计算方法-1

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§1.2 误差
注意点：
准确数被认为有无穷多位有效数字。 近似值末尾的 0不可随意省去！ 经“四舍五入”得到的数都是有效数字，且绝对误差 限为最后一位有效数位的半个单位。 例如：假定以下各数都是经过四舍五入得到的
3.1433
绝对误差 0.510-4 限 有效数字 位数 5
注1：绝对误差(限)一般是有量纲的。 注2：在同一个量的不同近似值中，| (x)|越小者精度越 高！ 问题：对于不同量的近似值，绝对误差限 能否反映近 似值的准确程度？
不能！
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§1.2 误差
相对误差和相对误差限 /* relative error (accuracy)*/
准确解
两位 有效数字
x1 0.50 x2 0.33 x3 1.8 0.50 x1 0.33 x2 0.25 x3 1.1 0.33 x 0.25 x 0.20 x 0.78 1 2 3
x1 1 x2 1 x 1 3
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§1.2 误差
有效数字 /*Significant Digits*/
定义1-3 若近似值 x 的绝对误差限是某一数位上的半 个单位，则说 x 精确到该位。若从该位到 x 的左起第 一位非零数字一共有 n 位，则称近似值 x有 n 位有效 数字。 例如：设分别取 x1 = 3.14，x2 = 3.1415 作为 的近似值， 求它们各有多少个有效数字？ 【解】准确值 = 3.14159265 … |1|=| - x1|= 0.00159… ≤ 0.005 = 0.510-2 故1 = 0.510-2，x1精确到10-2位，有3位有效数字。 |2|=| - x2|= 0.000092… ≤ 0.0005 = 0.510-3 故2 = 0.510-3，x2精确到10-3位，有4位有效数字。
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§1.1 计算机上进行算术运算的特点
计算机的数系是一个不完整的数系。计算机只能 表示有限个数，即计算机的精度是有限的。 例如：求解线性方程组 ——
1 1 11 x1 x2 x3 2 3 6 1 1 13 1 x1 x2 x3 3 4 12 2 1 1 47 1 x1 x2 x3 3 4 5 60
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§1.1 计算机上进行算术运算的特点
注意点：
实数运算的加法结合律在计算机上不成立； 实数运算的乘法对加法的分配律也不成立。 例如：在3位十进制计算机上计算 0.0275+0.0329+12.7=？ 【解】 (0.0275 + 0.0329)+ 12.7 =(0.27510-1 + 0.32910-1)+ 0.127102 = 0.60410-1 + 0.127102 = 0.001102 + 0.127102 = 0.128102 = 12.8 0.0275 +(0.0329 + 12.7) 误差！ -1 +(0.000102 + 0.127102) = 0.27510 = 0.000102 + 0.127102 = 0.127102 = 12.7 准确解：0.0275 + 0.0329 + 12.7 = 12.7604
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§1.2 误差
实际应用中，常将准确值 x*表示成如下形式： x* = x 或 x - x* x + 例如：某商品标注的重量为 27〒0.5 kg，则商品重量大约 为27 kg， = 0.5 kg，商品实际重量在26.5 kg 到27.5 kg 的 范围内。
0.2300 0.510-4
4
0.23
0.510-2 2
9800
0.5100 4
98102
0.5102 2
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§1.2 误差
有效数字的另一种定义形式
定义1-3’ 设 x* 的近似值 x 0.1 2 n 10 p ，其 中 p Z， 1 , 2 ,, n 0,1,, 9 且 1 0 。若 x 的绝 对误差限满足 | ( x ) || x x | 0.5 10 p n 则称近似值 x 精确到10 p-n位，具有 n 位有效数字。 例如：设取 x = 3.1415 作为 的近似值，问 x 有几位有效 数字？ 【解】| |=| - x|= 0.000092… ≤ 0.510-3 ，即 p-n = -3 又 x = 3.1415 = 0.31415101，即 p = 1 故 x 精确到10-3位，有4位有效数字。
定义1-1 设 x* 为准确值，x 为 x* 的一个近似值，则称 (x) = x*- x 为近似值 x 的绝对误差，简称误差。 由于 x* 一般不能得到，故绝对误差也就无法具体确定。 通常用| (x)|的适当小的上界 来度量绝对误差，称 为近似值 x 的绝对误差限，简称误差限。 | (x)|=|x*- x|≤ 显然， 不唯一。在衡量近似值精度时，常取 为满足 上式的形如 0.510k(k∈Z)的数中较小者。 2 * 例如：x 0.6666 , x 0.667 3 则 |ε(x)|=|x*- x|= 0.000333… < 0.0005，即 = 0.5 10-3
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2013-7-27
§1.1 计算机上进行算术运算的特点
注意点：
数 0 在计算机中用尾数为 0 的浮点数表示，其阶可以 是允许范围内的任意值。 每种计算机都有各自规定的基底、字长及阶的范围。 当一个数的阶 n 超出规定的范围，就会造成“溢出”。 一台计算机能表示的浮点数的全体是一个离散的有限 集合，记作 F 。若实数 x 不在集合 F 内，则计算机就 自动用 F 中最接近 x 的一个浮点数表示。
研究内容
非线性方程的求解 线性方程组的求解 曲线拟合、插值法 数值积分 常微分方程的求解 (Ch. 2) (Ch. 3) (Ch. 5) (Ch. 6) (Ch. 7)
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2013-7-27
第一章 绪论
学习要求
掌握每种算法的基本思想和基本原理； 注意算法处理时的一些技巧； 重视误差分析、收敛性和稳定性分析的基本理论； 对具体的数值问题，会选择合适的算法，并通过程序 实现所要的结果； 为了掌握本课程的内容，还应做一定数量的理论分析 与计算练习。
尾数 di∈{0,1,2,…, β-1} 1≤ i ≤ t，且d1 ≠ 0 t ：计算机字长 阶(码)，L ≤ n ≤ U L下溢界；U上溢界
基底 β = 2, 8, 10, 16
例如：一台4位10进制计算机(t = 4, β = 10) 则 e = 0.2718×101 -62.4 = - 0.6240×102 0.0010346 = 0.1035×10-2
求函数解析表达式 y =近似值
n i 1
数学问题 的 数值问题
计算方法 —— 利用计算机来求解各类数学问题近似 解的数值方法。
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第一章 绪论
用计算机解决实际问题需经历的几个过程 ——
实际 问题
建立 数学模型
数值 问题
重点 求 解

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| x|
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§1.2 误差
相对误差和相对误差限
例如：设 x1* = 100〒1，x2* = 10〒1，问哪个量的近似值 较为准确？ 【解】 x1 = 100，1 = 1，1 = 1% x2 = 10， 2 = 1，2 = 10%
由于1 < 2 ，故 x1* 的近似值较为准确。 注1：相对误差(限)无量纲，常用百分数表示。 注2：在同一个量或不同量的几个近似值中，| r (x)|较小 者精度较高！ 注3：相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数之间 的差异。因此，在误差分析中相对误差显得更为重要。
注1：在计算方法中，构造任一近似算法都应考虑其截断 误差。 注2：舍入误差的积累可能对结果造成很大影响，在构造 算法时应十分注意。
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§1.2 误差
误差的估计方式
1 2 绝对误差（限） 相对误差（限） 有效数字
3
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§1.2 误差
绝对误差和绝对误差限 /* absolute error (accuracy)*/
x1 6.22 x2 38.25 x 33.65 3
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2013-7-27
§1.1 计算机上进行算术运算的特点
每种计算机内部运算是按固定的有限位数进行的， 也就是按固定位数的有限位浮点数进行运算的。 规格化浮点数
x 0. d1d 2 d t n
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§1.2 误差
误差的来源与分类
模型误差 /* Modeling Error */ —— 从实际问题中抽象出数学模型 观测误差 /* Measurement Error */ —— 通过观测得到模型中某些参数(或物理量)的值 截断误差 /* Truncation Error */ —— 数学模型的准确解与数值算法所得到的近似解之 差，又称方法误差 舍入误差 /* Roundoff Error */ —— 由于计算机字长有限，原始数据和计算结果都需 按字长的限定进行舍入
江南大学
计算方法
Computational Method
课程信息
课程名称：计算方法（数值分析、科学计算） 课程性质：考查课（理论 24 +实验 8） 先修课程：高等数学、线性代数、微积分等 考核方式： 平时成绩 30%（出席率、作业、实验） 期末考试 70%（开卷）