高考数学原创押题卷2

原创押题卷(二)(时间120分钟，满分150分)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩(∁R B)＝( )A．(－3,0) B．(－3，－1)C．(－3，－1] D．(－3,3)2．设复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则2z＋z2＝( )A．1＋i B．1－iC．－1－i D．－1＋i3．已知||a＝1，||b＝2，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.2π34.某商场在端午节的促销活动中，对9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图1所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为( )图1A ．8万元B ．10万元C ．12万元D ．15万元5．在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k 等于( )A ．1B ．2C ．－1D ．06．函数y ＝4cos x －e |x |(e 为自然对数的底数)的图象可能是( )7．已知正三角形ABC 的边长是3，D 是BC 上的点，BD ＝1，则AD →·BC →＝( )A ．－92B ．－32C.152D.528.已知变量x ，y 满足⎩⎨⎧ 4x ＋y －9≥0，x ＋y －6≤0，y －1≥0，若目标函数z ＝x －ay 取到最大值3，则a 的值为( )A ．2B.12C.25D ．19．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与函数y＝x的图象交于点P，若函数y＝x的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F(－1,0)，则双曲线的离心率是( )A.5＋12B.5＋22C.3＋12D.3210．若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数x都成立，则称f(x)是一个“λ～特征函数”．下列结论中正确的个数为( )①f(x)＝0是常数函数中唯一的“λ～特征函数”；②f(x)＝2x＋1不是“λ～特征函数”；③“13～特征函数”至少有一个零点；④f(x)＝e x是一个“λ～特征函数”．A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．已知x，y的取值如下表：从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为y＝bx－0.61，若回归直线与直线2x＋ay＋1＝0垂直，则实数a的值为________.12.已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD(n，m)，其结果为n除以m 的余数，例如MOD(8,3)＝2.下面是一个算法的程序框图，当输入的值为25时，则输出的结果为________．图213.如图3，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 的各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，如图所示，且A ，B ，C ，D 四点共圆，则AC 的长为________km.图314．某几何体的三视图如图4所示，图中方格的长度为1，则该几何体的外接球的体积为________．图415.已知函数f (x )＝4x ＋1，g (x )＝4－x ，若偶函数h (x )满足h (x )＝mf (x )＋ng (x )(其中m ，n 为常数)，且最小值为1，则m ＋n ＝________.三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω>0)，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间． 17．(本小题满分12分)为了解甲、乙两厂的产品质量，分别从两厂生产的产品中各随机抽取10件，测量产品中某种元素的含量(单位：毫克)，其测量数据的茎叶图如下：图5规定：当产品中此种元素含量大于18毫克时，认定该产品为优等品．(1)试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小；(2)现从乙厂抽出的非优等品中随机抽取两件，求至少抽到一件该元素含量为10毫克或13毫克的产品的概率．18．(本小题满分12分)如图6，在四棱锥P ­ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝AD ＝2，AB ⊥AD ，BC ∥AD 且BC ＝4，点M 为PC 中点．图6(1)求证：平面ADM ⊥平面PBC ；(2)求点P 到平面ADM 的距离．19．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项为S n ，S n ＝2n －n ，等差数列{b n }的各项为正实数，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3－1成等比数列．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n ·b n ，当n ≥2时，求数列{c n }的前n 项和A n .20．(本小题满分13分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为e ，半焦距为c ，B (0,1)为其顶点，且a 2，c 2，b 2依次成等差数列．(1)求椭圆的标准方程和离心率e；(2)P，Q为椭圆上的两个不同的动点，且k BP·k BQ＝e2.①试证直线PQ过定点M，并求出M点坐标；②△PBQ是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ的斜率；否则请说明理由．21．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝a x－2x(a>0，且a≠1)．(1)当a＝2时，求曲线f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程；(2)若f(x)的值恒非负，试求a的取值范围；(3)若函数f(x)存在极小值g(a)，求g(a)的最大值．【详解答案】1.【解析】 A ＝{x |－3＜x ＜3}，∁R B ＝{x |x ≤－1或x ＞5}，故A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ≤－1}．【答案】 C2.【解析】 ∵z ＝1＋i ，∴21＋i＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i ，故选A. 【答案】 A3.【解析】 ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝a 2，∵||a ＝1，||b ＝2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 2|a ||b |＝22，∴向量a 与向量b 的夹角为π4，故选B. 【答案】 B4.【解析】 由频率分布直方图得0.4÷0.1＝4，∴11时至12时的销售额为3×4＝12.【答案】 C5.【解析】 因为平行四边形OAMB 是以OA ，OB 为邻边的菱形，且∠MOB ＝60°，O 到y ＝kx ＋1的距离为1，即11＋k 2＝1，解得k ＝0，故选D. 【答案】 D6.【解析】 因为f (x )＝4cos x －e |x |为偶函数，所以排除B ，D ；因为f (0)＝3，所以排除C ，故选A.【答案】 A7.【解析】 由余弦定理得：AD 2＝32＋12－2×3×1×cos60°＝7，∴AD ＝7，∴cos ∠ADB ＝1＋7－92×1×7＝－714， ∴AD →·BC →＝7×3×cos ∠ADB ＝37×－714＝－32.【答案】 B8.【解析】 画出可行域知，该区域是由点A (5,1)，B (2,1)，C (1,5)所围成的三角形区域(包括边界)，直线z ＝x －ay 在y 轴上的截距为－1a z ，斜率为1a，通过调整直线易得在点A (5,1)取到最大值，故3＝5－a ·1，解得a ＝2.【答案】 A9.【解析】 设P (x 0，x 0)，∴切线的斜率为12x 0，又∵在点P 处的切线过双曲线左焦点F (－1,0)，∴12x 0＝x 0x 0＋1，解得x 0＝1，∴P (1,1)，因此2c ＝2,2a＝5－1，故双曲线的离心率是5＋12，故选A. 【答案】 A 10.【解析】 ①设满足定义的常数函数为f (x )＝C ，则有C ＋λC ＝(1＋λ)C ＝0，当λ＝－1时C 可不为0，故①错；②若该函数满足定义则存在实数使得2(x＋λ)＋1＋λ(2x ＋1)＝0对所有x 都成立，则有⎩⎨⎧ 2＋2λ＝0，3λ＋1＝0有实根，而此方程组无实数解，故②对；对于③，令x ＝0，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋13f (0)＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝－13f (0)．若f (0)＝0，显然f (x )＝0有实数根；若f (0)≠0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13·f (0)＝－13f (0)2<0.又因为f (x )的图象是连续不断的，所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，13上必有实根，故③对；④若该函数满足定义，则存在实数使得e x ＋λ＋λe x ＝0对所有x 都成立，则有e λ＋λ＝0有实根，而由函数图象关系知此方程有小于零的实数解，故④对．故此题有三个命题正确，选C.【答案】 C11.【解析】 由所给数据，得x ＝2＋3＋4＋54＝3.5，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.54＝4.5，将(3.5,4.5)代入到回归方程，得 4.5＝b ×3.5－0.61，解得b ＝1.46，即回归直线方程为y ^＝1.46x －0.61，因为回归直线与直线2x ＋ay ＋1＝0垂直，所以1.46×2－1×a ＝0，解得a ＝2.92.【答案】 2.9212.【解析】 第一次循环：i ＝3；第二次循环：i ＝4；第三次循环：i ＝5；此时MOD(25,5)＝0，循环结束，输出i ＝5.【答案】 513.【解析】 因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠B ＋∠D ＝π，由余弦定理得AC 2＝52＋32－2×5×3cos D ＝34－30cos D ，AC 2＝52＋82－2×5×8cos B ＝89－80cos B ，由cos B ＝－cos D ，得－34－AC 230＝89－AC 280，解得AC ＝7. 【答案】 714.【解析】 根据三视图还原成几何体直观图为如图所示的三棱锥P ­ABC ，其特点是：侧面PAB ⊥底面ABC ，由图可知，其外接球的球心为AB 的中点，半径为2，故该几何体的外接球的体积为V ＝43π×23＝323π.【答案】 323π 15.【解析】 由已知得h (－x )＝h (x )，∴(m －n )·4－x ＋(n －m )·4x ＝0，得m ＝n ，∴h (x )＝m ·(4x ＋1)＋m ·4－x ＝m (4x ＋4－x )＋m ≥m ·24x ·4－x ＋m ＝3m ，当且仅当4x ＝4－x ，即x ＝0时，等号成立，∵函数h (x )的最小值为1，∴3m＝1，得m ＝13，∴m ＋n ＝23. 【答案】 2316.【解】 (1)由已知f (x )＝32sin2ωx －12cos2ωx －4×1－cos 2ωx 2＋2 ＝32sin2ωx ＋32cos2ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3， 由已知函数f (x )的周期T ＝π，即2π2ω＝π，∴ω＝1， ∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位得到g (x )的图象，则g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2m ＋π3. ∵g (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0， ∴3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2m ＋π3＝0， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2m －π3＝0， ∴2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k 2π＋π6，∵m >0，∴当k ＝0时，m 取得最小值，此时最小值为π6. 此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3. 若－π6≤x ≤7π12， 则π3≤2x ＋2π3≤11π6， 当π3≤2x ＋2π3≤π2，即－π6≤x ≤－π12时，g (x )单调递增； 当3π2≤2x ＋2π3≤11π6，即5π12≤x ≤7π12时，g (x )单调递增． ∴g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π12上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，7π12. 17.【解】 (1)甲厂平均值为110(9＋18＋15＋16＋19＋13＋23＋20＋25＋21)＝17.9，乙厂平均值为110(18＋14＋15＋16＋19＋10＋13＋21＋20＋23)＝16.9. 所以甲厂平均值大于乙厂平均值．(2)记含量为10和13毫克的两件产品为A ，B ，其他非优质品分别为C ，D ，E ，F ，则“从六件非优质品中随机抽取两件”，基本事件有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15个． “至少抽到一件含量为10毫克或13毫克的产品”所组成的基本事件有： (A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，共9个，故所求概率P ＝915＝35.18.【解】 (1)证明：取PB 中点N ，连接MN 、AN ，∵M 是PC 中点，∴MN ∥BC ，MN ＝12BC ＝2，又∵BC ∥AD ，AD ＝2，∴MN ∥AD ，MN ＝AD ， ∴四边形ADMN 为平行四边形．∵AP ⊥AD ，AB ⊥AD ，∴AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥AN ，∴AN ⊥MN ， ∵AP ＝AB ，∴AN ⊥PB ，又∵MN ∩PB ＝N ，∴AN ⊥平面PBC ， ∵AN ⊂平面ADM ，∴平面ADM ⊥平面PBC . (2)由(1)知，PN ⊥AN ，PN ⊥AD ，所以PN ⊥平面ADM ，即点P 到平面ADM 的距离为PN ，在Rt △PAB 中，由PA ＝AB ＝2，得PB ＝22，所以PN ＝12PB ＝ 2.19.【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝2－1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －n －[2n －1－(n －1)]＝2n －1－1， 此式对n ＝1不成立， ∴a n ＝⎩⎨⎧1， n ＝1，2n －1－1， n ≥2.又由T 3＝15可得b 1＋b 2＋b 3＝15，∴b 2＝5.设数列{b n }的公差为d ，由a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3－1成等比数列可得6－d,6,7＋d 成等比数列，∴(6－d )(7＋d )＝36⇒d ＝2或d ＝－3.又∵等差数列{b n }的各项为正实数， ∴d ＝－3不合题意，舍去，∴d ＝2，从而可得b n ＝b 2＋(n －2)d ＝5＋(n －2)·2＝2n ＋1. (2)c n ＝a n ·b n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，(2n ＋1)·2n －1－(2n ＋1)，n ≥2.当n ≥2时，∴A n ＝3＋5·21＋7·22＋…＋(2n －1)·2n －2＋(2n ＋1)·2n －1－[5＋7＋…＋(2n＋1)]，令P n ＝5·21＋7·22＋…＋(2n －1)·2n －2＋(2n ＋1)·2n －1，① 则2P n ＝5·22＋7·23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，② ①－②可得－P n ＝5·21＋23＋…＋2n －(2n ＋1)·2n ， ∴－P n ＝5·21＋23＋…＋2n －(2n ＋1)·2n ＝10＋23－2n ＋11－2－(2n ＋1)·2n＝(1－2n )2n ＋2， ∴P n ＝(2n －1)2n －2，∴A n ＝3＋(2n －1)2n －2－(n －1)·(n ＋3) ＝(2n －1)·2n －n 2－2n ＋4.20.【解】 (1)由题意得b ＝1，a 2＋b 2＝2c 2， 又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，c 2＝2， 所以椭圆的标准方程为x 23＋y 2＝1.离心率e ＝23＝63. (2)①证明：设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立 ⎩⎨⎧x ＝my ＋n ，x 2＋3y 2＝3，得(3＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－3＝0，Δ＝(2mn )2－4(3＋m 2)×(n 2－3)＝12(m 2－n 2＋3)>0，(*) ⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mn3＋m 2，y 1y 2＝n 2－33＋m 2，因为k BP ·k BQ ＝y 1－1x 1·y 2－1x 2＝e 2＝23，所以3(y 1－1)(y 2－1)＝2x 1x 2＝2(my 1＋n )(my 2＋n )，所以(2m 2－3)y 1y 2＋(2mn ＋3)(y 1＋y 2)＋2n 2－3＝0，所以(2m 2－3)n 2－33＋m 2＋(2mn ＋3)－2mn 3＋m2＋2n 2－3＝0，整理得n 2－2mn －3m 2＝0， 所以(n －3m )(n ＋m )＝0， 所以n ＝－m 或n ＝3m ，所以直线PQ 的方程为x ＝my －m ＝m (y －1)(舍)或x ＝my ＋3m ＝m (y ＋3)， 所以直线PQ 过定点M (0，－3)．②由题意知∠PBQ ≠90°，若∠BPM ＝90°或∠BQM ＝90°， 则P 或Q 在以BM 为直径的圆T 上，即在圆x 2＋(y ＋1)2＝4上， 联立⎩⎨⎧x 2＋(y ＋1)2＝4，x 2＋3y 2＝3，解得y ＝0或1(舍)，即P 或Q 只可以是椭圆的左、右顶点，故k PQ ＝± 3. 21.【解】 (1)当a ＝2时，f (x )＝2x －2x ， 所以f ′(x )＝2xln2－2，所以f ′(2)＝4ln2－2， 又f (2)＝0，所以所求切线方程为y ＝(4ln2－2)(x －2)． (2)当x ≤0时，f (x )≥0恒成立； 当x >0时，若0<a <1，则x >1时，f (x )<1－2<0，与题意矛盾，故a >1. 由f (x )≥0知a x ≥2x ，所以x ln a ≥ln2x ， 所以ln a ≥ln 2xx .令g (x )＝ln 2xx，则g ′(x )＝12x×2×x －ln 2x x 2＝1－ln 2xx 2，令g ′(x )＝0，则x ＝e2，且0<x <e 2时，g ′(x )>0，x >e2时，g ′(x )<0，则g (x )max ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2＝ln e e 2＝2e ，所以ln a ≥2e ，a ≥e 2e ，即a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 2e ，＋∞.(3)f ′(x )＝a x ln a －2，①当0<a <1时，a x >0，ln a <0，则f ′(x )<0， 所以f (x )在R 上为减函数，f (x )无极小值． ②当a >1时，设方程f ′(x )＝0的根为t ，得a t ＝2ln a， 即t ＝log a 2ln a ＝ln2ln a ln a，所以f (x )在(－∞，t )上为减函数，在(t ，－∞)上为增函数， 所以f (x )的极小值为f (t )＝a t －2t ＝2ln a －2ln2ln a ln a，即g (a )＝2ln a －2ln2ln a ln a ，又a >1，所以2ln a>0.设h (x )＝x －x ln x ，x >0，则h ′(x )＝1－ln x －x ·1x＝－ln x ，令h ′(x )＝0，得x ＝1，所以h (x )在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数， 所以h (x )的最大值为h (1)＝1， 即g (a )的最大值为1，此时a ＝e 2.。