，也 是3种基本逻辑运算。与非、或非、与或 非、异或则是由与、或、非3种基本逻辑 运算复合而成的4种常用逻辑运算。
或运算：0 0 0 0 11 1 0 1 111
非运算： 1 0 0 1
3
（2）逻辑代数的基本定律 P21 表2.3.4
重点强调
A B A B A
8、吸收律
1：
( A
B)
(A
B)
A
4
2.3.3 逻辑代数运算的基本规则
（1）代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果 将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等 式仍然成立。这个规则称为代入规则。