周益春-材料固体力学习题解答习题二

-第二章习题1 初始时刻位于()321,,a a a 的质点在某时刻t 的位置为33322311;;a x ka a x ka a x =+=+=，其中510-=k ，求格林应变张量的分量。

[解] 采用拉格朗日描述法，),,(321a a a u a x u i i i i =-=，得0;;33231===u ka u ka u 由格林应变张量，j i e e E ij E =，()j m i m i j j i u u u u Eij ,,,,21++=，得 021131312121111111111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=a u a u a u a u a u a u a u a u E 02123132212211112212112=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂==a u a u a u a u a u a u a u a u E E 6331332123111133131131052121-⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂==k a u a u a u a u a u a u a u a u E E 021232322222121222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=a u a u a u a u a u a u a u a u E 6332332223121233232231052121-⨯==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂==k a u a u a u a u a u a u a u a u E E 021333332323131333333=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂=a u a u a u a u a u a u a u a u E习题2 证明j i ε是二阶对称张量的分量，而ij γ不是任何张量的分量。

[证明] （1） ()i j j i ij u u ,,21+=ε，显然可得其对称性 对于笛卡尔直角坐标系oxyz 和z y x o '''，各坐标轴之间的方向余弦如下表由弹性力学理论知，ij j j i i j i εββε''''=，恰与张量定义相吻合，∴ j i ε是二阶对称张量的分量（2）设有一剪应变张量γ，其分量()ij ij ij ij ij ij εδεδεγ-=-=22 取任一矢量k k e n k n =，则()()k j i j i k e e e e e n γ•-=•-=•k ij ij k ij ij n n εδεδ22m k j i e e e e jk β=•，但()jk k ij ij n βεδ-2不能缩并为m ε，与假设γ是张量矛盾。

根据张量的商判则，ij γ不是任何张量的分量。

习题3 为求平面应变分量x ε、y ε、xy γ，将电阻应变片分别贴在x 方向，与x 成ο60和ο120方向上，测得应变值以0ε、60ε、120ε表示，试求x ε、y ε、xy γ[解] 平面应变状态下，沿x 方向，与x 成ο60和ο120方向上的方向余弦分别为)23,21();23,21();0,1(-321v v v根据v 方向线元的工程正应变公式，j i ij v v v εε=，得⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫-+=++==xy y x xy y x xγεεεγεεεεε434341434341120600求得⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫-=-+==322322120600120600εεγεεεεεεxy y x习题4 假设体积不可压缩位移),(211x x u 与),(212x x u 很小，03≡u ，在一定区域内已知()()2112211cx bx a x u ++-=，其中a ，b ，c 为常数，求()212,x x u 。

[解] 题目条件适用小变形，()i j ji ij u u ,,21+=ε，得()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂+++-∂∂+++-+-=0210212102121323222122112122112122x u x u x u x u cx bx a x x u cx bx a x cx b x εΘ 体积不可压缩，0332211=++=∴εεεεii ()()122222221cx b x x u +-=∂∂=∴ε 即()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==⎰202202221222231312220x x x x cx b dx u xx ε习题5 在平面应变状态下，使用直角坐标和极坐标中应变分量、位移分量的转换公式，写出在极坐标中的应变和位移的关系式。

[解] 在平面应变状态下，由应变分量转换公式，ij j j i i j i εββε''''=，得⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫++-=-+=++=θεθεθεεθεθεθεεθεθεθεεθθθ2cos 2sin 22sin 22sin cos sin 2sin sin cos 2222xy yy xxr xy yy xx xy yy xx rr （1）代入()i j j i ij u u ,,21+=ε，即 ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂=y v y r r v y u y r r u y v y u yu y r r u y u x u x r r u x u xyyy xx θθθθεθθεθθε2121 （2） ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθθθθθθθθθθθθθu u v u u v v u u u u u u u r u u v r u u v r v r u u u r u u u r u r r r r r r r r （3）⎭⎬⎫+=-=θθθθθθcos sin sin cos u c u v u u u r r （4）因此，⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂θθθθθθcos ,sin sin ,cos u vu v u u u u r r （5）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=∂∂θθθθθθcos 1sin 1sin cos 2222r x y arctg y y rx y arctg x x y x y y r y x x x r （6） 将式（2）-（6）代入式（1），得平面应变状态下，极坐标中的应变和位移的关系式：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+-∂∂=+∂∂=∂∂=θεθεεθθθθθθr r r rrr u r r u r u r u u r ru 11习题7 证明由下式确定的应变()i j j i ij u u ,,21+=ε恒满足变形协调方程，0,=kl ij nil mjk e e ε。

[证明] ()i j j i ij u u ,,21+=εΘ ()()ikl j nil mjk jkl i mjk nil ikl j jkl i nil mjk kl ij nil mjk u e e u e e u u e e e e .,,,,2121+=+=∴ε 对于单值连续位移场，并存在三阶以上连续偏导数时，偏导数的值与求导顺序无关jkl i u ,∴关于j ，k 对称；ikl j u ,关于i ，l 对称对于排列符号mjk e 关于j ，k 反对称；l ni e 关于i ，l 反对称0;0,,==∴ikl j nil jkl i mjk u e u e即应变()i j j i ij u u ,,21+=ε恒满足变形协调方程，0,=kl ij nil mjk e e ε习题8 假定物体被加热至定常温度场()321,,x x x T 时，应变分量为T αεεε===332211；0323112===γγγ，其中α为线膨胀系数，试根据应变协调方程确定温度场T 的函数形式。

[解] 由应变协调方程，0,,,,=--+ik jl jl ik ij kl kl ij εεεε，得()()()()()()0132322212232222212=∂∂∂=∂∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂=∂∂x x T x x T x x T x T x T x T αααααα又定常温度场()321,,x x x T 应满足拉普拉斯方程，0)(232222212=∂∂+∂∂+∂∂T x x x故()321,,x x x T 的函数形式中不应含有高于或等于2次的项 温度场T 的函数形式为()c x k x k x k x x x T +++=332211321,,其中，1k ，2k ，3k 和c 均为常数。

习题9 试导出平面应变轴对称情况下的应变协调方程 [解] 轴对称平面应变情况下，应变分量为0;;===θθεεεr rrr r u drduru dr du drr u d rdr du r rr r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴θ 因此，平面应变轴对称情况下的应变协调方程为ru dr du dr du rrr -=θ习题10 在某一平面轴对称变形情况下，轴向应变z ε为常数，试确定其余两个应变分量r ε和θε的表达式（材料是不可压缩的）[解] 平面轴对称情况下，变形协调条件为：0=-+r drd rεεεθθ当材料不可压缩时，体积应变为零，即0=++φθεεεr ，代入上式，得02=-+z drd rεεεθθ解得222;2rC rC z r z --=+-=εεεεθ，式中，C 是右边界条件确定的常数习题11 试问什么类型的曲面在均匀变形后会变成球面。

[解] 均匀变形状态可表示为321;;;;;d d d c b a xz zx zy yz yx xy z y x =========γγγγγγεεε其中，321;;;;;d d d c b a 为常量设均匀变形前的坐标为000;;z y x ，则变形后的坐标为()()()0001;1;1z z y y x x z y x εεε+=+=+=曲面在均匀变形后变成球面，即2222R z y x =++略去刚体位移，当x 、y 、z 为主轴时，变形前的坐标000;;z y x 满足()()()1111222022202220=+++++c Rz b Ry a Rx变形前半轴为a R +1，b R +1，cR +1的椭球面在均匀变形后会变成球面。