七年级数学乘法公式-教案

乘法公式

【知识梳理】

（一)平方差公式

1.平方差公式:()()22a b a b a b -+=-

2.平方差公式的特点：

（1） 左边是两个项式相乘,两项中有一项完全相同,另一项互为相反数

（2） 右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方）

（3） 公式中的,a b 可以是具体的数,也可是单项式或多项式

3．????????????

表达式平方差公式语言叙述用于计算应用逆用公式

(二）完全平方公式

1．完全平方公式：()2

222a b a ab b +=++ ()2

222a b a ab b -=-+ 2.完全平方公式的特点：

在公式()2

222a b a ab b ±=±+中，左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式．其中有两项是左边括号内而像是种每一项的平方，中间一项为左边二项式中两项乘积的2倍,其符号由左边括号内的符号决定.本公式可由语言表述为：首平方,尾平方，两项乘积在中央．

3.公式的恒等变形及推广：

（1)()()()222

a b b a a b -+=-=-

(2）()()22a b a b --=+

４．完全平方公式的几种常见变形:

（1)()()22

2222a b a b ab a b ab +=+-=-+ （2)(

)()()()22222222a b a b a b a b ab +-+--+==- (3）()()224a b a b ab -=+-

（4）()()22

4a b a b ab +=-+

(5）()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ ５.其他:（拓展内容）

()()333333,,,a b a b a b a b +-+-

６． ???????

完全平方公式的表示完全平方公式的结构特征完全平方公式完全平方公式的应用

完全平方公式的变形

【典型例题分析】

（一)平方差公式

题型一:

【例1】请根据下图图形的面积关系来说明平方差公式

【例2】判断下列各式能否用平方差公式计算，如果不能，应怎样改变才能使平方差公式适用?

(1）??

? ??--??? ??

-b a b a 231312 (2）()()a b b a 3232++- (3）()()2323-+-m m 【分析】应用公式时，应首先判断能不能运用公式，必须是两个二项式相乘；这两个二项式要符合公式特征,公式中的“a ”,“b ”与位置、自身的符号无关,观察的要点是“两因式中的两对数是否有一对完全相同，另一对相反”.不能盲目套用公式.

【答案】(1)不能,若改为??

? ??--??? ??

-b a a b 231312就可以应用公式 （２)不能，若改为()()a b b a 2332++-就可以应用公式

(3）不能,若改为()()2323-+m m 就可以应用公式

【借题发挥】

1． 试判断下列两图阴影部分的面积是否相等

【答案】相等

2.下列计算中可以用平方差公式的是 ( ）

（Ａ）()()22--+a a （B ）??? ?

?-??? ??+a b b a 2121 （Ｃ）()()y x y x -+- (D)()()22y x y x +-

【答案】Ｂ

题型二：平方差公式的计算及简单应用

【例3】类型1：()()22b a b a b a -=-+ （1）()()a a 2121+-

(2))51)(51(y y +-

(3))23)(23(n m n m -+

（4)??? ??-??? ??+3121312

122x x 【答案】（1)原式=214a -；(2）原式＝2125y -；(3)原式=2294m n -；（4）原式=21149

x - 【例４】类型2:()()2

2a b a b b a -=-+ （1）（21）（１-2）

（2）(3x －4a ）(4a+3x)

（3）)23)(23(a a +-+

（４))2)(2(2

332b a a b -+

【答案】(１)原式=2214x y -；（2)原式=22916x a -;(３)原式=249a -；（4）原式＝644a b - 【例5】类型3：()()2

2a b b a b a -=--- （1) )52)(52(22--+-x x

(2) )32)(32(---a a

(3)(-54z ）（-54z ）

(4)()()

z y x z y x 323222+---

【答案】

(1）原式=42425x y -；(2)原式=294a -；(3)原式=2222516x y z -;(4)原式=42249x y z - 【例6】类型4:()()()22b a m b a mb ma -=-+

（）（）

【答案】原式＝22xy xz -

【方法总结】为了避免错误，初学时,可将结果用“括号”的平方差表示,再往括号内填上这两个数.

如：(a ＋ ｂ) （a - b)= a ２ － b2

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

计算:（１ ＋ ２x)(1 - 2x)= ( １ ）２－( ２x )2 =1-4ｘ2

【例7】()()2

_________24.m m +=- 【借题发挥】

1. ,括号内应填入下式中的( )．

A. B. C. D ．

【答案】A

【例8】运用平方差公式化简：

(1)()()()()b a b a b a b a 33-+--+

(2） ()()

()()222222+---+x x x x （3)()()()2111x

x x ++- (4)()a a a -??? ??+??? ??+2

121412 【答案】（1)原式=28b ；（2)原式＝42x x -；（3)原式=21x -；（４)原式=

4161a - 【例８】用简便方法计算下列各式:

（1)8991? (2）2.608.59? (3)3

1393240

? 【答案】

（１）原式=()()809919019019022=-=-+ （2）原式=()()96.35992.0602.0602.0602

2=-=+- (3)原式=95159994160032403240324022=-=??

? ??-=??? ??-??? ??+ 【方法总结】用乘法公式计算，首先要把需要计算的算式写成乘法公式的形式,一般地，给出的算式是可以写成公式所要求的形式的，利用乘法公式能简化计算。

【借题发挥】

1．计算：

(1)()()b b a b b a 3322---

(2）??? ?

?+??? ??-a b b a 4141 （3）（５5)(）

（4）()()b a b a 5454-+；

（5)??? ?

?-??? ??+x y y x 327732 (6）())1(12

2n m n m --+-

(7）??

? ??-??? ??--y x y x 221221 （8)()()133122---b a b a

（9) )22

1)(221(y x y x --+- （１0) )14)(14(---a a

（11)()2.1008.99-?

(12）229.01.1?

（13))4)(2)(2(2+-+y y y

（１４))21)(41)(21(2++-x x x

【答案】

(１）原式=2429b a b -

（2）原式＝2216

1b a - （３）原式=2255xy xz -

（4)原式=()()()()222

22516545454b a b a b a b a -=-=-+ (5)原式=229

449x y - (6)原式=()()11)1(12422222-=--=--+-n m n

m n m n m (7)原式=2244

1y x +- （８)原式=2491b a -

(9)原式＝2

244

x y + （10）原式=2

116a -

(１1）原式９９９９.96

（１２)原式=0.９８01

(１３)原式=416y -

(14)原式=4116

x - 2．先化简再求值：()()()()y x y x y x y x -----+2222,其中.8,8-==y x

【答案】0

题型三:逆用公式

【例9】如果9=+y x ，3=-y x ，则2222y x -得结果是 （ )

(A)54 （Ｂ）2４ (C ）1２ （D)81

【答案】A

【借题发挥】

1.化简

(1）22)3(x x -+

(2)2

2)(y x y +-

【答案】(1）69x +;（2）22x xy -- (二）完全平方公式

题型一：

【例1】请根据下图说明完全平方公式。

【例２】下列多项式不是完全平方式的是（ )．

Ａ.

Ｂ. Ｃ. D.

【答案】A

【借题发挥】 1．下列各式能用完全平方公式计算的是 ( ）

A ()()4774.x y y x ---

B ()()4774.y x x y --+

Ｃ ()()4774.x y y x -++ D

()()4774.x y y x -+

【答案】Ｂ

题型二：完全平方公式的计算及简单应用

【例3】下列各式计算正确的是（ )

(Ａ）()222b a b a +=+ (B ）()222

b a b a -=- （C)()222242y xy x y x +-=- (D ）2554152122

++=??? ??+x x x 【答案】Ｄ

【例４】类型1:()2a b ±

（1)2

12??? ??-a

(2）2

222???? ??-x x

【答案】 (1)142

+-a a

(２）424

2

2

2x x x =???? ??-

【例５】类型2：()2a b -+

(1）()232x y -+

（２)2

232y x ??-+ ???

【答案】

(１)229124x xy y -+

(2）2

429124y y x x -+

【例６】类型3：()2a b --

()232b a --

【答案】原式＝229124b ab a ++

【例７】配方

填空:

（1）+24x ( )()2329+=+x

（２)(+-xy x 45252 )2

815??? ??-=y x 【答案】1２x;264

1y 【例8】利用完全平方公式计算：

(1）2

7.99

【答案】994０.09

（２)22006

【答案】

【例9】若 04412=+++-y y x ,求()2xy . 【借题发挥】

1.判断下列各题计算是否正确?若有错,请指出错在哪里？

(1）()4222

-=-x x （2）()222

2510452b ab a b a +-=- （3）222

214141y xy x y x +-=??

? ??- （４）()()221644b a b a b a -=--+ 【答案】

错,()44222

+-=-x x x 错，()222

2520452b ab a b a +-=- 错,222

2116141y xy x y x +-=??

? ??- 错，()()2281644b ab a b a b a ---=--+ 2.(１）2

2213

1??? ??-y x （２)()225.02b a + 【答案】

(１)2222

24131912131y xy x y x +-=??? ??-

（２）()2

22161425.02b ab a b a ++=+

3．若224936y mxy x +-是一个完全平方式,则ｍ的值为( )

（Ａ）1764 (Ｂ)42 （C)８4 (D)84±

【答案】D

４.若()N y xy x y x +++=-222，则N 为（ )

(A ） (B) (C ）3 (D)-3

【答案】Ｄ

5．已知：()029622=+++-y x x ,求 x y 的值.

6.利用完全平方公式计算:

（1)1０22

(２)１９72

【随堂练习】

填空题：

1．

(1)()=-212a

（2)()=--23n m

【答案】

1442+-a a

2269n mn m ++

2.

(１） .

(２) .

【答案】（１)3y x -;（2)1a --

3. ()22_____3______69b ab b +=++

【答案】a ,2a

选择题:

1.乘积()()y x y x 55-+的结果是

（

) (A ）2225x y - （B)2225y x +

(C ）2225y x - （D)222510y xy x ++

【答案】C 2.

( ） Ａ． Ｂ. C ． Ｄ.

【答案】A

3.若一个多项式的平方的结果为 ,则 （ )

A ．

B ． Ｃ. D.

【答案】A

4．如果()()256,x a x b x x +-=++那么a 、b 的值可能是

(

) A 23 B ２ , 3

C 23 Ｄ ２３.

【答案】

解答题：

1． 化简:

(1）()()233233x y y x --

(2)()()1212+--x x

【答案】

(1）原式=632496y y x x -+-

(2）原式=2441x x ---

2.利用乘法公式计算下列各题：

（1）2

2217613838-

(2）31

243225?

(3)598×60２

(4） 8.292.30?

（５) .

【答案】（1）

4425；(2)56219；（３)3596;（4)８99．96；（5)3９996 3.已知一个正方形的边长是()cm a 3+,从中挖去一个边长是()cm a 1-的正方形，求剩余部分的面积。

【答案】a a +8

4.一些小学生经常照看一位老人,这位老人非常喜欢这些孩子,每当这些孩子到他家，老人都拿出糖块招待他们,来一个孩子，就给这个孩子1块糖;来两个孩子就给每个孩子2块糖;···

（1） 若第一天来了m 个女孩去看望老人,老人一共给了这些女孩多少块糖？

（2） 若第二天来了n 个男孩去看望老人，老人一共给了这些男孩多少块糖？

（3） 若第三天有()n m +个孩子一起去看望老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？

（4） 第三天得到的糖块数与前两天得到的糖块总数哪个多？多多少？为什么？

【答案】（1)2m ;（2)22n ；(3）()2

n m +;（4)第三天得到的糖块多,多mn 2块。 【课堂总结】

【课后练习】

一、基础巩固训练

填空题:

1．

（１) (2ａ+3b ）2

解:原式＝（ )２＋2× × ＋（ )2 ＝ (２) （2a+2

b ）２ 解:原式=( ）2＋2× × +( ）２ =

【答案】略

２．

（1）若2

2)2(4+=++x k x x ,则k =

（2)若k x x ++22是完全平方式，则k =

（3）若92++kx x 是完全平方式,则k =

（4）若962++x kx 是完全平方式，则k =

（5)若k x x ++842是完全平方式，则k =

【答案】略

３. ()

22_____3______69b ab b +=-+ 【答案】2a -

选择题:

１．下列各式中,能够成立的等式是（ ）.

A ．

B ．

C ．

D ． 2．下列各式计算中,结果正确的是 （ ) （Ａ)()()2222-=+-x x x （B)()()432322

-=-+x x x （Ｃ）()()222c b a c ab c ab -=+- （D)()()2

2y x y x y x -=+-- 【答案】C

3.下列式子：① ②

③ ④ 中正确的是( )

Ａ．① B ．①② C.①②③ D ．④

【答案】Ｄ

4．一个正方形的边长为

，若边长增加 ,则新正方形的面积增加了( )． A.

B ． Ｃ. D ．以上都不对 【答案】C

5．如果 是一个完全平方公式,那么a 的值是( ）.

A.2

B.-２ Ｃ．

D. 【答案】C

解答题:

1.化简

（1）2

)32(y x +

（2)2)56(-x

(３）2

)2(b a +-

(4）2)23(b a -- (5)21132m n ??+ ??? （6)21243a b ??-= ??? (８)(－31a+21b ）(31a+2

1b) (9)(２a ＋１）(-2ａ-1)

（10）()()y x y x 3232+--- (1１)(1-２a)(１＋２a ）(1+4 a 2

) (12）223131??

? ??-??? ??+a a (1３) ()()33221221----+??

? ??+??? ??+x x x x 【答案】略

２．运用乘法公式计算下列各题的值.

（1）98102?

（2）

（3）32413142?

(4）49×51=（5０-1）（５０+1)=2500－１=2499

（5)（１-221)（1-231)（1－241)…(1－2

91)(1－2101） 【答案】略

4．先化简后求值(3)(3)2(5)(5)x x x x -+-+-，其中10-=x

【答案】2

41x -+

5.解方程4)2()1)(1(2=---+x x x x .

【答案】 2.5x = 二、综合提高训练

1.化简求值，其中1=x ,21-=y . 求()()[]

()()()()[]222222---+-+-+-y y x x y x y x x 的值 【答案】原式=44x y - 当1=x ,21-

=y 时，原式=1615- ２.

，则 【答案】3a,4b

３.计算：

．

【提示】用平方差公式计算

4．观察下列各式:

根据前面的规律,你能求出

的值吗？ 【答案】11n x

+-