关于行列式的一般定义与计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法（一）n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a212222111211=∑-nnn j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是N !项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312.它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
即nn n n n n a a a a a a a a a212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a212221212111； 行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如: D=d c b a =ad-bc , b a dc =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为rjir ↔,交换i,j 两列记作Ci322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1↔C j 。
性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
行列式的定义与计算
行列式的定义与计算行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述线性方程组的性质以及矩阵的特征。
在本文中，将介绍行列式的定义以及计算方法。
一、行列式的定义行列式是一个数学函数，用一种特定的方式将矩阵映射为一个数字。
对于n阶矩阵A = [aij]来说，其行列式记作det(A)或|A|。
行列式的定义如下：当n=1时，矩阵只有一个元素，此时矩阵的行列式就是这个元素本身。
当n>1时，矩阵A可以分为n行n列，可以表示为：A = [a11 a12 (1)a21 a22 (2)... ... ... ...an1 an2 ... ann]其中a11、a12...ann是矩阵A的元素。
对于n>1的情况，行列式的计算可以使用展开定理或按行（列）展开等方法进行。
二、行列式的计算（一）二阶行列式二阶行列式的计算公式如下：|A| = a11·a22 - a12·a21（二）三阶行列式三阶行列式的计算公式如下：|A| = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a13·a22·a31 -a12·a21·a33 - a11·a23·a32（三）n阶行列式n阶行列式的计算可以通过列展开、行展开或使用拉普拉斯定理等方法进行。
这里以列展开为例介绍。
设A为一个n阶矩阵，可以将其表示为A = [a1 a2 ...an]，其中ai为A的第i列。
若选择第k列进行展开，则根据列展开法可得：|A| = a1k·A1k - a2k·A2k + ... + (-1)^(k+1)·ank·Ank其中，Aik是移去第i行第k列元素所形成的(n-1)阶行列式。
根据此公式，可以递归地计算n阶行列式的值。
三、行列式的性质行列式具有以下性质：1. 互换行列式的两行（列），行列式的值变号。
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法n阶行列式的定义a11a12a1nn 阶行列式a21a22a2n=( 1)( j1 j2j n) a1 j1 a2 j2 a nj nj1 j2j na n1a n 2a nna11a12a13D a21a22a23a11a22a33a12a23a31a13a21a32a31a32a33a13 a22 a31a12 a21a33（ 1a11a23a322N 阶行列式是 N ! 项的代数和 ;3、 N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积 ;特点 :(1)(项数 )它是 3!项的代数和 ;(2)(项的构成 )展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为 :(3)(符号规律 )三个正项的列标构成的排列为123,231,312.它们都是偶排列 ;三个负项的列标构成的排列为321,213,132,它们都是奇排列 .§行列式的性质性质 1：行列式和它的转置行列式的值相同。
a 11a12a1na 11a21a n1即a 21 a22a2n=a 12 a22an2；a n1an2anna 1na2nann行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质 2 互换行列式的两行（列） ，行列式的值变号 .a b c d如: D==ad-bc ,=bc-ad= -Dcda b以 r i 表第 i 行， C j 表第 j 列。
交换 i,j 两行记为 r ir j ,交换 i,j 两列记作C iC j 。
性质 3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。
性质 4：把一个行列式的某一行 （或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第 i 行乘以 k ，记作 r i k ）推论 1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
推论 2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。
行列式的运算法则
行列式的运算法则行列式是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中起着重要的作用。
行列式的运算法则是指对于不同类型的行列式，我们可以通过一系列的运算来求得其值。
本文将介绍行列式的运算法则，包括行列式的定义、性质以及常见的运算方法。
1. 行列式的定义行列式是一个数学概念，用来描述一个方阵（即行数等于列数的矩阵）所固有的一种性质。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)，可以通过以下方法来计算：- 当n=1时，det(A) = a11，即一个1阶方阵的行列式就是它的唯一元素。
- 当n=2时，det(A) = a11 * a22 - a12 * a21，即一个2阶方阵的行列式是其主对角线上元素的乘积减去次对角线上元素的乘积。
- 当n>2时，可以通过递归的方法将n阶方阵的行列式表示为n-1阶方阵的行列式的线性组合，直到n=2时再利用上述方法计算。
2. 行列式的性质行列式具有许多重要的性质，其中包括：- 互换行列式的两行（列）会改变行列式的符号，即det(-A)= (-1)^n * det(A)，其中n为方阵的阶数。
- 如果方阵A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的两行（列）成比例，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）是另一行（列）的线性组合，则det(A) = 0。
- 如果方阵A的某一行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值不变。
3. 行列式的运算法则在实际应用中，我们经常需要对行列式进行一系列的运算，常见的运算包括：- 行列式的加法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相加，即det(A + B) = det(A) + det(B)。
- 行列式的数乘：如果方阵A的行列式为det(A)，则kA的行列式为k^n * det(A)，其中k为常数，n为方阵的阶数。
- 行列式的乘法：如果方阵A、B的行数和列数相等，则它们的行列式可以相乘，即det(AB) = det(A) * det(B)。
行列式的三种定义
行列式的三种定义行列式是线性代数中一个非常重要的概念，它具有着许多重要的性质和应用。
在学习行列式的过程中，需要掌握三种不同的定义方法，包括代数定义、几何定义、和递推定义。
本文将从这三个方面一步一步讲解，帮助读者更好地理解行列式的概念和计算方法。
1. 代数定义行列式的代数定义是最基本也是最常用的定义方法。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记为|A|或det(A)，代数定义为：|A| = Σ(-1)^(i+j) * a_ij * M_ij其中i和j分别表示矩阵A中的第i行和第j列，a_ij表示A中第i行第j列的元素值，M_ij表示去掉矩阵A中第i行和第j列的子矩阵的行列式值。
这个定义可能看起来比较复杂，但是实际上非常好理解。
它的基本思路是将n阶矩阵A转化为n个n-1阶矩阵的运算，然后不断地递归计算，最终得出行列式的值。
这种方法的优点在于，它不仅适用于方阵，也适用于非方阵，所以可以广泛地应用到各种各样的问题中。
2. 几何定义几何定义是行列式另一种常用的定义方法。
它的基本思路是将矩阵A对应的线性变换视为对n维空间中一个向量的拉伸，从而将行列式的值解释为拉伸的比例因子。
具体来说，对于一个n阶矩阵A，其行列式的几何定义为：|A| = S*B/S*A其中S*A和S*B分别表示矩阵A和B对应线性变换后向量的长度，也就是表示空间中一个体积的大小。
这个定义方法非常直观，可以帮助我们更好地理解行列式的含义，也适用于二维和三维空间中的向量计算。
3. 递推定义递推定义是行列式的另一种常见定义方法。
它的基本思路是不断地删减矩阵的行和列，直至得到一个常数值。
这个定义方法虽然比较抽象，但是它有着较高的计算效率和便利性。
对于一个n阶矩阵A，其行列式的递推定义为：|A| = a_11 * |A'|其中A'是去掉A中的第一行和第一列所得的(n-1)阶矩阵。
这个定义方法可以方便地使用递归或循环算法实现，对于大规模矩阵的计算尤其有效。
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§ 行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
即nnn n n n a a a a a a a a a212222111211=nnnn n n a a a a a a a a a212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如: D=dc b a =ad-bc , b a dc =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。
322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法行列式是线性代数中的一个重要概念，它将一个方阵与一个实数相关联。
行列式有广泛的应用，例如求解线性方程组、计算逆矩阵、求解二次方程等。
本文将介绍行列式的一般定义和计算方法。
1.行列式的一般定义设A是一个n阶方阵，其中有n行n列。
对于n=1的情况，行列式即为该方阵中唯一的元素。
行列式的定义可以通过代数余子式和代数余子式的代数化简方式来推导得到。
1.1代数余子式对于 n 阶矩阵 A = [a_{ij}]，我们可以通过去掉 A 中的第 i 行和第 j 列来得到一个新的矩阵 A_{ij}，它的阶数为 (n-1) 阶。
则称A_{ij} 的行列式为元素 a_{ij} 的代数余子式，记作 M_{ij}。
1.2代数余子式的代数化简代数余子式 M_{ij} 和元素 a_{ij} 之间的关系可以通过递归的方式进行定义。
假设 A 是一个 n 阶矩阵：M_{ij} = （-1）^{i+j} * det(A_{ij})其中，A_{ij} 是去掉 A 中第 i 行和第 j 列所得到的 (n-1) 阶矩阵。
当 n=1 时，代数余子式即为该方阵中唯一的元素。
2.行列式的计算方法行列式有多种计算方法，包括拉普拉斯展开法、三角行列式法和按行（列）展开法等。
2.1拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是最常用的计算行列式的方法之一、通过选择一行（列）展开计算，可以将一个n阶行列式转化为n个(n-1)阶行列式的代数和。
例如计算一个3阶行列式：abcdefghi选择第一行展开，可以得到：det(A) = a * det(A_{11}) - b * det(A_{12}) + c * det(A_{13})其中，A_{11}、A_{12}和A_{13}是去掉A的第一行所得的子矩阵。
2.2三角行列式法三角行列式法是计算行列式的另一种常用方法，通过将一个n阶行列式转化为三角形矩阵的行列式来计算。
例如计算一个3阶行列式：abc0ef00i可以发现，该矩阵是一个上三角形矩阵，对角线以下的元素全为0。
关于行列式的一般定义与计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义3、N 阶行列式的每项都是位于不同行 、不同列N 个元素的乘积特点:（1）倾数）它是3!项的代数和;（2）（项的构成）展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积 其一般项为：⑶（符号规律）三个正项的列标构成的排列为123,231,312.它们都是偶排列；三个负项的列标构成的排列为 321,213,132,它们都是奇排列.an a 12 … amn 阶行列式a 21 a 22…a2n二送（/严“…⑺刘卫？）?…a nj nj 1j2 …jnan1 an2… anna11 a 12 a 13D =a 21 a22 a 23 = a11a 22a 33 * a 12a 23a31 +a31a32a33— 已13已22已31 — 已12已21已33 —a i3a 2i a32已11已23已322 N 阶行列式是N !项的代数和;§行列式的性质性质1 :行列式和它的转置行列式的值相同a 11 a 12 a1na 11 a 21 a n1 即a21 a22a2n=a12 a22an2an1 a n2anna1n a 2nann行列式对行满足的性质对列也同样满足(2)性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换i,j 两行记为「一「,交换i,j 两列记作性质3:如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值 等于零。
"性质4:把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数 k 的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作 r i k ）推论1 : 一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行 列式符号的前面。
推论2:如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行 列式值等于零。
推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列 式值等于零。
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关于行列式的一般定义和计算方法n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a212222111211=∑-nn n j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§ 行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
即nnn n n n a a a a a a a a a212222111211=nnnn n n a a a a a a a a a212221212111；行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如: D=dc b a =ad-bc , b a dc =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。
322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。
推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列式值等于零。
性质5：如果行列式D 的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行列式D等于两个行列式D 1和D 2的和。
nnn nj n n n j nj a b a a a a b a a a a b a a a+++2122222211111211=nnnj n n n j nj a a a a a a a a a a a a 21222221111211+nnn n n n n a b a a a b a a a b a a21222221111211性质6：把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数后，加到另一行（或另一列）的对应元素上，行列式值不变。
推论 如果行列式的某一行（列）的每个元素都是m 个数之和(m>2)，则此行列式等于m 个行列式之和。
一个n 阶行列式，如果它的元素满足：n j i a a i j j i 2,1,=-=；试证：当n 为奇数时，此行列式为零。
每一行（或列）提出一个（-1），再转置得D=（-1）n D列式。
则称此行列式为对称行；如果满足：定义：行列式),,1,(n j i a a a ji ij ij ==性质7 行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。
按行：()j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++02211 按列：()j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++02211将性质7 与Laplace 定理合并为下列结论：⎩⎨⎧≠==∑=j i j i DA a nk jk k i 01 （1）和 ⎩⎨⎧≠==∑=ji j i DA a nk kj ki 01 （2）行列式的计算1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式001002001000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故 (1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n n n nnn a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0. 3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b D bb a b bbba= 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b bb a n b a b b D a n bb a b a n bbba+-+-=+-+-11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba=+- 100[(1)]000bbb a b a n b a b a b-=+--- 1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
例4 计算n 阶行列式0010000000000001000n a a a D a a=解 将D n 按第1行展开1000000000000(1)000000000100n n a a a a D a aa a+=+-12(1)(1)n n n n a a +-=+--2n n a a -=-.5．逆推公式法逆推公式法：对n 阶行列式D n 找出D n 与D n －1或D n 与Dn －1, D n －2之间的一种关系——称为逆推公式（其中D n , D n －1, D n －2等结构相同），再由递推公式求出D n 的方法称为递推公式法。
例5 证明122110001000001n nn n xx D x a a a a a x----=-+12121,(2)n n n n n x a x a x a x a n ---=+++++≥证明：将D n 按第1列展开得1232110001000001n n n n x x D xx a a a a a x-----=-+11000100(1)01n nx a x+--+--1n n a xD -=+由此得递推公式：1n n n D a xD -=+，利用此递推公式可得112()n n n n n n D a xD a x a xD ---=+=++212n n n a a x x D --=++ 111n n n n a a x a x x --==++++6．利用范德蒙行列式 例6 计算行列式1222211221212121122111111n n nn n n n n n n nx x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=++++++解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n －1行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式1222212111112111()n n i j n i j n n n nx x x D x x x x x x x x ≥>≥---==-∏7．加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。
例7 计算n 阶行列式12121212n n n n nx a a a a x a a D a a a a a x a ++=+解： 110nn na a D D =1211002,,110010ni a a a x i n x x-=+--第行减第1行（箭形行列式） 12110000000njn j a a a a xx x x=+=∑11n jn j a x x =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ 8．数学归纳法 例8 计算n 阶行列式1221100001000001n nn n x x D x a a a a a x----=-+解：用数学归纳法. 当n = 2时212211()x D x x a a a x a -==+++ 212x a x a =++假设n = k 时，有12121k k k k k k D x a x a x a x a ---=+++++则当n = k +1时，把D k +1按第一列展开，得11k k k D xD a ++=+1111()k k k k k x x a x a x a a --+=+++++ 12111k k k k k x a x a x a x a +-+=+++++由此，对任意的正整数n ，有12121n n n n n n D x a x a x a x a ---=+++++9．拆开法把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。
例9 计算行列式 n D =11212212n n n na a a a a a a a a λλλ+++解：n D =1212212nn n na a a a a a a a a λλ++122200n n n na a a a a λλλ+++12200n nna a a a λλ=11n D λ-+1211n n a D λλλ-=+……1211nin i i a λλλλ=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ 上面介绍了计算n 阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。