弦长及中点弦问题
2022届高考数学精品微专题：中点弦问题
2022届高考数学精品微专题：中点弦问题一、常用结论1.椭圆中点弦问题结论（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x 为例）（1）如图，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则22b k k AB OE −=⋅;（证明：用点差法）（2）注意：若焦点在y 轴上的椭圆)(12222>=+ba ay b x 2b ABOE2.双曲线中点弦结论（以焦点在x 轴的双曲线方程12222=−by a x 为例）图1 图2（1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅; （2）注意：若焦点在y 轴上的双曲线12222=−b x a y ，则22ba k k AB OE =⋅3.抛物线中点弦结论（1）在抛物线)0(22≠=p px y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则p y k MN =⋅0. 即：0y p k =（2）同理可证，在抛物线)0(22≠=p py x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.即：px k 0=、典例【选填解答题】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，，过点F 的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（） A ．2 B ．2− C ．12−D ．12【答案】C【分析】先根据已知得到22，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得222222242,4()2,2c c a a b a a b a =∴=∴−=∴=.设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b += += ，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +−++−=，所以2()2a ()0所以221212()240()y y b b x x −+=−，所以1120,2k k +=∴=−.2.【2014年江西卷（理15）】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为【解析】由椭圆中点弦性质可得1222−=−=⋅e a b k k AB OM ，则 <<−=×−1011212e e ，故e =3.【2013全国卷1理科】已知椭圆E ：(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．B ．C ．D ． 【解析】22a b k k AB MF −=⋅，得22)1(13)1(0a b −=−×−−−，∴=，又9==，解得=9，=18， ∴椭圆方程为，故选D ．(1,1)M 12−C 22221(0)x y a b a b +=>>,A B M AB C 2222=1x y a b+22=14536x y +22=13627x y +22=12718x y +22=1189x y +22b a 122c 22a b −2b 2a 221189x y +=（全国卷Ⅲ第一问）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：143+=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m (0)m >．证明：12k <−． 【答案】证明见解析．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=，上述两式相减，则32b kk 由题设知1212x x +=，122y y m +=，故43−=⋅m k ，于是34k m =−． 由<+>134102m m 得302m <<，故12k <−．5.（2020年湖北高二期末）如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为ABCD ．23【答案】B【解析】方法1：设直线AB 方程为y x n =−+，设1122(,),(,)A x y B x y ， 由22221x y a b y x n +==−+得：22222222()20a b x a nx a n a b +−+−=， ∴212222a n x x a b+=+，12122()y y n x x +=−+，设(,)M x y ， ∵OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+，∴1212,x x x y y y =+=+， ∴12121212122()21OM y y n x x y n k x x x x x x x +−+====−+++22222113a b b a a +=−==，223aa，∴3ea ．故选B ．方法2：（秒杀解） <<−=−⇒−=−=⋅1031112222e e e a b k k OMAB ，得36=e ． 故选B ．6.【2019一中月考】直线与椭圆：相交于两点，设线段的中点为，则动点的轨迹方程为（ ）D7．已知椭圆2217525+=y x 的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为（） A ．11,2B ．11,22C ．11,22−D ．11,22−【答案】C 【分析】由题意知：斜率为3的弦中点01(,)2M y ，设弦所在直线方程3y x b =+，结合椭圆方程可得122b x x +=−即可求b ，进而求M 的坐标. 【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，:3AB y x b =+， 则将3y x b =+代入椭圆方程，整理得：22126750x bx b ++−=，∴22123648(75)02b b bx x ∆=−−> +=−，而121x x =+，故2b =−， ∴:32AB y x =−，又01(,)2M y 在AB 上，则012y =−， 故选：C)(4R m m x y∈+C 1232=+y B A ,AB M M 16.+−=x y A 6.xy B −=)33(16.<<−+−=x x y C )26526(6.<<−−=x x y D22a b 圆于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为（1，1−），则G 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的标准方程，两式作差可得ABk 22b a =，由22b a =12，9=2c =22a b −，【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=，①2222221x y a b +=，②①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +−+−+=，∴AB k =1212y y x x −−=212212()()b x x a y y +−+=22b a ，又ABk =0131+−=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b −，解得2b =9，2a =18，∴1899．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中）已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（） A ．43−B ．43C ．34−D ．34【答案】C【分析】设出椭圆方程，设出A B C ，，的坐标，通过点差法转化求解斜率，然后推出结果即可．【详解】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y −+−+=−，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +−=−+−，134OD ABk k =−，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k k =−=−，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=−++=−，10．（2020·广东广州市·执信中学）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，ABC ∆的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，且三条边所在直线的斜率分别1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0．O 为坐标原点，则（）A ．22:1:2a b =C ．直线BC 与直线OE 的斜率之积为12−D ．若直线OD ，OE ，OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++的值为2− 【答案】CD【分析】由题意可得：222a b =．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．利用点差法即可得出11·2OD k k =−，2·2OE k k =−，3·2OF k k =−，即可判断．【详解】椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，∴222112b e a =−=，222a b ∴=，故A 错；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．2211221x y a b+=22221x y ，两式相减可得：21212212121·2y y y y b x x x x a +−=−=−+−．11·2OD k k ∴=−，同理21·2OE k k =−，31·2OF k k =−，故B 错，C 正确． 又1231112()2OD OE OF k k k k k k ++=−++=−，11．（2020·广东广州市·执信中学）已知直线L 与双曲线22221()00a x y a bb >−=>，相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，若直线L 的斜率为1k ，OM 的斜率为2k ，且122k k =，则双曲线渐近线的斜率等于（） A．±B ．2±C．D ．12±【答案】C【详解】设()()1122,,,,(,)A x y B x y M x y ，则12122,2x x x y y y +=+=，2222222211a b x y ab −= ，两式相减可得：()()()()222221221212222211110,220x x y y x x x a a y y y b b−−−=−×−−×=，∵直线L 的斜率为()110k k ≠，直线OM 的斜率为2k ，212211222y y y b k x x a k x −=⋅==−∴，则b a=12．（2020·四川成都市·成都七中）过点(1,4)P 作直线l 交双曲线2214x y −=于A ，B 两点，而P 恰为弦AB的中点，则直线l 的斜率为（）. A ．116− B ．-1 C ．116D ．1【答案】C【分析】根据P 为AB 的中点，利用点差法，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221122221414x y x y −=−= ，两式相减求解. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，因为P 为AB 的中点，则12121242x x y y + = + = ，所以121228x x y y += += ，将A 、B 代入双曲线2214xy −=得，221122221414x y x y −=−= ，两式相减得：()()22221212104y y x x −−−=， 整理得：1212121214y y x x x x y y −+=⋅−+，所以12121214816ABy y k x x −==×=−.13．（2021·全国高二）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b−=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（） A ．2 BC ．3 D【答案】A【详解】设()()1122,,,B x y D x y ，2222222211a b x y a b −= ，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b −+−+−=整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x −+=−+，而12121BD y y k x x −−==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a−=，可得2c e a ==．14．（2020·广州市天河中学）已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(M −，则E 的方程为（） A ．22145x y −=B ．22163x y −=C ．2254x y −=22x y 【答案】B【详解】设双曲线E 的标准方程为22221x y a b−=，由题意知：3c =，即229a b +=①，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为(M −，124x x ∴+=−，12y y +，又A ，B 在双曲线上，则22112222222211x y a b x y ab −= −= ， 两式作差得：22221212220x x y y a b−−−=，即()()()()1212121222x x x x y y y y a b −+−+=， 即()()2121221212ABb x x y y k x x a y y +−====−+，又M F ABM F y y k x x −===−即解得：222a b =②，由①②解得：26a =，23b =，∴双曲线的标准方程为：22163x y −=.15．（2019·陕西高考模拟）双曲线221369x y −=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（） A.20x y −−=B.2100x y +−=C.20x y −=D.280x y +−=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y −=，22221369x y −=，369即121212129()98136()3642y y x x kx x y y −+×===−+×， ∴弦所在的直线方程12(4)2y x −=−，即20x y −=． 故选：C28y 上有三个点A ，B ，C 且AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，用字母k 表示斜率，若8OD OE OF k k k ++=−（点O 为坐标原点，且OD k ，OE k ，OF k 均不为零），则111AB BC ACk k k ++=________. 【答案】-1【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=，21118y x −=，22218y x −=, 两式相减得()()()()121212128y y y y x x x x +−−+=，整理可得0121208y x x y y x −=−，即18OD ABk k =，同理得18OE BCk k =，18OF AC k k =.因为8OD OE OF k k k ++=−，所以1111AB BC AC k k k ++=−.17．（2020·全国高二课时练习）双曲线()2222:10,0x y C a b a b−=>>的右焦点分别为F ，圆M 的方程为()22252x y b −+=.若直线l 与圆M 相切于点()4,1P ，与双曲线C 交于A ，B 两点，点P 恰好为AB 的中点，则双曲线C 的方程为________.【答案】2214x y −=【详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的斜率为k ，则10145k −⋅=−−，所以1k =，()22224512b =−+=，即21b =，则2211221x y a b−=，2222221x y a b −=.两式相减，得()()()()1212121222x x x x y y y y a b −+−+= 则()()222121222212128412b x x y y b b k x x a y y a a +−=====−+，即24a =，所以双曲线C 的方程为2214x y −=.相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23−，则此双曲线的方程是 A.22134x y −= B.22143x y −= C.22152x y −= D.22125x y −= 【答案】D【解析】设双曲线的方程为221(0,0)x ya b a b−=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33 −− ，由2211221x y a b −=且2222221x y a b −=，得()()12122x x x x a +−=()()12122y y y y b +−，2223a ×−=（）2523b ×−（），即2225a b=，联立227a b +=22125x y −=．故选D ．19.已知双曲线的左焦点为，过点F 且斜率为1的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点，则双曲线C 的离心率为（ ） A.B.C.D. 2【答案】D 【解析】 【分析】设线段AB 的中点坐标为，根据 求出线段的中点坐标，用点差法求出关系，即可求解【详解】设线段AB 的中点坐标为，则有， 设，代入双曲线方程有，两式相减得， 2222:1x y C a b−=(0,0)a b >>(,0)F c −(2,0)P c ()00,M x y 11,1,MF MP k k ==−AB M ,a c ()00,x y 000112y x c y x c= +=− − 0,2c x ⇒=032y c =1122(,),(,)A x y B x y 2222112222221,1x y x y a b a b−=−=可得，即， .故选:D.20．直线l 过点(1,1)P 与抛物线4y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（） A ．2B ．2−C ．12D ．12− 【答案】A【分析】 利用点差法，21122244y x y x = = 两式相减，利用中点坐标求直线的斜率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x = = ，两式相减得()2212124y y x x −−， 即()()()1212124y y y y x x +−=−，当12x x ≠时，()1212124y y y y x x −+=−， 因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =， 解得：2k =故选：A21．（2019秋•湖北月考）斜率为k 的直线l 过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，点P （x 0，y 0）为AB 中点，则ky 0为（ ）A ．定值B ．定值pC ．定值2pD ．与k 有关的值【分析】设直线方程与抛物线联立得纵坐标之和，进而的中点的纵坐标，直接求出ky 0的值为定值．【解答】解：显然直线的斜率不为零，抛物线的焦点（，0），22a b 002210x y a b−⋅=2213,a b =223b a =2,c a ∴=2e =直线与抛物线联立得：y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，y +y '＝2pm ，所以由题意得：y 0＝＝pm ，所以ky 0＝•pm ＝p ，故选：B ．22．过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______. 解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m . 由m y k=得：4=k ∴AB 所在的直线方程为)4(41−=−x y ，即0154=−−y x .23．设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+−=x y ，求弦1P 2P 所在的直线方程.解：y x =2，my x 22=，∴21=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+−=x y 上，∴253210=+−=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P 所在的直线方程为)21(125−⋅=−x y ，即02=+−y x .24． ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)， ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________．【答案】4x ＋4y ＋5＝0【分析】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，先求出点M 的坐标，再求出直线BC 的斜率，即得解.【详解】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知1(,0)2G ， 则12122132203x x y y ++ = ++ =从而12012012412x x x y y y + ==− + ==− ，即1(,1)4M −−， 又2211222,2y x y x ==， 两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率1212002BC x x y y y y −+故直线BC 的方程为y －(－1)＝1()4x −+，即4x ＋4y ＋5＝0.故答案为：4x ＋4y ＋5＝025．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为. （1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且恰好为线段MN 的中点，求线段MN 长度.【答案】（1）2212y x −=；（2. 【分析】（1）根据双曲线的定义c =，a =，即可求出双曲线的方程；（2）先根据点差法求直线l 的方程，再根据弦长公式即可求出【详解】（1）双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为，则a =，c =，而222321b c a =−=−=， ∴双曲线C 的标准方程2212y x −=； （2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，点()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，即有122x x +=，122y y +=， 又221122221212y x y x −= −= ，两式相减可得121212121()()()()2y y y y x x x x −+=−+， ∴12122y y x x −−=， ∴直线l 的斜率为2k =，其方程为12(1)y x −=−，即21y x =−，由222122y x y x =− −=，即22410x x −−=，可得1212x x =−，则MN ===26．已知直线l 与抛物线2:5C y x =交于,A B 两点．（2）若弦AB 的中点为()6,1−，求l 的方程．【答案】（1；（2）52280x y +−=. 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解； （2）利用点差法求出直线斜率，即可求出直线方程. 设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ．（1）联立25,21,y x y x = =− 得24910,0x x −+=∆>， 因此121291,44x x x x +==，故||AB （2）因为,A B 两点在C 上，所以2112225,5,y x y x = = 两式相减，得()2221215y y x x −=−， 因为12122y y +=−×=−，所以212112552ABy y k x x y y −===−−+， 因此l 的方程为5(1)(6)2y x −−=−−，即52280x y +−=．。
专题07 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题-2022年高考数学圆锥曲线重难点专题突破(解析版)
专题07 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题一、单选题1．设1F ，2F 为双曲线2214y x -=的两个焦点，点P 在双曲线上且满足1290F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为（ ） A ．2 BC ．4 D．【解析】由题意，双曲线2214y x -=，可得1,2a b ==，则c =因为点P 在双曲线上，不妨设点P 在第一象限，由双曲线的定义可得122PF PF -=，又因为1290F PF ∠=︒，可得2221212PF PF F F +=，即2221220PF PF +==，又由222121212()2PF PF PF PF PF PF +=-+，可得2122220PF PF +=，解得128PF PF =，所以12F PF △的面积为12142S PF PF ==.故选：C. 2．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，与直线20x y +=交于A ，B两点，若AB =双曲线的方程为（ ） A ．2225y x -=B ．2216y x -=C ．229y x -=D ．226y x -=【解析】由题意可设双曲线方程为22y x m -=，0m >，由2220y x m x y ⎧-=⎨+=⎩得23x m =，则x =，0m >，不妨假设A x =A y =-由图象的对称性可知，AB =OA9m =， 故双曲线方程为：229y x -=，故选：C3．过点P (4，2)作一直线AB 与双曲线C ：22x －y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则|AB |＝（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】解法一：由题意可知，直线AB 的斜率存在．设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x－4)＋2.由22(4)2,12y k x x y =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得(1－2k 2)x 2＋8k (2k －1)x －32k 2＋32k －10＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝－28(21)12k k k --＝8，解得k ＝1.所以x 1x 2＝2232321012k k k-+--＝10.所以|AB |＝故选:D. 解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y -= ， ①，222212x y -=. ②①－②得12(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.因为P (4，2)为线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4.所以4(x 1－x 2)－4(y 1－y 2)＝0，即x 1－x 2＝y 1－y 2，所以直线AB 的斜率k ＝1212y y x x --＝1. 则直线AB 的方程为y ＝x －2.由222,12y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理，得x 2－8x ＋10＝0， 所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10.所以|AB |故选：D4．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，过其左焦点()F 作斜率为2的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，则截得的弦长AB =（ ） A．B．C ．10D．【解析】∵双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，∴ba=b，∵左焦点()F，∴c =222233=+==c a b a ，∴21a =，22b =， ∴双曲线方程为2212y x -=，直线l的方程为(2=y x ， 设()11,A x y ，()22,B x y由(22212y x y x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，消y可得270++=x，∴12+=-x x 127=x x ，∴10====AB ．故选:C5．已知双曲线C : 22221x y a b -= (a >0，b >0)， 过点P (3，6) 的直线l 与C 相交于A ， B 两点， 且AB 的中点为N (12，15)， 则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．32D【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由已知可得2211221x y a b-=，2222221x y a b -=，相减化简可得2121221212=0y y y y b a x x x x -+-⋅-+，又AB 的中点N (12,15)，直线AB 过点P (3,6)， ∴ 1224x x +=，1230y y +=，12121y y x x -=-，∴ 2254b a =，∴ 2222914c b a a =+=，∴ 离心率32c e a ==，故选：C.6．已知双曲线C ：2214y x -=，经过点M (2，1)的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为（ ） A ．8x －y －15＝0 B ．8x ＋y －17＝0 C ．4x ＋y －9＝0D ．4x －y －7＝0【解析】设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则2211222244,44,x y x y ⎧-=⎨-=⎩ 两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.因为M (2，1)是线段AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 所以16(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，所以k AB ＝1212y y x x --＝162＝8， 故直线l 的方程为y －1＝8(x －2)，即8x －y －15＝0.故选：A ．7．已知双曲线222:1(3)9-=>x y C a a 左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作x 轴的垂线l 交双曲线C 的于A ，B 两点，若2ABF 的周长为25，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）． A ．340±=x yB ．430x y ±=C ．380x y ±=D ．830x y ±=【解析】设1(,0)F c -，12(,),(,)A c y B c y --，因为l 垂直x 轴，所以12y y =-，又A 、B 在双曲线C 上，所以221219y c a -=，又22229c a b a =+=+，所以219b y a a==， 所以2218b AB a a==，所以2ABF 的周长为221122AF BF AB a AF a BF AB ++=++++ =18424225a AB a a +=+⨯=，所以4a =或94a =（舍） 所以双曲线C 的渐近线方程为34yx ，即340±=x y .故选：A8．设双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b-=的右焦点为F,点P 在C的一条渐近线0x =上,O 为坐标原点,若OF PF =且∆POF的面积为则C 的方程为A ．2212x y -=B ．22142x y -=C ．22163x y -=D ．22184x y -=【解析】20x y +=为双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b-=的一条渐近线，故设双曲线方程为22:1(>0)2x y C λλλ-=，则右焦点F 的坐标为)F，20x y +=，因为P 在0x +=上，且OF PF =，则右焦点F 的坐标为)F到直线0x +=的距离d ==OP ∴==1122POF S OP d ∆∴==⨯= 2λ∴=，故22:142x y C -=，故选：B二、多选题9．双曲线E 的方程为2213x y -=，12F F 、分别为左右焦点，P 为双曲线上一点，且172PF =，直线l ：()2y k x =-与E 交于A ，B 两点，则（ ）A ．272PF =+27=2PF -B ．EC ．E 的渐近线与圆2221x y 相切D ．满足AB =l 有3条【解析】由双曲线E 的方程为2213x y -=，则在双曲线E 中1,2a b c ===选项A ，当点P 在右支上时，12PF c a ≥+=722<P 在左支上，则21722PF PF a =+=+A 不正确.选项B.双曲线E 的离心率为c e a ===B 不正确.选项C.双曲线E 的渐近线方程为0x =圆2221x y 的半径为1，圆心为()2,0到渐近线0x =的距离为1d ==所以E 的渐近线与圆2221x y 相切，故选项C 正确.选项D. 由直线l ：()2y k x =-恒过点()2,0，即直线l ：()2y k x =-过双曲线的右焦点.若直线l 与双曲线E 的右支相交于A ，B 两点，当l x ⊥轴时，223b AB a ==由AB =2条.若直线l 与双曲线E 的左、右支各有一个交点，此时2AB a = 则满足条件的直线即为0y =，故此时只有一条直线满足条件. 综上所述：满足条件的直线有3条，故选项D 正确 故选：CD10．已知双曲线22:14x E y -=的右焦点为F ，过F 的动直线l 与E 相交于A ，B 两点，则（ ）A ．曲线E 与椭圆2216y x +=有公共焦点B ．曲线E ，渐近线方程为20x y ±=．C ．AB 的最小值为1D ．满足AB 4=的直线l 有且仅有4条【解析】对于A ：由2214x y -=知双曲线的焦点在x 轴上，由2216y x +=知椭圆的焦点在y 轴上，所以焦点不相同，故选项A 不正确；对于B ：由双曲线22:14x E y -=可得24a =，21b =，所以222415c a b =+=+=，所以双曲线的离心率为c e a ==，渐进线方程为12b y x x a =±=±，即20x y ±=， 故选项B 正确；对于C ：当A ，B 两点位于双曲线的异支时，直线AB 的斜率为0时AB 最小，此时A ，B 两点分别为双曲线的左右顶点，此时24AB a ==，当A ，B 两点位于双曲线的同支时，直线AB 的斜率不存在时AB 最小，直线AB 的方程为x =2214x y -=可得12y =±，所以1212AB =⨯=，所以AB 的最小值为1，故选项C 正确；对于D ：由选项C 知，当A ，B 两点位于双曲线的异支时，min 4AB =，此时只有一条，当A ，B 两点位于双曲线的同支时，min 1AB =，根据对称性可知，此时存在两条直线使得AB 4=，所以满足AB 4=的直线l 有且仅有3条.故选项D 不正确； 故选：BC.11．已知双曲线()2222:100x y C a b a b-=>>，的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，A 在第一象限，若△1ABF 为等边三角形，则下列结论一定正确的是（ ） A ．双曲线CB ．12AF F △的面积为2 C ．12BF F △的内心在直线x a =±上D ．12AF F △内切圆半径为)1a【解析】对于C ，设12BF F △的内心为I ，作过I 作1212,,BF BF F F 的垂线，垂足分别为,,H G P ，如图，则12122F P F P F B F B a -=-=，所以OP a =， 所以12BF F △的内心在直线x a =±上，故C 正确；△1ABF 为等边三角形,若,A B 在同一支，由对称性知AB x ⊥轴，2(,)b A c a ，2tan 302b a c∴=，2b =.2221b e a ∴=+=,e =12222221232AF Fb bc S c a a a =⨯⨯==△, 设12AF F △的内切圆半径为r，则()2162r a+=，解得)1r a =；若,A B 分别在左右两支，则2112,4F A a F A F B AB a ====， 则2221241641cos 2242a a c F AF a a +-==-⨯⨯，解得c=，离心率e 122124sin120232AF F S a a =⨯⨯=△，设12AF F △的内切圆半径为r ，则()2162r a +=，解得r =；所以结论一定正确的是BC.故选：BC. 12．已知1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作倾斜角为30的直线分别交y 轴与双曲线右支于点,M P，1PM MF =，下列判断正确的是（ ）A ．21π3PF F B ．2112MF PF =C ．ED ．E的渐近线方程为y =【解析】1PM MF =，即M 为1PF 中点，O 为12F F 中点，2//OM PF ∴， 12OM F F ⊥，212PF F F ∴⊥，212PF F π∴∠=，2112MF PF =，A 错误，B 正确； 由212PF F F ⊥知：22bPF a=，又122F F c =，1230PF F ∠=，2c =)222c a ac -=，220e -=，解得：e =C 正确；c e a ==223c a ∴=，22222b c a a ∴=-=，ba∴ E∴的渐近线方程为y =，D 正确.故选：BCD. 三、填空题13．过点()1,1P 的直线l 与双曲线2212y x -=交于,M N 两点，且点P 恰好是线段MN 的中点，则直线l 的方程为___________.【解析】过点(1,1)P 的直线l 与该双曲线交于M ，N 两点，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，∴221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得：121212121()()()()2x x x x y y y y -+=+-， 因为P 为MN 的中点，122x x ∴+=，122y y +=，12122()x x y y ∴-=-，则12122MNy y x x -==-， 所以直线l 的方程为12(1)y x -=-，即为210x y --=．故答案为：210x y --=．14．已知双曲线22143x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且12PF F S=12FPF ∠=___________.【解析】依题意2,a b c ===12,PF mPF n ==，不妨设m n >，122F F c ==，设()120,F PF θπ=∈∠，根据双曲线的定义、余弦定理、三角形的面积公式得(22242cos 1sin 2m n m n mn mn θθ⎧-=⎪⎪⎪=+-⎨⎪⎪=⎪⎩，()22216282cos sin m n m n mn mn θθ⎧-=⎪=+-⎨⎪=⎩，2222216282cos sin m n mn m n mn mn θθ⎧+-=⎪=+-⎨⎪=⎩，282162cos mn mn mn θ=+-⎧⎪⎨=⎪⎩，()1221cos mn mn θ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，()1221cos θ=-cos 1θθ+=， 12sin 1,sin 662ππθθ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于70,666πππθπθ<<<+<，所以52,663πππθθ+==，所以1223F PF π∠=.故答案为：23π15．已知1F ，2F 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以1F ，2F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为M ，1210F F =，122MF MF =，则双曲线的标准方程为______． 【解析】由双曲线定义得122MF MF a -= 又122MF MF =，解得：22MF a =，14MF a =，∵M 为以1F ，2F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点，∴12MF MF ⊥ ∴()()2222410a a +=，解得：25a =，∴22525520b c =-=-=，故双曲线标准方程为：221520x y -=．16．已知双曲线C ：22145x y -=的左､右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于P ，Q 两点，当PQ 最小时，四边形12F PF Q 的面积为___________.【解析】设()()1122,,,P x y Q x y ，由22145y x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得2284200x mx m ---=，由韦达定理得212128,420x x m x x m +=⋅=--，所以PQ ===当0m =时，PQ 有最小值()()12,,,0330F F -到直线y x =的距离分别为12,d d ，12d d ==所以四边形12F PF Q 的面积为()12121122F PQF PQS S SPQ d d =+=⋅+=⨯=⎝⎭四、解答题17．已知点()4,0M -，()4,0N ，动点P 满足条件PM PN -=P 的轨迹为C ． （1）求C 的方程；（2）过曲线C 的一个焦点作倾斜角为45°的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB ． 【解析】（1）因为8PM PN MN -==，所以点P 的轨迹是以,M N 为焦点，实轴长为所以24a c ==，所以222212,16124a b c a ==-=-=，所以C 的方程为：221124x y -=； （2）不妨设焦点()4,0F ，则直线l ：4y x =-由2241124y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 得：212300x x -+=．设()11,A x y ，()22,Bx y ，则1212x x +=，1230x x =，所以AB==18．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>. （1）求双曲线的标准方程；（2）直线l ：3y x m =+与双曲线交于A ，B两点，若AB =，求m 的值. 【解析】（1）由题得顶点(),0a 到渐近线b y x a =，即0bx ay -=c e a ==222+=a b c ， 则可解得2,a b ==，故双曲线方程为22143x y -=； （2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立221433x y y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩可得2233244120x mx m +++=， 则()()22244334120m m ∆=-⨯⨯+>，解得233m >2121224412,3333m m x x x x ++=-=， 则AB ==，解得6m =±.19．已知双曲线22:145x y C 的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方）．（1）若3PF FQ =，求直线l 的方程； （2）设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值． 【解析】（1）设直线PQ 方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y222235(3)4205420x my my y x y =+⎧⇒+-=⎨-=⎩，()225430250m y my ⇒-++= 由过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，则()()22222540300542505*********m m m m m m ⎧-≠⎪-⎪>⎪-⎪⎨⎪<-⎪⎪∆=-⨯⨯->⎪⎩，0m ⇒<<，由点P 在x 轴上方，则12y y ==33PF m FQ ==-⇒=⇒=∴直线l方程为30x y y =+⇒--=（2）由方程可得()()2,0,2,0A B -，设()11,P x y ，()22,Q x y则()221111221111545422444PA PBx y y y k kx x x x -⋅=⨯===+---，所以154AP PBk k k == ,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅= 要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值，由（1）可知1223054m y y m -+-=，1222554y ym =-()()121212122211BP BQy y y y k k x x my my ⋅=⋅=--++()2222121222252554542530115454m m mm y y m y y m m m m --==-+++⋅+⋅+--22225252530544m m m ==--+-，∴125414255k k ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭为定值． 20．已知过点()的双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是0x y +=. （1）求双曲线C 的方程；（2）若O 是坐标原点，直线l ：1y kx =-与双曲线C 的两支各有一个交点，且交点分别是A ，B ，AOB 的k 的值.【解析】（1）因为双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是0x y +=，所以可设双曲线C 的方程是()220x y λλ-=≠，则(21λ-=，解得1λ=.所以双曲线C 的方程是221x y -=.（2）由221,1,x y y kx ⎧-=⎨=-⎩消去y 整理，得()221220k x kx -+-=.由题意知()22210,4810,k k k ⎧-≠⎪⎨∆=+->⎪⎩解得k <1k ≠±. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则12221k x x k -+=-，12221x x k =--. 因为l 与双曲线的交点分别在左､右两支上，所以120x x ⋅<， 所以210k ->，所以11k -<<，则()1212OAB S x x =-=△ 所以()()(2221212124x x x x x x -=+-=，即2228811k k k⎛⎫-+= ⎪--⎝⎭， 解得0k =或k =()1,1-/，所以0k =. 21．直线(,)y kx m k m =+∈R 与双曲线2213y x -=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥．（1）求k 与m 满足的关系；（2）求证：点O 到直线AB 的距离是定值，并求AB 的最小值．【解析】（1）设点A ()11,x y ,B ()22,x y ,联立2213y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消y 得()2223230k x kmx m ----=,∴21222122302333kkmx xkmx xk⎧⎪-≠⎪⎪+=⎨-⎪⎪--=⎪-⎩,由OA OB⊥得()()2212121212·10OAOB x x y y k x x km x x m=+=++++=代入化简可得k和m满足的关系为:22233(m k k-=≠;（2）由点到直线的距离公式可得:d,由(1)得22233mk-=代入可解得d=;由直线与双曲线交点弦弦长公式可得:AB==令23k t-=(t≤3)化简可得AB==由t≤3可得当113t=,t=3时minAB.22．已知圆锥曲线E的两个焦点坐标是12(F F，且离心率为e=（1）求曲线E的方程；（2）设曲线E'表示曲线E的y轴左边部分，若直线1y kx=-与曲线E'相交于,A B两点，求k的取值范围；（3）在条件（2）下，如果63AB=E'上存在点C，使OA OB mOC+=，求m的值．【解析】（1）由知，曲线E是以F10），F2，0）为焦点的双曲线，且ca=1a=，∴b2=2﹣1=1，故双曲线E的方程是x2﹣y2=1．（2）由22110y kxx y x=-⎧⎨-=⎩，＜消去y整理得()21x2220,0k kx x+=﹣﹣＜，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得方程有两个负数根，∴()22212212210(2)8102121kk kkx xkx xk⎧-≠⎪=+-⎪⎪-⎨+=⎪-⎪-⎪=-⎩＞＜＞，解得1k<-，∴实数k的取值范围是()1-．（3）由题意及（2）得AB 1﹣x 2整理得28k 4﹣55k 2+25=0，解得257k =或254k =1k -＜，∴k=故直线AB 10y ++=． 设C （x 0，y 0），由OA OB +=m OC ，得（x 1，y 1）+（x 2，y 2）=（mx 0，my 0），又12221kx x k -+=-=﹣y 1+y 2=k （x 1+x 2）﹣2=8，∴8C m ⎫⎪⎪⎝⎭． ∵点C 在曲线E 上，∴2280641m m -=，解得m=±4， 当m=﹣4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意， ∴m=4为所求．。
弦长及中点弦问题
直线与圆锥曲线的位置关系 ——弦长问题及中点弦问题（综合卷）一．知识网络结构：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧繁琐）利用两点间距离公式（易）利用一般弦长公式（容弦长问题直线与圆锥曲线相交的系）直线与圆锥曲线位置关代数角度（适用于所有位置关系主要适用于直线与圆的几何角度关系直线与圆锥曲线的位置直线与圆锥曲线)(.1二．题型解读：题型一：弦长问题：直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。
即当直线()k 斜率为与圆锥曲线交于点()11y ,x A ，()22y ,x B 时，则AB =2k 1+21x x -=2k 1+()212214x x x x -+可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和，两根之积的代数式，然后再进行整体带入求解。
例1.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线241x y =的焦点，离心率为552．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）直线1:+=x y l 与椭圆C 相交于两点A,B,求|AB|。
例2，斜率为1的直线经过抛物线4x y 2=的焦点，与抛物线相交于两点A,B ，求线段AB 的长。
繁琐）利用两点间距离公式（易）利用一般弦长公式（容题型二：中点弦问题：求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法：⑴.点差法：将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后由点斜式得出弦的方程；⑵.根与系数的关系法：设弦的点斜式方程，将弦的方程与曲线方程联立，消元后得到关于x （或y ）的一元二次方程，用根与系数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率k ，然后写出弦的方程；⑶.设弦的两个端点分别为()()2211,,,y x y x ，则这两点坐标分别满足曲线方程，又⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x 为弦的中点，从而得到四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从而求出弦的方程。
弦长、中点弦
弦长、中点弦问题 1、椭圆、双曲线弦长公式AB =⨯⨯或 2、椭圆的中点弦问题 直线与椭圆交于11(,)A x y 与22(,)B x y ，且弦AB 的中点为00(,)M x y ，则该直线的斜率为220()x b k x a y =-椭圆焦点在轴 220()x a k b y =-椭圆焦点在y 轴3、双曲线的中点弦问题 直线与双曲线交于11(,)A x y 与22(,)B x y ，且弦AB 的中点为00(,)M x y ，则该直线的斜率为2020()x b k x a y =双曲线焦点在轴 2020()x a k b y =双曲线焦点在y 轴1、 过椭圆x 2+2y 2=2的右焦点且倾斜角为60°的弦长为2、过双曲线2x 2―y 2=2的右焦点作倾斜角为3π的弦AB ，则|AB |等于3、已知椭圆221369x y +=，以及椭圆内一点P (4, 2)，则以P 为中点的弦所在的直线的斜率是（ B ）A 21B －21C 2D －24、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程5、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标6、中心为(0, 0)，一焦点为F (0, 52)，截直线y =3x －2所得弦的中点的横坐标为21的椭圆方程为（ A ）A ．2212575x y += B ．2217525x y += C 222217525x y +=D ．222212575x y +=7、直线y =x ―1被双曲线2x 2―y 2=3所截得的弦的中点坐标是（ ） A(1,2) B ．(―2, ―1)C ．(―1, ―2)D ．(2, 1)8、已知双曲线方程为3322=-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．。
妙解中点弦问题
妙解“中点弦”问题解析几何中与“中点弦”有关的问题是一类很典型、很重要的问题.解决这类问题的方法比较多,但多数方法的计算量都比较大.本文试图通过一些例题,给出一种巧妙的解法.如右图所示,点M 是线段AB 的中点,我们可以把有关点的坐标设为),(00n y m x A ++,),,(00y x M ),(00n y m x B --,这时有下面两个非常简单有趣的结论： ⑴)0(≠=m mn k AB ； ⑵222n m AB +=.解题时若能充分利用这两个结论,则可以轻松、快速、准确地解决“中点弦”的有关问题.例 1 椭圆141622=+y x 的弦AB 被点)1,2(M 平分,求弦AB 所在的直线方程.解:依题意,可设)1,2(n m A ++,)1,2(n m B --,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+++.14)1(16)2(,14)1(16)2(2222n m n m两式相减,得21021044168-==⇒=+⇒=+m n k n m n m AB , 故所求直线的方程为,1)2(21+--=x yB A M即.042=-+y x例2 椭圆方程为,4222=+y x 求以)1,1(为中点的弦AB 的弦长.解:由题意可设)1,1(n m A ++,)1,1(n m B --则有:⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+++4)1(2)1(4)1(2)1(2222n m n m 以上两式相减得: 084=+n m21-==∴m n k AB 即n m 2-=将其代入4)1(2)1(22=+++n m 中可求得32,6122==m n , 所以弦AB 的长为31032612222=+=+=n m AB . 例3 过定点)0,1(A 的动直线l 交抛物线)0(22>=p px y 于M ,N 两点,求弦MN 的中点P 的轨迹方程. 解:根据题意设),,(),,(),,(n y m x N n y m x M y x P --++则有⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+)(2)()(2)(22m x p n y m x p n y 两式相减得: yp m n k pm ny B ==⇒=A 44 又,1-==x y k k AB MN 故有y p x y =-1,即),1(2-=x p y 这就是点P 的轨迹方程.例4 如图所示,直线l 与抛物线x y =2交于B A ,两点,且2=AB 设线段AB 的中点为M ,当直线l 运动时,求点M 的轨迹方程.解：设),,(),,(n y m x A y x M ++ ),(n y m x B --，则有22)()(⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+m x n y m x n y两式相减得：mx n mx n 242=⇒= ① 两式相加得：2222222m x y m x y +=⇒+= ② 由①、②得).(4,22222x y x n x y m -=-= 而1222222=+⇒=+=n m n m AB , 所以有,1)(4222=-+-x y x x y 即所求的轨迹方程为.1)41)((22=+-x x y。
用一元二次方程根与系数之间的关系解决弦长、中点弦和垂直等问题
关于x(或y)的一元二次方程Ax2＋Bx＋C＝0，Δ＝B2－4AC>0，可利用根与系 数之间的关系求弦长(弦长为 )；
2．弦的中点问题，以及交点与原点连线的垂直等问题．①求弦长可注意弦是否 过椭圆焦点；②弦的中点问题还可利用“点差法”和对称法；③解决AO⊥BO ，可以利用向量AO⊥BO的充要条件是AO· BO＝0. .
方法不外乎三种，考卷实录中提供的方法是设出直线EF的方程，解决直线EF与 椭圆 的位置关系问题，运算技巧较高，再就是设出E(x1，y1)，F(x2，
y2)用点差法，此方法值得大家探讨，再就是参考答案中提供的解法，孰优孰劣 比较自明，如将题目中的椭圆换成抛物线三种方法皆都是可行的．
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作业手册
解答：(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以 (0，－ 点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b＝
)，(0，
)为焦 ＝1.
＝1，故曲线C的方程为x2＋
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足 0，故x1＋x2＝－ x1x2＝－
消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝ 若OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0.而y1y2＝k2x1x2＋ ＋1＝0，化简得－4k2＋1＝0，
32＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|＝(a＋ex1)＋(a＋ex2)＝2a＋e(x1＋x2)＝ 8＋ 答案：C
3．曲线C：
(θ为参数)的普通方程是________，如果直线
2x＋y＋a＝0与曲线C有公共点，那么实数a的取值范围是________．
解析：
则①2＋②2，得4x2＋
(y＋1)2＝1，即为曲线C的普通方程，联立方程组 由④得2x＝－a－y ⑤，把⑤代入③，得2y2＋2(a＋1)y＋a2＝0，
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得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9b4＋13b2＋196＝0， 设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)， B(x2，y2)，
6
由题意知y1＋2 y2＝1， ∴y1＋y2＝14（10bb22＋＋44）＝2，解得b2＝8. ∴所求椭圆方程为x82＋1y22 ＝1. 法二：(点差法)∵椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，∴设 椭圆的方程为b2y＋2 4＋bx22＝1(b>0)．
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弦长及中点弦问题 中点弦问题
处理中点弦问题常用的求解方法
2
(1)过椭圆1x62 ＋y42＝1内一点P(3，1)，且被点P平分的弦
所在直线的方程是( )
A．4x＋3y－13＝0
B．3x＋4y－13＝0
C．4x－3y＋5＝0
D．3x－4y＋5＝0
因为k≠0，所以－12<xG<0， 即点G横坐标的取值范围为(－12，0)．]
16
弦长问题 求解决直线与椭圆相交的弦长问题，其常规思路是先把 直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系 建立方程；在此基础上套用弦长公式：设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ （1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2] ＝ 1＋k12[（y1＋y2）2－4y1y2](k为直线斜率)．
加强班3中点弦+弦长公式(生)
直线与椭圆一、中点弦问题(韦达定理、设而不求：点差法）①弦中点问题：常用点差法，注意弦中点必须在椭圆内部；②直线与椭圆有两个交点时需保证△>0，在不用韦达定理的情况下考虑求出方程的两根； ③线段长度的比值经常转化为横（纵）坐标之比。
1. 已知椭圆E ：2211612x y +=， （1）若点P （1,3），求以点P 为中点的弦AB 所在直线的方程；（2）斜率为12-的直线交椭圆E 于C 、D 两点，1()2ON OC OD =+，求点N 轨迹方程； （3）直线L ：2y x m =+。
若椭圆E 上存在两点关于直线L 对称，求实数m 的取值范围。
【x+4y-13=0； 320,(2,2)x y x -=∈-； (-1,1)】变式1：变式2：变式3：练习1．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程．二、弦长公式、求面积例.(2012·汕头模拟)如图，在直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：2222x y 1a b+= (a ＞b ＞0)的左右两个焦点分别为F 1、F 2.过右焦点F 2且与x 轴垂直的直线l 与椭圆C 相交，其中一个交点为(1)求椭圆C 的方程;(2)设椭圆C 的一个顶点为B(0,-b),直线BF 2交椭圆C 于另一点N ，求△F 1BN 的面积.练习1． 抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求该抛物线的方程．2．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：1MF ·2MF ＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．3.已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，满足条件|PF 2→|－|PF 1→|＝2的点P 的轨迹是曲线E ，直线y ＝kx －1与曲线E 交于A 、B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)如果|AB →|＝63，求k 的值．练习A 组1. 椭圆4x 2＋9y 2=144内有一点P (3, 2)，过P 点的弦恰好以P 为中点，那么这条弦所在的直线方程是（ ）（A ）3x －2y －12=0 （B ）2x ＋3y －12=0 （C ）4x ＋9y －144=0 （D ）4x －9y －144=02.直线y=kx-k+1与椭圆14922=+y x 的公共点个数有 ( ) (A)2个. (B)1个. (C)0. (D)不确定.3.直线y =kx +2与椭圆13422=+y x 至多一个交点的充要条件是( ) (A)k ∈[-21,21]. (B)k ∈(-∞,- 21]∪[21,+∞). (C)k ∈[-22,22]. (D)k ∈(-∞,- 22]∪[22,+∞). 4.过椭圆14522=+y x 的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于B A ,两点, O 为坐标原点, 则△OAB 的面积为 . 535.在椭圆22525922=+y x 上求一点，使到直线03=--y x 的距离最短。
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弦长问题
例 1.已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点 恰好是抛物线 y
1 2 2 5 x 的焦点，离心率为 4 5 ．
（1）求椭圆 C 的标准方程； （2）直线 l : y x 1 与椭圆 C 相交于两点 A,B,求|AB|。
1 2 ，依题意 b=1, （1）由 y x 得焦点 F（0，1） 解： 4 a 2 c 2 1 联立 c 2 5 得 a 2 5 5 a x2 2 椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点
2 5 1 2 恰好是抛物线 y 4 x 的焦点，离心率为 5 ．
（1）求椭圆 C 的标准方程； （2）直线 l : y x 1 与椭圆 C 相交于两点 A,B,求 |AB|。
y x 1 5 2 2 3 x 5 x 0 解： 由 消 y 得 ， 所以 x x , x1 x2 0 1 2 x 2 3 y 1 5
直线与圆锥曲线的位置关系
——弦长问题及中点弦问题
1.知识网络结构：
几何角度(主要适用于直线与圆的 位置关系) 直线与圆锥曲线的位置 关系 代数角度（适用于所有 直线与圆锥曲线位置关 系） 1.直线与圆锥曲线 弦长问题 — —利用一般弦长公式（ 两点间距离公式） 直线与圆锥曲线相交的 中点弦问题 — —根与系数的关系法， 点差法
1 2 1 2
1 1 2 2
| AB |
1 k X
2
2 2 1 X 2 4 X1 X 2
可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后 得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得 到两根之和，两根之积的代数式，然后再进行 整体带入求解。
课堂练习一、
课练1：斜率为1的直线经过抛物线 y 4x 的 焦点，与抛物线相交于两点A,B，求线段|AB|的 长。
2
中点弦问题 例2、过点 P 4,1 作抛物线 恰好被点P平分。 （1）求AB的所在直线方程 （2）及弦|AB|的长度。
y 2 8x的弦|AB|，
中点弦问题归纳总结
求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法： ⑴.点差法： 将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即 可确定弦的斜率，然后由点斜式得出弦的方程； ⑵.根与系数的关系法： 设弦的点斜式方程，将弦的方程与曲线方程联立， 消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，用根与系 数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率k，然后写 出弦的方程； x2 , y2 则这两点坐标分 ⑶.设弦的两个端点分别为 x1 , y1 ,， x x y y , 别满足曲线方程， 2 又为弦的中点，从而得到 2 四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从而求 出弦的方程。
代入 | AB | |AB|=
5 2 3
1 k X
2
2 2 1 X 2 4 X1 X 2
弦长问题知识归纳
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点， 化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与 系数的关系，进行整体代入。即当直线 斜率为k Bx , y ，时， 与圆锥曲线交于点 Ax , y ，