八年级数学因式分解 公式法讲解与练习
八年数学公式法分解因式的解题方法与技巧
八年数学公式法分解因式的解题方法与技巧数学公式法分解因式是一种常用且重要的解题方法。
以下是八年级数学公式法分解因式的解题方法与技巧：1. 常见因式分解公式：① (a+b)^2=a^2+2ab+b^2② (a-b)^2=a^2-2ab+b^2③ a^2-b^2=(a+b)(a-b)④ a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)⑤ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)⑥ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2⑦ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2其中，(1)、(2)、(6)、(7) 属于平方公式，(3)、(4)、(5) 是关于立方的公式。
我们在解题时可以根据题目中的条件，选择合适的公式进行因式分解。
2. 把公因式提出来：对于如下式子：2a^2+4ab，我们可以先把公因式 2a 提出来，得到：2a^2+4ab=2a(a+2b)这样就完成了把公因式提出来的操作，接下来我们再根据不同的情况进行因式分解。
3. 进一步分解：有时候，我们需要进一步分解式子，来达到题目的要求。
例如，对于如下式子：9x^6-16y^4，我们可以根据公式 (5) 进行因式分解，得到：9x^6-16y^4=(3x^2)^3-(2y^2)^3=(3x^2-2y^2)(9x^4+6x^2y^2+4y^4)这个策略在解题时非常有用：先用一些基本公式进行初步因式分解，然后进一步分解，最后化简为一般式。
4. 通过多次转化得到结果：有时候，解题过程需要经过多次中间步骤，才能得出最终的结果。
这时候，我们需要耐心思考，灵活变通。
例如，对于如下式子：a^3+b^3+c^3-3abc，我们可以进行一下转化：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)这两步转化虽然看上去有些麻烦，但是却是得到正确答案所必需的。
5. 注意符号：在进行因式分解时，特别要注意符号的处理。
第11讲提公因式与公式法因式分解八年级数学下册同步讲义(北师大版)
第11讲提公因式与公式法因式分解目标导航1.了解整式乘法与因式分解之间的互逆关系；2. 会用提公因式法、运用公式法分解因式.知识精讲知识点01 因式分解的意义1、分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．【知识拓展1】（2021秋•莱阳市期末）若4a4﹣（b﹣c）2分解因式时有一个因式是2a2+b﹣c，则另一个因式是（）A．2a2﹣b+c B．2a2﹣b﹣c C．2a2+b﹣c D．2a2+b+c【知识拓展2】（2022•沙坪坝区校级开学）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）B．2xy2＝2x•yC．（﹣x﹣1）2＝x2+2x+1D．x2+2x+2＝x（x+2）+2知识点02 公因式1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式．2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．【知识拓展1】（2021秋•巴彦县期末）多项式8a3b2+12ab3c的公因式是（）A．abc B．4ab2C．ab2D．4ab2c【知识拓展2】（2021秋•广饶县期中）n为正整数，若2a n﹣1﹣4a n+1的公因式是M，则M等于（）A．a n﹣1B．2a n C．2a n﹣1D．2a n+1【即学即练1】（2021秋•莱阳市期末）多项式3x2y2﹣12x2y4﹣6x3y3的公因式是．【即学即练2】（2019春•邢台期末）已知：A＝3x2﹣12，B＝5x2y3+10xy3，C＝（x+1）（x+3）+1，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．知识点03 因式分解-提公因式法1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2、具体方法：（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．4、提公因式法基本步骤：（1）找出公因式；（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．【知识拓展1】（2021秋•淮阳区期末）下列各选项中因式分解正确的是（）A．x2﹣1＝（x﹣1）2B．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2C．﹣2y2+4y＝﹣2y（y+2）D．x2+xy+x＝x（x+y）【即学即练1】（2021秋•兴城市期末）多项式m2﹣4m分解因式的结果是（）A．m（m﹣4）B．（m+2）（m﹣2）C．m（m+2）（m﹣2）D．（m﹣2）2【即学即练2】（2021秋•番禺区期末）已知x+y＝10，xy＝1，则代数式x2y+xy2的值为．【即学即练3】（2021秋•启东市期末）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝．【知识拓展2】（2021秋•讷河市期末）因式分解：m（a﹣3）+2（3﹣a）．【即学即练1】．（2021秋•海口期末）把下列多项式分解因式．（1）﹣2a+32ab2；（2）x（y2+9）﹣6xy．【即学即练2】（2021秋•梅里斯区期末）因式分解（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4；（2）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）．知识点04因式分解-运用公式法1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；2、概括整合：①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．【知识拓展1】（2021秋•铅山县期末）分解因式：（a+2b）（a+4b）+b2．【即学即练1】（2021秋•博兴县期末）分解因式：（1）（3x﹣2）2﹣（2x+7）2；（2）（x2+2）2﹣6（x2+2）+9．【即学即练2】（2021秋•沐川县期末）分解因式：（a+2）（a+4）+1．【即学即练3】（2022•德城区校级开学）把下列各式分解因式：（1）16﹣x4；（2）4x（y﹣x）﹣y2．【知识拓展2】（2021秋•虹口区校级期末）已知，求ab．【知识拓展3】（2021秋•虎林市校级期末）（1）20032﹣1999×2001（公式法）；（2）16（a﹣b）2﹣9（a+b）2（分解因式）．知识点05提公因式法与公式法的综合运用提公因式法与公式法的综合运用．【知识拓展1】（2021秋•大余县期末）因式分解：（1）a3b﹣ab3；（2）2a3+12a2+18a．【即学即练1】（2021秋•鱼台县期末）分解因式：（1）a3﹣2a2b+ab2．（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【即学即练2】（2021秋•西平县期末）分解因式：（1）a3﹣10a2b+25ab2；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．例1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2213 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---32222例2. 把下列各式因式分解（1）324x xy - （2）3223288x y x y xy ++例3. 已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。
因式分解例题讲解与练习
因式分解例题讲解及练习一、因式分解的定义1、计算=-)2(x x=-+)3)(3(x x=+2)(y x2、根据上面的式子填空()()⋅=-x x 22 ()()⋅=-92x()2222==++y xy x3、上面的两个过程是互逆的，第1题的变形是我们前面所学的整式乘法，第2题从左往右的变形我们叫做因式分解。
把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
因式分解与整式乘法是相反方向的变形。
例题：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A 、bx ax b a x -=-)(B 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+-C 、)1)(1(12-+=-x x xD 、c b a x c bx ax ++=++)(练习1、下列变形是分解因式的是（ ）。
A x 2－4x ＋4=x(x －4)＋4 ，B (x ＋3)2=x 2＋6x ＋9C x 2＋6x ＋9 = (x ＋3)2D (x ＋3)(x －3)=x 2-92、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（ ）A 、46-b B 、64b -C 、46+bD 、46--b二、提公因式法 1、公因式定义：在多项式的各项中都含有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
例题：找出下列多项式的公因式：（1）3x+6 （2）7x2－21x;（3）8a3b2－12ab3c+abc （4）－24x3－12x2+28x.练习：1、写出下列多项式各项的公因式.（1）ma+mb（2）4kx－8ky（3）5y3+20y2（4）a2b－2ab2+ab2、下列各式公因式是a的是（）A. ax＋ay＋5 B．3ma－6ma2 C．4a2＋10ab D．a2－2a＋ma3、－6xyz＋3xy2－9x2y的公因式是（）A.－3x B．3xz C．3yz D．－3xy2、运用提公因式法分解因式例题1：将下列各式分解因式：（1）3x+6 （2）7x2－21x （3）8a3b2－12ab3c+abc（4）－24x3－12x2+28x练习:1、（1）8x－72= （2）a2b－5ab=（3）4m3－6m2= （4）a2b－5ab+9b=（5）－a2+ab－ac= （6）－2x3+4x2－2x=2、把多项式－4a3+4a2－16a分解因式（）A.－a(4a2－4a+16)B.a(－4a2+4a－16)C.－4(a3－a2+4a)D.－4a(a2－a+4)3、用提取公因式法分解因式正确的是（）A.12abc－9a2b2=3abc(4－3ab)B.3x2y－3xy+6y=3y(x2－x+2y)C.－a2+ab－ac=－a(a－b+c)D.x2y+5xy－y=y(x2+5x)4.如果b－a=－6，ab=7，那么a2b－ab2的值是( )A.42B.－42C.13D.－13例题2、将下列各式分解因式（1）a （x －3）+2b （x －3） （2）a （x －y ）+b （y －x ） （3）6（m －n ）3－12（n －m ）2练习：1、请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:（1）2－a =__________（a －2） （2）y －x =__________（x －y ） （3）b +a =__________（a +b ） （4）（b －a ）2=__________（a －b ）2（5）－m －n =__________（m+n ） （6）－s 2+t 2=__________（s 2－t 2） 2、将下列各式分解因式（1）5x （a +b ）+10y （a +b ） （2）x (x －y )－y (y －x )（3）()()222236q p m q p +-+ （4）mn （m －n ）－m （n －m ）2（5）（b －a ）2+a （a －b ）+b （b －a ）3、把多项式（3a －4b ）（7a －8b ）＋（11a －12b ）（8b －7a ）分解因式的结果是（ ）A ．8（7a －8b ）（a －b ）B ．2（7a －8b ）2C ．8（7a －8b ）（b －a ）D ．－2（7a －8b ）4、把（x －y ）2－（y －x ）分解因式为（ ） A ．（x －y ）（x －y －1） B ．（y －x ）（x －y －1） C ．（y －x ）（y －x －1） D ．（y －x ）（y －x ＋1）三、用公式法因式分解；1、代数中常用的乘法公式有：平方差公式：(a+b)(a －b)＝a 2－b 2完全平方公式：(a±b)2＝a 2±2ab+b 22、因式分解的公式：将上述乘法公式反过来得到的关于因式公解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：平方差公式：a 2－b 2＝(a+b)(a －b)完全平方公式：a 2±2ab+b 2＝(a±b)2例1：分解因式：（1）4a 2－9b 2 (2)－25a 2y 4+16b 16注：要先将原式写成公式左边的形式，写成(4b 8)2－(5ay 2)2练习1:分解因式：（1）36b 4x 8－9c 6y 10 （2）(x+2y)2－(x －2y)2（3）81x 8－y 8 （4）(3a+2b)2－(2a+3b)22、分解因式： (2m －n)2－121(m+n)2 －4(m+n)2+25(m －2n)2例2、分解因式：（1）x 2+6ax+9a 2 （2）－x 2－4y 2+4xy（3）9（a －b ）2+6（a －b ）+1速效基础演练：1、下列各式从左到右的变形错误的是（ ）。
专题14 因式分解(2)八年级数学下册强化巩固专题知识(北师大版)
专题14 因式分解（2）教师讲义64x6-1=(8x3)2-1=(8x3+1)(8x3-1)=[(2x)3+1][(2x)3-1]=(2x+1)(4x2-2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1) 方法二64x6-1=(4x2)3-1=(4x2-1)(16x4+4x2+1)=(2x+1)(2x-1)(16x4+8x2+1-4x2)=(2x+1)(2x-1)[(4x2+1)2-(2x)2]=(2x+1)(2x-1)(4x2+2x+1)(4x2-2x+1)例5 解 (x+y)2-6(x+y)+9=(x+y)2-2×3×(x+y)+32=(x+y-3)2．例6 解方法一x2+6x-7=x2+6x+9-9-7=(x+3)2-16=(x+3+4)(x+3-4)=(x+7)(x-1)方法二 x2+6x-7=(x+7)(x-1)例7 解方法一方法二 3x2-7x-6=(3x+2)(x-3)．例8 解 2ax-10ay+5by-bx=2ax-10ay-bx+5by=(2ax-10ay)-(bx-5by)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)．例9 解（1）x2-2xy+y2-1=(x2-2xy+y2)-1=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)（2）x2-2y-y2-1=x2-y2-2y-1=x2-(y2+2y+1)=x2-(y+1)2=(x+y+1)(x-y-1)例10 解 x2+4xy+3y2+x+3y=(x2+4xy+3y2)+(x+3y)=(x+y)(x+3y)+(x+3y)=(x+3y)(x+y+1)．例11 解（1）a2+2ab+b2+2a+2b+1=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)+1=(a+b)2+2(a+b)+1=(a+b+1)2．（2）a2+2ab+b2+2a+2b-3=(a2+2ab+b2)+(2a+2b)-3=(a+b)2+2(a+b)-3=(a+b+3)(a+b-1)．（3）a2+3ab+2b2+2a+b-3=(a2+3ab+2b2)+(2a+b)-3=(a+b)(a+2b)+(2a+b)-3=(a+b-1)(a+2b+3)．例12 证明因为4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，所以(2x+y)2-2(2x+y)+1=0，(2x+y-1)2=0．所以2x+y-1=0．又因为2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)．而2x+y-1=0，所以2x2+3xy+y2-x-y=0．例13 解设3x2-4xy-7y2+13x-37y+m=[(3x-7y)+a][(x+y)+b]=3x2-4xy-7y2+(a+3b)x+(a-7b)y+ab．对应项系数相等，所以由（1）（2）解得a=-2，b=5．将a=-2，b=5代入（3），得m=-10，所以 3x2-4xy-7y2+13x-37y+m=3x2-4xy-7y2+13x-37y-10=(3x-7y+a)(x+y+b)=(3x-7y-2)(x+y+5)．例14 解因为｜x-3y-1｜+x2+4y2=4xy，所以｜x-3y-1｜+x2-4xy+4y2=0即｜x-3y-1｜+(x-2y)2=0所以解这个方程组，得x=-2，y=-1．例15 解（1）x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+2y2)2-(2xy)2=(x2+2xy+2y2)(x2-2xy+2y2)．（2）x3+5x-6=x3-x+6x-6=(x3-x)+(6x-6)=x(x+1)(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x2+x+6)例16 解因为x2-2xy-3y2=5，所以(x-3y)(x+y)=5．依题意x，y为整数，所以x-3y和x+y都是整数，于是有：解上述方程组得：例17 证明因为A=(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)+49=(x2-x-6)(x2-x-20)+49=(x2-x)2-26(x2-x)+169=(x2-x-13)2所以A是一个完全平方数．五、课堂练习A卷：基础题A、选择题1．下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）A．a（a－b）=a2－ab B．a2－2a+1=a（a－2）+1C．x2－x=x（x－1） D．xy2－x2y=x（y2－xy）2．（x－5）（x－3）是多项式x2－px+15分解因式的结果，则p的值是（）1-2004 = 100123456689。
因式分解概念讲解及练习题
第一讲：因式分解（注：在看以下内容时，用红笔标注不懂的地方以及自己感觉容易粗心出错的地方，并记下来） 知识点: 一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系. 因式分解与整式乘法的区别和联系:(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 二. 提公共因式法1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如: )(c b a ac ab +=+2. 概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“积”; (2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: )(c b a m mc mb ma -+=-+ 3. 易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错; (2)公因式是否提“干净”;(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉. 三. 运用公式法1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.2. 主要公式:(1)平方差公式: ))((22b a b a b a -+=- (2)完全平方公式: 222)(2b a b ab a +=++222)(2b a b ab a -=+-3. 易错点点评:因式分解要分解到底.如))((222244y x y x y x -+=-就没有分解到底. 4. 运用公式法: (1)平方差公式:①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方; ③二项是异号. (2)完全平方公式: ①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方;③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍. 5. 因式分解的思路与解题步骤:(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 四. 分组分解法:1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法. 如: ))(()()(n m b a n m b n m a bn bm an am ++=+++=+++2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式. 3. 注意: 分组时要注意符号的变化. 五. 十字相乘法:1.对于二次三项式c bx ax ++2,将a 和c 分别分解成两个因数的乘积,21a a a ⋅=, 21c c c ⋅=,且满足1221c a c a b +=,往往写成的形式,将二次三项式进行分解.如: ))((22112c x a c x a c bx ax ++=++ 2. 二次三项式q px x ++2的分解:))((2b x a x q px x ++=++abq ba p =+=3. 规律内涵:(1)理解:把q px x ++2分解因式时,如果常数项q 是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p 的符号相同.(2)如果常数项q 是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p. 4. 易错点点评:(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.c 2a 2c 1a 1ba 11（注：不必一周之类完成，能完成多少完成多少）第一次作业一、填空（每空1分，共15分）1、把一个多项式化为的形式，叫做因式分解。
初二数学知识点专题讲解与练习3---因式分解的方法(培优版)
．分解因式： ＝ ． 3
a2 − b2 + 4a + 2b + 3 ____________________________
．多项式 与多项式 的公因式是 ． 4
ax3 − 8a
x2 − 4x + 4
____________________
5．在 1~100 之间若存在整数n ，使 x2 + x − n 能分解为两个整系数一次式的乘积，这样的 n 有_______ 个．
ห้องสมุดไป่ตู้
10．已知二次三项式21x2 + ax −10 可分解成两个整系数的一次因式的积，那么（ ）．
A．a 一定是奇数 C．a 可为奇数也可为偶数 11．分解因式：
B．a 一定是偶数 D．a 一定是负数
（ ） ； 1 (2x2 − 3x +1)2 − 22x2 + 33x −1
（ ） ； 2 (x2 + 3x + 2)(4x2 + 8x + 3) − 90
【例 4】把多项式 x2 − y2 − 2x − 4y − 3因式分解后，正确的结果是（ ）．
． ． A (x + y + 3)(x − y −1) B (x + y −1)(x − y + 3)
． ． C (x + y − 3)(x − y +1) D (x + y +1)(x − y − 3) （“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：直接分组分解困难，可考虑先将常数项拆成几个数的代数和，比如－3＝－4＋1．
【例 5】分解因式：
（ ） ； 1 x5 + x +1 （扬州市竞赛题）
初二数学八上第十四章整式乘法与因式分解知识点总结温习和常考题型练习
第十四章 整式的乘除与分解因式一、知识框架:二、知识概念：1.大体运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= ⑵幂的乘方：()n m mn a a = ⑶积的乘方：()n n n ab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每一个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每一个项乘以另一个多项式每一个项后相加.3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=- ⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每一个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方式：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=± ③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++ ⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法 ⑸添项法常考例题精选1.(2021·襄阳中考)下列运算正确的是( )A.4a-a=3 ·a2=a3C.(-a3)2=a5÷a2=a32.(2021·烟台中考)下列运算中正确的是( )A.3a+2a=5a2B.(-3a3)2=9a6÷a2=a3 D.(a+2)2=a2+43.(2021·遵义中考)计算(−12ab2)3的结果是( )3 232518184.(2021·沈阳中考)下面的计算必然正确的是( ) +b3=2b6 B.(-3pq)2=-9p2q2·3y5=15y8÷b3=b35.(2021·凉山州中考)下列各式正确的是( )=(−a)2=(−a)3=|−a2|=|a3|6.(2021·长春中考)计算：7a2·5a3= .7.(2021·广州中考)分解因式：x2+xy= .8.(2021·东营中考)分解因式2a2-8b2= .9.(2021·无锡中考)分解因式：2x2-4x= .10.(2021·连云港中考)分解因式：4-x2= .11.(2021·盐城中考)分解因式a2-9= .12.(2021·长沙中考)x2+2x+1= .13.(2021·临沂中考)分解因式4x-x3= .14.(2021·安徽中考)分解因式：x2y-y= .15.(2021·潍坊中考)分解因式：(a+2)(a-2)+3a= .16.(2021·遂宁中考)为庆贺“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示，依照下面的规律，摆第(n)个图案，需用火柴棒的根数为.17.(2021·潍坊中考)当n等于1，2，3，…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形别离如图所示.则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于.(用n表示，n是正整数)18.(2021·牡丹江中考)一件商品的进价为a元，将进价提高100%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为元.19.(2021·株洲中考)先化简，再求值：(x-1)(x+1)-x(x-3)，其中x=3.1．(2021·徐州)下列运算正确的是( )A．3a2－2a2＝1 B．(a2)3＝a5C．a2·a4＝a6D．(3a)2＝6a22．下列计算错误的是( )A．(5－2)0＝1 B．28x4y2÷7x3＝4xy2C．(4xy2－6x2y＋2xy)÷2xy＝2y－3x D．(a－5)(a＋3)＝a2－2a－153．(2021·毕节)下列因式分解正确的是( )A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9) B．x2－x＋14＝(x－12)2C．x2－2x＋4＝(x－2)2D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)4．将(2x)n－81分解因式后得(4x2＋9)(2x＋3)(2x－3)，则n等于( ) A．2 B．4 C．6 D．85．若m＝2100，n＝375，则m，n的大小关系是( )A．m>n B．m<n C．m＝n D．无法肯定6．已知a＋b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值为( )A．3 B．4 C．5 D．67．计算：(a－b＋3)(a＋b－3)＝( )A．a2＋b2－9 B．a2－b2－6b－9C．a2－b2＋6b－9 D．a2＋b2－2ab＋6a＋6b＋98．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲)，把余下的部份拼成一个长方形(如图乙)，按照两个图形中阴影部份的面积相等，可以验证( )A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)D．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b29．若x2＋mx－15＝(x－3)(x＋n)，则m，n的值别离是( )A．4，3 B．3，4 C．5，2 D．2，510．(2021·日照)观察下列各式及其展开式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5…请你猜想(a＋b)10的展开式第三项的系数是( )A．36 B．45 C．55 D．6611．计算：(x－y)(x2＋xy＋y2)＝．12．(2021·孝感)分解因式：(a－b)2－4b2＝．13．若(2x＋1)0＝(3x－6)0，则x的取值范围是．14．已知a m＝3，a n＝2，则a2m－3n＝．15．若一个正方形的面积为a 2＋a ＋14，则此正方形的周长为 ．16．已知实数a ，b 知足a 2－b 2＝10，则(a ＋b)3·(a －b)3的值是 ．17．已知△ABC 的三边长为整数a ，b ，c ，且知足a 2＋b 2－6a －4b ＋13＝0，则c 为 ．18．观察下列各式，探索发现规律：22－1＝1×3；32－1＝2×4；42－1＝3×5；52－1＝4×6；….按此规律，第n 个等式为 ．19．计算：(1)(2021·重庆)y(2x －y)＋(x ＋y)2; (2)(－2a 2b 3)÷(－6ab 2)·(－4a 2b)．20．用乘方公式计算：(1)982; (2)899×901＋1.21．分解因式：(1)18a 3－2a ； (2)ab(ab －6)＋9； (3)m 2－n 2＋2m －2n.22．先化简，再求值：(1)(2021·随州)(2＋a)(2－a)＋a(a－5b)＋3a5b3÷(－a2b)2，其中ab＝－1 2；(2)[(x＋2y)(x－2y)－(x＋4y)2]÷4y，其中x＝－5，y＝2.23．如图，某市有一块长为(3a＋b)米，宽为(2a＋b)米的长方形地块，计划部门计划将阴影部份进行绿化，中间修建一座雕像，求绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．24．学习了分解因式的知识后，老师提出了这样一个问题：设n为整数，则(n＋7)2－(n－3)2的值必然能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．25．阅读材料并回答问题：讲义中多项式与多项式相乘是利用平面几何图形中的面积来表示的，例如：(2a ＋b)(a ＋b)＝2a 2＋3ab ＋b 2就可以够用如图①②所示的图形的面积来表示．(1)请写出如图③所示的图形的面积表示的代数恒等式；(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(a ＋b)(a ＋3b)＝a 2＋4ab ＋3b 2；(3)请仿照上述方式另写一个含有a ，b 的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形．26. 概念2a b a b *=-，则(12)3**= ．。
5 因式分解技巧与方法 八年级数学
五 添项、拆项法
例6 ：x 3x 4 3 2 x 1 3x 3
3 2
拆项
( x 1) 3( x 1)
3 2
( x 1)(x x 1) 3( x 1)(x 1)
2
( x 1)(x 2 x 1 3x 3)
( x 1)(x 4x 4)
练习：分解因式
(1) x3-8y3 (2) a5-a3b2+a2b3-b5 (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab (4) -2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4
四 待定系数法
将要分解的式子变换成方程，想办法找出方程的解。
例5：x2+x-2
变换得方程，x2+x-2=0。该方程有一解为x=1 那么x2+x-2必有一因式为(x-1) 结合多项式展开原理，另一因式的常数必为2。
练习：分解因式
1) x３-x２+x-1
2) xy＋6－2x－3y
3) 5ax+5bx-3ay-3by 4) x2-7xy-5x+35y 5) 18a2-32b2-18a+24b 6) 3a3b2c－6a2b2c2＋3ab2c3
练习：分解因式 1) a x 6ax 9
2 2
2) a 2 2ab b 2 c 2 3 2 2 3 3) x x y xy y 4) 4a x 4a y b x b y
3 3 2 2 a -b =(a-b)(a +ab+b )
把一个多项式化成几个整式积 的形式，这样的式子变形叫把这 这个多项式因式分解，也叫把这 个多项式分解因式。 例：x2-1=(x+1)(x-1)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
八年级数学因式分解公式法讲解与练习
一：课前纠错与课前回顾
1、作业检查与知识回顾
2、错题分析讲解
二、课程内容讲解与课堂练习
【题模1】：公式法
一、选择题
1，下列各式中不能用平方差公式分解的是（）
A.-a2+b2
B.-x2-y2
C.49x2y2-z2
D.16m4-25n2
2.下列各式中能用完全平方公式分解的是（）
①x2-4x+4; ②6x2+3x+1; ③4x2-4x+1; ④x2+4xy+2y2 ; ⑤9x2-20xy+16y2
A.①②
B.①③
C.②③
D.①⑤
3.在多项式:①16x5-x;②（x-1）2-4（x-1）+4; ③(x+1)4-4x(x+1)2+4x2;④-4x2-1+4x中，分解因式的结果中含有相同因式的是（）
A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
4.分解因式3x2-3x4的结果是（）
A.3(x+y2)(x-y2)
B.3(x+y2)(x+y)(x-y)
C.3(x-y2)2
D.3(x-y)2(x+y) 2
5.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（）
A.2
B.4
C.2y2
D.4y2
6.若x 2+2(m-3)x+16, 是一个完全平方式，那么m 应为（
） A.-5 B.3 C.7 D.7或-1
7.若n 为正整数，（n+11）2-n 2 的值总可以被k 整除，则k 等于（
）A.11 B.22 C.11或22 D.11的倍数.
二、填空题
8.（ ）2+20pq+25q 2= （ ）2
9.分解因式x 2-4y 2= ___________ ;
10.分解因式ma 2+2ma+m= _______ ;
11.分解因式2x 3y+8x 2y 2+8xy 3 __________ .
12.运用平方差公式可以可到：两个偶数的平方差一定能被
_____ 整除。
三、解答题：
13.分解多项式:
（1）16x 2y 2z 2-9; （2）81(a+b)2-4(a-b)2
14.试用简便方法计算：1982-396+2022
202
15.已知x=40,y=50,试求x 4-2x 2y 2+y 4的值。
【讲透例题】
1.B
2.B
3.C
4.A
5.D
6.D
7.A
8.2p 2p+5q
9.(x+2y)(x-2y)10.m(a+1)2 11. 2xy(x+2y)2 12. 4
13. （1）(4xyz+3)(4xyz-3)
（2） 原式=[][])
711)(711()(2)(9)(2)(9a b b a b a b a b a b a ++=--+⋅-++14. 原式=1982-2×198×202+2022=（198-202）2=(-4)2=16
15.由x 4-2x 2y 2+y 4=(x 2-y 2)2=(1600-2500)=(-900)2=810000.
【讲透考点】
公式法
※1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用
公式法.
※2. 主要公式:(1)平方差公式: )
)((22b a b a b a -+=-(2)完全平方公式: 2
22)(2b a b ab a +=++2
22)(2b a b ab a -=+-¤3. 易错点点评:因式分解要分解到底.如就没有分解到底.
))((222244y x y x y x -+=-※4. 运用公式法:
(1)平方差公式:
①应是二项式或视作二项式的多项式;
②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;③二项是异号.
(2)完全平方公式:
①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方;
③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.
【相似题练习】
一、选择题
1、多项式(3a+2b)2－(a－b)2分解因式的结果是( )
A.(4a+b)(2a+b)
B.(4a+b)(2a+3b)
C.(2a+3b)2
D.(2a+b)2
2、下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是( )
A.x2+xy+y2
B.x2－2x－1
C.－x2－2x－1
D.x2+4y2
3、多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是( )
A.10
B.20
C.－20
D.±20
4、在一个边长为12.75 cm的正方形纸板内，割去一个边长为7.25 cm的正方形，剩下部分的面积等于( )
A.100 cm2
B.105 cm2
C.108 cm2
D.110 cm2
二、填空题
1、多项式a2－2ab+b2，a2－b2，a2b－ab2的公因式是________.
2、－x2+2xy－y2的一个因式是x－y，则另一个因式是________.
3、若x2－4xy+4y2=0，则x∶y的值为________.
4、若x2+2(a+4)x+25是完全平方式，则a的值是________.
5、已知a+b=1，ab=－12，则a2+b2的值为________.
三、解答题
1、分解因式
(1)3x4－12x2
(2)9(x－y)2－4(x+y)2
(3)1－6mn+9m2n2
(4)a2－14ab+49b2
(5)9(a+b)2+12(a+b)+4
(6)(a－b)2+4ab
2、(1)已知x－y=1，xy=2，求x3y－2x2y2+xy3的值.
1
(2)已知a(a－1)－(a2－b)=1，求(a2+b2)－ab的值.
2
3、利用简便方法计算:
(1)2001×1999
(2)8002－2×800×799+7992
4、对于任意整数，(n+11)2－n2能被11整除吗？为什么？
学生：年级科目：数学课次：第课
教师：上课时段：2018.08.11 8:00-10:00 教导主任签字：
课后作业时间：分数：
一、选择题
1.－(2a－b)(2a+b)是下列哪一个多项式的分解结果（）
A.4a2－b2
B.4a2+b2
C.－4a2－b2
D.－4a2+b2
2.多项式(3a+2b)2－(a－b)2分解因式的结果是（）
A.(4a+b)(2a+b)
B.(4a+b)(2a+3b)
C.(2a+3b)2
D.(2a+b)2
3.下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（）
A.x2+xy+y2
B.x2－2x－1
C.－x2－2x－1
D.x2+4y2
4.多项式4a2+ma+25是完全平方式，那么m的值是（）
A.10
B.20
C.－20
D.±20
5.在一个边长为12.75 cm的正方形纸板内，割去一个边长为7.25 cm的正方形，剩下部分的面积等于（）
A.100 cm2
B.105 cm2
C.108 cm2
D.110 cm2
二、填空题
6.多项式a2－2ab+b2，a2－b2，a2b－ab2的公因式是________.
7.－x2+2xy－y2的一个因式是x－y，则另一个因式是________.
8.若x2－4xy+4y2=0，则x∶y的值为________.
9.若x2+2(a+4)x+25是完全平方式，则a的值是________.
10.已知a+b=1，ab=－12，则a2+b2的值为________.
三、解答题
11.分解因式
(1)3x4－12x2
(2)9(x－y)2－4(x+y)2
(3)1－6mn+9m2n2
(4)a2－14ab+49b2
(5)9(a+b)2+12(a+b)+4
(6)(a－b)2+4ab
12.(1)已知x －y =1，xy =2，求x 3y －2x 2y 2+xy 3的值.
(2)已知a (a －1)－(a 2－b )=1，求 (a 2+b 2)－ab 的值.2
113.利用简便方法计算:
(1)2001×1999
(2)8002－2×800×799+7992
14.如图，在一块边长为a 厘米的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为b (b ＜厘米的2
a )正方形，利用因式分解计算当a =13.2，
b =3.4时剩余部分的面积.
15.对于任意整数，(n +11)2－n 2能被11整除吗？为什么？。