六年级奥数.杂题.构造与论证(ABC级).教师版
小学奥数 构造与论证 精选例题练习习题(含知识点拨)
构造与论证教学目标1.掌握最佳安排和选择方案的组合问题.2.利用基本染色去解决相关图论问题．知识点拨知识点说明各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．知识点拨板块一、最佳安排和选择方案【例 1】5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?【考点】构造与论证【难度】2星【题型】解答【解析】因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；最后将第1卷和第2卷对调即可．所以，共需调换4+3+2+1=10次．【答案】10次【例 2】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】从整体进行考虑．所得的2009个和相加，便等于1～2009的所有数的总和的2倍，是个偶数．2009个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数．本题也可以考虑其中的奇数．由于1～2009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数．【答案】偶数【例 3】一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”)．【考点】构造与论证【难度】3星【题型】填空【解析】在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚；若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚．可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子．【答案】黑子【例 4】在黑板上写上1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数a和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答【解析】根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为123200820091004++++=⨯是一个偶数，而每一次“操作”，将a、b两个数变成了()a b-，它们的和减少了2b，即减少了一个偶数．那么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数．所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数．【答案】偶数【例 5】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】最少要1997次，将第一列中的每一格都按一次，则除第一列外，每格的灯都只改变一次状态，由不亮变成亮．而第一列每格的灯都改变1997次状态，由不亮变亮．如果少于1997次，则至少有一列和至少有一行没有被按过，位于这一列和这一行相交处的灯保持原状，即不亮的状态．【答案】1997次【例 6】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】(1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(0，0，25)．(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．【答案】(1)可以(2)不能【例 7】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答【解析】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高．当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=1113，推知，必有人得分不超过11分.也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.【答案】胜3场【例 8】 n 支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n =4是否可能？（2）n =5是否可能？【考点】构造与论证 【难度】3星 【题型】解答【解析】 （1）我们知道4个队共进行了24C 场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为24C ×2=12.因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以 4个队得分最少2+3+4+5=14＞12，不满足.即n =4不可能。
六年级奥数.杂题.逻辑推理(ABC级).学生版
逻辑推理作为数学思维中重要的一部分，经常出现在各种数学竞赛中，除此以外，逻辑推理还经常作为专项的内容出现在各类选拔考试，甚至是面向成年人的考试当中。
对于学生学习数学来说，逻辑推理既有趣又可以开发智力，学生自主学习研究性比较高。
本讲我们主要从各个角度总结逻辑推理的解题方法。
一、 列表推理法逻辑推理问题的显著特点是层次多，条件纵横交错.如何从较繁杂的信息中选准突破口，层层剖析，一步步向结论靠近，是解决问题的关键.因此在推理过程中，我们也常常采用列表的方式，把错综复杂的约束条件用符号和图形表示出来，这样可以借助几何直观，把令人眼花缭乱的条件变得一目了然，答案也就容易找到了.二、 假设推理用假设法解逻辑推理问题，就是根据题目的几种可能情况，逐一假设．如果推出矛盾，那么假设不成立；如果推不出矛盾，而是符合题意，那么假设成立．解题突破口：找题目所给的矛盾点进行假设三、 体育比赛中的数学对于体育比赛形式的逻辑推理题，注意“一队的胜、负、平”必然对应着“另一队的负、胜、平”。
有时综合性的逻辑推理题需要将比赛情况用点以及连接这些点的线来表示，从整体考虑，通过数量比较、整数分解等方式寻找解题的突破口。
四、 计算中的逻辑推理能够利用数论等知识通过计算解决逻辑推理题.例题精讲知识框架逻辑推理一、列表推理法【例1】刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛．事先规定：兄妹二人不许搭伴．第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹．问：三个男孩的妹妹分别是谁？【巩固】王文、张贝、李丽分别是跳伞、田径、游泳运动员，现在知道：⑴张贝从未上过天；⑵跳伞运动员已得过两块金牌；⑶李丽还未得过第一名，她与田径运动员同年出生.请根据上述情况判断王文、张贝、李丽各是什么运动员？【例2】张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：⑴张明不在北京工作，席辉不在上海工作；⑵在北京工作的不是教师；⑶在上海工作的是工人；⑷席辉不是农民．问：这三人各住哪里？各是什么职业？【巩固】。
小学奥数构造、论证与染色、操作问题
第十三讲：构造与论证教学目标1.掌握最佳安排和选择方案的组合问题.2.利用基本染色去解决相关图论问题．知识点拨各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．例题精讲模块一最佳安排和选择方案【例 1】一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下面我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下的棋子是颜色(填“黑”或者“白”)．【解析】在每一次操作中，若拿出的两枚棋子同色，则补黑子1枚，所以拿出的白子可能为0枚或2枚；若拿出的两枚棋子异色，则补白子1枚，“两枚棋子异色”说明其中一黑一白，那么此时拿出的白子数为0枚．可见每次操作中拿出的白子都是偶数枚，而由于起初白子有200枚，是偶数枚，所以每次操作后剩下的白子都是偶数枚，因此最后1枚不可能是白子，只能是黑子．【例 2】5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?【解析】因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；现在将第4卷调至此时第l卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；现在将第3卷调至此时第l卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；最后将第l卷和第2卷对调即可．所以，共需调换4+3+2+1=10次．【例 3】有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆．开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子．问能否做到：、(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【解析】(1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(O，0，25)．(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变．现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走．【例 4】n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：（1）n=4是否可能？（2）n=5是否可能？C场比赛，而每场比赛有2【解析】（1）我们知道4个队共进行了24C×2=12.因为每一队至少分产生，所以4个队的得分总和为24胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以4个队得分最少2+3+4+5=14＞12，不满足.即n=4不可能。
小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证
小学数学小学奥数系列8-6-1构造与论证姓名:________ 班级:________ 成绩:________亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、最佳安排和选择方案 (共20题；共103分)1. （1分）王红、陈阳、李玉分别参加了少年宫的合唱团、舞蹈队和乐队。
王红参加的不是舞蹈队，陈阳不在合唱团，李玉天天背着小提琴。
这三名同学分别在哪一个团队里?王红在________，陈阳在________，李玉在________。
2. （5分） (2020五下·汉寿期中) 35名学生分成甲、乙两队。
如果甲队人数为偶数，乙队人数为奇数还是偶数？如果甲队人数为奇数呢？3. （5分）小朋友们在比身高，三个小朋友的身高分别是142厘米、138厘米、145厘米。
仔细观察，在正确的答案下打“√”。
①小浩：②小玉：4. （5分）有三个女孩穿着崭新的连衣裙去参加游园会。
一个穿花的，一个穿白的，一个穿红的，但不知哪一个姓王，哪一个姓李，哪一个姓刘。
只知道姓刘的不喜欢穿红色的，姓王的既不穿红裙子，也不穿花裙子。
你能猜出这三个女孩各姓什么吗？5. （10分）小明、小华、小强星期天去公园划船，他们都戴了一顶漂亮的太阳帽。
太阳帽有三种颜色：红、黄、蓝。
他们戴的分别是什么颜色的帽子?涂一涂。
6. （5分）证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。
7. （5分）班上四名同学进行跳棋比赛，每两名同学都要赛一局．每局胜者得分，平者各得分，负者得分．已知甲、乙、丙三名同学得分分别为分、分、分，且丙同学无平局，甲同学有胜局，乙同学有平局，那么丁同学得分是多少？8. （10分）光明幼儿园有三个班。
根据下面三句话，请你猜一猜，哪个班人数最少？哪个班人数最多？①中班比小班少；②中班比大班少；③大班比小班多。
9. （5分）刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛．事先规定：兄妹二人不许搭伴．第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹．问：三个男孩的妹妹分别是谁？10. （2分）篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？11. （5分）(2018·江宁) 一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，求出这个四位数。
小学数学《构造与论证》练习题
构造与论证1.完成下面的表格，请你填写奇数，偶数，奇数或偶数，不可能。
2.是否存在这样的4个自然数，它们的和是205，乘积是2009？请简单的说明理由。
3.判断1+2+3+4+……+2009的结果是奇数还是偶数？4.□+□=□；□-□=□；□×□=□；□÷□=□。
每一个算式中都至少有1个偶数和1个奇数。
那么12个数中一共有多少个偶数？5.已知两个两位数之差是39，下面5种说法正确的有：①这两个数的和可能是67。
②这两个数的和可能是88。
③这两个数的4个数字之和有可能是12。
④这两个数的4个数字之和有可能是15。
⑤这两个数的4个数字之和有可能是22。
6.能否在1、2、3、4、……、100之间填入99个“+”，“-”号，使得计算的结果为2009？7.是否有可能将自然数1—100排成一排，使得任意相邻的3个自然数之和全都是奇数？如果可以请给出排列方法，如果不可以请说明理由。
8.已知a，b，c，d，e中有一个是2004，一个是2005，一个是2006，一个是2007，一个是2008，求证a+2004，b+2005，c+2006，d+2007，e+2008的乘积一定为偶数。
9.有一个数列，前4项是2，0，0，5。
从第5项开始，每一项都是前面4项平方和的个位。
那么在这个数列中是否存在连续的4个数，它们分别为2，0，0，8？10.一个游戏的规则为：在黑板上写3个自然数，然后随便擦掉其中的一个数，换上未擦去的2个数的和减1，这样做了多次以后，黑板上得到17、123、139这3个数，请问黑板上开始写的三个数可以是2、2、2？11.能否用1，1，2，2，3，3，4，4，5，5组成一个十位数，使两个1之间有1个数字，两个2之间有2个数字，两个3之间有3个数字，两个4之间有4个数字，两个5之间有5个数字？请说明理由。
六年级下册奥数讲义-奥数方法：构造法
在证明一些存在性问题时，我们可以考虑把满足题意要求的数学对象构造出来，问题也自然得到了证明。
这种方法就叫做构造法。
构造法是一种重要的数学方法，一些数论问题也可以通过构造出某些特殊结构、特殊性质的数的组合来解决，另在解决一些图形、逻辑推理方面的问题时，也可以通过构造出来某些我们熟悉的情境，然后进行解答就容易多了。
构造法解题的步骤一般为先观察问题的条件，对其进行分析和重组，或对问题进行特殊化考虑，找出构造的方案，然后进行检验，得出问题的解。
[例1] 如图1所示，在三角形ABC中，BD=2DC，AE=2ED，FC=7，那么AF=[例2】有人说:“任何七个连续的自然数中一定有质数”，请你举一个例子说明这句话是错的。
思路剖析本题实际上是要证明:七个连续的自然数有可能全部是合数，这就成了一个存在性的证明题，只要用构造的方法，构造一个例子，便可以说明。
解答取数a=2×3×4×5×6×7×8则a+2，a+3，a+4，a+5，a+6，a+7，a+8这七个数全部是合数，且为连续的自然数。
故“任何七个连续的自然数中一定有质数”这句话是错的。
[例3] 是否在平面上存在这样的40条直线，它们共有365个交点?思路剖析这是一个证明存在性的问题，我们可以用构造法为构造出符合要求的方案，先从一些特殊图形进行考虑。
解答先考虑一种特殊的图形:围棋盘。
它有38条直线、361个交点。
为构造出40条直线有365个交点的情形。
我们就从这种特殊的图形出发，进行局部的调整。
先加上2条对角线，这样就有40条直线了，但交点仍然是361个。
再将最右边的l条直线向右平移1段，正好增加了4个交点(见图3)。
于是，我们就得到了有365个交点的40条直线。
[例4】如图4所示，将图中的A、B、C、D、E五点染色，使相邻的(即有线段相连的)点有不同的颜色，至少需要几种颜色?思路剖析将A、B、C、D、E五点染色，只用一种颜色肯定是不够的，如果我们能构造出一种符合条件的染色方法，只需要2种颜色，也就找到了答案。
(小学奥数)构造与论证
構造與論證教學目標1.掌握最佳安排和選擇方案的組合問題.2.利用基本染色去解決相關圖論問題．知識點撥知識點說明各種探討給定要求能否實現，在論證中，有時需進行分類討論，有時則要著眼於極端情形，或從整體把握．設計最佳安排和選擇方案的組合問題，這裏的最佳通常指某個量達到最大或最小．解題時，既要構造出取得最值的具體實例，又要對此方案的最優性進行論證．論證中的常用手段包括抽屜原則、整除性分析和不等式估計．組合證明題，在論證中，有時需進行分類討論，有時則需要著眼於極端情況，或從整體把握。
若干點及連接它們的一些線段組成圖，與此相關的題目稱為圖論問題。
若干點及連接它們的一些線段組成圖，與此相關的題目稱為圖論問題，這裏宜從特殊的點或線著手進行分析．各種以染色為內容，或通過染色求解的組合問題，基本的染色方式有相間染色與條形染色．知識點撥板塊一、最佳安排和選擇方案【例 1】5卷本百科全書按從第1卷到第5卷的遞增序號排列，今要將它們變為反序排列，即從第5卷到第1卷．如果每次只能調換相鄰的兩卷，那麼最少要調換多少次?【考點】構造與論證【難度】2星【題型】解答【解析】因為必須是調換相鄰的兩卷，將第5卷調至原來第1卷的位置最少需4次，得到的順序為51234；現在將第4卷調至此時第1卷的位置最少需3次，得到的順序為54123；現在將第3卷調至此時第1卷的位置最少需2次，得到的順序為54312；最後將第1卷和第2卷對調即可．所以，共需調換4+3+2+1=10次．【答案】10次【例 2】在2009張卡片上分別寫著數字1、2、3、4、……、2009，現在將卡片的順序打亂，讓空白面朝上，並在空白面上又分別寫上1、2、3、4、……、2009．然後將每一張卡片正反兩個面上的數字相加，再將這2009個和相乘，所得的積能否確定是奇數還是偶數？【考點】構造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】從整體進行考慮．所得的2009個和相加，便等於1～2009的所有數的總和的2倍，是個偶數．2009個數的和是偶數，說明這2009個數中必有偶數，那麼這2009個數的乘積是偶數．本題也可以考慮其中的奇數．由於1～2009中有1005個奇數，那麼正反兩面共有2010個奇數，而只有2009張卡片，根據抽屜原理，其中必有2個奇數在同一張卡片上，那麼這張卡片上的數字的和是偶數，從而所有2009個和的乘積也是偶數．【答案】偶數【例 3】一個盒子裏有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚．下麵我們對這些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果顏色相同，就補1枚黑色棋子回去；如果顏色不同，就補1枚白色的棋子回去．這樣的操作，實際上就是每次都少了1枚棋子，那麼，經過399次操作後，最後剩下的棋子是顏色(填“黑”或者“白”)．【考點】構造與論證【難度】3星【題型】填空【解析】在每一次操作中，若拿出的兩枚棋子同色，則補黑子1枚，所以拿出的白子可能為0枚或2枚；若拿出的兩枚棋子異色，則補白子1枚，“兩枚棋子異色”說明其中一黑一白，那麼此時拿出的白子數為0枚．可見每次操作中拿出的白子都是偶數枚，而由於起初白子有200枚，是偶數枚，所以每次操作後剩下的白子都是偶數枚，因此最後1枚不可能是白子，只能是黑子．【答案】黑子【例 4】在黑板上寫上1、2、3、4、……、2008，按下列規定進行“操怍”：每次擦去其中的任意兩個數a和b，然後寫上它們的差(大數減小數)，直到黑板上剩下一個數為止．問黑板上剩下的數是奇數還是偶數？為什麼？【考點】構造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】根據等差數列求和公式，可知開始時黑板上所有數的和為++++=⨯是一個偶數，而每一次“操作”，將a、b兩個數123200820091004變成了()-，它們的和減少了2b，即減少了一個偶數．那麼從整體上看，a b總和減少了一個偶數，其奇偶性不變，還是一個偶數．所以每次操作後黑板上剩下的數的和都是偶數，那麼最後黑板上剩下一個數時，這個數是個偶數．【答案】偶數【例 5】在1997×1997的正方形棋盤上的每格都裝有一盞燈和一個按鈕．按鈕每按一次，與它同一行和同一列方格中的燈泡都改變一次狀態，即由亮變為不亮，或由不亮變為亮．如果原來每盞燈都是不亮的，請說明最少需要按多少次按鈕才可以使燈全部變亮?【考點】構造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】最少要1997次，將第一列中的每一格都按一次，則除第一列外，每格的燈都只改變一次狀態，由不亮變成亮．而第一列每格的燈都改變1997次狀態，由不亮變亮．如果少於1997次，則至少有一列和至少有一行沒有被按過，位於這一列和這一行相交處的燈保持原狀，即不亮的狀態．【答案】1997次【例 6】有3堆小石子，每次允許進行如下操作：從每堆中取走同樣數目的小石子，或是將其中的某一石子數是偶數的堆中的一半石子移入另外的一堆．開始時，第一堆有1989塊石子，第二堆有989塊石子，第三堆有89塊石子．問能否做到：(1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走?【考點】構造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】(1)可以，如(1989，989，89) →(1900，900，0)→(950，900，950)→(50，0，50)→(25，25，50)→(0，0，25)．(2)因為操作就兩種，每堆取走同樣數目的小石子，將有偶數堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子總數要麼減少3的倍數，要麼不變．現在共有1989+989+89=3067，不是3的倍數，所以不能將3堆中所有石子都取走．【答案】(1)可以(2)不能【例 7】在某市舉行的一次乒乓球邀請賽上，有3名專業選手與3名業餘選手參加.比賽採用單迴圈方式進行，就是說每兩名選手都要比賽一場．為公平起見，用以下方法記分：開賽前每位選手各有10分作為底分，每賽一場，勝者加分，負者扣分，每勝專業選手一場加2分，每勝業餘選手一場加1分；專業選手每負一場扣2分，業餘選手每負一場扣1分．問：一位業餘選手最少要勝幾場，才能確保他的得分比某位專業選手高? 【考點】構造與論證【難度】4星【題型】解答【解析】當一位業餘選手勝2場時，如果只勝了另兩位業餘選手，那麼他得10+2-3=9(分)．此時，如果專業選手間的比賽均為一勝一負，而專業選手與業餘選手比賽全勝，那麼每位專業選手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位業餘選手勝2場，不能確保他的得分比某位專業選手高．當一位業餘選手勝3場時，得分最少時是勝兩位業餘選手，勝一位專業選手，得10+2+2-2=12(分)．此時，三位專業選手最多共得30+0+4=34(分)，其中專業選手之間的三場比賽共得0分，專業選手與業餘選手的比賽最多共得4分.由三個人得34分，34÷3=111，推知，3必有人得分不超過11分.也就是說，一位業餘選手勝3場，能確保他的得分比某位專業選高.【答案】勝3場【例 8】n支足球隊進行比賽，比賽採用單迴圈制，即每對均與其他各隊比賽一場.現規定勝一場得2分，平一場得1分，負一場得0分.如果每一隊至少勝一場，並且所有各隊的積分都不相同，問：（1）n=4是否可能？（2）n=5是否可能？【考點】構造與論證【難度】3星【題型】解答【解析】（1）我們知道4個隊共進行了24C場比賽，而每場比賽有2分產生，所以4個隊的得分總和為2C×2=12.因為每一隊至少勝一場，所以得分最低的4隊至少得2分，又要求每個隊的得分都不相同，所以4個隊得分最少2+3+4+5=14＞12，不滿足.即n=4不可能。
六年级下册数学讲义-奥数讲与练：计算.计算军火库之公式与结论(ABC级)
一、等差数列的相关公式 (1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（）递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 ③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．二、常用公式 1. (1)1232n n n ⨯+++++=； 2. 2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯+++++=；3. ()2223333(1)1231234n n n n ⨯+++++=++++=； 4. ()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++=；5. 等比数列求和公式：0111111(1)1n n n a q S a q a q a q q --=++⋅⋅⋅+=-(1q ≠)；6. 平方差公式：()()22a b a b a b -=+-；7. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+；用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：()2222a b a ab b ±=±+．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，2倍乘积在中央”． 三、常用技巧 1.1001abcabc abc =⨯；知识框架计算军火库之公式与结论2. 10101ababab ab =⨯；3.··10.1428577=，··20.2857147=，··30.4285717=， ··40.5714287=，··50.7142857=，··60.8571427=；4. 1111111111123321n n n ⨯=个个，其中9n ≤．本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表示.要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算.【例 1】 有许多等式:2461353++=+++； 81012147911134+++=++++； 161820222415171921235++++=+++++；⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅那么第10个等式的和是_______【巩固】 观察下列算式：2＋4＝6＝2×3， 2＋4＋6＝12＝3×4 2＋4＋6＋8＝20＝4×5 ……然后计算：2＋4＋6＋……＋100＝ .重难点例题精讲【例 2】已知一个等差数列第8项等于50，第15项等于71.请问这个数列的第1项是多少？【巩固】如果一等差数列的第4项为21，第10项为57，求它的第16项．【例 3】计算246198419861988135198319851987++++++-++++++（）（）【巩固】计算：20072006200520042003200254321-+-+-++-+-+【例 4】计算： 1.1 3.3 5.57.79.911.1113.1315.1517.1719.19+++++++++【巩固】计算1231990 1990199019901990+++=______【例 5】如图所示，白色和黑色的三角形按顺序排列．当两种三角形的数量相差12个时，白色三角形有个．第4题【巩固】木木练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是888，但她重复计算了其中一个数字．问：木木重复计算了哪个数字？【例 6】以质数71做分母的最简真分数有123,,......,7171716970,;7171求这列数的和【巩固】计算：567891011 135791113 13131313131313 ++++++【例 7】 222213519++++【巩固】 计算：36496481400+++++【例 8】 计算：3333333313579111315+++++++【巩固】 计算：333313599++++=___________．【例 9】 计算：234561111111333333++++++【巩固】 计算：2345989912222222++++++++【例 10】 11111111111357911131517192481632641282565121024+++++++++=【巩固】 计算：3333334166425610244096+++++= ．【例 11】 计算76524334256722323232323233+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+的值.（已知732187=，836561=，9319683=，10359049=，72128=，82256=，92512=，1021024=）【巩固】 计算：234562345671333333++++++【例 12】()2314159263141592531415927-⨯=________；【巩固】 2009200920082008⨯-⨯=【例 13】 221234876624688766++⨯=________．【巩固】 计算：31431.462868.668.6686⨯+⨯+⨯＝ .【例 14】 计算：1232343458910⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯【巩固】 计算：345456567141516⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯【例 15】 计算：1992983974951⨯+⨯+⨯++⨯= ．【巩固】50504951485247534654_________⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【随练1】22222222222 1245781011131416++++++++++【随练2】33332416_______ 248512++++=【随练3】计算：1119121813171416⨯+⨯+⨯+⨯=．课堂检测【随练4】 对自然数a 和n ，规定1n n a n a a -∇=+，例如2323312∇=+=，那么：⑴ 122232992∇+∇+∇++∇=______________； ⑵ 212223299∇+∇+∇++∇=______________．【随练5】 计算：143751099151⨯+⨯+⨯++⨯= ．【作业1】 对于数列4、7、10、13、16、19……，第10项是多少？49是这个数列的第几项？第100项与第50项的差是多少？家庭作业【作业2】已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、，问:这个数列中第2000个数是多少？第2003个数是多少？【作业3】有一列数：1，2，4，7，11，16，22，29，37，，问这列数第1001个数是多少?【作业4】在1~200这二百个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少？【作业5】如下图所示的表中有55个数，那么它们的和等于多少？171319253137434955612814202632384450566239152127333945515763410162228344046525864511172329354147535965【作业6】3737263376363⨯+⨯⨯+⨯=【作业7】 计算222222222123456...171819-+-+-++-+【作业8】 计算：199297395501⨯+⨯+⨯++⨯【作业9】 看规律 3211=，332123+=，33321236++=……，试求3 3.36714+++【作业10】计算：22222222 (246100)(13599) 12391098321+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：教学反馈。
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（1） 掌握最佳安排和选择方案的组合问题.
（2） 利用基本染色去解决相关图论问题．
各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．
组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。
若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．
一、 最佳安排和选择方案
【例 1】 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到
第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?
【考点】构造与论证 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；
现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；
现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；
最后将第1卷和第2卷对调即可．
所以，共需调换4+3+2+1=10次．
【答案】10次
例题精讲
重难点
知识框架
构造与论证
【巩固】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？
【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答
【解析】从整体进行考虑．所得的2009个和相加，便等于1～2009的所有数的总和的2倍，是个偶数．2009个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数．
本题也可以考虑其中的奇数．由于1～2009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数．
【答案】偶数
【例2】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有
10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一
场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜
几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?
【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答
【解析】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高．
当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得
10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛
共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=111
3
，推知，必
有人得分不超过11分.
也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.
【答案】胜3场
【巩固】n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：
（1）n=4是否可能？。