411圆的标准方程OK
41圆的方程411圆的标准方程
当d>r时，点在圆外.
祝
您
∴所求圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25.
点评：确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和圆的
半径，因此圆心和半径被称为圆的两要素．
跟踪训练 1．写出下列方程表示的圆的圆心和半径． (1)x2＋y2＝2； (2)(x－3)2＋y2＝a2(a≠0)； (3)(x＋2)2＋(y＋1)2＝b2(b≠0)． 解析：搞清圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)中， 圆心为(a，b)，半径为r，本题易于解决． (1)圆心(0,0)，半径为
圆与方程
4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
1.正确掌握圆的标准方程及其推导过程. 2.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、 半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，
3.能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解
决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程．
基础梳理 1．圆的标准方程：圆心为C(a，b)、半径为r的圆的 标准方程为：____________________. 练习1.(1)圆心在原点，半径是3的圆的标准方程为： ____________. (2)已知圆的圆心为(－1,2)，半径为3，则圆的标准方 程为：________________. 1．(x－a)2＋(y－b)2＝r2 练习1. (1)x2＋y2＝9 (2)(x＋1)2＋(y－2)2＝32
圆的标准方程 求满足下列条件的各圆的方程： (1)圆心在y轴上，半径是1,且过点（1,2）； (2)圆心在点C(3,4)，半径是 5 ； (3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8，－3)． 解析：根据题设条件，可利用圆的标准方程解决． (1)x2 +（y-2)2=1
(2)(x－3)2＋(y－4)2＝5；
411圆的一般方程
二、讲解新课
将圆的标准方程( x a)2 ( y b)2 r 2的展开式为：
x2 y2 2ax 2by (a2 b2 r 2 ) 0
取 D 2a, E 2b, F a2 b2 r 2 得
x2 y2 Dx Ey F 0
①
再将上方程配方，得
(x D )2 ( y E )2 D2 E2 4F ②
（3）当 D2 E2 4F 0 时，方程没有实数解，
因而它不表示任何图形
综上所述，方程 x2 y2 Dx Ey F 0
表示的曲线不一定是圆
只有当 D2 E2 4F 0时，它表示的曲线才是圆，
我们把形如 x2 y2 Dx Ey F 0
的表示圆的方程称为圆的一般方程
圆的一般方程与圆的标准方程比较，圆的标准方程 的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而 一般方 程突出了方程形式上的特点：
⑵与标准方程的互化
新疆 王新敞
学案
⑶用待定系数法求圆的方程 新疆 王新敞 学案
新疆 王新敞
学案
⑷求与圆有关的点的轨迹。
五、课后作业：
P124 A组 1, 2⑵, 6； B组 2
内长恒为6的动弦的中点轨迹。
例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），
端点A在圆 x 12 y2 4 上运动，求线段
AB的中点M的轨迹方程.
练习:求圆x-32 + y+42 =1关于直线
x+y=0对称的圆的方程.
四、小结：
⑴对方程 x2 y2 Dx Ey F 0
的讨论(什么时候可以表示圆)
x y （1）
和 的系数相同，且不等于0； 2
2
新疆 王新敞
学案
（2）没有 xy这样的二次项
圆标准方程和一般方程公式
圆标准方程和一般方程公式圆是一种常见的几何形状，其特点是它的所有点都离某一点（称为圆心）的距离都相等。
由于圆的特殊性，许多有关它的几何公式非常有用，其中有一种叫做“标准方程”的公式，可以很简洁地描述一个圆。
除此之外，还有一种称为“一般方程”的公式，它也可以描述一个圆，但它更加灵活。
一、圆的标准方程圆的标准方程是 x2+ y2 =r2，其中x和y分别是圆上任一点的横纵坐标，r是圆的半径，即定义圆的点到圆心的距离。
根据这个公式可以知道，任意一个点的坐标之和的平方等于这个点和圆心的距离的平方，也就是说，任意一个点到圆心的距离都一定是定值r。
二、圆的一般方程圆的一般方程为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2，其中a、b和r分别为圆心的横纵坐标和圆的半径。
这个公式表示圆上任一点（x,y）到圆心（a, b）的距离的平方等于圆的半径平方，也就是说任一点到圆心的距离都是定值r。
这是一般方程的一般形式，也就是说，只要圆心和半径单独给定，就可以求出一个圆的一般方程。
三、两种方程的比较有了标准方程和一般方程的概念，我们可以比较这两种方程的异同点了。
首先，标准方程不需要给出圆心的坐标，只用一个半径便可以描述一个圆，而一般方程则需要具体的圆心坐标。
此外，由于标准方程只有一个参数（半径），因此它描述的圆只能是圆心位置固定的某一个圆，而一般方程可以描述任意位置的圆。
四、圆的标准方程和一般方程的应用圆的标准方程和一般方程可以应用于多种领域。
在几何、数学以及许多其他学科中，它们都可以用来描述各种几何图形，如圆、椭圆、圆柱、圆锥等。
此外，它们也可以用来解决各种实际问题，如矩形中心的坐标、求解圆的面积和周长等。
综上所述，圆的标准方程和一般方程非常重要，它们可以用于许多几何图形描述和实际问题的解答上，发挥着重要作用。
课件7：4.1.1 圆的标准方程
a 的取值范围是( )
A．(－4,3)
B．(－5,4)
C．(－5,5)
D．(－6,4)
【解析】由 a2＋(a＋1)2<25，可得 2a2＋2a－24<0， 解得－4<a<3. 【答案】A
本节内容结束 更多精彩内容请登录：
典型例题 类型一 求圆的标准方程 例 1 过点 A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线 x＋y－2＝0 上的圆的方程是( C ) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
【解析】 有三种方法． 方法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
2．圆心是 C(2，－3)，且经过原点的圆的标准方程为 () A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 C．(x＋2)2＋(y－3)2＝ 13 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝ 13
【解析】由已知得半径 r＝ 22＋(－3)2＝ 13，又圆心坐 标为(2，－3)，故圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13. 【答案】B
方法归纳
求圆的标准方程的主要方法 (1)几何法：利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径， 代入圆的标准方程． (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程 组以得到圆的标准方程中的三个参数，其步骤为设方程、 列式、求解．
跟踪训练 1 求圆心在x轴上，且过点A(5,2)和B(3，－2)
的圆的标准方程． 解：有两种方法．
方法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．
b＝0
则(5－a)2＋(2－b)2＝r2 (3－a)2＋(－2－b)2＝r2，
4-1-1圆的标准方程
若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y ＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
[解析] 设圆心坐标为(x，y)， 由题意知x>0，y＝1.
[答案] B
一、选择题
1．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向
移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的
(1)当圆心在某条直线上时，(一)可设出圆心坐标，将 圆心用一个字母表示．(二)也可以考虑若圆心在另一条直 线上，则圆心为两直线的交点．
(2)当圆经过不共线三点时，(一)可由两边的中垂线求 得圆心，进而求出半径．(二)也可设标准方程，将三点坐 标代入，解三元一次方程组求得a、b、r.
2．注意圆的几何性质．(如圆心到圆上点的距离等于 圆的半径；圆心到圆的切线的距离等于圆的半径；圆心在 弦的垂直平分线上；垂径定理：半径2＝半弦2＋弦心距2)等 等在解决圆的问题中的作用．
二、填空题 2．根据下列所给不同条件求圆的方程． (1)圆心为C(1,3)，半径为2的圆的方程为______． (2)圆心为C(1,3)，与直线x－y＝4相切的圆的方程为 __________． (3)圆心为C(1,3)，且过点M(0,2)的圆的方程为 __________． (4)过点A(1,2)、B(3,2)和C(1,6)的圆的方程为 __________．
2．下面就圆的几何性质的应用作一探索： (1)圆心在弦的垂直平分线上． 过点A(1,2)，B(2,2)和C(1,4)的圆的方程为 ____________．
(2)圆上任一点到圆心的距离等于圆的半径． 圆心为C(1,3)，且过点M(－1,0)的圆的方程为 __________．
[答案] (x－1)2＋(y－3)2＝13 (3)圆心到圆的切线的距离等于圆的半径．
高中数学第四章圆与方程41圆的方程411圆的标准方程课件新人教A版必修2
14
标准方程课件新人教A版必修2
解法二：直线 AB 的斜率 kAB＝－3－1－13＝－12， 所以线段 AB 的垂直平分线 m 的斜率为 2. 线段 AB 的中点的横坐标和纵坐标分别为 x＝3－2 1＝1，y＝ 1＋2 3＝2， 因此直线 m 的方程为 y－2＝2(x－1)， 即 2x－y＝0.
2021/4/17
28
标准方程课件新人教A版必修2
【探究 3】 [变条件、变结论]已知圆 C：(x－3)2＋(y－4)2
＝1，点 A(0，－1)，B(0,1)，设 P 是圆 C 上的动点，令 d＝|PA|2
＋|PB|2，求 d 的最大值及最小值．
[解] 设 P(x，y)， 则 d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2. ∵|CO|2＝32＋42＝25， ∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2. 即 16≤x2＋y2≤36. ∴d 的最小值为 2×16＋2＝34. 最大值为 2×36＋2＝74.
高中数学第四章圆与方程41圆的方程411圆的
15
标准方程课件新人教A版必修2
又因为圆心在直线 3x－y－2＝0 上， 所以圆心是这两条直线的交点． 联立方程，得32xx－－yy－＝20＝，0， 解得yx＝＝42.， 设圆心为 C，所以圆心坐标为(2,4)． 又因为半径 r＝|CA|＝ 10， 所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.
复习课件
高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程课件新人教A版必修2
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程411圆的标准方程课件 新人教A版必修2
1
第四章 圆与方程
2021/4/17
高中数学第四章圆与方程41圆的方程411圆的
圆的标准式方程
圆的标准式方程圆是平面上一点到固定点的距离等于一个常数的点的集合，这个常数就是圆的半径。
圆是几何中非常重要的图形之一，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在代数几何中，圆也是一个重要的研究对象，我们可以用方程的形式来描述圆。
圆的标准式方程是圆的一种常见表示方法，它可以简洁地描述圆的几何性质，方程形式为：(x a)² + (y b)² = r²。
其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
这个方程的推导可以通过圆的定义和距离公式来实现。
我们知道，圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，假设圆心坐标为(h, k)，圆上一点的坐标为(x, y)，根据两点之间的距离公式可得：√((x h)² + (y k)²) = r。
将r²展开得到：(x h)² + (y k)² = r²。
这就是圆的标准式方程的推导过程。
通过这个方程，我们可以很方便地得到圆的几何特征，比如圆心坐标、半径长度等。
在实际应用中，圆的标准式方程可以帮助我们解决很多问题。
比如在几何问题中，我们可以通过方程快速确定圆的位置和性质；在物理问题中，我们可以利用方程描述圆形的运动轨迹；在工程问题中，我们可以通过方程计算圆形的面积和周长等。
除了标准式方程，圆还有其他表示方法，比如参数方程、一般式方程等。
每种表示方法都有其适用的场合，但标准式方程是最常用的一种，因为它简洁明了，直观易懂。
总之，圆的标准式方程是描述圆的一种重要方式，它可以帮助我们快速准确地理解和应用圆的几何特性。
在学习和工作中，掌握这个方程对于解决各种与圆相关的问题都是非常有帮助的。
希望大家能够认真学习和掌握圆的标准式方程，提高数学素养，为今后的学习和工作打下坚实的基础。
圆的标准式方程
圆的标准式方程圆是平面几何中常见的一种图形，它具有许多特殊的性质和方程形式。
在数学中，我们经常需要用方程来描述圆的位置、形状和大小。
圆的标准式方程就是一种常见的描述方式，下面我们就来详细介绍一下圆的标准式方程及其相关知识。
首先，让我们回顾一下圆的基本定义，圆是平面上到一个固定点距离等于定长的所有点的集合。
这个固定点称为圆心，定长称为半径。
根据这个定义，我们可以得出圆的标准式方程，若圆心坐标为（a，b），半径为r，则圆的标准式方程为(x-a)²+(y-b)²=r²。
在这个方程中，(x，y)代表平面上任意一点的坐标，(a，b)代表圆心的坐标，r代表圆的半径。
通过这个方程，我们可以方便地描述圆的位置和大小。
接下来，让我们来看一些具体的例子，来说明如何使用圆的标准式方程。
例1，已知圆心坐标为(3，4)，半径为5，求圆的标准式方程。
根据圆的标准式方程公式，代入圆心坐标和半径，得到方程为(x-3)²+(y-4)²=25。
例2，已知圆的标准式方程为(x+2)²+(y-1)²=16，求圆心坐标和半径。
通过比较方程和标准式方程的形式，可以得到圆心坐标为(-2，1)，半径为4。
通过以上两个例子，我们可以看到，圆的标准式方程是一种简洁而方便的描述方式，能够准确地表达圆的位置和大小。
在实际问题中，我们经常会遇到需要用方程描述圆的情况，因此掌握圆的标准式方程及其应用是非常重要的。
除了圆的标准式方程，我们还可以通过其他方式来描述圆，比如参数方程、一般式方程等。
每种描述方式都有其特点和适用范围，我们需要根据具体情况选择合适的方式来描述圆。
总之，圆的标准式方程是描述圆的一种重要方式，通过这种方式，我们可以准确地描述圆的位置和大小。
在实际问题中，掌握圆的标准式方程及其应用是非常重要的，希望本文对你有所帮助。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两 点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直 线．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
y
M r
A
O
x
当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了． 因此一个圆最基本要素是圆心和半径．
如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐 标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y)与 圆心A (a,b) 的距离．
则点M、A间的距离为：MA x a2 y b2 .
即：
p M | MA | r
(x a)2 ( y b)2 r
(x a)2 ( y b)2 r2
圆的标准方程
(x a)2 ( y b)2 r2
是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个 方程的坐标的点都在圆上？
点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标 适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这 就说明点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为A (a, b)，半径为r的圆上．
把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆的 方程，把它叫做圆的标准方程.
特殊位置的圆方程
圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？
因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 带 入圆的标准方程：
(x a)2 ( y b)2 r2
得：
(x 0)2 ( y 0)2 r 2
整理得：
x2 y2 r2
例1 写出圆心为 A(2,3，) 半径长等于5的圆的方 程，并判断点 M1(5,7，) M 2 ( 5,1是) 否在这个 圆上．
解：圆心是 A(2,3，) 半径长等于5的圆的标准
方程是：
(x 2)2 ( y 3)2 25
把 M1(5,7的) 坐标代入方程 (x 2)2 (y 3)2 25 左右两边相等，点M 1 的坐标适合圆的方程，所以点
y A
o
x
B
C
例3 已知圆心为C的圆经过点 A（1，1）和B（2，-2），且圆心C在 直线l ：x-y+1=0上，求圆C的标准方程.
y Co
l A
x B
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C 在直线上l：x － y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
解：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标
M 1在这个圆上；
把点 M 2 ( 5,的1) 坐标代入此方程，左右两边不 相等，点 M的2坐标不适合圆的方程，所以点 M不2在 这个圆上．
点与圆的位置关系
从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点 的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这 个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上．
圆心为C的圆的半径长
r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5
所以，圆心为C的圆的标准方程是 (x 3)2 ( y 2)2 25
知识小结
圆的基本要素
圆的标准方程
圆心在原点的 圆的标准方程
判断点与圆 的位置关系
解此方程组，得：
(5 a)2 (1 b)2 r 2 (7 a)2 (3 b)2 r 2 (2 a)2 (8 b)2 r 2
a 2, b 3, r 2 25.
所以，AB的C外接圆的方程 (x 2)2 ( y 3)2 2．5
例2 △ABC的三个顶点的坐标分别是 A（5，1），B（7，-3），C（2，-8）， 求它的外接圆的方程.
怎样判断点 M 0 (在x0 圆, y0 ) (x a)内2 呢(？y 还b是)2在 圆r 2外呢？
y
M3
o
x
M2 A
M1
点与圆的位置关系
怎样判断点 M 0 (在x0 圆, y0 ) (x a)内2 呢(？y 还b是)2在 圆r 2外呢？
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
y
M3
o
x
M2 A
M1
例2 的AB三C个顶点的坐标分别A(5,1), B(7,－3)，C(2, －
8)，求它的外接圆的方程．
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角 形有唯一的外接圆．
解：设所求圆的方程是 (x a)2 ( y b)2 r2 （1）
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以它们的坐标 都满足方程（1）．于是
(3 , 1), 22
直线AB的斜率:
k AB
21 #39; 的方程是 y 1 1 (x 3)
即x 3y 3 0
23 2
圆心C的坐标是方程组
x 3y 3 0 x y 1 0 的解．
解此方程组，得
x 3,
y
2.
所以圆心C的坐标是 (3,2)
y
M (x, y) r
A(a,b)
O
x
符合上述条件的点的集合是什么？你能用描述法 来表示这个集合吗？
符合上述条件的点的集合：
p M || MA | r
y
M r
A
O
x
圆上任意点M(x, y)与圆心A (a,b)之间的距离能用 什么公式表示？
根据两点间距离公式： P1P2 x2 x1 2 y2 y12 .