大学数学基础(2)mooc-行列式计算方法(1)
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法
空格
行列式是线性代数的基本概念，它具有重要的应用价值。
它的计算方法也有很多，下面主要介绍几种行列式计算的方法。
一、展开式法
把行列式的每一行的元素乘以其所在的代数余子式的值，再将所有的积相加，得到的结果就是行列式的值。
这种方法理论上可以计算任何n阶的行列式，但当n阶较大时，展开比较繁琐，耗时也较长。
二、余子式法
计算第i行列式的方法是：取行列式的第i行，取其余行，去掉第i列，再找出这些行的代数余子式，再将每一行所对应的代数余子式乘以该行第i位置上的元素，再将所有的乘积之和，得到的结果就是行列式的值。
三、乘法法
若用行列式的乘法法来计算三阶行列式，则将行列式的三行分别乘以它们的代数余子式，将结果相加。
其中要用到符号乘，只要熟悉符号乘的规则，就可以简单地进行计算。
四、分块法
分块法是将行列式分解成几个临时的小行列式，再用余子式或展开式算出小行列式的值，再将小行列式的值按一定的规则组合起来，就得到原行列式的值了。
分块法优点是计算过程不复杂，缺点是分解成的小行列式的值计算比较复杂。
五、行变换法
用行变换法计算行列式的方法是：先将行列式的几行或几列进行线性变换，使行列式某一行或某一列为0，再将变换后的行列式化简为方阵或三角阵，再求解，之后再换回原行列式，则可以得出原行列式的值。
以上就是常用的几种行列式计算方法，不同的方法各有优劣，使用者可根据具体情况选择合适的方法用于行列式计算。
计算行列式的方法
计算行列式的方法行列式是一种重要的数学工具，用于描述线性方程组、线性变换等一系列问题。
本文将介绍行列式的定义、性质以及计算方法。
一、行列式的定义给定一个n×n的矩阵A，其中元素可以是实数或复数。
这个矩阵的行列式记作，A，或det(A)。
行列式的值用来描述与矩阵A相关联的线性变换的性质。
行列式的定义可以通过以下两种方式之一：1.代数余子式定义：对于2×2的矩阵A，行列式的定义为，A，=a11*a22-a12*a21、其中，a11、a12、a21、a22分别是矩阵A的元素。
2.对角线定义：对于n×n的矩阵A，行列式的定义可以通过以下递归步骤得到：a)当n=1时，行列式的值即为A的唯一元素。
b) 当n>1时，行列式的定义为，A， = a11*，A1 - a12*A2 +a13*A3 - ... + (-1)^(n+1)*a1n*An。
其中，ajk是第一行第k列的元素，A1 - a12*A2 + a13*A3 - ... + (-1)^(n+1)*a1n*An是从第2行开始的矩阵。
二、行列式的性质行列式具有许多重要的性质，以下列举其中一些常用的性质：1.第i行或第j列有一项为0时，行列式的值为0。
2.两行（两列）互换，行列式的值取负。
3.若两行（两列）相同，则行列式的值为0。
4.行按一行（一列）展开，行列式的值等于该行每个元素与其对应代数余子式相乘的和。
5.行列式转置不变，即，A，=，A^T。
6.若矩阵A的其中一行（其中一列）元素全为0，行列式的值为0。
1.按行（列）展开法按行（列）展开法是根据行列式展开式的定义，将行列式分解成代数余子式与对应元素相乘再求和的形式进行计算。
例如，对于一个3×3的矩阵A，展开式为：A，=a11*A11-a12*A12+a13*A13其中，A11、A12、A13分别是与a11、a12、a13对应的代数余子式。
2.三角形式法三角形式法是将行列式通过一系列初等变换，逐步化简为三角形式的计算方法。
行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵理论、方程组求解、向量空间等许多领域都有广泛的应用。
计算行列式的方法有很多种，下面我们来总结一下常见的计算行列式的方法。
1.代数余子式法：代数余子式法是计算行列式的一种经典方法。
对于n*n阶行列式A，可以按照第一行（或第一列）的元素展开得到n个代数余子式，然后按照代数余子式定义计算行列式。
具体步骤如下：（1）选择行列式A的第一行（或第一列）的所有元素，记作a11,a12,...,a1n。
（2）计算n个代数余子式，第i个代数余子式记作A(i,1)（或A(1,i)）。
A(i,1)等于元素a1i所在行与列组成的n-1阶子行列式的行列式值。
（3）用代数余子式计算行列式，行列式的值等于各代数余子式与元素a1i的乘积之和：det(A) = a11*A(1,1) - a12*A(2,1) + a13*A(3,1) - ... + (-1)^(n+1)*a1n*A(n,1)。
2.拉普拉斯展开法：拉普拉斯展开法也是计算行列式的一种常用方法。
具体步骤如下：（1）选择行列式A的其中一行（或其中一列），记作第k行（或第k列）。
（2）计算代数余子式，第i行第j列元素所对应的代数余子式记作A(i,j)（或A(j,i)）。
A(i,j)等于元素aij所在行与列组成的n-1阶子行列式的行列式值。
（3）用代数余子式计算行列式，行列式的值等于各代数余子式与元素aij的乘积之和：det(A) = a1k*A(1,k) - a2k*A(2,k) + a3k*A(3,k) - ... + (-1)^(k+1)*ank*A(n,k)。
3.克莱姆法则：克莱姆法则是计算线性方程组的一个重要方法，也可以用来计算行列式。
对于n个未知数的n个线性方程组Ax = b，其中A是一个n*n阶矩阵，x和b都是n维列向量。
如果矩阵A是非奇异的（即行列式det(A)≠0），则可以用克莱姆法则求解方程组。
具体步骤如下：（1）将线性方程组的系数矩阵A按列分成n个子矩阵A1,A2,...,An，其中第i个子矩阵Ai将系数矩阵A的第i列替换为等号右边的向量b。
行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结行列式的计算方法有哪些呢?可能大部分同学并不知道。
为了普及知识。
下面是由小编为大家整理的“行列式的计算方法总结”，仅供参考，欢迎大家阅读。
行列式的计算方法总结第一、行列式的计算利用的是行列式的性质，而行列式的本质是一个数字，所以行列式的变化都是建立在已有性质的基础上的等量变化，改变的是行列式的“外观”。
第二、行列式的计算的一个基本思路就是通过行列式的性质把一个普通的行列式变化成为一个我们可以口算的行列式(比如，上三角，下三角，对角型，反对角，两行成比例等)第三、行列式的计算最重要的两个性质：(1)对换行列式中两行(列)位置，行列式反号(2)把行列式的某一行(列)的倍数加到另一行(列)，行列式不变对于(1)主要注意：每一次交换都会出一个负号;换行(列)的主要目的就是调整0的位置，例如下题，只要调整一下第一行的位置，就能变成下三角。
拓展阅读：行列式的性质有哪些?行列式与它的转置行列式相等;互换行列式的两行(列)，行列式变号;行列式的某一行(列)的所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式;行列式如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零;若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和，则这个行列式是对应两个行列式的和;把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变。
n阶行列式实质上是一个n^2元的函数，当把n^2个元素都代上常数时，自然得到一个数。
当我们写的时候，写成一个表是为了方便的反映函数的物性。
当然，决不是指任何n^2元函数都是行列式，具体的行列式函数定义你找书一看看。
为了让你自己觉得好理解一些，你可以试着照行列式的定义把行列式写成多项式和的常见形式，当然那个形式比较复杂，但本质上与行列式是一样的，只是写成行列式易于直观的做各种运算处理。
行列式计算方法
行列式计算方法行列式的计算是线性代数中的重要内容，有以下几种常用的方法：1. 代数余子式法：给定一个n阶矩阵A，取A的第i行第j列元素a_ij为基准，计算它的代数余子式A_ij的值。
代数余子式的定义是，在A中划去第i行和第j列后，剩余元素构成的(n-1)阶子矩阵的行列式。
然后，根据代数余子式的符号规律，求得A_ij*(-1)^(i+j)，再将所有的代数余子式乘以对应位置的元素，再求和即可得到行列式的值。
2. 拉普拉斯展开法：选择A的任意一行或一列，例如第i行，根据拉普拉斯展开定理，将行列式的计算转化为n个(n-1)阶行列式的计算，然后依次递归地计算(n-1)阶行列式，最后累加得到行列式的值。
3. 对角线法则：对于一个n×n的矩阵A，按照对角线上的元素（从左上角到右下角）出现的顺序，将对应的元素乘积相加，再减去按照对角线下方的元素（从左上角到右下角）出现的顺序，将对应的元素乘积相加。
这个过程可以用一个式子来表示：det(A) = a_11 * a_22 * ... * a_nn - a_21 * a_32 * ... * a_n1。
4. 公式法：对于一个3阶矩阵A，可以利用公式来计算行列式的值。
行列式的计算可以表示为：det(A) = a_11 * a_22 * a_33+ a_12 * a_23 * a_31 + a_13 * a_21 * a_32 - a_31 * a_22 * a_13 - a_32 * a_23 * a_11 - a_33 * a_21 * a_12。
对于4阶及以上的矩阵，复杂度较高，通常情况下不会直接使用公式法计算，而是选择其他方法。
以上是几种常用的求行列式的方法，不同的方法适用于不同的情况，在实际计算中可以根据需要选择合适的方法来求解。
行列式计算方法
行列式计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
在本文中，我们将探讨行列式的计算方法，包括最简单的2阶行列式和高阶行列式的计算。
一、2阶行列式的计算2阶行列式是最简单的行列式，可以通过交叉相乘后相减的方法来计算。
设有一个2阶行列式：$\begin{vmatrix}a &b \\c & d\end{vmatrix}$计算方法为：$\begin{vmatrix}a &b \\c & d\end{vmatrix}= ad - bc$二、3阶行列式的计算3阶行列式的计算稍微复杂一些，可以使用“Sarrus法则”来计算。
设有一个3阶行列式：$\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}$计算方法为：$\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}= aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$三、n阶行列式的计算对于高阶行列式，可以通过辅助行列式的方法来计算。
设有一个n 阶行列式：$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}$计算方法为：$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}\end{vmatrix}= a_{11}A_{11} - a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} - \ldots + (-1)^{n+1}a_{1n}A_{1n}$其中，$A_{ij}$ 表示元素 $a_{ij}$ 的代数余子式，即将 $a_{ij}$ 所在的行和列划去后，剩余元素构成的行列式。
行列式的计算方法-计算行列式的格式
行列式的计算方法-计算行列式的格式行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
计算行列式是线性代数中的一项基本技能，掌握正确的计算格式对于准确求解行列式至关重要。
接下来，让我们详细探讨一下计算行列式的格式。
首先，我们需要明确什么是行列式。
行列式是一个由数值排列成的方形矩阵经过特定运算得到的一个数值。
例如，对于一个二阶行列式：＼＼begin{vmatrix}a ＆b ＼＼c ＆ d＼end{vmatrix}＼其值为＼（ad bc\）。
在计算行列式时，第一步是要确定行列式的阶数。
行列式的阶数就是其行数或列数。
常见的行列式有二阶、三阶等。
对于二阶行列式，我们已经知道其计算公式为＼（ad bc\）。
对于三阶行列式：＼＼begin{vmatrix}a_{11} ＆ a_{12} ＆ a_{13} ＼＼a_{21} ＆ a_{22} ＆ a_{23} ＼＼a_{31} ＆ a_{32} ＆ a_{33}＼end{vmatrix}＼我们可以按照以下格式进行计算：＼＼begin{align}＆a_{11} ＼times ＼begin{vmatrix}a_{22} ＆ a_{23} ＼＼a_{32} ＆ a_{33}＼end{vmatrix} a_{12} ＼times ＼begin{vmatrix} a_{21} ＆ a_{23} ＼＼a_{31} ＆ a_{33}＼end{vmatrix} ＋ a_{13} ＼times ＼begin{vmatrix}a_{21} ＆ a_{22} ＼＼a_{31} ＆ a_{32}＼end{vmatrix}＼＼＝＆a_{11}（a_{22}a_{33} a_{23}a_{32}） a_{12}（a_{21}a_{33} a_{23}a_{31}）＋ a_{13}（a_{21}a_{32} a_{22}a_{31}）＼end{align}＼在书写计算过程时，要清晰地标明每一步的运算，并且使用适当的括号来区分不同的运算顺序。
行列式一般计算方法
行列式一般计算方法行列式是线性代数中的一个非常重要的概念，它可以用来求解线性方程组的解，以及描述线性变换对向量的影响。
计算行列式的方法有多种，下面将分别介绍其一般计算方法。
一、按行列式定义法计算行列式按行列式定义法计算行列式的过程是比较繁琐的，但是却是最基本的计算方法。
其步骤如下：1. 先将行列式按行或按列展开，选择展开方向根据具体情况而定。
2. 按照“代数和减差积”的方法计算每一项的值。
3. 将所有项的值相加，得出行列式的值。
二、按初等变换法计算行列式按初等变换法计算行列式的前提是行列式的值不变，即任何两行或两列的互换或倍乘不改变行列式的值。
其计算方法如下：1. 对行列式进行初等变换，即交换行或列，或用一个数乘以某一行或某一列。
2. 对变换后的行列式按行列式定义法进行计算。
三、按行列式的性质计算行列式按行列式的性质计算行列式是一种更加简便的计算方法，其前提是必须知道行列式的性质。
常用的行列式性质有以下几条：1. 行列式的某一行（列）中所有元素成比例，行列式的值等于其中一个元素乘以其他行（列）中对应元素的代数和。
2. 行列式的某一行（列）中所有元素都为0，行列式的值等于0。
3. 行列式的两行（列）互换，行列式的值变号。
4. 行列式的某一行（列）加上另一行（列）的 t 倍，行列式的值不变。
基于以上行列式的性质，可以运用三个简单的步骤来计算行列式：1. 将行列式化为上、下三角形。
2. 计算三角形对角线上各元素的乘积之和，再将这些值相乘。
3. 根据行列式性质调整符号和值。
这种计算方法比较适用于行列式的规模较大的情况，可以大大简化计算过程。
综上所述，计算行列式的方法比较丰富，可以根据具体情况选择不同的方法来计算。
行列式的计算是线性代数中的重要内容，对于理解线性代数的概念和方法有着巨大的帮助。
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b
b
b
a (n 1)b a b
a (n 1)b b a
a (n 1)b b b
bbb
a
b
b
b
a
111
1
1
1
1
1
bab
b
0 ab 0
0
a (n 1)b b b a
b a (n 1)b 0
0
ab
0
bbb
a
0
0
0
ab
[a (n 1)b ](a b )n1
zx y
xyz
a2 1
1
a
1
a2
a
b2 1
1
b
1
例 2 设 a b c d 1， 计 算 : D
b2
b 1
c2 1
1
c
1
c2
c
解 由拆项的性质知
d2 1
d
1 1
d2
d
a2
a
1 1
a
1
1
a
1
a2
a
11 a1
a2 a
11 a1
a2 a
b2
b
1 1
1
1
b
1
11 b1
11 b1
D
0
0
0 a
0
2
0
0
0
0 a3
a
a
0
0
0
n 1
n 1
1
1
1
2
3
0
0
0
0
0
0
a n 1 1
a n 1 1
a 0
01ຫໍສະໝຸດ 0 a2 a20 D
n
0 a 3
0
0
0
1
2
1
a1
0
0
0 a2 0
0
0 a 3
0
0
a
0
0
1
0
0
0 a2 0
0
0
0
0 a
3
a n 1 1
a n 1 1
0
0
0
1
2
3
0
0
a1
0
0
0
0
0 a2 0
0
0
0
0 a
3
0
0
0
1
2
3
a n 1 n 1
a n 1 1
( 1) n 1 n a1 a 2 a n 1
0
0
0
1
2
3
0
0
0
0
0
0
a n 1 1
a n 1 1
0
0
0
0
0
0
a n 1 0 n 1 n
方法三、拆项法--针对行列式拆项的性质
2232
2223
分析：各列元素之和为一定数， 故 将 第 2、3、4 行 全 加 到 第 1行 ， 然 后将公因子提出来.
解：
9999
1111
1111
2322
2322
0100
D
9
9
9
2232
2232
0010
2223
2223
0001
abb
bab
例2
D n
b
b
a
b a (n 1)b
b
y ay bz az bx
x ay bz az
y bz az bx
a y az bx ax by b z az bx ax by a y az bx ax b z bx ax by
z ax by ay bz
x ax by ay bz
b
b2
b abcd
b 2 b ( 1) 3
b2 b
c2
c
1 1
1
1
c
1
c
c2
c
11 c1
c2 c
11 c1
c2 c
0
d2
d
1 1
d
1
1
d
1
d2
d
11 d1
d2 d
11 d1
d2 d
数学基础 (2)
第一章 行列式
第五讲 行列式计算方法(1)
END
az bx ax by ay bz
zxy
ax ay bz az bx by ay bz az bx 证 左 端 = ay az bx ax by bz az bx ax by
az ax by ay bz bx ax by ay bz
x ay bz az bx
z ax by ay
x by ay bz
x ay bz z
y z az bx
x ay z
y z bx
a2 y az bx x b2 z x ax by a2 y az x b2 z x by
z ax by y
x y ay bz
z ax y
x y bz
ax by ay bz az bx
xyz
证 明 ：a y b z a z b x a x b y ( a 3 b 3 ) y z x
az bx ax by ay bz
zxy
x ay z
y z bx
a2 y az x b2 z x by
z ax y
x y bz
xyz
yzx
a3 y z x b3 z x y 右 端
2a 1 2a 3 2b 1 2b 3 2c 1 2c 3 2d 1 2d 3
2a 5
2b 5
2c 5
2d 5
2
a2
2
c3 c2
b2
2
c2
2
d2
从第4列起，后一列减去前一列
2a 1 2 2 2b 1 2 2
0
2c 1 2 2 2d 1 2 2
例2
a a
0
1
1
0 a a
2
2
0 Dn
0 a3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
a n 1 1
a n 1 1
解 将 行 列 式 中 第 i列 加 到 第 i 1列 (i 1，2， ， n 1)， 则
a 0
0
1
0 a a
2
2
0 Dn
0 a3
0
0
0
1
2
1
0
0
a 0 1
0
12
a nn a
1n
D a i1 a i 2
a in a i1 ' a i 2 '
a in ' .
a n1 a n 2
a nn
a n1 a n 2
a nn
ax by ay bz az bx
xyz
例 1 证 明 ：a y b z a z b x a x b y ( a 3 b 3 ) y z x
牢记结论
方法二 逐行(列)相加减 （适用于后行(列)是紧邻的前一行(列) 元素的倍数或经过处理后可看出某些规律）
a 2 (a 1) 2 (a 2 ) 2 (a 3) 2 b 2 (b 1) 2 (b 2 ) 2 (b 3) 2 例1 c 2 (c 1) 2 (c 2 ) 2 (c 3) 2 d 2 (d 1)2 (d 2 )2 (d 3) 2
数学基础 (2)
第一章 行列式
第五讲 行列式计算方法(1) 主讲教师 王玮 副教授
行列式计算方法
一、各行(列)加到同一行(列)上去 二、逐行(列)相加减 三、拆项法 四、递推法 五、升阶法 六、利用定义
方法一 各行(列)加到同一行列上去 （适用于各行(列)诸元素之和相等情形）
3222
2322 例1 计算D
性 质 若 行 列 式 的 某 一 行 (列 )的 元 素 都 是 两 数 之 和 ，
a11
a12
a1n
例 如 设 D a i1 a i1 ' a i2 a i2 '
a in a in ' ，
a n1
an2
则 D等 于 下 面 两 个 行 列 式 的 值 ：
aa
11
12
a
aa
1n
11
(c 1) 2
(c 2)2
2c 5
c2
(c 1) 2
2c 3
2c 5
d 2 (d 1) 2 (d 2 ) 2 2 d 5
d 2 (d 1) 2 2 d 3 2 d 5
a2
b c 2 c1
2
c2
d2
a2
b c 4 c 3
2
c2
d2
2a 1 2a 3 2b 1 2b 3 2c 1 2c 3 2d 1 2d 3
解 从第4列起，后一列减去前一列
a 2 (a 1) 2 (a 2 ) 2 2 a 5
a 2 (a 1) 2 2 a 3 2 a 5
b c 4 c 3
2
(b 1) 2
(b 2)2
2 b 5 c3 c2 b 2