高考数学原创押题卷2

原创押题卷(二)

(时间120分钟，满分150分)

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩(?R B)＝( )

A．(－3,0) B．(－3，－1)

C．(－3，－1] D．(－3,3)

2．设复数z＝1＋i(i是虚数单位)，则2

＋z2＝( )

A．1＋i B．1－i

C．－1－i D．－1＋i

3．已知||a＝1，||b＝2，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为( )

A.π

2π

4.某商场在端午节的促销活动中，对9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图1所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为( )

图1

A ．8万元

B ．10万元

C ．12万元

D ．15万元

5．在平面直角坐标系xOy 中，设直线l ：kx －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数

k 等于( )

A ．1

B ．2

C ．－1

D ．0

6．函数y ＝4cos x －e |x |(e 为自然对数的底数)的图象可能是( )

7．已知正三角形ABC 的边长是3，D 是BC 上的点，BD ＝1，则AD →·BC →＝( ) A ．－92B ．－32C.152D.52

8.已知变量x ，y 满足???

4x ＋y －9≥0，x ＋y －6≤0，

y －1≥0，

若目标函数z ＝x －ay 取到最大

值3，则a 的值为( )

A ．2B.12C.2

D ．1

9．已知双曲线x2

－

＝1(a>0，b>0)与函数y＝x的图象交于点P，若函数

y＝x的图象在点P处的切线过双曲线左焦点F(－1,0)，则双曲线的离心率是( )

A.5＋1

5＋2

3＋1

10．若对于定义在R上的函数f(x)，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R)使得f(x＋λ)＋λf(x)＝0对任意实数x都成立，则称f(x)是一个“λ～特征函数”．下列结论中正确的个数为( )

①f(x)＝0是常数函数中唯一的“λ～特征函数”；

②f(x)＝2x＋1不是“λ～特征函数”；

③“1

～特征函数”至少有一个零点；

④f(x)＝e x是一个“λ～特征函数”．

A．1B．2C．3D．4

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)

11．已知x，y的取值如下表：

从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为y＝bx－0.61，若回归直线与直线2x＋ay＋1＝0垂直，则实数a的值为________.

12.已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD(n，m)，其结果为n除以m 的余数，例如MOD(8,3)＝2.下面是一个算法的程序框图，当输入的值为25时，则输出的结果为________．

图2

13.如图3，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 的各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，如图所示，且A ，B ，C ，D 四点共圆，则AC 的长为________km.

图3

14．某几何体的三视图如图4所示，图中方格的长度为1，则该几何体的外接球的体积为________．

图4

15.已知函数f (x )＝4x ＋1，g (x )＝4－x ，若偶函数h (x )满足h (x )＝mf (x )＋

ng (x )(其中m ，n 为常数)，且最小值为1，则m ＋n ＝________.

三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．已知函数f (x )＝sin ? ?

???2ωx －π6－4sin 2ωx ＋2(ω>0)，其图象与x 轴相

邻两个交点的距离为

. (1)求函数f (x )的解析式；

(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个长度单位得到函数g (x )的图象恰好经

过点? ????－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在??????－π6

，7π12上的单调递增区间． 17．(本小题满分12分)为了解甲、乙两厂的产品质量，分别从两厂生产的产品中各随机抽取10件，测量产品中某种元素的含量(单位：毫克)，其测量数据的茎叶图如下：

图5

规定：当产品中此种元素含量大于18毫克时，认定该产品为优等品． (1)试比较甲、乙两厂生产的产品中该种元素含量的平均值的大小； (2)现从乙厂抽出的非优等品中随机抽取两件，求至少抽到一件该元素含量为10毫克或13毫克的产品的概率．

18．(本小题满分12分)如图6，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝

AB ＝AD ＝2，AB ⊥AD ，BC ∥AD 且BC ＝4，点M 为PC 中点．

图6

(1)求证：平面ADM ⊥平面PBC ； (2)求点P 到平面ADM 的距离．

19．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项为S n ，S n ＝2n －n ，等差数列{b n }的各项为正实数，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3－1成等比数列．

(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2)若c n ＝a n ·b n ，当n ≥2时，求数列{c n }的前n 项和A n .

20．(本小题满分13分)已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ，半焦距为

c ，

B (0,1)为其顶点，且a 2，c 2，b 2依次成等差数列．

(1)求椭圆的标准方程和离心率e；

(2)P，Q为椭圆上的两个不同的动点，且k BP·k BQ＝e2.

①试证直线PQ过定点M，并求出M点坐标；

②△PBQ是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ的斜率；否则请说明理由．

21．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝a x－2x(a>0，且a≠1)．

(1)当a＝2时，求曲线f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程；

(2)若f(x)的值恒非负，试求a的取值范围；

(3)若函数f(x)存在极小值g(a)，求g(a)的最大值．

【详解答案】

1.【解析】 A ＝{x |－3＜x ＜3}， ?R B ＝{x |x ≤－1或x ＞5}，故A ∩(?R B )＝{x |－3＜x ≤－1}．【答案】 C

2.【解析】 ∵z ＝1＋i ，∴2

1＋i

＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i ，故选A. 【答案】 A

3.【解析】 ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝0，∴a ·b ＝a 2，∵||

a ＝1，||

b ＝2，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 2|a ||b |＝2

2，∴向量a 与向量b 的夹

角为π

，故选B.

【答案】 B

4.【解析】由频率分布直方图得0.4÷0.1＝4，∴11时至12时的销售额为3×4＝12.

【答案】 C

5.【解析】因为平行四边形OAMB 是以OA ，OB 为邻边的菱形，且∠MOB ＝60°，O 到y ＝kx ＋1的距离为1，即

1＋k 2

＝1，解得k ＝0，故选D. 【答案】 D

6.【解析】因为f (x )＝4cos x －e |x |为偶函数，所以排除B ，D ；因为f (0)＝3，所以排除C ，故选A.

【答案】 A

7.【解析】由余弦定理得：AD 2＝32＋12－2×3×1×cos60°＝7，∴AD ＝7，∴cos ∠ADB ＝

1＋7－92×1×7

＝－7

14，

∴AD →·BC →＝7×3×cos ∠ADB ＝37×－714＝－3

【答案】 B

8.【解析】画出可行域知，该区域是由点A (5,1)，B (2,1)，C (1,5)所围成的三角形区域(包括边界)，直线z ＝x －ay 在y 轴上的截距为－1a z ，斜率为1

，通

过调整直线易得在点A (5,1)取到最大值，故3＝5－a ·1，解得a ＝2.

【答案】 A

9.【解析】设P (x 0，x 0)，∴切线的斜率为

12x 0

，又∵在点P 处的切线过

双曲线左焦点F (－1,0)，∴

2x 0＝

x 0

x 0＋1

，解得x 0＝1，∴P (1,1)，因此2c ＝2,2a

＝5－1，故双曲线的离心率是

5＋1

，故选A. 【答案】 A

10.【解析】 ①设满足定义的常数函数为f (x )＝C ，则有C ＋λC ＝(1＋λ)C ＝0，当λ＝－1时C 可不为0，故①错；②若该函数满足定义则存在实数使得2(x ＋λ)＋1＋λ(2x ＋1)＝0对所有x 都成立，则有??

2＋2λ＝0，3λ＋1＝0

有实根，而此

方程组无实数解，故②对；对于③，令x ＝0，得f ? ????13＋13f (0)＝0，所以f ? ????

13＝－

13f (0)．若f (0)＝0，显然f (x )＝0有实数根；若f (0)≠0，则f ? ??

13·f (0)＝－13f (0)2<0.

又因为f (x )的图象是连续不断的，所以f (x )在?

????0，13上必有实根，故③对；④若该函数满足定义，则存在实数使得e x ＋λ＋λe x ＝0对所有x 都成立，则有e λ＋λ＝0有实根，而由函数图象关系知此方程有小于零的实数解，故④对．故此题有三个命题正确，选C.

【答案】 C

11.【解析】由所给数据，得x ＝

2＋3＋4＋5

＝3.5，y ＝

2.2＋

3.8＋5.5＋6.5

4＝4.5，将(3.5,4.5)代入到回归方程，得 4.5＝b ×3.5－

0.61，解得b ＝1.46，即回归直线方程为y ^＝1.46x －0.61，因为回归直线与直线2x ＋ay ＋1＝0垂直，所以1.46×2－1×a ＝0，解得a ＝2.92.

【答案】 2.92

12.【解析】第一次循环：i ＝3；第二次循环：i ＝4；第三次循环：i ＝5；此时MOD(25,5)＝0，循环结束，输出i ＝5.

【答案】 5

13.【解析】因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠B ＋∠D ＝π，由余弦定理得

AC 2＝52＋32－2×5×3cos D ＝34－30cos D ， AC 2＝52＋82－2×5×8cos B ＝89－80cos B ，

由cos B ＝－cos D ，得－34－AC 230＝89－AC 2

80，解得AC ＝7.

【答案】 7

14.【解析】根据三视图还原成几何体直观图为如图所示的三棱锥P -ABC ，其特点是：侧面PAB ⊥底面ABC ，由图可知，其外接球的球心为AB 的中点，半径为2，故该几何体的外接球的体积为V ＝43π×23＝32

π.

【答案】

323

π 15.【解析】由已知得h (－x )＝h (x )，∴(m －n )·4－x ＋(n －m )·4x ＝0，得m ＝n ，∴h (x )＝m ·(4x ＋1)＋m ·4－x ＝m (4x ＋4－x )＋m ≥m ·24x ·4－x ＋m ＝3m ，当且仅当4x ＝4－x ，即x ＝0时，等号成立，∵函数h (x )的最小值为1，∴3m ＝1，得m ＝13，∴m ＋n ＝2

【答案】 2

16.【解】 (1)由已知f (x )＝32sin2ωx －12cos2ωx －4×1－cos 2ωx 2

＋2 ＝

32sin2ωx ＋32cos2ωx ＝3sin ?

???2ωx ＋π3，

由已知函数f (x )的周期T ＝π，即2π

2ω

＝π，∴ω＝1， ∴f (x )＝3sin ?

???2x ＋π3.

(2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位得到g (x )的图象，则g (x )＝3sin ? ?

???2x ＋2m ＋π3.

∵g (x )经过点? ????

－π3，0，

∴3sin ??????2? ????

－π3＋2m ＋π3＝0，

即sin ? ?

???2m －π3＝0，

∴2m －

π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k 2π＋π6

，

∵m >0，∴当k ＝0时，m 取得最小值，此时最小值为π

. 此时，g (x )＝3sin ?

????2x ＋2π3. 若－π6≤x ≤7π

，则π3≤2x ＋2π3≤11π6

，当π3≤2x ＋2π3≤π2，即－π6≤x ≤－π12时，g (x )单调递增；当

3π2≤2x ＋2π3≤11π6，即5π12≤x ≤7π12

时，g (x )单调递增． ∴g (x )在??????－π6，7π12上的单调递增区间为??????－π

6，－π12和??

????5π12，7π12. 17.【解】 (1)甲厂平均值为1

(9＋18＋15＋16＋19＋13＋23＋20＋25＋21)＝17.9，

乙厂平均值为

(18＋14＋15＋16＋19＋10＋13＋21＋20＋23)＝16.9. 所以甲厂平均值大于乙厂平均值．

(2)记含量为10和13毫克的两件产品为A ，B ，其他非优质品分别为C ，D ，E ，

F ，则“从六件非优质品中随机抽取两件”，基本事件有：

(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，

F )，

(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15个． “至少抽到一件含量为10毫克或13毫克的产品”所组成的基本事件有： (A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，

F )，共9个，

故所求概率P ＝915＝35

18.【解】 (1)证明：取PB 中点N ，连接MN 、AN ，

∵M 是PC 中点，∴MN ∥BC ，MN ＝1

2BC ＝2，

又∵BC ∥AD ，AD ＝2，∴MN ∥AD ，MN ＝AD ， ∴四边形ADMN 为平行四边形．

∵AP ⊥AD ，AB ⊥AD ，∴AD ⊥平面PAB ，∴AD ⊥AN ，∴AN ⊥MN ， ∵AP ＝AB ，∴AN ⊥PB ，

又∵MN ∩PB ＝N ，∴AN ⊥平面PBC ， ∵AN ?平面ADM ，∴平面ADM ⊥平面PBC . (2)由(1)知，PN ⊥AN ，PN ⊥AD ，

所以PN ⊥平面ADM ，即点P 到平面ADM 的距离为PN ，

在Rt △PAB 中，由PA ＝AB ＝2，得PB ＝22，所以PN ＝1

2PB ＝ 2.

19.【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝2－1＝1；

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －n －[2n －1－(n －1)]＝2n －1－1，此式对n ＝1不成立， ∴a n ＝???

1， n ＝1，2n －1

－1， n ≥2.

又由T 3＝15可得b 1＋b 2＋b 3＝15，∴b 2＝5.

设数列{b n }的公差为d ，由a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3－1成等比数列可得6－d,6,7＋d 成等比数列，∴(6－d )(7＋d )＝36?d ＝2或d ＝－3.

又∵等差数列{b n }的各项为正实数， ∴d ＝－3不合题意，舍去，

∴d ＝2，从而可得b n ＝b 2＋(n －2)d ＝5＋(n －2)·2＝2n ＋1. (2)c n ＝a n ·b n ＝???

3，n ＝1，(2n ＋1)·2n －1

－(2n ＋1)，n ≥2.

当n ≥2时，

∴A n ＝3＋5·21

＋7·22

＋…＋(2n －1)·2n －2＋(2n ＋1)·2n －1－[5＋7＋…＋(2n

＋1)]，

令P n ＝5·21＋7·22＋…＋(2n －1)·2n －2＋(2n ＋1)·2n －1，① 则2P n ＝5·22＋7·23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，② ①－②可得－P n ＝5·21＋23＋…＋2n －(2n ＋1)·2n ， ∴－P n ＝5·21＋23＋…＋2n －(2n ＋1)·2n ＝10＋23－2n ＋1

1－2－(2n ＋1)·2n

＝(1－2n )2n ＋2， ∴P n ＝(2n －1)2n －2，

∴A n ＝3＋(2n －1)2n －2－(n －1)·(n ＋3) ＝(2n －1)·2n －n 2－2n ＋4.

20.【解】 (1)由题意得b ＝1，a 2＋b 2＝2c 2，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝3，c 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 2

3＋y 2＝1.

离心率e ＝

23＝63

. (2)①证明：设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立 ???

x ＝my ＋n ，x 2

＋3y 2

＝3，

得(3＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－3＝0，