北师大版七年级数学下册5.1 轴对称现象2(同步练习)
北师大版七年级数学下册同步练习附答案5.1 轴对称现象
5.1 轴对称现象一．选择题（共1小题）1．如图，以平面镜AD和DC为两个侧面的一个黑盒子的另一个侧面BC上开有一个小孔P，一位观察者在盒外沿与BC平行方向走过时，则通过小孔能几次看到光源S所发出的光线（）（第1题图）A．1次B．2次C．3次D．4次二．填空题（共6小题）2．如图，一束光线从点O射出，照在经过A（1，0）、B（0，1）的镜面上的点D，经AB反射后，反射光线又照到竖立在y轴位置的镜面，经y轴再反射的光线恰好通过点A，则点D的坐标为．（第2题图）3．如图，是4×4正方形网格，其中已有3个小正方形涂成了黑色，现在从剩余的13个白色小正方形中选出一个涂成黑色，使涂成黑色的四个小正方形所构成的图形是轴对称图形，则这样的白色小正方形有个．（第3题图）4．如图，在一个规格为6×12（即6×12个小正方形）的球台上，有两个小球A，B．若击打小球A，经过球台边的反弹后，恰好击中小球B，那么小球A击出时，应瞄准球台边上的点．（P1至P4点）（第4题图）5．如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为步．（第5题图）6．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中的一个小正方形涂黑，所得图案是一个轴对称图形，则涂黑的小正方形可以是（填出所有符合要求的小正方形的标号）（第6题图）7．弹子盘为长方形ABCD，四角有洞，弹子从A出发，路线与小正方形的边成45°角，撞到边界即反弹（如图所示）．AB=4，AD=3，弹子最后落入B洞．那么，当AB=9，AD=8时，弹子最后落入洞，在落入洞之前，撞击BC边次．（第7题图）三．解答题（共5小题）8．对于特殊四边形，通常从定义、性质、判定、应用等方面进行研究，我们借助于这种研究的过程与方法来研究一种新的四边形﹣﹣﹣﹣﹣筝形．定义：在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=CD，我们把这样四边形ABCD称为筝形性质：按下列分类用文字语言填写相应的性质：从对称性看：筝形是一个轴对称图形，它的对称轴是；从边看：筝形有两组邻边分别相等；从角看：；从对角线看：．判定：按要求用文字语言填写相应的判定方法，补全图形，并完成方法2的证明．方法1：从边看：运用筝形的定义；方法2：从对角线看：；如图，四边形ABCD中，．求证：四边形ABCD是筝形应用：如图，探索筝形ABCD的面积公式（直接写出结论）．（第8题图）9．已知：如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，∠DAB=∠CBA．（1）试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；（2）四边形ABCD是轴对称图形吗？试说明理由．（第9题图）10．如图，在△ABC中，高线CD将∠ACB分成20°和50°的两个小角．请你判断一下△ABC是轴对称图形吗？并说明你的理由．（第10题图）11．△ABC的三边长分别为：AB=2a2﹣a﹣7，BC=10﹣a2，AC=a，（1）求△ABC的周长（请用含有a的代数式来表示）；（2）当a=2.5和3时，三角形都存在吗？若存在，求出△ABC的周长；若不存在，请说出理由；（3）若△ABC与△DEF成轴对称图形，其中点A与点D是对称点，点B与点E是对称点，EF=4﹣b2，DF=3﹣b，求a﹣b的值．12．如图，表示把长方形纸片ABCD沿对角线BD进行折叠后的情况，图中有没有轴对称图形？有没有关于某条直线成轴对称的图形．（第12题图）参考答案一．1．D二．2．（，）3．4 4．P25．3 6．2，3，4，5，7 7．D，4三．8．解：性质：从对称性看：筝形是轴对称图形，它的对称轴是其中一条对角线所在直线．从角看：筝形只有一组对角相等；从对角线看：有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分．判定：结合性质定理，可得出：方法二：从对角线看：有且只有一条对角线被另一条对角线垂直平分．结合方法二可知缺少的条件为：AC垂直平分BD于O点，且AO≠CO．证明：按照题意，画出图形1．（第8题答图）∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，CB=CD．又∵AB=，BC=，AO≠CO，∴AB≠BC，∴由筝形定义得，四边形ABCD是筝形．应用：筝形面积为对角线乘积的一半；∵S筝形ABCD=S△ABD+S△CBD=BD•AO+BD•CO=BD（AO+CO）=BD•AC，∴筝形面积为对角线乘积的一半．9．解：（1）AB∥CD．理由如下：在△ABD和△BAC中．∴△ABD≌△BAC（SAS）．∴∠OAB=∠OBA，BD=AC．∴OA=OB．∴AC﹣OA=BD﹣OB．∴OD=OC．∴∠ODC=∠OCD．∵∠ODC+∠OCD+∠COD=180°，∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∴2∠ODC+∠COD=180°．2∠OBA+∠AOB=180°．又∠COD=∠AOB，∴∠CDO=∠OBA．∴AB∥CD．（2）四边形ABCD是轴对称图形．理由如下：延长AD、BC交于点P，∵∠DAB=∠CBA，∴AP=BP．∴点P在AB的垂直平分线上．又OA=OB，∴点O在AB的垂直平分线上．∴OP垂直平分线段AB，∴点A与点B关于直线OP对称①．∵AB∥DC，∴∠PDC=∠PAB∠PCD=∠PBA．∴∠PDC=∠PCD．∴DP=CP，∴点P在DC的垂直平分线上．又OD=OC，∴点O在DC的垂直平分线上．∴OP垂直平分线段DC．∴点C与点D关于直线OP对称②．所以，综上①②所述，四边形ABCD是轴对称图形．（第9题答图）10．解：△ABC是轴对称图形．∵∠BCD=20°，∴∠B=90°﹣∠BCD=70°，∴∠ACB=∠B=70°，∴△ABC是等腰三角形，∴△ABC是轴对称图形．11．解：（1）△ABC的周长=AB+BC+AC=2a2﹣a﹣7+10﹣a2+a=a2+3.（2）当a=2.5时，AB=2a2﹣a﹣7=2×6.25﹣2.5﹣7=3，BC=10﹣a2=10﹣6.25=3.75，AC=a=2.5，∵3+2.5＞3.75，∴当a=2.5时，三角形存在，周长=a2+3=6.25+3=9.25；当a=3时，AB=2a2﹣a﹣7=2×9﹣3﹣7=8，BC=10﹣a2=10﹣9=1，AC=a=3，∵3+1＜8．∴当a=3时，三角形不存在.（3）∵△ABC与△DEF成轴对称图形，点A与点D是对称点，点B与点E是对称点，∴EF=BC，DF=AC，∴10﹣a2=4﹣b2，即a2﹣b2=6；a=3﹣b，即a+b=3、把a+b=3代入a2﹣b2=6，得3（a﹣b）=6∴a﹣b=2．12．解：五边形ABCDE是轴对称图形，△ABE与△CDE，△ABD与△CDB成轴对称．。
北师大版初中数学七年级下册《5.1 轴对称现象》同步练习卷
北师大新版七年级下学期《5.1 轴对称现象》同步练习卷一．选择题（共19小题）1．下列图形中，是轴对称图形且只有一条对称轴的是（）A．B．C．D．2．下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（）A．B．C．D．4．下列世界博览会会徽图案中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．下列图案是轴对称图形的有（）个．A．1B．2C．3D．4 6．下列四个图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．7．如图所示的五个图案，是轴对称图形的有（）个．A．1B．2C．3D．4 8．下列图形中，轴对称图形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．下列图形中，不是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．下列图案中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．11．对折一张矩形的纸，用笔尖在上面扎出大写字母“B”，再把它铺平，你可见到（）A．B．C．D．12．如图所示的图形中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．13．下列图形中不一定是轴对称图形的是（）A．角B．平行四边形C．等腰三角形D．正方形14．下列轴对称图形中，对称轴最少的是（）A．B．C．D．15．京剧是我国的国粹，剪纸是流传已久的民间艺术，这两者的结合无疑是最能代表中国特色的艺术形式之一．图中京剧脸谱剪纸中是轴对称图形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．416．在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（）A．B．C．D．17．如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图形（阴影部分），其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．18．下列图形中，一定不是轴对称图形的是（）A．线段B．角C．正方形D．有一个内角为45°的三角形19．把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（）A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行北师大新版七年级下学期《5.1 轴对称现象》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．下列图形中，是轴对称图形且只有一条对称轴的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的定义和对称轴的定义逐个判断即可．【解答】解：A、是轴对称图形且只有一条对称轴，故本选项符合题意；B、是轴对称图形但有2条对称轴，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形但有3条对称轴，故本选项不符合题意故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的定义，能熟记轴对称图形的定义和对称轴的定义的内容是解此题的关键．2．下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．下列四个图案中，不是轴对称图案的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．下列世界博览会会徽图案中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，本选项错误；B、不是轴对称图形，本选项错误；C、不是轴对称图形，本选项错误；D、是轴对称图形，本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．下列图案是轴对称图形的有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】根据轴对称图形的概念对个图形分析判断即可得解．【解答】解：第一个图形是轴对称图形，第二个图形不是轴对称图形，第三个图形不是轴对称图形，第四个图形是轴对称图形，综上所述，轴对称图形共有2个．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6．下列四个图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．7．如图所示的五个图案，是轴对称图形的有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形即可选出答案．【解答】解：第二、四个图形是中心对称图形，第一个和第三个、第五个是轴对称图形，故选：C．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是找到对称轴．8．下列图形中，轴对称图形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．【解答】解：第一个图形是轴对称图形，第二个图形是轴对称图形，第三个图形不是轴对称图形，第四个图形是轴对称图形，综上所述，是轴对称图形的有3个．故选：C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．9．下列图形中，不是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：第一、二、三个图形都是轴对称图形，只有第四个图形不是轴对称图形，故选：A．【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念，关键是正确确定对称轴的位置．10．下列图案中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的定义求解可得．【解答】解：A，此图案是轴对称图形，有5条对称轴，此选项符合题意；B、此图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；C、此图案不是轴对称图形，而是旋转对称图形，不符合题意；D、此图案不是轴对称图形，不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查轴对称图形，掌握其定义是解题的关键：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．11．对折一张矩形的纸，用笔尖在上面扎出大写字母“B”，再把它铺平，你可见到（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．【解答】解：A、沿中间折痕对称轴折叠，两个字母B能够完全重合，故本选项正确；B、沿中间折痕对称轴折叠，两个字母B不能够完全重合，故本选项错误；C、沿中间折痕对称轴折叠，两个字母B不能够完全重合，故本选项错误；D、沿中间折痕对称轴折叠，两个字母B不能够完全重合，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，12．如图所示的图形中为轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A，C，D都不是轴对称图形，只有B是轴对称图形．故选B．【点评】轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．13．下列图形中不一定是轴对称图形的是（）A．角B．平行四边形C．等腰三角形D．正方形【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．14．下列轴对称图形中，对称轴最少的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形和对称轴的概念求解．【解答】解：A、有4条对称轴；B、有6条对称轴；C、有3条对称轴；D、有2条对称轴．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．15．京剧是我国的国粹，剪纸是流传已久的民间艺术，这两者的结合无疑是最能代表中国特色的艺术形式之一．图中京剧脸谱剪纸中是轴对称图形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：第一个、第三个、第四个图形都是轴对称图形．故选C．【点评】轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．16．在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（）A．B．C．D．【分析】据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．17．如图，阴影部分是由5个小正方形涂黑组成的一个直角图形，再将方格内空白的两个小正方形涂黑，得到新的图形（阴影部分），其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】本题需先根据轴对称图形的有关概念沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合对每一个图形进行分析即可得出正确答案．【解答】解：A∵沿某直线折叠，分成的两部分能互相重合∴它是轴对称图形B、∵沿某直线折叠，分成的两部分能互相重合∴它是轴对称图形C、∵沿某直线折叠，分成的两部分能互相重合∴它是轴对称图形D、根据轴对称定义它不是轴对称图形故选：D．【点评】本题主要考查了轴对称图形的有关概念，在解题时要注意轴对称图形的概念与实际相结合是本题的关键．18．下列图形中，一定不是轴对称图形的是（）A．线段B．角C．正方形D．有一个内角为45°的三角形【分析】根据轴对称图形的概念求解．直角三角形中只有等腰直角三角形是轴对称图形．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：根据轴对称图形的定义：A、线段的垂直平分线就是对称轴，则线段是轴对称图形，不符合题意；B、角的平分线可以作为对称轴，不符合题意；C、对角线可以作为一条对称轴，古是轴对称图形，不符合题意；D、找不到对称轴，故不是轴对称图形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查轴对称的定义，难度不大，掌握轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．19．把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（）A．对应点连线与对称轴垂直B．对应点连线被对称轴平分C．对应点连线被对称轴垂直平分D．对应点连线互相平行【分析】由已知条件，根据轴对称的性质和平移的基本性质可得答案．【解答】解：观察原图，对称变换后又进行了平移，所以有垂直的一定不正确，A、C是错误的；对应点连线是不可能平行的，D是错误的；找对应点的位置关系可得：对应点连线被对称轴平分．故选：B．【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等及轴对称的性质；按要求画出图形是正确解答本题的关键．。
北师大版七年级下册5.1 轴对称现象同步测试
5.1 轴对称现象（含答案）一．选择题：(四个选项中只有一个是正确的，选出正确选项填在题目的括号内)1．下列交通标志是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2.在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中,属于轴对称图形的是()A ．B ．C ．D ．3．下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．下图所示的图案中，是轴对称图形的是（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④5.下列图形中,右边图形与左边图形成轴对称的是( )A ．B ．C ．D ．6.如图,关于虚线成轴对称的有( )个①②③④A ．1B ．2C ．3D ．47．下列图案中，是轴对称图形且只有两条对称轴的是（ ）A ．B ．C ．D ．8.在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形,下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．9．下面的图形中，左边的图形与右边的图形成轴对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．下面的图形中，左边的图形与右边的图形成轴对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题：（把正确答案填在题目的横线上）11.下列图标中，是轴对称图形的是_________________；(填序号)12．下面四个艺术字中，是轴对称图形的有__________（只填序号）．13．如图是44 正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有______个；①②③④14.认真观察图①中的四个图中阴影部分构成的图案,其中每个小正方形的边长为1,回答下列问题:(1)请写出这四个图案都具有的两个特征.特征1:______________________；特征2: ______________________；(2)请在图②中设计一个图案,使它也具备上述两个特征；15．把一张长方形纸片对折两次，画上一个四边形，再剪去这个四边形（镂空），展开长方形纸片如图，设折痕为l 1，l 2，l 3，观察图形，填空：（1）①与②关于__________成轴对称；（2）折痕l 2既是_______与________的对称轴，又是________与_________的对称轴，整体看，也是_______与_______的对称轴；三．解答题：（按题目要求，写出必要的说明过程，解答步骤）16．观察如图中的图案，哪些是轴对称图形？并指出对称轴的条数．17．下列各图形中画出图形的对称轴：1()2()3()4()5()6()7()18．如①，②，③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的；（1）如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称釉？（2）如图②、③所示的图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？（3）请你推断，按此规律进行下去，第n 个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？19．如图，是由三个相同的小正方形组成的图形，请在图中画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形；（至少画出三种情况）20．分别画出具有一条对称轴、两条对称轴、三条对称轴、四条对称轴的几何图形；（画出对称轴，并画成虚线）①②③5.1 轴对称现象参考答案：1~10 ABCDB CDAAB11.①②③④；12．①②④；13．4；如图，有4个位置使之成为轴对称图形：14．(1)都是轴对称图形；面积都是4；(2)答案不唯一，只要画出一个满足条件的图案即可；如图：15．（1）l1；（2）②，③；①，④；①②，③④；16．图（2）（4）（5）（7）是轴对称图形，对称轴的条数分别是1，2，1，1；17．略；18．（1）是轴对称图形，共有4条对称轴；（2）都是轴对称图形，都有2条对称轴；（3）是轴对称图形，有2条对称轴；19.略；20.略；。
七年级数学下册第五章生活中的轴对称5.1轴对称现象测试北师大版(2021年整理)
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5。
1轴对称现象一、单选题（共11题；共22分）1.下列交通标志中，是轴对称图形的是（）A. B.C。
D.2.一个平面图形，如果沿着一条直线对折能做到自身重合，便称为轴对称图形，例如正方形是轴对称图形（因为沿它的一条对角线对折，可做到自身重合）．在下图中的4个图形中有多少个是轴对称图形( ）A。
4B。
3C. 2D. l3。
如图是四届世界数学家大会的会标，其中是轴对称图形的是（）A。
B.C.D.4.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）A。
B.C.D。
5。
关于轴对称图形，下列说法中错误的是( ）A. 轴对称图形是对一个图形来说的 B. 一个轴对称图形只有一条对称轴C。
对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段 D. 两个对称点之间的线段的垂直平分线就是对称轴6。
如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有( )A. 1个B。
2个C。
3个D。
4个7。
下列四个图案中，具有一个共有性质．则下面四个图案中，满足上述性质的一个是（）A。
6B。
7C. 8D。
98.下列图形中轴对称图形的个数是（)A。
七年级数学下册 5.1《轴对称现象》习题 北师大版(2021学年)
七年级数学下册5.1《轴对称现象》习题（新版)北师大版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(七年级数学下册5.１《轴对称现象》习题(新版）北师大版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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《轴对称现象》一、选择题１．①正方形；②等腰三角形;③长方形；④圆;⑤等边三角形都是轴对称图形，按对称轴由少到多的顺序排列是( ）A。
①③②⑤④B。
①②⑧④⑤C。
②③⑤①④D。
④①⑤③②2.如图,羊字象征吉祥和美好,下图的图案与羊有关,其中是轴对称图形的有( ）ﻫA.1个B。
4个C。
3个 D.2个3.下图是轴对称图形的( )A.Ｂ. C.Ｄ.4.下列图形中,轴对称图形的是( )A。
Ｂ。
C.Ｄ。
5.在线段、角、正方形、圆、直角三角形、等腰三角形中,是轴对称图形的有( )Ａ.3个B。
4个C。
5个 D.6个6．如果将左边的图形“Ｆ＂沿某条直线进行轴对称变换,能变成右边图形的是（）A.Ｂ。
C。
D。
7．符合下列条件的图形中属于轴对称图形的是( )A.能够互相重合的两个图形B。
一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合C.沿着一条直线对折,能够互相重合的两个图形D。
一个图形绕着某一点旋转一定角度后与原来位置重合二、填空题8．在字母ABCDEHO中,是轴对称图形的是：＿___＿．（填上字母）9.在“线段、锐角、三角形、等边三角形”这四个图形中，其中是轴对称图形的有_____个,其中对称轴最多的是_____．１0.下列10个汉字：林上下目王田天王显吕,其中不是轴对称图形的是____＿；有一条对称轴的是__＿＿＿;有两条对称轴的是__＿_＿；有四条对称轴的是_____.1１．如图，是我国传统的一种窗户图案,则这个图案有_＿_＿_条对称轴．三、解答题12.已知图中的图形都是轴对称图形，请你画出它们的对称轴．13.如图,将已知四边形分别在格点图中补成关于已知直线:l、m、n、p为对称轴的轴对称的图形.１4.请将下列汉字中,是轴对称图形的字写在后面的米字格中(书写要工整、规范）1５．对同一图形，从不同的角度看就会有不同的发现,请根据右图解决以下问题:如图,△AＢC中,已知∠ＢAC=4５°，AＤ⊥BＣ于D,分别以AB、AＣ所在的直线为对称轴,作出△ABD、△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E、Ｆ,延长EB、ＦC相交于G点，试证明四边形AEGF是正方形;参考答案一、选择题1.答案:C解析:【解答】∵①正方形有4条对称轴；②等腰三角形有１条对称轴;③长方形有2条对称轴;④圆有无数条对称轴;ﻫ⑤等边三角形有3条对称轴;ﻫ∴按对称轴由少到多的顺序排列为②③⑤①④.ﻫ故选Ｃ．【分析】根据对称轴的定义,先分别求出各轴对称图形的对称轴,再按对称轴由少到多的顺序排列即可.2．答案:D解析:【解答】美和善都是轴对称图形,祥和洋不是对称图形．共2个．故选Ｄ.【分析】此题主要是分析汉字的对称性，美和善都是轴对称图形，祥和洋不是对称图形．３．答案:Cﻫ解析:【解答】A、B、D都不是轴对称图形,只有C是轴对称图形,故选C.【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形进行判断．4.答案:Dﻫ解析:【解答】Ａ、B、C都不是轴对称图形，只有D是轴对称图形.故选D．【分析】根据轴对称图形的概念求解.５．答案：Ｃ解析:【解答】线段是轴对称图形；ﻫ角是轴对称图形；ﻫ正方形是轴对称图形;圆是轴对称图形;ﻫ直角三角形不是轴对称图形；ﻫ等腰三角形轴对称图形；故轴对称图形有5个．ﻫ故选C.【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解.6．答案：D解析:【解答】A、不是轴对称图形,左边图形不能轴对称变换得到右边图形,故本选项错误；ﻫB、不是轴对称图形,左边图形不能轴对称变换得到右边图形,故本选项错误；ﻫC、不是轴对称图形,左边图形不能轴对称变换得到右边图形,故本选项错误;D、是轴对称图形，左边图形能轴对称变换得到右边图形，故本选项错误.ﻫ故选D.【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解.7．答案:B解析：【解答】根据轴对称图形的概念,Ａ、C、Ｄ都不是轴对称图形，B是轴对称图形．故选Ｂ.【分析】根据轴对称图形的概念求解．二、填空题8.答案：A,Ｈ,O.解析：【解答】根据轴对称图形的性质得出:A,H，O是轴对称图形，故答案为：A，H，O．【分析】根据轴对称图形的定义得出答案即可．9.答案:3 等边三角形解析：【解答】线段有两条对称轴，锐角有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴，故填3，等边三角形．【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴.10.答案：林上下天王显吕目王田解析：【解答】“林上下”不是轴对称图形,“天王显吕”这四个字都有1条对称轴,“目王”有２条对称轴,“田”有4条对称轴.ﻫ【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后,直线两旁的部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形,依据定义即可作出判断.11．答案:2解析:【解答】沿中间两条直线任意一条直线折叠后,直线两旁的部分能够完全重合,那么有2条对称轴．【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴．三、解答题12.答案：见解答过程。
北师大版七年级数学下册同步练习：5.1轴对称现象
1 轴对称现象1．下列图标是轴对称图形的是( )图5－1－12．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )图5－1－23．如图5－1－3所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴有( )图5－1－3A．1条 B．5条C．10条 D．15条4．轴对称是指________个图形的位置关系；轴对称图形是指________个图形所具有的特殊的形状．轴对称图形的对称轴是一条________线．5．观察图5－1－4中的各组图形，其中成轴对称的为________．(只写序号)图5－1－46．将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B”，再把它铺平，你可见到( )图5－1－57．如图5－1－6，其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是( )图5－1－6A．1 B．2 C．3 D．48．如图5－1－7是由4个大小相等的正方形组成的L形图案．(1)请你改变其中一个正方形的位置，使它变成轴对称图形；(2)请你再添加一个小正方形，使它变成轴对称图形．图5－1－79．把26个英文字母按规律分成5组，现在还有5个字母D，M，Q，X，Z，请你按原规律补上，其顺序依次为( )(1)F，R，P，J，L，G，( )；(2)H，I，O，( )；(3)N，S，( )；(4)B，C，K，E，( )；(5)V，A，T，Y，W，U，( )．A．Q，X，Z，M，DB．D，M，Q，Z，XC．Z，X，M，D，QD．Q，X，Z，D，M北师大版七年级数学下册同步练习：5.1轴对称现象教师详解详析1．C2.A3.B4．两一直5．①②④6．C[解析] 观察选项可得：只有C是成轴对称的图形．故选C.7．C8．解：(答案不唯一)(1)如图①所示．(2)如图②所示．9．D[解析] (1)不是轴对称图形，5个字母中不是轴对称图形的只有Q，Z；(2)有两条对称轴，并且两对称轴互相垂直，则规律相同的是X；(3)绕着某个点旋转180度后能与自身重合，则规律相同的是Z；(4)是轴对称图形，对称轴是一条水平的直线，则规律相同的是D；(5)是轴对称图形，对称轴是一条竖直的直线，则规律相同的是M.故所填顺序依次为Q，X，Z，D，M.故选D.。
北师大新版七年级下册《1轴对称现象》2024年同步练习卷+答案解析
北师大新版七年级下册《1轴对称现象》2024年同步练习卷一、选择题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.不能用无刻度直尺直接准确画出下列轴对称图形的所有对称轴的是()A. B. C. D.2.下面各图形中，对称轴最多的是()A.正方形B.圆C.等腰三角形D.长方形3.下列四个图形中，是轴对称图形，且对称轴只有一条的图形是()A. B. C. D.4.下列图案不是轴对称图形的是()A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
5.汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现人类追求均衡对称、和谐稳定的天性，黑体的汉字“王”“中”“田”等都是轴对称图形，请再写出两个这样的汉字：______.6.如图，与关于直线l对称，若，，则______.7.如图，两个三角形关于某直线成轴对称，已知其中某些边的长度和某些角的度数，则______.8.观察下图中各组图形，其中成轴对称的为______只写序号1，2等三、解答题：本题共4小题，共32分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
9.本小题8分如图，与关于直线l对称，如果的周长为38cm，的面积为，那么的周长为______，的面积为______.10.本小题8分如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形.画出四种不同的方法：11.本小题8分画出下列图形的对称轴.12.本小题8分如图所示，现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑.如图①、②所示.观察图①、图②中涂黑部分构成的图案.它们具有如下特征：都是轴对称图形；涂黑部分都是三个小正三角形.请在图内分别设计一个新方案，使图案具有上述两个特征.答案和解析1.【答案】D【解析】解：画对称轴如图：不能用无刻度直尺直接准确画出轴对称图形的所有对称轴的是D选项．故选：A.直接连线画对称轴即可；连线找到中点，再画对称轴即可；延长两腰交于一点，再连接两条对角线相交于一点，过这两点的直线即为对称轴；能用无刻度的直尺直接画出两条对称轴，但水平和竖直的两条对称轴无法直接画出．本题考查轴对称图形的知识，解答本题的关键是掌握对称轴的定义．2.【答案】B【解析】解：A选项有四条对称轴；B选项有无数条对称轴；C选项有一条对称轴；D选项有两条对称轴．故选：根据轴对称图形的定义确定各选项图形的对称轴条数，然后选出对称轴最多的选项则可．本题主要考查了轴对称图形的对称轴条数，比较简单．3.【答案】D【解析】解：A、是轴对称图形，有8条对称轴，故错误；B、不是轴对称图形，故错误；C、不是轴对称图形，故错误；D、是轴对称图形，有一条对称轴，故正确．故选：根据轴对称图形的概念求解．本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4.【答案】B【解析】解：该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；B.该图形不是轴对称图形，故此选项符合题意；C.该图形是轴对称图形，故此选项不合题意；D.该图形是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5.【答案】口，天答案不唯一【解析】解：黑体的汉字“王”“中”“田”等都是轴对称图形，类似的还有：“口，天”等都可以看成是轴对称图形．故答案为：口，天答案不唯一根据轴对称图形的性质，只要汉字中左右结构，或上下结构相同的字，如本、日等字即可．此题主要考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．6.【答案】【解析】解：与关于直线l对称，，，故答案为：根据轴对称的性质与三角形的内角和等于可得．本题考查轴对称的性质与三角形的内角和定理，解题的关键是掌握轴对称的性质与三角形的内角和．7.【答案】【解析】解：根据图形可知，故答案为：根据轴对称的性质和三角形内角和定理求解．本题考查了轴对称的性质，准确找出对应角是解本题的关键．8.【答案】①②④【解析】解：3中的伞把不对称，故填①②④故填①②④认真观察所给的图形，按照直线两旁的部分是否能够互相重合来判断是否符合要求．本题考查了生活中的轴对称问题；轴对称的关键是寻找对称轴，观察直线两边图象折叠后可重合是正确解答本题的关键．9.【答案】【解析】解：和关于直线l对称，≌，的周长为38cm，的面积为故答案为：38cm，根据关于成轴对称的两个图形是全等形和全等三角形的性质可得答案．本题考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握成轴对称的两个图形是全等形和全等三角形的性质．10.【答案】解：如图所示．.【解析】根据轴对称与对称轴的定义，即可求得答案．此题考查了利用轴对称设计图案，此题难度适中，注意如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形．11.【答案】解：【解析】图找到切点，作两圆的共切线；图连接关键点即可．解答此题要明确轴对称的性质：1、对称轴是一条直线；2、垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；3、在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等；4、在轴对称图形中，对称轴把图形分成完全相等的两份；5、如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．12.【答案】解：如图所示：【解析】根据轴对称图形的性质分别设计出图形即可．此题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称图形的性质是解题关键．。
2020-2021学 年北师大版数学七年级下册5.1 轴对称现象 课时练习
北师大版数学七年级下册5.1《轴对称现象》课时练习(时间：30分钟)一、选择题1.下列平面图形中，不是轴对称图形的是( )2.如图所示的标志中，是轴对称图形的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图，图中显示的是从镜子中看到背后墙上的电子钟读数，由此你可以推断这时的实际时间是（）A.10：05B.20：01C.20：10D.10：024.下列交通标志中，是轴对称图形的是( )5.剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，轴对称图形是( )6.下列四个标志是关于安全警示的标志，在这些标志中，是轴对称图形的是（）A．当心吊物安全 B．当心触电安全C．当心滑跌安全 D．注意安全7.如图所示，以下四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是( )8.在下列方格纸中所画的四个三角形中,与△ABC成轴对称的是( )9.下列四个图形：其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（）A.4B.3C.2D.110.下列图案属于轴对称图形的是（）二、填空题11.将一张正方形纸片沿图中虚线剪开后,能拼成下列四个图形,则其中不能看成是轴对称变换得到的是(填序号).12.如图4×5的方格纸中，在除阴影之外的方格中任意选择一个涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的涂法有______种．13.如图，四边形ABCD是轴对称图形，BD所在的直线是它的对称轴，AB=3.1cm，CD=2.3cm．则四边形ABCD的周长为．14.国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上）三、作图题15.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）.（1）在图中作出△ABC关于直线MN对称的△A′B′C′；（2）在（1）的结果下，连接AA′，CC′，则六边形AA′B′C′CB的面积为.四、解答题16.平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，4），B（2，4），C（3，﹣1）．（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；（2）求△ABC的面积．（3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标．参考答案1.A2.C3.B4.B．5.D.6.D．7.B8.B.9.B10.A.11.答案为：②12.答案为：4．13.答案为：10.8cm．14.答案为：3，7．15.解：（1）如图所示；（2）S六边形AA′B′C′CB=3×6﹣×2×1﹣×2×1﹣×2×1﹣×2×1 =18﹣1﹣1﹣1﹣1=14.故答案为：14.16.解：（1）如图所示：（2）由图形可得：AB=2，AB边上的高=|﹣1|+|4|=5，∴△ABC的面积=AB×5=5．（3）∵A（0，4），B（2，4），C（3，﹣1），△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，∴A1（0，﹣4）、B1（2，﹣4）、C1．（3，1）．。
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5.1 轴对称现象（含答案）
一．选择题：(四个选项中只有一个是正确的，选出正确选项填在题目的括号内)
1．下列交通标志是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2.在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中,属于轴对称图形的是(
)
A ．
B ．
C ．
D ．
3．下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．下图所示的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．①④
5.下列图形中,右边图形与左边图形成轴对称的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6.如图,关于虚线成轴对称的有( )个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．
4
①
②
③
④
7．下列图案中，是轴对称图形且只有两条对称轴的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8.在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形,下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
9．下面的图形中，左边的图形与右边的图形成轴对称的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．下面的图形中，左边的图形与右边的图形成轴对称的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二．填空题：（把正确答案填在题目的横线上）
11.下列图标中，是轴对称图形的是_________________；(填序号)
12．下面四个艺术字中，是轴对称图形的有__________（只填序号）．
13．如图是44 正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选
出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有______个；
①
②
③
④
14.认真观察图①中的四个图中阴影部分构成的图案,其中每个小正方形的边长为1,回答下列问题:
(1)请写出这四个图案都具有的两个特征.
特征1:______________________；特征2: ______________________；
(2)请在图②中设计一个图案,使它也具备上述两个特征；
15．把一张长方形纸片对折两次，画上一个四边形，再剪去这个四边形（镂空），展开长方形纸片如图，设折痕为l 1，l 2，l 3，观察图形，填空：
（1）①与②关于__________成轴对称；
（2）折痕l 2既是_______与________的对称轴，又是________与_________的对称轴，整体看，也是_______与_______的对称轴；
三．解答题：（按题目要求，写出必要的说明过程，解答步骤）
16．观察如图中的图案，哪些是轴对称图形？并指出对称轴的条数．
17．下列各图形中画出图形的对称轴：
1(
)
2(
)3(
)4()5(
)6(
)7(
)
18．如①，②，③所示的图案是用黑白两种颜色的正方形纸片拼成的；
（1）如图①所示的图案是轴对称图形吗？若是，有几条对称釉？
（2）如图②、③所示的图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？
（3）请你推断，按此规律进行下去，第n 个图案是否是轴对称图形？若是，有几条对称轴？
19．如图，是由三个相同的小正方形组成的图形，请在图中画一个小正方形，使补画后的图形为轴
对称图形；（至少画出三种情况）
20．分别画出具有一条对称轴、两条对称轴、三条对称轴、四条对称轴的几何图形；
（画出对称轴，并画成虚线）
①
②
③
5.1 轴对称现象参考答案：
1~10 ABCDB CDAAB
11.①②③④；
12．①②④；
13．4；如图，有4个位置使之成为轴对称图形：
14．(1)都是轴对称图形；面积都是4；
(2)答案不唯一，只要画出一个满足条件的图案即可；如图：
15．（1）l1；（2）②，③；①，④；①②，③④；
16．图（2）（4）（5）（7）是轴对称图形，对称轴的条数分别是1，2，1，1；
17．略；
18．（1）是轴对称图形，共有4条对称轴；
（2）都是轴对称图形，都有2条对称轴；
（3）是轴对称图形，有2条对称轴；
19.略；
20.略；
（赠品，不喜欢可以删除）
数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
它要是给你讲起道理来，那可满满的都是人生啊。
1.人生的痛苦在于追求错误的东西。
所谓追求错误的东西，就是你在无限趋近于它的时候，便无限远离了原点，却永远无法和它产生交点。
终存在无理的隔阂。
3.人是不孤独的，正如数轴上有无限多个有理点，在你的任意一个小邻域内都可以找到你的伙伴。
但人又是寂寞的，正如把整个数轴的无理点标记上以后，就一个人都见不到了。
4.零点存在定理告诉我们，哪怕你和他站在对立面，只要你们的心还是连续的，你们就能找到你们的平衡点。
5.有限覆盖定理告诉我们，一件事情如果是可以实现的，那么你只要投入有限的时间和精力就一定可以实现。
至于那些在你能力范围之外的事情，就随他去吧。
6.幸福是可积的，有限的间断点并不影响它的积累。
所以，乐观地面对人生吧！
（赠品，不喜欢可以删除）
数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。
它要是给你讲起道理来，那可满满的都是人生啊。
1.人生的痛苦在于追求错误的东西。
所谓追求错误的东西，就是你在无限趋近于它的时候，便无限远离了原点，却永远无法和它产生交点。
终存在无理的隔阂。
4.人是不孤独的，正如数轴上有无限多个有理点，在你的任意一个小邻域内都可以找到你的伙伴。
但人又是寂寞的，正如把整个数轴的无理点标记上以后，就一个人都见不到了。
4.零点存在定理告诉我们，哪怕你和他站在对立面，只要你们的心还是连续的，你们就能找到你们的平衡点。
5.有限覆盖定理告诉我们，一件事情如果是可以实现的，那么你只要投入有限的时间和精力就一定可以实现。
至于那些在你能力范围之外的事情，就随他去吧。
6.幸福是可积的，有限的间断点并不影响它的积累。
所以，乐观地面对人生吧！。