角函数、平面向量综合题九种类型

三角函数与平面向量综合题的九种类型题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合【例 1】 已知 A、B、C 为三个锐角，且 A＋B＋C＝π.若向量→p ＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量→q ＝(sinA －cosA，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角 A；（Ⅱ）求函数 y＝2sin2B＋cosC－23B的最大值.题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】 已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(32 ，2π)，且→a ⊥→b ．α （Ⅰ）求 tanα 的值；（Ⅱ）求 cos( 2 ＋ 3 )的值．题型三. 三角函数与平面向量的模的综合 【例 3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝25 5.(Ⅰ)求 cos(α－β)的值；(Ⅱ) 若－ 2 ＜β＜0＜α＜ 2 ，且 sinβ＝－153，求 sinα 的值.题型四：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值【例 4】（2010 年高考安徽卷）已知 0 ， 为 f (x) cos(2x ) 的最小正周期，48ar(tan(r ), 1),b(cos, 2), arr bm，求2 cos2sin2()的值．4cos sin练习：设函数 f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m，cosx)，→b ＝(1＋sinx，1)，x∈R，且 f( 2 )＝2.（Ⅰ）求实数 m 的值；（Ⅱ）求函数 f(x)的最小值.题型五：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题【例 5】 （浙江卷）如图，函数 y 2sin( x ), x R （其中 0 ）的图像与 y 轴交于点（0，1）。

2（Ⅰ）求 的值；uuuur uuur （Ⅱ）设 P 是图像上的最高点，M、N 是图像与 x 轴的交点，求 PM 与 PN 的夹角。

题型六：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算【例 6】（山东卷）在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ， tan C 3 7 ．（1）求 cosC ；uuur uuur （2）若 CB CA 5，且 a b 9，求 c ．2题型七：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例 7】（陕西卷）f(x)arr b，其中向量arr (m, cos 2x) ，b (1 sin 2x,1) ， x R ，且函数yf (x) 的图象经过点 ( , 2) ． 4（Ⅰ）求实数 m 的值；（Ⅱ）求函数 y f (x) 的最小值及此时 x 值的集合。

题型八：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法【例8】（湖北卷）将y2cos x 3π 6 的图象向左平移π/4,向下平移2个单位，则平移后所得图象的解析式为Ａ．y2cos x 3 4 2Ｂ．y2cos x 3π 4 2Ｃ．y2cos x 3π 12 2Ｄ．y2cos x 3π 12 2题型九：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题【例9】（湖北卷）设向量 ar(sinx, cosr x), b(cosx, cosx), x R，函数f(x)ar (arr b).（Ⅰ）求函数 f (x) 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式 f (x) 3 成立的 x 的取值集. 2【专题训练】 一、选择题 1．已知→a ＝(cos40 ，sin40)，→b ＝(cos20，sin20)，则→a ·→b ＝（）A．131B． 2C．22 D． 22．将函数 y＝2sin2x－π2 的图象按向量(π2 ，π2 )平移后得到图象对应的解析式是 （）A．2cos2xB．－2cos2xC．2sin2xD．－2sin2x3．已知△ABC 中，A→B＝→a ，A→C＝→b ，若→a ·→b ＜0，则△ABC 是（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．任意三角形4．设→a ＝(32,sin )，→b ＝(cos ,13)，且→a ∥→b ，则锐角 为（）A．30B．45C．60D．755．已知→a ＝(sinθ， 1＋cosθ)，→b ＝(1， 1－cosθ)，其中 θ∈(π，32 )，则一定有 （）A．→a ∥→bB．→a ⊥→bC．→a 与→b 夹角为 45°D．|→a |＝|→b |6．已知向量→a ＝(6，－4)，→b ＝(0，2),→c ＝→a ＋→b ，若C点在函数π y＝sin12x的图象上,实数＝5353A．2B．2C．－2D．－27．设 0≤θ≤2π 时，已知两个向量O→P1＝(cosθ，sinθ)，O→P2＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量P→1P2长度的最大值是（）A． 2B． 38．若向量→a ＝(cos ,sin )，→b ＝(cosA．→a 与→b 的夹角等于 －C．→a ∥→bC．3 2D．2 3,sin )，则→a 与→b 一定满足B．→a ⊥→bD．(→a ＋→b )⊥(→a －→b )（）9．已知向量→a ＝(cos25 ,sin25 )，→b ＝(sin20 ,cos20 )，若 t 是实数，且→u ＝→a ＋t→b ，则|→u |的最小值为 A． 2B．1C．2 2D．12（）10．O 是平面上一定点，A、B、C 是该平面上不共线的 3 个点，一动点 P 满足：→OP＝O→A＋ (A→B＋A→C)， ∈(0,＋∞)，则直线 AP 一定通过△ABC 的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心二、填空题11．已知向量→m ＝(sin ，2cos )，→n ＝( 3,－12).若→m ∥→n ，则 sin2 的值为____________．12．已知在△OAB(O 为原点)中，→OA＝(2cos ，2sin )，→OB＝(5cos ，5sin )，若→OA·→OB＝－5，则 S△AOB的值为_____________. 13．已知向量→m ＝(1，1)向量→n 与向量→m 夹角为3π4 ，且→m ·→n ＝－1.则向量→n ＝__________．三、解答题14．已知向量→m ＝(sinA,cosA)，→n ＝( 3,－1)，→m ·→n ＝1，且 A 为锐角.(Ⅰ)求角 A 的大小；(Ⅱ)求函数 f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．15．在△ABC 中，A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c，已知向量→m ＝(1，2sinA)，→n ＝(sinA，1＋cosA)，满 足→m ∥→n ，b＋c＝ 3a.(Ⅰ)求 A 的大小；(Ⅱ)求 sin(B＋ 6 )的值．16．△ABC 的角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，→m ＝(2b－c，a)，→n ＝(cosA，－cosC)，且→m ⊥→n ． (Ⅰ)求角 A 的大小；(Ⅱ)当 y＝2sin2B＋sin(2B＋ 6 )取最大值时，求角 B 的大小.17．已知→a ＝(cosx＋sinx，sinx)，→b ＝(cosx－sinx，2cosx)， （Ⅰ）求证：向量→a 与向量→b 不可能平行； （Ⅱ）若 f(x)＝→a ·→b ，且 x∈[－ 4 , 4 ]时，求函数 f(x)的最大值及最小值．18．设函数f(x)arr (bcr )，其中向量ar(sinx,cosr x), b(sinx,3 cosx)，cr ( cos x,sin x), x R ．（Ⅰ）求函数 f x 的最大值和最小正周期；r（Ⅱ）将函数 y f x的图像按向量 d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小r 的d ．19．已知向量 arr (sin ,1),b(1, cos ), ．22（Ⅰ）若arr b，求；（Ⅱ）求arr b的最大值．【参考答案】三角函数与平面向量综合题的九种类型【例 1】【解】（Ⅰ）∵→p 、→q 共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)， 则 sin2A＝34，又 A 为锐角，所以 sinA＝ 23，则 A＝ 3 .（Ⅱ）y＝2sin2B＋cosC－23B＝2sin2B＋cos(π－3－B)－3B2＝2sin2B＋cos(31 －2B)＝1－cos2B＋2cos2B＋3 2sin2B315＝ 2 sin2B－2cos2B＋1＝sin(2B－ 6 )＋1.∵B∈(0， 2 )，∴2B－ 6 ∈(－ 6 ， 6 )，∴2B－ 6 ＝ 2 ，解得 B＝3，ymax＝2. 2、【解】 （Ⅰ）∵→a ⊥→b ，∴→a ·→b ＝0．而→a ＝（3sinα，cosα），→b ＝(2sinα, 5sinα－4cosα)，故→a ·→b ＝6sin2α＋5sinαcosα－4cos2α＝0． 由于 cosα≠0，∴6tan2α＋5tanα－4＝0．解之，得 tanα＝－43，或 tanα＝12．∵α∈（32 ，2π），tanα＜0，故 tanα＝12（舍去）．∴tanα＝－43．3α34α1 αα（Ⅱ）∵α∈（ 2 ，2π），∴ 2 ∈（ 4 ，π）．由 tanα＝－3，求得 tan 2 ＝－2，tan 2 ＝2（舍去）．∴sin 25 α 25ααα2 5 1 5 3 2 5＋ 15＝ 5 ，cos 2 ＝－ 5 ，∴cos( 2 ＋ 3 )＝cos 2 cos 3 －sin 2 sin 3 ＝－ 5 ×2－ 5 × 2 ＝－ 103、【解】 (Ⅰ)∵|→a －→b |＝25 5，∴→a 2－2→a ·→b ＋→b 2＝45，将向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)代入上式得 12－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋12＝45，∴cos(α－β)＝35.(Ⅱ)∵－ 2 ＜β＜0＜α＜ 2 ，∴0＜α－β＜π，由 cos(α－β)＝－35，得 sin(α－β)＝45，又 sinβ＝－153，∴cosβ＝1123，∴sinα＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝3635.4、【解答】因为为f(x)cos(2x)的最小正周期，故 ．因为arr bm，8又arr bcostan()2，故costan()m2．44由于 0 ，所以 2 cos2 sin 2( ) 2 cos2 sin(2 2 )4cos sincos sin 2 cos2 sin 2 2cos (cos sin ) 2cos 1 tancos sincos sin1 tan cos tan( ) m 2 ． 4练习解：（Ⅰ）f(x)＝→a ·→b ＝m(1＋sinx)＋cosx，由 f( 2 )＝2，得 m(1＋sin 2 )＋cos 2 ＝2，解得 m＝1.(Ⅱ)由（Ⅰ）得 f(x)＝sinx＋cosx＋1＝ 2sin(x＋ 4 )＋1，当 sin(x＋ 4 )＝－1 时，f(x)的最小值为 1－ 2.5、【解答】（I）因为函数图像过点 (0,1) ，所以 2sin 1, 即 sin 1 . 2因为 0 ，所以 .26（II）由函数 y 2sin( x ) 及其图像，得 M ( 1 , 0), P(1 , 2), N(5 , 0),6636所以uuuur PM(1,2),uuur PN(1, 2),从而22uuuur uuur cos PM , PN uuuur uuur uuPuMur PuNuur15，故uuuur PM ,uuur PNarccos15.| PM | | PN | 17176、【解答】（1）Q tan C 3 7 ， sin C 3 7 ,又Q sin2 C cos2 C 1，解得： cos C 1 ，cos C8Q tan C 0 ， C 是锐角， cos C 1 ．8（2）Quuur uuur CB CA5，ab cos C5，ab 20 ，又Qab 9 ，a2 2ab b2 81，a2 b241，22c2 a2 b2 2ab cosC 36 ，c 6 ．7、【解答】（Ⅰ）f(x)arr b m(1 sin 2x) cos 2x 由已知f ( ) m(1 sin ) cos 2 ，得 m 1．422（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f (x) 1 sin 2x cos 2x 1 2 sin(2x ) 4∴当 sin(2x ) 1时， y f (x) 的最小值为1 2 ， 4由 sin(2x) 41，得x值的集合为 x|xk3 8,kZ ．8、【解答】∵a 9、【解答】（Ⅰ）∵f(4x,)2ar， (∴ar 平br移) 后 a的r 解ar 析ar式b为r ysin22coxsx 3π 6 12 22cos x 3cos2 x sin x cos x cos2 4 x 2，选A． 1 1 sin 2x 1 (cos 2x 1) 3 2 sin(2x )22224∴ f (x) 的最大值为 3 2 ，最小正周期是 2 222（Ⅱ）要使 f (x) 3 成立，当且仅当 3 2 sin(2x ) 3 ，22242即 sin(2x ) 0 2k 2x 2k k x k 3 , k Z ,4488即f(x)3 2成立的x的取值集合是 x|k 8xk3 8,kZ ．【专题训练】参考答案 一、选择题1．B 解析：由数量积的坐标表示知→a ·→b ＝cos40sin20＋sin40cos20＝sin603 ＝2.2．D 【解析】y＝2sin2x－π2 →y＝2sin2（x＋ 2 ）－π2 ＋π2 ，即 y＝－2sin2x.→AB·A→C→a ·→b3．A 【解析】因为 cos∠BAC＝|A→B|·|A→C|＝|→a |·|→b |＜0，∴∠BAC 为钝角.31 4．B 【解析】由平行的充要条件得2×3－sin cos ＝0，sin2 ＝1，2 ＝90 ， ＝45 . 5．B 【解析】→a ·→b ＝sinθ＋|sinθ|，∵θ∈(π，32 )，∴|sinθ|＝－sinθ，∴→a ·→b ＝0，∴→a ⊥→b ． 6．A →c ＝→a ＋ →b ＝(6，－4＋2 )，代入 y＝sinπ12x 得，－4＋2 ＝sin 2 ＝1，解得 ＝52.7．C 【解析】|→ P1P2|＝ (2＋sinθ－cosθ)2＋(2－cosθ－sinθ)2＝ 10－8cosθ≤3 2.8．D 【解析】→a ＋→b ＝(cos ＋cos ,sin ＋sin )，→a －→b ＝(cos ＋cos ,sin －sin →b )·(→a －→b )＝cos2 －cos2 ＋sin2 －sin2 ＝0，∴(→a ＋→b )⊥(→a －→b )．)，∴(→a ＋9．C 【解析】|→u |2＝|→a |2＋t2|→b |2＋2t→a ·→b ＝1＋t2＋2t(sin20 cos25 ＋cos20 sin25 )＝t2＋ 2t＋1＝(t＋ 22)2＋12，|→u |2min＝12，∴|→u |min＝ 22.10．C 【解析】设 BC 的中点为 D，则→AB＋→AC＝2→AD，又由→OP＝O→A＋ (A→B＋A→C)，A→P＝2 A→D，所以A→P与A→D共线，即有直线 AP 与直线 AD 重合，即直线 AP 一定通过△ABC 的重心．二、填空题11．－8493【解析】由→m ∥→n ，得－12sin＝2 3cos,∴tan＝－4 3，∴sin22sin cos ＝sin2 ＋cos2＝2tan83tan2 ＋1＝－ 49 ．12．5 2 3 【解析】→OA·→OB＝－5 10cos co s＋10sin sin ＝－5 10cos( － )＝－5 cos( － )1 ＝－2，∴sin∠AOB＝23，又|→OA |＝2，|→OB |＝5，∴S△AOB＝12×2×5×3 53 2＝ 2 ．13．(－1，0)或(0，－1) 【解析】设→n ＝(x，y)，由→m ·→n ＝－1，有 x＋y＝－1 ①，由→m 与→n 夹角为34π，有→m ·→n ＝|→m |·|→n |cos34π，∴|→n |＝1，则 x2＋y2＝1 (－1，0)或→n ＝(0，－1) ．②，由①②解得xy==﹣0 1或x＝0 y＝－1∴即→n ＝三、解答题14．【解】(Ⅰ)由题意得→m ·→n ＝1 3sinA－cosA＝1，2sin(A－ 6 )＝1，sin(A－ 6 )＝2，由 A 为锐角得 A－ 6 ＝ 6 ，A＝ 3 .(Ⅱ)由（Ⅰ）知1 cosA＝2，所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2(sinx－12)2＋32，因为 x∈R，所以 sinx∈[－1,1]，因此，当 sinx＝12时，f(x)有最大值32．当 sinx＝－1 时，f(x)有最小值－3，所以所求函数 f(x)的值域是[－3，32]．15．【解】(Ⅰ)由→m ∥→n ，得 2sin2A－1－cosA＝0，即 2cos2A＋cosA－1＝0，∴cosA＝12或 cosA＝－1.∵A 是△ABC 内角，cosA＝－1 舍去，∴A＝ 3 .(Ⅱ)∵b＋c＝ 3a，由正弦定理，sinB＋sinC＝ 3sinA＝32，223∵B＋C＝ 3 ，sinB＋sin( 3 －B)＝2，3333∴ 2 cosB＋2sinB＝2，即 sin(B＋ 6 )＝ 2 ．16．【解】(Ⅰ)由→m ⊥→n ，得→m ·→n ＝0，从而(2b－c)cosA－acosC＝0，由正弦定理得 2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0∴2sinBcosA－sin(A＋C)＝0，2sinBcosA－sinB＝0，∵A、B∈(0，π)，∴sinB≠0，cosA＝12，故 A＝ 3 .(Ⅱ)y＝2sin2B＋2sin(2B＋ 6 )＝(1－cos2B)＋sin2Bcos 6 ＋cos2Bsin 631＝1＋ 2 sin2B－2 cos2B＝1＋sin(2B－ 6 ).由(Ⅰ)得，0＜B＜23 ，－ 6 ＜2B－ 6 ＜76 ，∴当 2B－ 6 ＝ 2 ，即 B＝ 3 时，y 取最大值 2. 17．【解】（Ⅰ）假设→a ∥→b ，则 2cosx(cosx＋sinx)－sinx(cosx－sinx)＝0，∴2cos2x＋sinxcosx＋sin2x＝0，2·1＋c2os2x＋12sin2x＋1－c2os2x＝0， 即 sin2x＋cos2x＝－3，∴ 2(sin2x＋ 4 )＝－3，与| 2(sin2x＋ 4 )|≤ 2矛盾，故向量→a 与向量→b 不可能平行．（Ⅱ）∵f(x)＝→a ·→b ＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)＋sinx·2cosx＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x ＝ 2( 22cos2x＋ 22sin2x)＝ 2(sin2x＋ 4 )，3 ∵－ 4 ≤x≤ 4 ，∴－ 4 ≤2x＋ 4 ≤ 4 ，∴当 2x＋ 4 ＝ 2 ，即 x＝ 8 时，f(x)有最大值 2；当 2x＋ 4 ＝－ 4 ，即 x＝－ 4 时，f(x)有最小值－1．18．解：(Ⅰ)由题意得，f(x)arr (bcr )(sinx, cosx) (sinxcosx, sinx3 cosx) sin2 x 2sin x cos x 3cos2 2 cos 2x sin 2x 2 最大值为 2 2 ，最小正周期是 2 .22 sin(2x 3 ) ， 4所以， f (x) 的（Ⅱ）由 sin(2x 3 ) 0 得 2x 3 k ，即 x k 3 , k Z ，4428于是r d(k3,2)，r d( k 3 )2 4, k Z ．2828因为 k 为整数，要使r d最小，则只有 kr 1，此时 d ( , 2) 即为所求．819．解：（Ⅰ）若 arr b，则 sin cos 0 ，由此得： tan 1, ( )，22所以， ． 4（Ⅱ）由ar(sin r ,1), b(1,cos),得：arr b(sin 1)2 (1 cos )2 3 2(sin cos ) 3 2 2 sin( ) 4当 sin( ) 1 时，arr b取得最大值，即当时，arr b的最大值为2 1．44。