计算方法第一章绪论
计算方法
计算方法第一章绪论1.1计算方法的任务与特点计算方法（又称数值计算方法，数值方法）定义：研究数学问题数值解法及其理论的一门学科1.2误差知识误差来源：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差绝对误差：|e（x*）|=|x－x*|相对误差：e r=e（x*）/x*x*=±10m（a1×10－1＋a2×10－2+…+an×10-n）n为有效数字|x-x*|≤（1/2）×10m-n1.3选用算法时应遵循的原则要尽量简化计算步骤以减少运算次数、要防止大数“吃掉”小数、尽量避免相近的数相减、除法运算中应尽量避免除数的绝对值远远小于被除数的绝对值选用数值稳定性好的公式，以控制舍入误差的传播第二章方程的近似解法方程f（x）=a0+a1x+…+a m-1x m-1+a m的根的模小于u+1大于1/|1+v| （u=max｛|a m-1|,…,|a1|,|a0|｝v=1/|a0|max｛1,||a m-1|,…,|a1|｝）2.1二分法解法步骤：第一步利用（b-a）/2n+1≤1/2×10-m解得n+1≥~得最小对分次数2.2迭代法解法步骤：第一步画图求的隔根区间第二步建立迭代公示并判别收敛性第三步令初始值计算2.3牛顿迭代法迭代公式：x n+1= x n -f（x n）/f’（x n）解法步骤：第一步列出迭代公式第二步判断收敛性3.1解线性方程组的直接法高斯消去法、列主元素消去法、总体选主元素消去法暂不介绍矩阵三角分解法Ly=b Ux=y以三行三列为例介绍u11=a11u12=a12u13=a13l21=a21/u11l31=a31/u11u22=a22-l21×u12u23=a23-l21×u13l32=(a32-l31u12)/u22u33=a33-l31×u13-l32×u233.2解线性方程组的迭代法简单迭代法（雅可比迭代法）x=Bx+g收敛性判断|E入-B T B|=0 max入＜1赛德尔迭代法x(k+1)=B1x(k+1)+B2x(k)+g收敛性判断|E入-C T C|=0 max入＜1 C=(E-B1)-1B2第五章插值法余项R n（x）=f（n+1）（~）∏（x-x i）5.1拉格朗日插值法l k（x）=[（x-x0）…（x-x k-1）（x-x k+1）…（x-x n）]/[（x k-x0）…（x k-x k-1）（x k-x k+1）…（x k-x n）] L n(x)=∑l k(x)y k第六章最小二乘法与曲线拟合A T Ax=A T b第七章数值积分与数值微分梯形公式∫f（x）dx=(b-a)/2[f(a)+f(b)]Rn=-(b-a)3/12f’’(m) (m∈(a,b))复化梯形公式Rn=-(b-a)h2/12f’’(m) (m∈(a,b))辛浦生公式∫f（x）dx=(b-a)/6[f(a)+f((a+b)/2)+f(b)]Rn=- (b-a)5/2880f’(4)(m) (m∈(a,b))Rn=- (b-a)h4/2880f’(4)(m) (m∈(a,b))柯特斯公式∫f（x）dx=(b-a)/90[7f(x0)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(x4)]Rn=-8(b-a)/945((b-a)/4)7f(6)(m) (m∈(a,b))Rn=-2(b-a)（h/4）6/945((b-a)/4)7f(6)(m) (m∈(a,b))龙贝格求积公式S N=(4T2N-T N)/(4-1)C N=(42S2N-S N)/(42-1)R N=(43C2N-C N)/(43-1)T梯形S辛浦生C柯特斯第八章常微分方程初值问题的数值解法欧拉法y n+1=y n+hf(x n,y n)梯形法y n+1=y n+h/2[f(x n,y n)+f(x n+1,y n+1)]欧拉预估-校正公式y n(0)=y n+hf(x n,y n) y n+1=h/2[f(x n,y n)+f(x n+1,y n+1(0))]。
计算方法实验指导书
第一章 绪论一、主要要求通过实验，认真理解和体会数值计算的稳定性、精确性与步长的关系。
二、主要结果回顾：1、算法：电子计算机实质上只会做加、减、乘、除等算术运算和一些逻辑运算，由这些基本运算及运算顺序规定构成的解题步骤，称为算法．它可以用框图、算法语言、数学语言或自然语言来描述。
用计算机算法语言描述的算法称为计算机程序。
（如c —语言程序，c++语言程序，Matlab 语言程序等）。
2、最有效的算法：应该运算量少，应用范围广，需用存储单元少，逻辑结构简单，便于编写计算机程序，而且计算结果可靠。
3、算法的稳定性：一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。
换句话说：若误差传播是可控制的,则称此算法是数值稳定的,否则称此算法为不稳定的。
4、控制误差传播的几个原则： 1）防止相近的两数相减； 2）防止大数吃小数；3）防止接近零的数做除数；4）要控制舍入误差的累积和传播；5）简化计算步骤,减小运算次数,避免误差积累。
三、数值计算实验（以下实验都需利用Matlab 软件来完成） 实验1.1（体会数值计算精度与步长关系的实验）实验目的：数值计算中误差是不可避免的，要求通过本实验初步认识数值分析中两个重要概念：截断误差和舍入误差，并认真体会误差对计算结果的影响。
问题提出：设一元函数f :R →R ，则f 在x 0的导数定义为：hx f h x f x f h )()(lim)('0000-+=→实验内容:根据不同的步长可设计两种算法,计算f 在x 0处的导数。
计算一阶导数的算法有两种：hx f h x f x f )()()('000-+≈（1）hh x f h x f x f 2)()()('000--+≈（2）请给出几个计算高阶导数的近似算法，并完成如下工作： 1、对同样的h ，比较(1)式和(2)式的计算结果；2、针对计算高阶导数的算法，比较h 取不同值时(1)式和(2)式的计算结果。
计算方法1
本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的 数值分析方法。
4
利用计算机解决实际科学计算问题，一般经过以 下几个步骤：
Step1：实际问题的提出
Step2：建立数学模型
Step3：确定计算方法
Step4：程序设计
Step5：上机实现，得出结果
5
计算方法的研究对象和内容：研究求解各种数学 问题的数值方法及其理论，并且将方法在计算机上实 现，求出问题的数值解，或者说是问题的近似解。
计算方法公理式论、分算析法（（收方敛法性,）稳定性, 误差分析等）
注意：我们在学习中，不但要掌握并会使用算法， 还要重视必要的理论分析，即分析算法的收敛性、稳 定性、误差分析等，这样才能保证计算结果的可靠性。
问： * 有几位有效数字？请证明你的结论。 证明： π* 0.31415101 ,
and |π * π| 0.5 103 0.5 1014
* 有 4 位有效数字，精确到小数点后第 3位。
注：0.2300有4位有效数字，而0.0023只有2位有效。12300如 果写成0.123105，则表示只有3位有效数字。 数字末尾的0不可随意省去！
估计绝对误差界为0.002 ,
相对误差界为0.002 0.00064, 3.14
例 测量一木板长是954cm，问测量的相对误差限是多少？
实际问题中所截取的近似数，其绝对误差界一般不会
超过最小刻度的半个单位，因而
当x 954cm时，有 0.5cm，其相对误差界为
r
x
0.5 954
0.0005241
0.053 %
11
数值分析(计算方法)总结
第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差是的绝对误差,是的误差，为的绝对误差限(或误差限）为的相对误差，当较小时，令相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即:绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。
例:设x==3。
1415926…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位.科学计数法：记有n位有效数字，精确到。
由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字令1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差(限）的和2.x-y近似值为3.xy近似值为4.1．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数3．避免大数吃小数4．尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根1。
逐步搜索法设f (a) <0, f (b）〉 0，有根区间为 (a, b）,从x0=a出发，按某个预定步长（例如h=（b-a）/N）一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k）=f（a+kh）的符号，若f（x k)〉0(而f（x k-1）<0)，则有根区间缩小为［x k-1，x k] （若f（x k）=0,x k即为所求根)，然后从x k—1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：｜x k—x k-1｜< 为止，此时取x*≈(x k+x k-1）/2作为近似根.2。
二分法设f（x）的有根区间为［a,b]= [a0，b0], f（a）<0，f（b)〉0。
将［a0,b0]对分,中点x0= （(a0+b0)/2），计算f（x0）。
3.比例法一般地,设 [a k，b k］为有根区间，过（a k，f（a k）)、 (b k, f（b k）)作直线，与x轴交于一点x k，则:1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛.2。
第一章 数值计算方法 绪论
er
e x
因为
e x
e x
er
e x
x x
x
e(x x)
(e )2
xx x ( x e )
( 1
e x
)2
e x
相对误差也可正可负
相对误差限——相对误差的绝对值的上界
r
/* relative accuracy */
e x
x x x
r
Def 1.3 （有效数字/*Significant Digits*/ ）
0
e
记为
I
* 0
则初始误差
E0
I0
I
0
0.5 108
此公式精确成立
1
e
1 0
xn
e0
dx
In
1 e
1 x n e1 dx
0
1 e(n 1 )
In
1 n1
I 1
1
1
I 0
0.36787944
... ... ... ...
I 10
1
10
I 9
0.08812800
I 11
1 11
I 10
0.03059200
求函数y y(x)在某些点
xi
n i 1
的近似函数值
数学问题 数值问题
数值问题的来源：
实际 问题
建立数学模型
数值 求解 问题
设计高效、可 靠的数值方法
数值 问题
重点讨论
近似结果
输出
上机 计算
程序 设计
可 收敛性：方法的可行性
则数
靠 性
稳定性：初始数据等产生的误差对结果的影响
值分
南航《计算方法》第1章-绪论
南京航空航天大学数学系
内容提要
1. 科学计算的地位与应用 2. 科学计算在美国 3. 科学计算的基本内容 4. 科学计算主要进展 5. 相容性与稳定性
一. 科学计算的地位与应用
科学计算的地位
科学研究/工程技术
理论 研究
科学 计算
科学 实验
科学工程计算
建模 计算
应用 问题
数学 计算 模型 方法
二. 科学计算在美国
2
美国从1942年8月13日开始曼哈顿 计划，到1945年制造出三颗原子 弹：代号为：“三一”，用于试 验（7月16日），“瘦子”投于广 岛(8月6日)，“胖子”投于长崎(8 月9日)。历时三年，涉及到理论 物理、爆轰物理、中子物理、金
属物理、弹体弹道等大量的数值 计算。
1983年一个由美国著名数学家拉 克斯(P. Lax)为首的不同学科的专 家委员会向美国政府提出的报告 之中，强调“科学计算是关系到 国家安全、经济发展和科技进步 的关键性环节，是事关国家命脉 的大事。”
有限差分法的基本思想是用离散的、 只含有限个未知数的差分方程去代 替连续变量的微分方程和定解条件。 求出差分方程的解作为求偏微分方 程的近似解。
3.5 微分方程(组)数值解
有限元法是近代才发展起来的， 它是以变分原理和剖分差值作为 基础的方法。在解决椭圆形方程 边值问题上得到了广泛的应用。 有许多人正在研究用有限元素法 来解双曲形和抛物形的方程。
1 en1 n en
故得 | en
|
1 n1
1 n
2
1 N
| eN
| (n
N)
计算稳定。
x * ---数学模型精确解 x ---计算格式理论解 x ---计算格式近似解
计算方法第一章 绪论
知称道，实为Er际近(x)计似算值时x的通相常对取误差，由于精确值 一般x不*
x* x
Er (x)
作为近似值x的相对误差。
x
若能求出一个正数 ，使r 得
E，r (x则) 称r 为近似r
值x的相对误差限。它是无量纲的数，通常用百分
比表示。
2021/6/26
整理课件
15
例：甲用米尺测量10M长的物体，所产生的绝对 误差为2cm，乙用同一米尺测量1M长的物体，所产 生的绝对误差为1cm，他们谁的测量精度好？
用计算机解决科学计算问题的一般过程，可以概括为：
实际问题→数学模型→计算方法→ 程序设计→上机计算→结果分析
整理课件
由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立
数学模型这一过程，通常作为应用数学的任务。 而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程 序上机算出结果，进而对计算结果进行分析，这 一过程则是计算数学的任务，也是数值计算方法 的研究对象。
第二，有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要 求，对近似算法要保证方法的收敛性和数值稳定性，还要对 误差进行分析，这些都建立在相应数学理论基础上。
第三，要有好的计算复杂性（即时间复杂性和空间复杂 性）；时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省 存储量，这也是建立算法要研究的问题，它关系到算法能否 在计算机上实现。
x x * 0.04 0.05 1 101 2
x 又 （0.3289） 1,故02该不等式又可写为
x x * 1 10 23 2
x 故 有3位有效数字，分别是 3,2，8。 x x 由于 中的数字9不是有效数字,故 不是有效数。
思考： 3.1415有几位有效数字？
2021/6/26
西安交通大学《计算方法》课件-第一章
浮点运算原则
(1)避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数 参加运算 (2)避免“大”“小”数相加减 (3)避免相近数相减，防止大量有效数字损失 (4)尽可能简化运算步骤，减少运算次数
第1章 绪论
定义 数据相对小的变化引起解的相对大的变化的问题 称为病态问题,否则称为良态问题。
问题的性态就是指问题的解对原始数据扰动的敏感性
第1章 绪论
浮点数系运算误差
(2)计算结果的尾数多于t位数字
在F (2,3,1,2)中
(0.100 20 ) (0.111 20 ) 0.1101 21 (0.100 22 ) (0.111 21 ) 0.1000111 22
需要对结果进行舍入处理,产生的差称为舍入误差
记为F ( , t , L,U )
l
将计算机中所能表示的全体数的集合称为计算机的浮点数系
浮点数系中的数的个数是有限的,其个数为
2( 1) t 1 (U L 1) 1
第1章 绪论
浮点数系的误差
在计算机的浮点数系中,四则运算是非封闭的 为使经过算术运算产生的结果仍然要用浮点数系中的数 表示,因此必须用一个比较接近的数来代替 因此产生误差 称此误差称为舍入误差
第1章 绪论
第1章 绪论
什么是计算方法
《计算方法》介绍基本的数学问题中的主要数值方法, 介绍方法的思想、结构、条件、对输入数据的要求、生成 数据的意义、应注意的事项等 介绍数值计算中的一些最基本的概念 设计常见应用问题的数值处理方法 对数值方法的数值特性进行研究 分析方法的可靠性 分析方法的效率
第1章 绪论
问题的性态
已知问题f ( x)的输入数据只有一个 ,用x来表示 若有两个输入数据x和~ x , 则可以得到两个不同的结果f ( x)和f ( ~ x)
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科学计算的意义
2.Newton（1642-1725）开创了微积分，提出了力 学的三大定律，特别是万有引力定律，是科学发展 进入理论思维的标志。 Einstein（1878-1955）提出的相对论是这种理论思 维的顶峰，在几个世纪中，实验方法和理论分析一 直强有力地推动着科技的发展，科学家们也没有停 止过使用科学计算来进行研究，但由于以前没有计 算机，计算只能是小规模的。
科学计算的意义
V.Neumann(1903-1957)1945年研制的第一 台计算机带来了科学研究的新的革命，将科 学家从繁重的劳动中解放出来，目前，科学 计算已发展成为一种研究方法，“科学计算 与实验、理论三足鼎立，相辅相成，成为当 今科学活动的三大方法。
1、一个两千年前的例子
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三 十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三 十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二 十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何？ 答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉 四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三。 -------《九章算术》
牛顿迭代、曲线拟合
科学计算的意义
科学计算与科学实验、科学理论并列为科学方法论 的三大组成部分。 关键时期和代表性的人物
1.Galileo(1564-1642)是实验物理的开创者，倡导科学的
数学化，为近代科学制订了具体而有效的程序，通过关 键实验，演绎基本原理，达到认识世界的目的，霍金称 他为近代科学奠基人。 Kepler（1571-1630）对行星数据的计算和分析，提出 行星运动三大定律，是按此程序研究的一个成功典范。
假若要求波纹瓦长4英尺,每个波纹的高度(从 中心线)为1英寸,且每个波纹以近似2π英寸 为一个周期. 求制做一块波纹瓦所需铝板的 长度L.
这个问题就是要求由函数f(x)=sin x给定的 曲线从x=0到x=48英寸间的弧长L. 由微积分学我们知道,所求的弧长可表示为:
L
48
0
1 ( f ( x)) dx
Axb
线性方程组的数值方法！
x sin x t 0, 0 1
x是行星运动的轨道，它是时间t 的函数
非线性方程的数值解法
3、全球定位系统（Global Positioning System, GPS)
8 S6 6
Height
S5
( x, y, z, t ) 表示地球上
输入多项式的次数n和系数（ an,an-1,…,a1 ,a0）及x s= an
做循环 i=n-1，……，0 s=s*x+ai
输出s
此算法要求上机完成
秦九韶简介
秦九韶（公元1202－1261），字道古，安岳人。秦九 韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家。其父秦季 栖，进士出身，官至上部郎中、秘书少监。 秦九韶聪敏勤 学。宋绍定四年（1231），秦九韶考中进士，先后担任县 尉、通判、参议官、州守、同农、寺丞等职。先后在湖北、 安徽、江苏、浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州（今 广东梅县），不久死于任所。他在政务之余，对数学进行 虔心钻研，并广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等 资料，进行分析、研究。 宋淳祜四至七年（1244至1247），他在为母亲守孝时， 把长期积累的数学知识和研究所得加以编辑，写成了闻名 的巨著《数学九章》，并创造了“大衍求一术”。这 不仅 在当时处于世界领先地位，在近代数学和现代电子计算设 计中，也起到了重要作用，被称为“中国剩余定理”。他 所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”。现在， 世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到 他的定理、定律和解题原则。秦九韶在数学方面的研究成 果，比英国数学家取得的成果要早500多年。
二、实验一表占40（二表占20）分
以最后的实验上机考试分数为准，成绩以百分制给出， 最后折合。上机考试使用机试系统。程序填空和程序改 错各1题。
三、期末笔试一表占50分（二表占70分）
笔试试卷以百分制给出，最后折合。第8周课内时间考。
上机要求
按学号坐(见上机安排) 课前把程序写在纸上或者把空填好 教材和实验讲义都带着 保存自己调好的程序 交2次实验报告
S3
4
2
S4 S1
0 10 S2 5
R
一个接收点R的当前位 置，卫星Si的位置为 ( xi , yi , zi , ti ) ，则得 到下列非线性方程组
6
4 2 N-S positions 0 0 图 7.8
8
( x x1 )2 ( y y1 )2 ( z z1 )2 (t1 -t) c 0 ( x x2 )2 ( y y2 )2 ( z z2 )2 (t 2 -t) c 0 ( x x3 )2 ( y y3 )2 ( z z3 )2 (t 3 -t) c 0 ( x x4 )2 ( y y4 )2 ( z z4 )2 (t 4 -t) c 0 ( x x5 )2 ( y y5 )2 ( z z5 )2 (t 5 -t) c 0 ( x x6 )2 ( y y6 )2 ( z z6 )2 (t 6 -t) c 0
算法研究的意义
算法研究的意义
引例1 计算n次多项式的值
Pn ( x) an x n an1 x n1 a1 x a0
1. 如果不设计算法需进行的运算次数为：
n(n+1)/2次乘法和n次加法。
2. 若简单设计一下算法
pn ( x) (an x an1 ) x n1 an2 x n2 a1 x a0 pn ( x) ((an x an 1 ) x an 2 ) x n 2 a1 x a0
2、秦九韶的“大衍求一术”，领先高斯554年，被康托尔称为“最幸运的天才”
秦九韶所发明的“大衍求一术”，即现代数论中一次同余式组解法，是中世纪世界 数学的最高成就，比西方1801年著名数学家高斯（Gauss，1777—1855年）建立的同 余理论早554年，被西方称为“中国剩余定理”。秦九韶不仅为中国赢得无尚荣誉，也 为世界数学作出了杰出贡献。 3、秦九韶的任意次方程的数值解领先霍纳572年 秦九韶在《数书九章》中除“大衍求一术”外，还创拟了正负开方术，即任意高次 方程的数值解法，也是中世纪世界数学的最高成就，秦九韶所发明的此项成果比1819年 英国人霍纳（W· Horner，1786—1837年）的同样解法早572年。秦九韶的正负方术， G· 列算式时，提出“商常为正，实常为负，从常为正，益常为负”的原则，纯用代数加法， 给出统一的运算规律，并且扩充到任何高次方程中去。 此外，秦九韶还改进了一次方程组的解法，用互乘对减法消元，与现今的加减消元法完 全一致；同时秦九韶又给出了筹算的草式，可使它扩充到一般线性方程中的解法。在欧 洲最早是1559年布丢（Buteo，约1490—1570年，法国）给出的，他开始用不很完整的 加减消元法解一次方程组，比秦九韶晚了312年，且理论上的不完整也逊于秦九韶。 秦九韶还创用了“三斜求积术”等，给出了已知三角形三边求三角形面积公式，与海伦 （Heron，公元50年前后）公式完全一致。秦九韶还给出一些经验常数，如筑土问题中 的“坚三穿四壤五，粟率五十，墙法半之”等，即使对现在仍有现实意义。秦九韶还在 十八卷77问“推计互易”中给出了配分比例和连锁比例的混合命题的巧妙且一般的运算 方法，至今仍有意义。
/mathews/numerical.html
考核方式
一、平时占10分
1．平时表现占10分，扣分标准如下（扣到0为止）： (1)旷课1次扣2分; (2) 迟到、早退1次扣1分; (3)违反课堂纪律扣1~3分; (4)替答到扣3分，被替扣2分; (5)上机聊天、玩游戏、带耳机等发现一次扣1分。 (6) 作业不及格或没交一次扣1分。
计算方法研究的内容
研究用计算机解决数学问题的数值方法和理论。 计算机解决实际问题的步骤 实际问题 建立数学模型 选择数值算法 编程计算结果 主要任务 算法设计及其理论分析和编程实现
算法设计：计算速度、存贮量等 算法分析：收敛性、稳定性及误差分析等
讲授内容 非线性方程求根、线性方程组求解、插值与拟合、数值积分、常 微分方程初值问题的数值解法
秦九韶的数学成就及对世界数学的贡献主要表现在：
1、秦九韶的《数书九章》是一部划时代的巨著
秦九韶潜心研究数学多年，在湖州守孝三年，所写成的世界数学 名著《数学九章》，《癸辛杂识续集》称作《数学大略》，《永乐 大典》称作《数学九章》。全书九章十八卷，九章九类：“大衍 类”、“天时类”、“田域类”、“测望类”、“赋役类”、“钱 谷类”、“营建类”、“军旅类”、“市物类”，每类9题（9问） 共计81题（81问），该书内容丰富至极，上至天文、星象、历律、 测候，下至河道、水利、建筑、运输，各种几何图形和体积，钱谷、 赋役、市场、牙厘的计算和互易。许多计算方法和经验常数直到现 在仍有很高的参考价值和实践意义，被誉为“算中宝典”。该书著 述方式，大多由“问曰”、“答曰”、“术曰”、“草曰”四部分 组成：“问曰”，是从实际生活中提出问题；“答曰”，给出答案； “术曰”，阐述解题原理与步骤；“草曰”，给出详细的解题过程。 此书已为国内外科学史界公认的一部世界数学名著。此书不仅代表 着当时中国数学的先进水平，也标志着中世纪世界数学的最高水平。 我国数学史家梁宗巨评价道：“秦九韶的《数书九章》（1247年） 是一部划时代的巨著，内容丰富，精湛绝伦。特别是大衍求一术 （不定方程的中国独特解法）及高次代数方程的数值解法，在世界 数学史上占有崇高的地位。那时欧洲漫长的黑夜犹未结束，中国人 的创造却像旭日一般在东方发出万丈光芒。”