计算方法第一章

r ( x1 x 2 ) ( x1 x 2 )
x1 x 2
( x1 ) ( x2 )
x1 x2
x1 x2 x1 ( x1 ) x2 ( x2 ) r ( x1 ) r ( x2 ) x1 x2 x1 x2 x1 x 2 x1 x1 x 2 x 2
1 3 sin x x x 6
例
2 1.4142 ，产生舍入误差为：
R 2 1.4142 0.0000135
}
1.2 误差的基本估计方法
= 1.2.1 绝对误差和绝对误差限 = 1.2.2 相对误差和相对误差限 = 1.2.3 有效数字
= 1.2.4 算术运算的误差
}
1.2.1 绝对误差和绝对误差限
设某准确值x近似值为x*。 x*的绝对误差 ε(x)=x–x*
在同一量的不同近似值中，|ε(x)|越小，x*的精确度越高。
当|ε(x)|较小时，ε(x)≈dx |ε(x)|=|x–x*|≤ξ ——x*的绝对误差限 试估计误差限。 实际重量 |ε(x)|=|x–x*|=0.000333….<0.0005 解 在26.5kg到 27.5kg之间 x*的绝对误差限为0.0005 常用记法： x=x*±ξ 表示 x*-ξ≤x≤x*+ξ 例
}
1.2.3 有效数字
定义1.3 若近似值x*的绝对误差限是某一位上的半个单位， 则说 x* 精确到该位，若从该位到 x* 的左面第一位非零数字 一共有n位，则称近似值x*有n位有效数字。 准确数有无穷多位有效数字. 例 解
用3.1416作为π的近似值,有几位有效数字?
π=3.14159265…… x*=3.1416
则称近似数具有n位有效数字。 左起第1位非零数字正 好有n位。 例 已知x=31.2063的绝对误差ε(x)=0.5×10 -3，问x有多
少位有效数字？ 解法1 可知x精确到10 -3 ，从这一位到左边第一位非 零数字共有5位，因此有5位有效数字。
x 0.312036 102 , p=2, p-n= -3, 解法2 所以x有5位有效数字。
基底（可以是10、2、8、16等等）
t —字长（正整数）。
d1,d2,…,dt为0到β–1中任一数字。 当数x≠0时，规定d1≠0 。
}
十进制情形，β为10，d1,d2,…,dt为0到9中任一数字。 数0在计算机中尾数为0，阶码任意 。 一台计算机能表示的浮点数的全体，记作F。实数x在计 算机中用F中最接近x的一个浮点数表示。
采用“秦九韶算法” pn ( x ) ((( an x an1 ) x an 2 ) x a1 ) x a0
只需n次乘法和n次加法。
}
4. 要避免绝对值小的数作除数
例 当x接近于0时，可化
sin x 1 cos x 1 cos x s in x
当x>>1 时，可化
}
1.1.2 误差的来源与分类
通常，用计算机解决科学计算问题经历以下过程： 实际问题 → 建立数学模型 → 构造数值计算方法 → 程序设计 → 上机计算结果 误差的来源主要有四类：
1.模型误差---客观量的准确值与数学模型的准确解的差
2.观测误差---由观测数据而产生的误差 3.截断误差(方法误差)---数学模型的准确解与利用近似计 算方法得到的解之差 4.舍入误差---由于将数据进行舍入而产生
当x1≈x2时, x1 – x2 ≈0,所以相近两数之差的相对误差将很大 。 利用ε(y)≈dy, εr (y)≈dy/y 可以推导如下结果：
x1 r ( x1 x2 ) r ( x1 ) r ( x2 ), r r ( x1 ) r ( x 2 ),( x 2 0) x 2
例 t=4, p=10，即4位十进制计算机中 π= 0.2718×101
- 62.4= - 0.6240×102
0.0010346= 0.1035×10-2
}
2.浮点数的运算特点:
(1) 两数相加前先对阶,统一为较大阶. (2) 结果自动规格化. 例1 设t=4, β=10, x=0.3127×10 –6, y=0.4153×10 –4. 则 x y 0.0031 104 0.4153 104
}
例
设 x 1 0.5, y 10000 5, x, y的近似值哪一个精度高些?
解 x*=1, 绝对误差限ξx=0.5,
相对误差限ηx=0.5/1=0.5
y*=10000, 绝对误差限ξy=5,
相对误差限ηy=5/10000=0.0005
由于ηy< ηx ，所以y的近似值y*的精度较高。
算法1、直接用求根公式 x1 p p 2 q 0.5 105 0.25000000 1010 0 1010
0.5 105 0.5 105 0.10000000 106 10000000 .
x2 p
算法2
p2 q 0
|π-3.1416|=0.0000073……
< 0.00005 =0.5×10-4
因此近似值精确到10-4,有5位有效数字.
}
由定义可见， 对于同一个量的不同近似值，其绝对误差限越小，
有效数字位越多，反之也是。
还可以证明，
对于不同近似值（不必是同一个量的近似值），其
相对误差限越小，有效数字位越多，反之也是。
( x1 x2 ) d( x1 x2 ) x2 ( x1 ) x1 ( x2 )
x1 x x ( x1 ) x1 ( x 2 ) d 1 2 ,( x 2 0) 2 x x2 x2 2
}
（2）相对误差：
}
例 某个量的数学模型是sin x,由泰勒展式
x3 x5 x7 sin x x , x 3! 5! 7!
sin x x x3 x5 x7 cos 3 x 截断误差 sin x x 3! 5! 7! 3!
用近似计算公式
hhhhhhhhhhhhhggggggggggggg
第1章 误差
1.1 科学计算中误差的来源
1.2 误差的基本估计方法 1.3 算法的数值稳定性
}
1.1 科学计算中误差的来源
= 1.1.1 浮点数及其运算特点
= 1.1.2 误差的来源与分类
}
1.1.1 浮点数及其运算特点
1. 规格化浮点数： x=±0.d1d2…dt×βn 尾数 阶
——x*的相对误差限


| x |
常用计算公式： ( x ) r
理由： 当ξ已知时，有 |εr (x)|=
( x)
x*
x x* , * x
| x | （为什么？）

| ( x) | ≤ * |x |
——相对误差限η ——绝对误差限ξ
当η已知时，有|ε(x)|=|εr (x)| |x*|≤η|x*|
x x 1 x
x

x 1
x

5. 设法控制误差的传播 1 例 计算积分 En x ne x 1d x,n 1,2,,9
0
递推公式 E n 1 nE n1 n 2,3, ,9
n 1 误差传递规律: ( En ) n ( En1 ) ( 1) n! ( E1 )
p 2 q 10000000 .
结果失真，因为方 程显然无0根，。
x1 p
由韦达定理， x1x2=q=1, x2=1/x1=0.000010000000
}
概念： 一个算法，如果计算结果受误差的影响小，就称这
个算法具有较好的数值稳定性。否则，就称这个算法的
数值稳定性不好。
上例的算法1误差太大，是数值不稳定的算法。算法2较准确。
E1 1 / e
公式改为 E n 1 逐渐缩小
1 1 En | ( E n1 ) | | E n | 则误差按规律 n n
}
一般，有限次连乘除的结果的相对误差限是各乘数、 除数的相对误差限之和。
}
1.3
算法的数值稳定性
= 1.3.1 算法的数值稳定性概念 =1.3.2 设计算法的若干原则
}
1.3.1 算法的数值稳定性概念
例 求解一元二次方程x2+2px+q=0 ，其中p= - 50000, q=1,
在8位十进制计算机上计算。
(对阶)
（规格化）
0.4184 104
例2 设在5位十进制计算机上，t=5, β=10,
x=0.37569×10 4,
y=0.96331×10 –5.
则 x y 0.375 69 104 0.00000 104
其结果大数“吃掉”了小 数
}
答：不成立。
在计算机里， 加法结合律成 立吗？ 乘法对加法 的分配律成 立吗？ 答：不成立。请自己举例说明。 例题：在3位十进制机上计算 (0.0438+0.0397)+13.2=13.3 而 0.0438+(0.0397+13.2)=13.2
x 1 x
( x 1 x )( x 1 x ) x 1 x

1 x 1 x
2. 要防止大数“吃掉”小数，注意保护重要数据 3. 注意简化计算步骤，减少运算次数，避免误差积累 例
n n 1 计算多项式 pn ( x ) an x an1 x a1 x a0
原因： | p || q |,
p2 q p
求根公式之一会造成相近两数相减，从而损失有效数字。 求解一元二次方程x2+2px+q=0 较好的算法：