高考数学-圆锥曲线练习题
全国卷高考数学圆锥曲线大题(带答案)
全国卷高考数学圆锥曲线大题（带答案）1. 如图，直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l 1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|.(Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程．(Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足：①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ⋅= 求点G 的横坐标的取值范围．2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程.3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是,425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1:22222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0.（Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；（Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若=. 求证：.0=•4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F（c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A，B两点.设AB中点为M，直线AB与OM的夹角为αa.（1）用半焦距c表示椭圆的方程及tanα;（2）若2<tanα<3，求椭圆率心率e的取值范围.5. 已知椭圆2222byax+（a＞b＞0）的离心率36=e，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为23（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C D两点问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由6. 在直角坐标平面中，ABC ∆的两个顶点B A ,的坐标分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，平面内两点M G ,同时满足下列条件： ①0=++GC GB GA MCMB MA ==GM ∥AB（1）求ABC ∆的顶点C 的轨迹方程；（2）过点)0,3(P 的直线l 与（1）中轨迹交于F E ,两点，求PF PE ⋅的取值范围7. 设R y x ∈,，j i,为直角坐标平面内x 轴．y 轴正方向上的单位向量，若jy i x b j y i x a)2(,)2(-+=++=，且8||||=+b a（Ⅰ）求动点M(x,y)的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设曲线C 上两点A ．B ，满足(1)直线AB 过点（0，3），(2)若OB OA OP +=，则OAPB 为矩形，试求AB 方程．8. 已知抛物线C ：)0,0(),(2>≠+=n m n x m y 的焦点为原点，C 的准线与直线 )0(02:≠=+-k k y kx l 的交点M 在x 轴上，l 与C 交于不同的两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N （p ，0）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）求实数p 的取值范围；（Ⅲ）若C 的焦点和准线为椭圆Q 的一个焦点和一条准线，试求Q 的短轴的端点的轨迹方程．9. 如图，椭圆的中心在原点，长轴AA 1在x 轴上.以A 、A 1为焦点的双曲线交椭圆于C 、D 、D 1、C 1四点，且|CD|＝21|AA 1|.椭圆的一条弦AC 交双曲线于E ，设λ=EC AE ，当4332≤≤λ时，求双曲线的离心率e 的取值范围.x10. 已知三角形ABC 的三个顶点均在椭圆805422=+y x 上，且点A 是椭圆短轴的一个端点（点A 在y 轴正半轴上）.若三角形ABC 的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC 的方程; 若角A 为090，AD 垂直BC 于D ，试求点D 的轨迹方程.11. 如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于,A B两点，点Q 是点P 关于原点的对称点.(1) 设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明:()QP QA QB λ⊥-;(2) 设直线AB 的方程是2120x y -+=，过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程.12. 已知动点P （p ，-1），Q （p ，212p +），过Q 作斜率为2p 的直线l ，P Q 中点M 的轨迹为曲线C.（1）证明：l 经过一个定点而且与曲线C 一定有两个公共点； （2）若（1）中的其中一个公共点为A ，证明：AP 是曲线C 的切线； （3）设直线AP 的倾斜角为α，AP 与l 的夹角为β，证明：βα+或βα-是定值.13. 在平面直角坐标系内有两个定点12F F 、和动点P ，12F F 、坐标分别为)0,1(1-F 、)0,1(F 2，动点P 满足22|PF ||PF |21=，动点P 的轨迹为曲线C ，曲线C 关于直线y x =的对称曲线为曲线'C ，直线3-+=m x y 与曲线'C 交于A 、B 两点，O 是坐标原点，△ABO 的面积为7，（1）求曲线C 的方程；（2）求m 的值。
高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题(含答案解析)
高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题（含答案解析）1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，分别以PQ ，PF 为直径作圆和圆，且圆和圆交于P ，R 两点，且.(1)求动点的轨迹E 的方程；(2)若直线：交轨迹E 于A ，B 两点，直线：与轨迹E 交于M ，D 两点，其中点M 在第一象限，点A ，B 在直线两侧，直线与交于点且，求面积的最大值.【解析】（1）设点,因为, 由正弦定理知,,解得, 所以曲线的方程为.（2）直线与曲线在第一象限交于点, 因为,所以, 由正弦定理得:,xOy ()1,0F l =1x −P P l Q 1C 2C 1C 2C PQR PFR ∠=∠P 1l x my a =+2l 1x =2l 1l 2l N MA BN AN MB ⋅=⋅MAB △(,)P x y PQR PFR ∠=∠||||PQ PF =|1|x =+24y x =E 24y x =1x =E (1,2)M ||||||||MA BN AN MB ⋅=⋅||||||||MA MB AN BN =sin sin sin sin ANM BNMAMN BMN∠∠=∠∠所以. 设， 所以, 得,所以， 所以直线方程为:,联立，得 由韦达定理得,又因为点在直线的上方,所以,所以, 所以又因为点到直线的距离为所以方法一：令,则,所以当时,单调递增,当时,单调递减,所以， 所以当时,面积最大,此时最大值为.方法二：最大值也可以用三元均值不等式,过程如下:， 当且仅当,即时,等号成立.AMN BMN ∠=∠()()1122,,,A x y B x y 12122212121222224411221144AM BM y y y y k k y y x x y y−−−−+=+=+=+=−−++−−124y y +=−2121222121124144AB y y y y k y y x x y y −−====−−+−1l x y a =−+24y xx y a ⎧=⎨=−+⎩2440,16(1)0,1y y a a a +−=∆=+>>−12124,4y y y y a +=−=−M 1l 21a >−+13a −<<12||AB y =−=M 1l d =11||22ABMSAB d ==⨯=2()(1)(3),13f a a a a =+−−<<()(31)(3)f a a a '=−−113a −<<()0,()f a f a '>133a <<()0,()f a f a '<max 1256()327f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭13a =ABM S ∆=ABM S △ABMS==223a a +=−13a =2．（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，，一个焦点为． (1)求椭圆的标准方程；(2)过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于两点，直线分别与直线相交于两点，若为锐角，求直线斜率的取值范围． 【解析】（1）由题意知：椭圆的离心率因为一个焦点为，所以，则由可得：，所以椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为，， 联立方程组，整理可得：，则有， 由条件可知：直线所在直线方程为：， 因为直线与直线相交于 所以，同理可得：， 则， 若为锐角，则有， 所以 C O ()0,1F C F l ,A B ,OA OB 2y =,M N MON ∠l k C c e a ==()0,1F 1c =a 222a b c =+1b =C 2212y x +=l 1y kx =+1122(,),(,)A x y B x y 22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(2)210k x kx ++−=12122221,22k x x x x k k −−+==++OA 11y y x x =OA 2y =M 112(,2)x M y 222(,2)xN y 112(,2)x OM y =222(,2)xON y =MON ∠0OM ON >121212212121212444444(1)(1)()1x x x x x x OM ON y y kx kx k x x k x x =+=+=++++++，则，解得：或， 所以或或， 故直线斜率的取值范围为. 3．（2023·青海海东·统考一模）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)若在点处的切线为，函数的图象在点处的切线为，，求直线的方程.【解析】（1），，则，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）设，令，则. 当时，； 当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得最大值2，即.，当且仅当时，等号成立，取得最小值2. 因为，所以，得.2222142=412122k k k k k k −⨯++−−⨯+⨯+++22=41k +−22421k k −=−224201k k −>−212k <21k>k −<<1k >1k <−l k 22(,1)(,)(1,)22−∞−−+∞()32ln 13x f x x x x =−+−()y f x =1x =()y f x =A 1l ()e e x xg x −=−B 2l 12l l ∥AB ()11101133f =−+−=−()222ln 212ln 3f x x x x x =+−+=−+'()12f '=()y f x =1x =()1213y x +=−723y x =−()()1122,,,A x y B x y ()22ln 3h x x x =−+()()()21122x x h x x x x+−=−='01x <<()0h x '>1x >()0h x '<()h x ()0,1()1,+∞()22ln 3h x x x =−+1x =()2f x '…()e e 2x x g x −=+'…0x =()g x '12l l ∥()()122f x g x ''==121,0x x ==即，所以直线的方程为，即. 4．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，．(1)若的面积为的标准方程；(2)如图，过点作斜率的直线l 交椭圆于不同两点M ，N ，点M 关于x 轴对称的点为S ，直线交x 轴于点T ，点P 在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q ，使，记四边形的面积为，求的最大值．【解析】（1），∴，，解得的标准方程为：. （2），∴，椭圆，令，直线l 的方程为：， 联立方程组： ，消去y 得，由韦达定理得，，()11,,0,03A B ⎛⎫− ⎪⎝⎭AB ()130010y x −−−=−−13y x =−22122:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F ||2||OA OB =12BF F △1C (1,0)P (0)k k >1C SN OM ON OQ +=OMQN 1S 21OT OQ S k⋅−||2||OA OB =2a b =12122BF F S b c =⋅=△bc =222a b c =+4,2,a b c ===1C 221164x y +=||2||OA OB =2a b =22122:14x yC b b+=()()()()201012,,,,,,,0T M x y N x y Q x y T x (1)y k x =−222214(1)x y b b y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩22222(14)8440k x k x k b +−+−=2122814k x x k +=+221224414k b x x k −=+有 ，因为：，所以， ， 将点Q 坐标代入椭圆方程化简得： ， 而此时： . 令，所以直线 ， 令得 ， 由韦达定理化简得，，而， O 点到直线l 的距离， 所以：，，因为点P 在椭圆内部，所以 ，得，即令 ，求导得 ，当，单调递增； 当 ，即，单调递减.所以：，即5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：的右顶点为，过左焦点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，交轴于P 点，，，记，，（为C 的右焦点）的面积分别为.121222(2)14kyy k x x k −+=+−=+OM ON OQ +=202814k x k =+02214k y k −=+222414k b k=+()22222284(14)(44)480k k k b k ∆=−+−=>()11,S x y −122221:()y y SN y y x x x x +−=−−0y =()1212211212212112122(1)(1)(2)2T x x x x x y x y k x x k x x x y y k x x x x −+−+−===+++−+−24T x b =12OMN S S =△12MN x =−=d =1122S MN d =⨯⋅=2222243212814(14)k b k OQ OT k k ⋅==++2312280(14)OT OQ S k k k ⋅−=+214b <2112k >k >322()(14)k f k k =+222222423(41)(43)(43)()(14)(14)k k k k k f k k k −+−−−'==++213124k <<k <<()0f k '>()f k 234k >k >()0f k '<()f k max()f k f ==⎝⎭21maxOT OQ S k ⎛⎫⋅−=⎪⎝⎭22221(0)x y a b a b+=>>A 1(0)x ty t =−≠y PM MF λ=PN NF μ=OMN 2OMF △2ONF △2F 123,,S S S(1)证明：为定值；(2)若，，求的取值范围.【解析】（1）由题意得F ，，所以椭圆C 的标准方程为：.设，显然，令，，则，则，，由得，解得，同理. 联立，得. ，从而（定值） （2）结合图象，不妨设，，，， λμ+123S mS S μ=+42λ−≤≤−m a (1,0)1c −⇒=2221b a c =−=2212x y +=1122(,),(,)M x y N x y 0t ≠0x =1y t =10,P t ⎛⎫⎪⎝⎭111,PM x y t ⎛⎫=− ⎪⎝⎭()111,MF x y =−−−PM MF λ=11111(,)(1,)x y x y t λ−=−−−111ty λ+=211ty μ+=22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩22(2)210t y ty +−−=12122221,11t y y y y t t −+==++121212*********y y tty ty t y y t λμ++++=+=⋅=⋅=−−4λμ+=−120y y >>1121211122S y y y y =⋅⋅−=−（）21111122S y y =⋅⋅=32211122S y y =⋅⋅=−由得 代入，有，则， 解得 ，，设，则，设，则，令，解得，解得，故在上单调递减，在上单调递增，则且，则，则. 6．（2023·四川成都·统考二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与该椭圆交于两点，且的方程. 【解析】（1）由已知得，解得，，所求椭圆的方程为；（2）由（1）得.①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得. 111ty λ+=21211111,,13y y y tt y λμμμλμ++++====+−−123S mS S μ=+()1212111222y y my y μ−=−1212y y my y μ−=−2222111811(1)17(3)133y y y m y y y μμμμμμ⎡⎤=−+=−−=−=−++−+⎢⎥+⎣⎦42λ−≤≤−31[1,3]μλ∴+=−−∈3u μ=+[]1,3u ∈()87h u u u ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭()228uh u u −'=()0h u '>1u <<()0h u '<3u <<()h u ()(()max 7h u =−()()412,33h h =−=()2,7h u ⎡∈−−⎣2,7m ⎡−−⎣∈22221(0)x y a b a b+=>>12,F F e =22a c =1F l M N 、2223F M F N +=l 22c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1a c ==1b ∴∴2212x y +=()()121,01,0F F −､l l =1x −22112x x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩2y =设， ，这与已知相矛盾. ②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，设，联立， 消元得，，，又，， 化简得，解得或（舍去）所求直线的方程为或.7．（2023·全国·高三专题练习）设分别是椭圆的左､右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，到直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4. (1)求椭圆的方程；(2)已知点，设是椭圆上的一点，过两点的直线交轴于点，若，1,M N ⎛⎛−− ⎝⎭⎝⎭､()222,4,04F M F N ⎛⎛⎫∴+=−+−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭l l k l ()1y k x =+()()1122,,M x y N x y ､()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()2222124220k x k x k +++−=22121222422,1212k k x x x x k k −−∴+==++()121222212ky y k x x k ∴+=++=+()()2112221,,1,F M x y F N x y =−=−()2212122,F M F N xx y y ∴+=+−+(22F M F N x ∴+=424023170k k −−=21k =21740k =−1k ∴=±∴l 1y x =+=1y x −−12,F F 2222:1(0)x y D a b a b+=>>2F π3D ,A B 1F AB D D ()1,0M −E D ,E M l y C CE EM λ=求的取值范围；(3)作直线与椭圆交于不同的两点，其中点的坐标为，若点是线段垂直平分线上一点，且满足，求实数的值.【解析】（1）设的坐标分别为，其中； 由题意得的方程为. 因为到直线的距离为3，解得①因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4，所以，即 ②联立①②解得: ,所求椭圆D 的方程为.（2）由（1）知椭圆的方程为，设，因为，所以所以，代入椭圆的方程， 所以，解得或.（3）由，设根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为，则直线的方程为，把它代入椭圆的方程，消去整理得： 由韦达定理得则，； 所以线段的中点坐标为. （i ）当时，则，线段垂直平分线为轴，λ1l D ,P Q P ()2,0−()0,N t PQ 4NP NQ ⋅=t 12,F F ()(),0,,0c c −0c >AB )y x c −1F AB 3,=c =2223a b c −==D 12242a b ⨯⨯=2ab =2,1a b ==2214x y +=2214x y +=11(,),(0,)E x y C m CE EM λ=1111(,)(1,),x y m x y λ−=−−−11,11m x y λλλ=−=++22()1()141m λλλ−++=+2(32)(2)04m λλ++=≥23λ≥−2λ≤−()2,0P −11(,)Q x y 1l k 1l ()2y k x =+D y 2222(14)16(164)0k x k x k +++−=212162,14k x k −+=−+2122814k x k −=+112()4214k y k x k =+=+PQ 22282(,)1414k kk k −++0k =()2,0Q PQ y于是，由解得（ii ）当时，则线段垂直平分线的方程为. 由点是线段垂直平分线的一点，令，得；于是由， 解得综上可得实数的值为8．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，为椭圆的左､右顶点，焦距长为在椭圆上，直线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程；(2)已知为坐标原点，点，直线交椭圆于点不重合），直线交于点.求证：直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 【解析】（1）由题意，，设，，由题意可得，即，可得 (2,),(2,)NP t NQ t =−−=−244,NP NQ t ⋅=−+=t =±0k ≠PQ 222218()1414k ky x k k k −=−+++()0,N t PQ 0x =2614kt k =−+11(2,),(,)NP t NQ x y t =−−=−24211222224166104(16151)2()4141414(14)k k k k k NP NQ x t y t k k k k −++−⎛⎫⋅=−−−=+== ⎪++++⎝⎭k =2614k t k =−=+t ±,A B 2222:1(0)x yE a b a b+=>>P E ,PA PB 14−E O ()2,2C −PC E (,M M P ,BM OC G ,AP AG ()(),0,,0A a B a −()00,P x y 0000,PA PB y y k k x a x a==+−000014y y x a x a ⋅=−+−222014y x a =−−2202222222201111444x b a b a c x a a a ⎛⎫− ⎪−⎝⎭=−⇒=⇒=−又所以，椭圆的方程为；（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线，且联立，得 由，得，所以， 设，由三点共线可得所以，直线的斜率之积为定值.9．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为.2c =c =2a =E 2214x y +=MP :MP y kx m =+()()112222,,,,k m P x y M x y =−+2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222148440k x kmx m +++−=Δ0>22410k m +−>2121222844,1414km m x x x x k k −−+==++(),G t t −,,G M B 222222222y y tt t x x y −=⇒=−−−+−11,22AG AP y tk k t x ==−++()()()()112121221212222221222AG AP y y y y y tk k t x x y x k x m x ⋅=⋅=−=−−+++−+⎡⎤++−+⎣⎦()()()()()())()()22212122212112121221222124y k x x km x x m y m x x m x m x m x x x x +++=−=−=−−++⎡⎤⎡⎤−+−+−+++⎣⎦⎣⎦()()()2222222222222222244844841414448144164161241414m kmk km m k m k m m k m k k m km m m km k m k k −−+⋅+−−++++=−=−⎡⎤⎡⎤−−−−−++⎣⎦−+⋅+⎢⎥++⎣⎦()()()()()()()2222222422141(2)818144144m k m k m k m k m m m m k m m m m km k −+−++−=−=−=−=−=−−−−−−−+,AP AG 14−F F '221:171617C x y +=1l F '2l 1l G GF 2l H H 2C(1)求轨迹的方程；(2)若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为A 、B ，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性.【解析】（1），，椭圆半焦距长为，，，，动点到定直线与定点的距离相等，动点的轨迹是以定直线为准线，定点为焦点的抛物线，轨迹的方程是；（2）猜想证明如下：由（1）可设，，，则，切线的方程为：同理，切线的方程为： 联立方程组可解得的坐标为， 在抛物线外，，，2C P :20l x y −−=P 2C PA PB PFA ∠PFB ∠22171617x y +=∴2211716y x +=∴1410,4F ⎛⎫'− ⎪⎝⎭10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭HG HF =∴H 11:4l y =−10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭∴H 11:4l y =−10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭∴2C 2x y =PFA PFB ∠=∠()211,A x x ()()22212,B x x x x ≠2y x =2y x '∴=112AP x x k y x =='=∴AP ()1221111220y x x x x y x x x −⇒−=−−=BP 22220x x y x −−=P 122P x x x +=12P y x x =P ∴||0FP ≠2111,4FA x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭12121,24x x FP x x +⎛⎫=− ⎪⎝⎭2221,4FB x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭22121121112122221112211111244444cos ||||||11||||4x x x x x x x x x x x FP FA AFP FP FA FP FP x x FP x +⋅−−+++⋅∴⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅∠====+− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⋅+同理10．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆＋＝1（a ＞b ＞0），右焦点F （1,0），，过F作两条互相垂直的弦AB ，CD .(1)求椭圆的标准方程；(2)求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围.【解析】（1）由题意知，，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）①当直线与中有一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，不妨设直线的斜率为0，的斜率不存在，则直线方程为，直线的方程为，联立可得所以联立可得所以所以四边形ADBC 的面积． ②当两条直线的斜率均存在且不为0时，设直线的方程为，1214cos ||||||x x FP FB BFP FP FB FP +⋅∠==cos cos AFP BFP ∴∠=∠PFA PFB ∴∠=∠22x a 22y b2c e a ==a 1c =a =222abc =+21b =2212x y +=AB CD AB CD AB 0y =CD 1x =22120x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩AB =22121x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩CD =11||||222S AB CD =⋅=⨯AB (1)y k x =−则直线的方程为． 将直线的方程代入椭圆方程，整理得，方程的判别式，设， 所以， ∴， 同理可得， ∴四边形ADBC 的面积 ， ∵，当且仅当时取等号，∴四边形ADBC 的面积，综上①②可知，四边形ADBC 的面积的取值范围为．11．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P ，Q (均异于点，证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2．CD 1(1)y x k=−−AB ()2222124220k xk x k +−+−=()2222124220k x k x k +−+−=()()42221642122880k k k k ∆=−+−=+>()()1122,,,A x y B x y 22121222422,1212k k x x x x k k −+=⋅=++12||AB x −)22112kAB k +==+)2222111||1212k k CD k k⎫+⎪+⎝⎭==++⨯))22221111||||22122k k S AB CD k k ++=⋅=⨯⨯++()2222242144122252112121k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===−++⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22121219k k ⎛⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭⎝1k =±16,29S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭S 16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦22:12+=x E y (1,1)M k E (0,1)A −【解析】设,直线的方程为,两交点异于点，则 ,联立直线与椭圆方程,消去变量 并整理得,由已知，由韦达定理得,则所以可知直线与的斜率之和为2.12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，，若，求的值．【解析】由题可知，设，，，由，得， 满足，可得，()()1122,,,P x y Q x y PQ (1)1y k x =−+A 2k ≠y ()222221124(1)2402(1)1x y k x k k x k k y k x ⎧+=⎪⇒++−+−=⎨⎪=−+⎩0∆>21212224(1)24,1212k k k kx x x x k k −−+==++()()12121212121211AP AQ k x k x y y k k x x x x −+−++++=+=+()()12121212122(2)(2)2kx x k x x k x x k x x x x +−+−+==+222244122(2)1224k k k k k k k k−+=+−⋅⋅+−()2212k k =−−=AP AQ 22162x y +=1F 2F A B P 11PF F A λ=22PF F B μ=2λ=μ2226,2,4a b c ===()00,P x y 11(,)A x y 22(,)B x y 11PF F A λ=22PF F B μ=()1,0F c −0101101x x c y y λλλλ+⎧−=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩()010110x x c y y λλλ⎧+=−+⎨+=⎩满足，可得，由，可得， 所以，∴，， 又，∴， 同理可得， ∴， 所以，又，所以.13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且直线被椭圆． (1)求椭圆的方程；(2)以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点为，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．【解析】（1）直线，经过点，，被椭圆，可得．又，，解得：，，， ()2,0F c 0202101x x c y y μμμμ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩()020210x x c y y μμμ⎧+=−+⎨+=⎩22002222112211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2200222222211221x y a b x y a b λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()()()010*******21x x x x y y y y abλλλλλ−+−++=−()()()()0101211x x x x a λλλλ−+=−+()()2011a x x cλλ−=−−()()011x x c λλ+=−+222202a c a c x c cλ−+=−222202a c a c x c c μ−+=−+()22222a c a c c cλμ−++=⋅2222210a c a cλμ++=⋅=−2λ=8μ=22122:1(0)x y C a b a b+=>>121:1x yl a b+=1C 1C 1C 2C 2:4l y =M 2C ,A B AB 1C C D ||||CD AB ⋅1:1x yl a b+=(,0)a (0,)b 1C 227a b +=12c a =222a b c =+24a =23b =1c =椭圆的方程为．（2）由（1）可得：圆的方程为：．设，则以为直径的圆的方程为：，与相减可得：直线的方程为：，设，，，，联立，化为：，，则，，故又圆心到直线的距离，令，则，可得，可得：14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为∴1C22143x y+=2C224x y+=(2,4)M t OM222()(2)4x t y t−+−=+224x y+=AB2440tx y+−=1(C x1)y2(D x2)y222440143tx yx y+−=⎧⎪⎨+=⎪⎩22(3)480t x tx+−−=248(2)0t∆=+>12243tx xt+=+12283x xt=⋅−+||CDO AB d=||AB∴=||||AB CD∴⋅==23(3)t m m+=≥||||AB CD⋅==3m≥3233m≤−<||||AB CD⋅<22122:1(0)x yC a ba b+=>>1F2F P 1290F PF∠=︒P P1F2(1)求椭圆的方程；(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围． 【解析】（1）设半焦距为，由使得的点恰有两个可得， 动点到焦点的距离的最大值为，可得所以椭圆的方程是. （2）圆的方程为，设直线的坐标为.设，连接OA ，因为直线为切线，故，否则直线垂直于轴，则与直线若，则，故， 故直线的方程为：， 整理得到：；当时，若，直线的方程为：；若，则直线的方程为：， 满足.故直线的方程为，同理直线的方程为， 又在直线和上，即，故直线的方程为.1C 1C 2C x =−T 2C A B AB 1C C D ||CD c 1290F PF ∠=︒P ,b c a =P 1F 22a c +=2,a c =1C 22142x y +=2C 224x y +=x =−T ()t −1122(,),(,)A x y B x y AT 10y ≠AT x AT x =−10x ≠11OA y k x =11AT x k y =−AT ()1111x y y x x y −=−−2211114x x y y x y +=+=10x =(0,2)A AT 2y =(0,2)A −AT =2y −114x x y y +=AT 114x x y y +=BT 224x x y y +=()t −AT BT 112244ty ty ⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩AB 4ty −+=联立，消去得，设，． 则， 从而， 又，从而，所以. 15．（2023·全国·高三专题练习）已知、分别为椭圆的左、右焦点，且右焦点的坐标为，点在椭圆上，为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程(2)若过点的直线与椭圆交于两点，且的方程； (3)过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为，（，224142ty x y ⎧−+=⎪⎨+=⎪⎩x 22(16)8160t y ty +−−=33(,)C x y 44(,)D x y 343422816,1616t y y y y t t −+==++||CD 224(8)16t t +=+232416t −=++21616t +≥2322016t −−≤<+||[2,4)CD ∈1F 2F 2222:1(0)x yC a b a b+=>>2F (1,0)(P C O C 2F l C ,A B ||AB =l C Q 22:1O x y +=M N M不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分别为、，那么是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【解析】（1）椭圆的右焦点的坐标为，椭圆的左焦点的坐标为，由椭圆的定义得， 所以，由题意可得，即，即椭圆的方程为；（2）直线与椭圆的两个交点坐标为，， ①当直线垂直轴时，方程为：，代入椭圆可得，舍去；②当直线不垂直轴时，设直线联立，消得，，则，，恒成立.， 又， N MN x y m n 2212m n+C 2F (1,0)∴C 1F (1,0)−12||||2PF PF a +=2a =a ∴=22a =1c =2221b ac =−=C 2212x y +=l C ()11,A x y ()22,B x y l x l 1x =y =||AB =l x :(1)l y k x =−2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩y ()2222124220k x k x k +−+−=2122421k x x k +=+21222221k x x k −=+()()()()22222442122810k k k k ∆=−+−=+>22AB =()()22121214k x x x x ⎡⎤=++−⎣⎦()()22228121k k +=+||AB =()()222228132921k k +==+⎝⎭化简得，，即，解得或（舍去），所以，直线方程的方程为或. （3）是定值，定值为2.设点，，，连接，，，，则有，. ，不在坐标轴上，则，， 则，， 直线的方程为，即，① 同理直线的方程为，②，将点代入①②，得，显然，满足方程，直线的方程为，分别令，，得到，，，，又满足，，即.16．（2023·全国·高三专题练习）某同学在探究直线与椭圆的位置关系时发现椭圆的一个重要性427250k k −−=()()227510k k +−=21k =257k =−1k =±∴l 10x y −−=10x y +−=()00,Q x y ()33,M x y ()44,N x y OM ON 0M MQ ⊥ON NQ ⊥22331x y +=22441x y +=M N 33MO y k x =44NO y k x =331MQ MOx k k y =−=−441NQ NO x k k y =−=−∴MQ ()3333x y y x x y −=−−2233331xx yy x y +=+=⋯NQ 441xx yy +=⋯Q 0303040411x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩()33,M x y ()44,N x y 001xx yy +=∴MN 001xx yy +=0x =0y =01n x =01=m y 01y m ∴=01x n =()00,Q x y 2212x y +=∴221112m n +=22122m n +=质：椭圆在任意一点，处的切线方程为．现给定椭圆，过的右焦点的直线交椭圆于，两点，过，分别作的两条切线，两切线相交于点． (1)求点的轨迹方程；(2)若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于，两点，证明：为定值． 【解析】（1）由题意F 为，设直线为，，，，， 易得在点处切线为，在点处切线为， 由得，又，，可得，故点的轨迹方程．（2）证明：联立的方程与的方程消去，得．由韦达定理，得，，所以，因为，直线MN 可设为，同理得， 所以．2222:1(0)x y C a b a b+=>>0(M x 0)y 00221xx yy a b +=22:143x y C +=C F l C P Q P Q C G G F l C M N 11||||PQ MN +()1,0PQ 1x ty =+1(P x 1)y 2(Q x 2)y P 11143x x y y +=Q 22143x x y y+=11221,431,43x xy yx x y y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1122124()y y x x y x y −=−111x ty =+221x ty =+4x =G 4x =l C 221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x 22(34)690t y ty ++−=122634t y y t +=−+122934y y t =−+2212(1)||34t PQ t +=+PQ MN ⊥11x y t =−+2222112(1)12(1)||13434t t MN t t++==+⋅+22221134347||||12(1)12(1)12t t PQ MN t t +++=+=++。
(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|， 设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与 的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。
高考数学真题练习——圆锥曲线的综合高考真题
圆锥曲线的综合一．选择题（共4小题）1．（2020•浙江）已知点(0,0)O ，(2,0)A -，(2,0)B ．设点P 满足||||2PA PB -=，且P 为函数y =图象上的点，则||(OP = )A ．2B C D 2．（2019•天津）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点），则双曲线的离心率为( )A B C ．2D3．（2015•天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为( )A ．22134x y -=B ．22143x y -=C ．2212128x y -=D ．2212821x y -=4．（2012•山东）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，与双曲线221x y -=的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A ．22182x y +=B ．221126x y +=C ．221164x y +=D ．221205x y +=二．多选题（共1小题）5．（2020•海南）已知曲线22:1C mx ny +=．( ) A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n =>，则CC ．若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若0m =，0n >，则C 是两条直线 三．填空题（共1小题）6．（2011•山东）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 ． 四．解答题（共10小题）7．（2017•天津）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点(B B 异于)A ，直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆AP 的方程． 8．（2017•浙江）如图，已知抛物线2x y =，点1(2A -，1)4，3(2B ，9)4，抛物线上的点(P x ，13)()22y x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PA PQ 的最大值．9．（2016•山东）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过动点(0M ，)(0)m m >的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，(P P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B ． （ⅰ）设直线PM ，QM 的斜率分别为1k ，2k ，证明21k k 为定值； （ⅱ）求直线AB 的斜率的最小值．10．（2014•湖南）如图，O 为坐标原点，椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ；双曲线22222:1x y C a b-=的左、右焦点分别为3F ，4F ，离心率为2e，已知12e e =，且24||1F F =．（Ⅰ）求1C 、2C 的方程；（Ⅱ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于P ，Q两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．11．（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、A '两点，||4AA '=．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P '，过P 、P '作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．若PQ P Q '⊥，求圆Q 的标准方程．12．（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设： ①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =； ②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向． （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？13．（2011•浙江）如图，设P 是抛物线21:C x y =上的动点．过点P 做圆222:(3)1C x y ++=的两条切线，交直线:3l y =-于A ，B 两点．（Ⅰ）求2C 的圆心M 到抛物线1C 准线的距离．（Ⅱ）是否存在点P ，使线段AB 被抛物线1C 在点P 处的切线平分？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2011•辽宁）如图，已知椭圆1C 的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上．椭圆2C 的短轴为MN ，且1C ，2C 的离心率都为e ．直线l MN ⊥．l 与1C 交于两点，与2C 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A 、B 、C 、D ．（Ⅰ）12e =，求||BC 与||AD 的比值； （Ⅱ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得//BO AN ，并说明理由．15．（2010•江西）已知抛物线221:C x by b +=经过椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点．（1）求椭圆2C 的离心率；（2）设(3,)Q b ，又M ，N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若QMN ∆的重心在抛物线1C 上，求1C 和2C 的方程．16．（2010•山东）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点1F ，2F 为顶点的三角形的周长为1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ． （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明121k k =；（Ⅲ）（此小题仅理科做）是否存在常数λ，使得||||||||AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．圆锥曲线的综合参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2020•浙江）已知点(0,0)O ，(2,0)A -，(2,0)B ．设点P 满足||||2PA PB -=，且P 为函数y =图象上的点，则||(OP = )A B C D 【解答】解：点O (0,0)，(2,0)A -，B (2,0)．设点P 满足||||2PA PB -=，可知P 的轨迹是双曲线22113x y -=的右支上的点，P 为函数y =221364y x +=在第一象限的点，联立两个方程，解得P ，所以||OP =． 故选：D ．2．（2019•天津）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点），则双曲线的离心率为( )A B C ．2D【解答】解：抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ． (1,0)F ∴，准线l 的方程为1x =-，l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点）， 2||b AB a ∴=，||1OF =，∴24b a=，2b a ∴=，c ∴==，∴双曲线的离心率为ce a== 故选：D ．3．（2015•天津）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为( )A ．22134x y -=B ．22143x y -=C ．2212128x y -=D ．2212821x y -=【解答】解：由题意，b a =，抛物线2y =的准线方程为x =2y =的准线上，c ∴2227a b c ∴+==，2a ∴=，b =∴双曲线的方程为22143x y -=．故选：B ．4．（2012•山东）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，与双曲线221x y -=的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A ．22182x y +=B ．221126x y +=C ．221164x y +=D ．221205x y +=【解答】解：由题意，双曲线221x y -=的渐近线方程为y x =± 以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，(2,2)∴在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上∴22441a b +=又e =∴22234a b a -= 224a b ∴= 220a ∴=，25b =∴椭圆方程为：221205x y +=故选：D ．二．多选题（共1小题）5．（2020•海南）已知曲线22:1C mx ny +=．( ) A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若0m n =>，则CC ．若0mn <，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若0m =，0n >，则C 是两条直线【解答】解：A ．若0m n >>，则11m n<，则根据椭圆定义，知22111x y m n+=表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；B ．若0m n =>，则方程为221x y n +=的圆，故B 错误； C ．若0m <，0n >，则方程为22111x y m n +=，表示焦点在y轴的双曲线，故此时渐近线方程为y =， 若0m >，0n <，则方程为22111x y m n+=，表示焦点在x轴的双曲线，故此时渐近线方程为y =， 故C 正确；D ．当0m =，0n >时，则方程为y =表示两条直线，故D 正确；故选：ACD ． 三．填空题（共1小题）6．（2011•山东）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 22143x y -= ．【解答】解：由题得，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点坐标为，0)，(，0)，c =且双曲线的离心率为22c a a=⇒=．2223b c a ⇒=-=， 双曲线的方程为22143x y -=．故答案为：22143x y -=．四．解答题（共10小题）7．（2017•天津）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点(B B 异于)A ，直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆AP 的方程． 【解答】（Ⅰ）解：设F 的坐标为(,0)c -．依题意可得12212c a p a a c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=． 所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =．（Ⅱ）解：直线l 的方程为1x =-，设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠， 联立方程组11x x my =-⎧⎨=+⎩，解得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m -．联立方程组221413x my y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =，或2634m y m =-+．2234(34m B m -+∴+，26)34m m -+． ∴直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(32m D m -+，0)．2222236||13232m m AD m m -∴=-=++． 又APD ∆，∴22162232||m m m ⨯⨯=+，整理得23|20m m -+=，解得||m，m ∴= ∴直线AP的方程为330x +-=，或330x -=．8．（2017•浙江）如图，已知抛物线2x y =，点1(2A -，1)4，3(2B ，9)4，抛物线上的点(P x ，13)()22y x -<<，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围； （Ⅱ）求||||PA PQ 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题可知2(,)P x x ，1322x -<<，所以2114(1,1)122APx k x x -==-∈-+， 故直线AP 斜率的取值范围是：(1,1)-； （Ⅱ）由()I 知2(,)P x x ，1322x -<<，所以1(2PA x =--，21)4x -，设直线AP 的斜率为k ，则2114122x k x x -==-+，即12x k =+， 则11:24AP y kx k =++，139:24BQ y x k k =-++，联立直线AP 、BQ 方程可知2234(22k k Q k +-+，22981)44k k k +++，故2321(1k k k PQ k +--=+，4322)1k k k kk --+++，又因为2(1,)PA k k k =----，故323322(1)(1)(1)(1)||||(1)(1)11k k k k k PA PQ PA PQ k k k k+-+--==+=+-++， 所以3||||(1)(1)PA PQ k k =+-， 令3()(1)(1)f x x x =+-，11x -<<， 则22()(1)(24)2(1)(21)f x x x x x '=+-=-+-， 由于当112x -<<时()0f x '>，当112x <<时()0f x '<， 故127()()216max f x f ==，即||||PA PQ 的最大值为2716．9．（2016•山东）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，焦距为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过动点(0M ，)(0)m m >的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，(P P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B ． （ⅰ）设直线PM ，QM 的斜率分别为1k ，2k ，证明21k k 为定值； （ⅱ）求直线AB 的斜率的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c．由题意知24,2a c ==所以2,a b ==C 的方程为22142x y +=．（Ⅱ）证明：（ⅰ）设0(P x ，00)(0y x >，00)y >， 由(0,)M m ，可得0(P x ，2)m ，0(Q x ，2)m -． 所以直线PM 的斜率1002m m m k x x -==，直线QM 的斜率20023m m mk x x --==-， 此时213k k =-．所以21kk 为定值3-． （ⅱ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．直线PA 的方程为y kx m =+， 直线QB 的方程为3y kx m =-+．联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得222(21)4240k x mkx m +++-=．由20122421m x x k -=+，可得21202(2)(21)m x k x -=+，所以211202(2)(21)k m y kx m m k x -=+=++．同理222222002(2)6(2),(181)(181)m k m x y m k x k x ---==+++． 所以22222122220002(2)2(2)32(2)(181)(21)(181)(21)m m k m x x k x k x k k x -----=-=++++，22222122220006(2)2(2)8(61)(2)(181)(21)(181)(21)k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++，所以221216111(6)44ABy y k k k x x k k-+===+-．由0m >，00x >，可知0k >， 所以1626k k+，等号当且仅当k 时取得，=，即m =， 所以直线AB10．（2014•湖南）如图，O 为坐标原点，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ；双曲线22222:1x y C a b-=的左、右焦点分别为3F ，4F ，离心率为2e，已知12e e =，且24||1F F =．（Ⅰ）求1C 、2C 的方程；（Ⅱ）过1F 作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，12e e ==12||F F =．123e e =24||1F F =．∴2221b a+=1=． 解得：1a b ==．∴椭圆1C 的方程为2212x y +=，双曲线2C 的方程为2212x y -=；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1(1,0)F -． 直线AB 不垂直于y 轴，∴设AB 的方程为1x ny =-，联立22112x ny x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(2)210n y ny +--=． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(M x ，0)y ， 则120222,22n n y y y n n +==++，12212y yn =-+． 则||AB=． M 在直线AB 上， ∴20222122n x n n =-=-++．直线PQ 的方程为002y ny x x x ==-， 联立22212n y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得222()202n x x -⨯--=．解得2242x n =-，代入2n y x =- 得2222n y n =-．由220n ->，得n <P ∴，Q的坐标分别为(， 则P ，Q 到AB 的距离分别为：2212n nn d +-=，2222n n n d --=P ，Q 在直线A ，B 的两端，∴22122n nn d d +-+=．则四边形APBQ 的面积12213||()22S AB d d n =+=--． ∴当20n =，即0n =时，四边形APBQ 面积取得最小值2．11．（2013•重庆）如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ，过左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、A '两点，||4AA '=．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P '，过P 、P '作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．若PQ P Q '⊥，求圆Q 的标准方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知点(,2)A c -在椭圆上，则222()41c a b-+=，即222241a b a b -+=①离心率e =，∴2222212c a b a a -==② 联立①②得：2412b =，所以28b =． 把28b =代入②得，216a =．∴椭圆的标准方程为221168x y +=；（Ⅱ）设(,0)Q t ，圆Q 的半径为r ，则圆Q 的方程为222()x t y r -+=， 不妨取P 为第一象限的点，因为PQ P Q '⊥，则()(0)P t t +>． 联立22222()1168x t y r x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，得222421620x tx t r -++-=．由△222(4)4(2162)0t t r =--+-=，得228t r +=又()P t +在椭圆上，所以22())221168t ++=．整理得，218r t -=代入228t r +=，得22221(8)282r r r-+=． 解得：2163r =．所以283t =，t =．此时4t r +=+<． 满足椭圆上的其余点均在圆Q 外． 由对称性可知，当0t <时，t =2163r =． 故所求圆Q的标准方程为2216(3x y +=． 12．（2012•上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图，现假设： ①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =； ②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向． （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？【解答】解：（1）0.5t =时，P 的横坐标772P x t ==，代入抛物线方程21249y x =中，得P 的纵坐标3P y =．2⋯分由||AP =海里/时．4⋯分 由7tan 30OAP ∠=，得7arctan 30OAP ∠=，故救援船速度的方向为北偏东arctan 730弧度．6⋯分 （2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为2(7,12)t t ．由vt 2221144()337v t t =++．10⋯分 因为2212t t +，当且仅当1t =时等号成立，所以22144233725v ⨯+=，即25v ．因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．14⋯分13．（2011•浙江）如图，设P 是抛物线21:C x y =上的动点．过点P 做圆222:(3)1C x y ++=的两条切线，交直线:3l y =-于A ，B 两点．（Ⅰ）求2C 的圆心M 到抛物线1C 准线的距离．（Ⅱ）是否存在点P ，使线段AB 被抛物线1C 在点P 处的切线平分？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为抛物线1C 准线的方程为：14y =-，所以圆心M 到抛物线1C 准线的距离为：111|(3)|44---=．（Ⅱ）设点P 的坐标为0(x ，2)x ，抛物线1C 在点P 处的切线交直线l 与点D ， 因为：2y x =，所以：2y x '=；再设A ，B ，D 的横坐标分别为A x ，B x ，D x ，∴过点0(P x ，2)x 的抛物线1C 的切线的斜率02k x =． 过点0(P x ，20)x 的抛物线1C 的切线方程为：20002()y x x x x -=-① 当01x =时，过点(1,1)P 且与圆2C 相切的切线PA 方程为：151(1)8y x -=-．可得1715A x =-，1B x =，1D x =-，2A B D x x x +≠．当01x =-时，过点(1,1)P -且与圆2C 的相切的切线PB 的方程为：151(1)8y x -=-+．可得1A x =-，1715B x =，1D x =，2A B D x x x +≠．所以210x -≠．设切线PA ，PB 的斜率为1k ，2k ， 则：210:()PA y x k x x -=-② 2020:()PB y x k x x -=-．③将3y =-分别代入①，②，③得20003(0)2D x x x x -=≠；20013A x x x k +=-；200123(B x x x k k +=-，20)k ≠ 从而20012112(3)()A B x x x x k k +=-++．21=，即22222010010(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=， 同理22222020020(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=， 所以1k ，2k 是方程222220000(1)2(3)(3)10x k x x k x --+++-=的两个不等的根， 从而20012202(3)1x x k k x ++=-，2201220(3)11x k k x +-=-， 因为2A B D x x X +=．．所以220001203112(3)()x x x k k x --++=，即120111k k x +=．从而20022002(3)1(3)1x x x x+=+-，进而得48x =，0x = 综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为(．14．（2011•辽宁）如图，已知椭圆1C 的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上．椭圆2C 的短轴为MN ，且1C ，2C 的离心率都为e ．直线l MN ⊥．l 与1C 交于两点，与2C 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A 、B 、C 、D ．（Ⅰ）12e =，求||BC 与||AD 的比值； （Ⅱ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得//BO AN ，并说明理由．【解答】解：()I 因为1C ，2C 的离心率相同，故依题意可设22122:1x y C a b+=，222242:1,(0)b y x C a b a a +=>>设直线:(||)l x t t a =<，分别与1C ，2C 的方程联立，求得(A t，(B t （4分） 当12e =，b =，分别用A y ，B y 表示的A ，B 的纵坐标，可知222||3||:||2||4B A y b BC AD y a ===（6分）（Ⅱ）0t =时的l 不符合题意，0t ≠时，//BO AN 当且仅当BO 的斜率BO k 与AN 的斜率AN k 相等， 即a b t t a=-， 解222221ab e t a a b e-=-=--；因为||t a <，又01e <<，所以22111e e--<-<1e <<所以当20e <时，不存在直线l ，使得//BO AN ；1e <<时，存在直线l ，使得//BO AN ． 15．（2010•江西）已知抛物线221:C x by b +=经过椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点．（1）求椭圆2C 的离心率；（2）设(3,)Q b ，又M ，N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若QMN ∆的重心在抛物线1C 上，求1C 和2C 的方程．【解答】解：（1）因为抛物线1C 经过椭圆2C 的两个焦点1(,0)F c -，2(,0)F c ， 所以220c b b +⨯=，即22c b =，由22222a b c c =+=得椭圆2C 的离心率e =． （2）由（1）可知222a b =，椭圆2C 的方程为：222212x y b b += 联立抛物线1C 的方程22x by b +=得：2220y by b --=，解得：2by =-或y b =（舍去），所以x =，即(,),,)22b bM N --，所以QMN ∆的重心坐标为(1,0)． 因为重心在1C 上，所以2210b b +⨯=，得1b =． 所以22a =．所以抛物线1C 的方程为：21x y +=，椭圆2C 的方程为：2212x y +=．16．（2010•山东）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点1F ，2F 为顶点的三角形的周长为1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ．（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明121k k =；（Ⅲ）（此小题仅理科做）是否存在常数λ，使得||||||||AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为c a =得a =，又221)a c +=，所以可解得a =，2c =，所以2224b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22184x y +=；所以椭圆的焦点坐标为(2,0)±，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为22144x y -=．（Ⅱ）设点0(P x ，0)y ， 则0102y k x =+，0202y k x =-， 2000122000224y y y k k x x x ∴==+--，又点0(P x ，0)y 在双曲线上， ∴2200144x y -=，即2204y x =-， 20122014y k k x ∴==-．（Ⅲ）假设存在常数λ，使得得||||||||AB CD AB CD λ+=恒成立， 则由()II 知121k k =，∴设直线AB 的方程为(2)y k x =+，则直线CD 的方程为1(2)y x k=-， 由方程组22(2)184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得：2222(21)8880k x k x k +++-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则由韦达定理得，22121222888,1221k k xx x x k k --+==++， AB∴=，同理可得22221))1221k k CD k k++===++，||||||||AB CD AB CD λ+=，211||||AB CDλ∴=+-==∴存在常数λ，使得||||||||AB CD AB CD λ+=恒成立．。
圆锥曲线高考真题专练(含答案)
（一）数学全国1卷设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠. 解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x=1.由已知可得，点A 的坐标为或(1,.所以AM 的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--.将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++.则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB∠=∠.已知椭圆C：2222=1x ya b+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，P4（1，C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.解：（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过3P，4P两点.又由222211134a b a b+>+知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此222111314ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241ab⎧=⎪⎨=⎪⎩.故C的方程为2214xy+=.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知0t≠，且||2t<，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.则121k k+-=-，得2t=，不符合题设.从而可设l：y kx m=+（1m≠）.将y kx m=+代入2214xy+=得222(41)8440k x kmx m+++-=由题设可知22=16(41)0k m∆-+>.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2841kmk-+，x1x2=224441mk-+.而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--，所以l 过定点（2，1-） 数学全国1卷设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E. （I ）证明EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C1，直线l 交C1于M,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（I ）13422=+y x （0≠y ）；（II ）)38,12[ 【解析】试题分析：（I ）利用椭圆定义求方程；（II ）把面积表示为关于斜率k 的函数，再求最值。
(完整版)历年圆锥曲线高考题(带答案)
历年高考圆锥曲线2000年：（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直03422=+++x y x 线的方程是（ ）（A ） （B ） （C ）（D ）x y 3=x y 3-=x 33x 33-（11）过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线()02>=a ax y段PF 与FQ 的长分别是、，则等于（ ）p q qp 11+（A ）（B ）（C ） （D ）a 2a21a 4a4（14）椭圆的焦点为、，点P 为其上的动点，当为钝角14922=+y x 1F 2F 21PF F ∠ 时，点P 横坐标的取值范围是________。
（22）（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD 中，点E 分有向线段所成的比为，CD AB 2=AC λ双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。
当时，求双曲线离心率4332≤≤λ的取值范围。
e 2004年3．过点（－1，3）且垂直于直线的直线方程为（ ）032=+-y x A ．B ．C ．D ．12=-+y x 052=-+y x 052=-+y x 072=+-y x 8．已知圆C 的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C 相切，则圆x 0443=++y x C 的方程为（ ）A ．B ．03222=--+x y x 0422=++x y x C ．D ．3222=-++x y x 0422=-+x y x 8．（理工类）已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线21=e 的焦点重合，x y 42-= 则此椭圆方程为（ ）A ．B ．13422=+y x 16822=+y x C ．D ．1222=+y x 1422=+y x 22．（本小题满分14分）双曲线的焦距为2c ，直线过点（a ，0）和（0，b ），且点)0,1(12222>>=-b a by a x l （1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e l l .54c s ≥的取值范围.2005年：9．已知双曲线的焦点为，点在双曲线上且则点1222=-y x 12,F F M 120,MF MF ⋅= 到M 轴的距离为（x ）A ．B ．CD435310．设椭圆的两个焦点分别为过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△为12,,F F 2F 12F PF等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A B C ．D 2121、（理工类）（本小题满分12分）设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。
高考数学圆锥曲线专题训练(附答案解析)
高中数学圆锥曲线专题*注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前xx 分钟收取答题卡阅卷人一、单选题（共10题；共20分）得分1. ( 2分) 波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.2. ( 2分) 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A、B距离之比是常数的点M的轨迹是圆若两定点A、B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为A. B. C. D.3. ( 2分) 已知、为双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线，交的左、右两支于、两点，若为线段的中点且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.4. ( 2分) 已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为16，则双曲线的离心率为（）A. 2B.C.D.5. ( 2分) 关于曲线：性质的叙述，正确的是（）A. 一定是椭圆B. 可能为抛物线C. 离心率为定值D. 焦点为定点6. ( 2分) 古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设A（﹣3，0），B（3，0），动点M满足＝2，则动点M的轨迹方程为（）A. （x﹣5）2+y2＝16B. x2+（y﹣5）2＝9C. （x+5）2+y2＝16D. x2+（y+5）2＝97. ( 2分) 已知是双曲线上一点，且在轴上方，，分别是双曲线的左、右焦点，，直线的斜率为，的面积为，则双曲线的离心率为（）A. 3B. 2C.D.8. ( 2分) 在正四面体中，点为所在平面上的动点，若与所成角为定值，则动点的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线9. ( 2分) 已知，及抛物线方程为，点在抛物线上，则使得为直角三角形的点个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10. ( 2分) 已知双曲线的左､右焦点分别为，，若双曲线上存在点P使，则离心率的取值范围是（）A. B. C. D.阅卷人二、填空题（共10题；共10分）得分11. ( 1分) 已知正实数是的等比中项，则圆锥曲线＝1的离心率为________12. ( 1分) 设抛物线的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则弦长________．13. ( 1分) 已知双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过右支上一点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若的最小值为，则双曲线的离心率为________.14. ( 1分) 若椭圆的离心率为，则的短轴长为________．15. ( 1分) 从抛物线图象上一点作抛物线准线的垂线，垂足为，且，设为抛物线的焦点，则的面积为________.16. ( 1分) 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，且，点是坐标原点，则的面积为________17. ( 1分) 已知双曲线的下焦点为，虚轴的右端点为，点在的上支，为坐标原点，直线和直线的倾斜角分别为，，若，则的最小值为________．18. ( 1分) 已知为椭圆的左焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，则直线的斜率为________.19. ( 1分) 椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆C上，已知，则________.20. ( 1分) 已知椭圆的右顶点为A，左，右焦点为F1，F2，过点F2与x轴垂直的直线与椭圆的一个交点为B．若|F1F2|＝2，|F2B| ，则点F1到直线AB的距离为________．阅卷人三、解答题（共30题；共280分）得分21. ( 10分) 已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF2⊥F1F2，△F1F2D的面积为2 ，离心率e= ，抛物线C：x2=2py（p＞0）的准线l经过D点．（1）求椭圆E与抛物线C的方程；（2）过直线l上的动点P作抛物线的两条切线，切点为A，B，直线AB交椭圆于M，N两点，当坐标原点O落在以MN为直径的圆外时，求点P的横坐标t的取值范围．22. ( 10分) 椭圆C1：+y2=1，椭圆C2：（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为（2，﹣1）．（1）求椭圆C2的方程；（2）设P为椭圆C2上一点，点M、N在椭圆C1上，且，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．23. ( 10分) 已知A（1，）是离心率为的椭圆E：+ =1（a＞b＞0）上的一点，过A作两条直线交椭圆于B、C两点，若直线AB、AC的倾斜角互补．（1）求椭圆E的方程；（2）试证明直线BC的斜率为定值，并求出这个定值；（3）△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值？若不存在，说明理由．24. ( 10分) 设抛物线C1：y2=8x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2．以F1，F2为焦点，离心率为的椭圆记为C2．（Ⅰ）求椭圆C2的方程；（Ⅱ）设N（0，﹣2），过点P（1，2）作直线l，交椭圆C2于异于N的A、B两点．（ⅰ）若直线NA、NB的斜率分别为k1、k2，证明：k1+k2为定值．（ⅱ）以B为圆心，以BF2为半径作⊙B，是否存在定⊙M，使得⊙B与⊙M恒相切？若存在，求出⊙M的方程，若不存在，请说明理由．25. ( 10分) 在平面直角坐标系xOy中，椭圆：的离心率为，y轴于椭圆相交于A、B两点，，C、D是椭圆上异于A、B的任意两点，且直线AC、BD相交于点M，直线AD、BC相交于点N．（1）求椭圆的方程；（2）求直线MN的斜率．26. ( 10分) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，点G在椭圆C上，且• =0，△GF1F2的面积为2．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=k（x﹣1）（k＜0）与椭圆Γ相交于A，B两点．点P（3，0），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当最大时，求直线l的方程．27. ( 10分) 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.28. ( 10分) 设椭圆+ =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．29. ( 10分) 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为，，过右焦点的直线与椭圆交于，两点(点在轴上方)．（1）若，求直线的方程；（2）设直线，的斜率分别为，．是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．30. ( 10分) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F与椭圆C的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C 相交于点．（1）求抛物线的方程；（2）过点F是否存在直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．31. ( 10分) 已知椭圆的长轴长为4,离心率为.(I)求C的方程；(II)设直线交C于A,B两点,点A在第一象限, 轴,垂足为M, 连结BM并延长交C于点N.求证：点A在以BN为直径的圆上.32. ( 10分) 已如椭圆E：（）的离心率为，点在E上.（1）求E的方程：（2）斜率不为0的直线l经过点，且与E交于P，Q两点，试问：是否存在定点C，使得？若存在，求C的坐标：若不存在，请说明理由33. ( 5分) 已知点P（x，y）满足条件．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）直线l与圆O：x2+y2=1相切，与曲线C相较于A，B两点，若，求直线l的斜率．34. ( 5分) 设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x2+y2=a2（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．（Ⅰ）证明：a2＞；（Ⅱ）若，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．35. ( 15分) 已知点在抛物线上，是直线上的两个不同的点，且线段的中点都在抛物线上.（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若的面积等于，求的值.36. ( 5分) 如图，曲线Γ由曲线C1：（a＞b＞0，y≤0）和曲线C2：（a＞0，b＞0，y＞0）组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（Ⅰ）若F2（2，0），F3（﹣6，0），求曲线Γ的方程；（Ⅱ）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线Γ，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求△CDF1面积的最大值．37. ( 5分) 已知椭圆的离心率为，，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，且的周长为12．（Ⅰ）求椭圆的方程（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于两点，，试判断在轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形若存在，求点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．38. ( 10分) 如图，已知点F为抛物线C：（）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，.（1）求抛物线C的方程.（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.39. ( 10分) 已知椭圆过点，且离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点与点均在椭圆上，且关于原点对称，问：椭圆上是否存在点（点在一象限），使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．40. ( 5分) 已知椭圆E: 过点(0,1)且离心率.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)设动直线l与两定直线l1:x﹣y=0和l2:x+y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆E有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.41. ( 10分) 已知抛物线，抛物线与圆的相交弦长为4. （1）求抛物线的标准方程；（2）点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，，若的面积为，且直线的斜率存在，求直线的方程.42. ( 10分) 设椭圆的左、右焦点分别为，、，，点在椭圆上，为原点.（1）若，，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的右顶点为，短轴长为2，且满足为椭圆的离心率）.①求椭圆的方程；②设直线：与椭圆相交于、两点，若的面积为1，求实数的值.43. ( 10分) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1,0），且点P在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．44. ( 10分) 在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，点在线段上，且，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过抛物线：的焦点作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交曲线于另一点，求面积的最小值，以及取得最小值时直线的方程.45. ( 10分) 已知点，分别是椭圆的长轴端点、短轴端点，为坐标原点，若，.（1）求椭圆的标准方程；（2）如果斜率为的直线交椭圆于不同的两点(都不同于点)，线段的中点为，设线段的垂线的斜率为，试探求与之间的数量关系.46. ( 10分) 已知椭圆E：+ =1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G 与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．47. ( 10分) 已知椭圆C：=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C 上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．48. ( 10分) 已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为﹣，求斜率k的值；②若点M（﹣，0），求证：• 为定值．49. ( 10分) 已知椭圆的焦距为分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆上的两点(异于)，连结，且斜率是斜率的倍.（1）求椭圆的方程；（2）证明:直线恒过定点.50. ( 10分) 如图，中心为坐标原点O的两圆半径分别为，，射线OT与两圆分别交于A、B两点，分别过A、B作垂直于x轴、y轴的直线、，交于点P．（1）当射线OT绕点O旋转时，求P点的轨迹E的方程；（2）直线l：与曲线E交于M、N两点，两圆上共有6个点到直线l的距离为时，求的取值范围．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，则 =2，化简得.∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，∴，解得，∴椭圆的离心率为．故答案为：D．【分析】设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，则利用两点距离公式得出，∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，利用三角形面积公式求出a,b的值，再利用椭圆中a,b,c三者的关系式结合离心率公式变形求出椭圆的离心率。
高考数学专题十九圆锥曲线综合练习题
培优点十九圆锥曲线综合1．直线过定点2xxF轴的离心率为且垂直于，过左焦点例1：已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C2P两点，且，的直线交椭圆于．Q2?2PQ C（1）求的方程；C??22MM作椭是直线处的切线，点（2）若直线是圆上任一点，过点上的点2,28??yx ll ABMAMBAB过定点，，切点分别为，设切线的斜率都存在．求证：直线圆的切线，，C并求出该定点的坐标．22yx??．2）证明见解析，；【答案】（1）（2,11??8422yx??， 1）由已知，设椭圆的方程为【解析】（0?b??1?a C ??，不妨设点，代入椭圆方程得因为，1??22PQ?2?c,P22ba22ab22cc212222，，，所以，又因为，所以8ba??b2?4?e?cb?1??2a22b22yx所以的方程为．1??C 84??，即，（2）依题设，得直线的方程为2x???y?204?x?y?l??????，，，设yxABx,y,Mx,y210120??MA，由切线的斜率存在，设其方程为xxk?y?y?11??xxy?k??y?11???2????22，联立得，0?28y?xkx?4ky?kx?x?2k1??22yx1111?1??48???22??????22?0?8k2y?1?Δ?16kkx?ykx4?，由相切得??1111??2??2222，即，化简得4?8?y?kxk04yk?y?x?8?kx?2111111xyxyx11111MA???k?的方程为因为方程只有一解，所以，所以切线??1xx?yy???，11y21xx?2yy?8xx?2yy?8MB，同理，切线即的222yyx2?8?111x方程为，2211．8y??2yxx???0011AB的方程为，所以直线，所以又因为两切线都经过点yx,M?008y??2yxx?02208y??2yxx，00??4y??xAB的方程可化为，所以直线，又82y4?x?xx?00000??2yx2?x????，，令即，得08y?x8x?2y????00?y?881?y????AB所以直线．恒过定点2,1．面积问题222yxb??FF直线，焦距为、4例2：已知椭圆，的左、右焦点分别为0a?b?1??x?:yl 21122baclFlEAB1?与线段两点，的直线关于直线与椭圆相交于、在椭圆上．斜率为的对称点221PABD相交于点两点．，与椭圆相交于、C1）求椭圆的标准方程；（）求四边形面积的取值范围．（2ACBD223232yx??,；．2）【答案】（1）（1????3948?????????EFFEF【解析】（1）由椭圆焦距为4，设，连结，，，设2,0F?2,0F21121bcb222???c??ab，，又，得则，?tan?cos?sin aacFF2csin90?1ac21，??????e???bc??b?|?|EFsin?sin??ca90EF2a?21aa22yx222a?bc?c?b?c?2a?8，所以椭圆方程为解得．，1??84????m+?y?xlyx,D,Cxy方程：、2（）设直线，，22211．4?m??xx22?yx?213???1?22，所以，由，得08?x3?4mx?2m??48?28m?2??m?y??x?xx??213?222238????x?y?A6,66,?6Bl，，得：，代入椭圆得由（，1）知直线?AB????133333????44???6m?6,lPAB，得由直线相交于点与线段，??233??????2，28m4?22416m2xx?2??m?+12x2CD?x???8xx2?211221393116321??1kk?l?l，，，知与而+12mAB??S?CD??12ACBD ll291232443232163??????22?m???,06,6?m,+12m??由，得，，所以??????333993??????3232??,?．面积的取值范围四边形ACBD??93??3．参数的值与范围??????20?2px?pC:yF的上，过焦点3例：已知抛物线的焦点在抛物线，点1,2F1,0A C M，两点．交抛物线于直线NCl（1）求抛物线的方程以及的值；AF C22??xFNMF?B（2）记抛物线的准线与的值．轴交于点，，若，求40BN?BM?C2?3??2（），；1【答案】（．）22AF?x?y4????20p??2:Cypx，的焦点【解析】（1）抛物线1,0F p2；，则，抛物线方程为42p?xy4?1??2p??1,2A．点在抛物线上，C2???AF?12??????，设）依题意，（2、，设，y,MxyF1,0Nx,1?xl:my?2211．2?x4?y2x，得联立方程，消去．0my?4?y?4?1my?x??1my?4mx?y?y???1112①，且，所以??1my??4x?yy???2212???????y?y?FNMF?，即，则又，y1?x,?y,??1x2121122??4???y1?????m4y?1???2??????，则，，22?y得，代入①得，消去2?4m???21,0B?yBN?,BM?xx?1,y?121122222????2222y?x?1y?1?BM?|BN?|x?BM?BN?则2121??2222yy??2?x??2?xx?x??????2228?y?y???m4?1myy2112????4222，222111??2222y??2??2my?my?(?my?1)2?(my?1)y21112216m?16m??16m40?84?4m?m?m??18124?2?2?3．当，解得，故40?m?16?40m16?m2．弦长类问题4222xyx??2的顶点，的左右顶点是双曲线4：已知椭圆且椭圆例1?ya?b?0?:?C:?1C 2122ab33CC．的上顶点到双曲线的渐近线的距离为212C（1）求椭圆的方程；1QMCMCQ5?OQ?OQ?，求，两点，与相交于两点，且与（2）若直线，相交于l22111221的取值范围．MM??2．；（2）【答案】（1）212x1??y100,?3??2C3a?b0,）由题意可知：1（【解析】，，又椭圆的上顶点为1．3C，双曲线的渐近线为：0y?x?x?y??323?3b23x2．由点到直线的距离公式有：，∴椭圆方程1??b?1??y2232x2y并整理，代入）易知直线，消去的斜率存在，设直线（2的方程为m??kxy1?y?3得：??222，033mx???6kmx?k1?32?1?3k?02?1?3k?0??C相交于两点，则应有：，要与? ??????22222220m?3??41?3k?336k?mm?1?3k????????，设，yQxx,yQ,2112122?m3?36km则有：，．?xx???xx212122k?31k?31????????22．又m?km?m??x1?k?x?OQOQ??xx?yy?xxxkx?mxkx211121*********????????2222225?OQ?OQ?，又：，所以有：?k?5?6km?m1?331?k?m?3??212k?3122k?1?9m?，②??2222y，将，代入并整理得：，2x消去my?kx?1??y0m??x3?6kmx?1?3k33????222222．③要有两交点，则m?1?04??1?3k3k3m??Δ?36k3m12．由①②③有?0?k92?33m?6km????．有，设，、yxMMx,y,??xx??xx????2222k3413m??36k3m?414332434322k31?k31???22k31???22k?3m9??432?MM?1k?21??22k1?312k2k14422222．?k?1?kMM???1?k1?MM?k??19m代入有将．2112??22k3?12k3?1．??11??2t?0,，，，令kt?12??MM??21??29??2k1?3??t1t?1?t1??????t?0,?'tf?tf?．，令??32????9??t1t?331?11????????t??0,0,t内单调递增，内恒成立，故函数在所以在t0tff'?????99????5??????10M?0,?0,?Mft．故???2172??5．存在性问题??222yx??????A1,点例5：已知椭圆，，的左、右焦点分别为1,0?1,0FF0C:??1?ab?????21222ab??在椭圆上．C（1）求椭圆的标准方程；C M，有两个不同交点时，能在，使得当直线）是否存在斜率为2的直线与椭圆（2NCll5PM?NQP？若存在，求出直线，在椭圆上找到一点直线，满足上找到一点的Q Cl?y3方程；若不存在，说明理由．2x2；（2））不存在，见解析．【答案】（11?y?2【解析】（1）设椭圆的焦距为，则，1?cCc2??A1,，在椭圆∵上，∴??1???221AF2a??AF C 2????2222????????21222????2x22222a?1c?b?a?．的方程为，故椭圆，∴1?y?C2（2）假设这样的直线存在，设直线的方程为，t2x??y l5??????????,Pxy,xyD,xQ,x,MxyNy，，，，的中点为设，MN??3004242113??y?2x?t?22x，得由，消去，0?8?tty?9y2??22x?2y?2?yy?tt2??22，且∴，，故且123t??3??y?y?y?0t?36?Δ?4t8?012929NQ?PM为平行四边形，由，知四边形PMQNDD的中点，因此的中点，而为线段为线段PQ MN5y?t15?2t43?y?，，得∴?y 049297不在椭圆上，，可得，∴点又Q3?t??31?y???43．故不存在满足题意的直线l对点增分集训一、解答题2????2PP过点相外切，动圆圆心并且与圆1．已知动圆．的轨迹为2,0F4??x?2F:y C21的轨迹方程；（1）求曲线C1????lBA，直线、，设点与轨迹交于（2）过点两点，设直线的直线1,0F2,0?D C?xl:122ADBMM于，求证：直线经过定点．交l2y??2；（1）（2）见解析．【答案】0?1x??x3，1）由已知，【解析】（2??|PF ?|PF ?2PF| |PF2211P，，轨迹为双曲线的右支，，42c??|FF 2C2a?2?a?1c212y??2?．标准方程曲线0x???1x C3xBM必过）由对称性可知，直线（2轴的定点，31????????,MlBM1,02,?2,33BPA经过点，的斜率不存在时，，，，知直线当直线??122????????ly,By,2ky:l?x?Axx的斜率存在时，不妨设直线当直线，，，122111． ??y3y31y1??111y?,M1?AD:y?x时，，，当，直线?x????????M1?x1x?212x?22??111??2?x?y?k22k?43?4k?????2222，得，，?xx??xx0k?33?kx?4kx??4???21k?kBM，经过点，即下面证明直线，即证?1,0P 2121223k?k3?223x?y?3???3yyPBPM x?1x?121?3yx?3y?xy?yy?kx?2ky?kx?2k，即，，由2121122211??234?k22k3k4?4??4???0?5?，即整理得，045xx???4xx?????BMBM．经过点过定点即证，直线1,0P1,0223yx????1,AB分别为椭圆的左顶2211222?3?3kk?3k点、下顶点，在椭圆，上，设2．已知点0bE:??1?a???222ba??221AB．原点到直线的距离为O7E1）求椭圆的方程；（yxEPDPBPA两点，求分别交轴于在第一象限内一点，直线轴、，，（2）设为椭圆C的面积．四边形ABCD22yx23．2）；）【答案】（1（1?? 4392231yx??4??1,1??）因为椭圆，有经过点，【解析】（10E:a??1b????22222baba??221ab?AB，的距离为由等面积法，可得原点到直线O722a?b22yx b?3E的方程为联立两方程解得，．，所以椭圆1??E:2a?4322xy????2200?1?0?x?P0,x,yy．，则（，即2）设点12??4x3y00000043y2y??00?2y?yPA:?x．直线，令，得0x?D x?2x?20032?x2y?2232yx?y?3300000从而有．，同理，可得?BD???AC32x?x2?y3?000．x110000所以四边形的面积为??AC?BD?2?22x3?y0022x383y3xy?12x?xy?12x?83y12?12?4?4y?12?43110000000000????223y?2y?3x?2?xy?3x?2y23x00000000 y?433xy?6x12?20000．32??3y?2xy?3x?2000032所以四边形的面积为．ABCD2??2P上，且有点的圆心，在圆的半径3．已知点为圆是圆上的动点，点Q8??yx?1CPC??0?MQ?APAPM，满足．和，上的点1,0AAM2AP?P在圆上运动时，判断（1）当点点的轨迹是什么？并求出其方程；Q22F，1）若斜率为的直线与圆中所求点的轨迹交于不同的两点相切，与（（2）Q1yx??kl43H的取值范围．（其中是坐标原点），且，求kO??OFOF?542x222A）2；，长轴长为（2【答案】（1）是以点，的椭圆，为焦点，焦距为1??y C2????2233,?,?．????3223????AP的垂直平分线，）由题意是线段【解析】（1MQ所以，2?22?CAQC?QP?QC?QA?CP?22A的椭圆，为焦点，焦距为2所以点的轨迹是以点，，长轴长为Q C222a?，∴，，1ab???c1c?2x2．故点的轨迹方程是Q1??y2????，，，）设直线（2：yHy,xF,xbkx??y l2112b22221??1b?k与圆直线，，即相切，得1?xy?l21?k ??222y得：联立，消去，0?4kbx?2b??1?2k2x2??b?kx?y???????2222222，得，2?x21?y??0k?02b1?1??8?2k8??Δ16kbbk?4?1?2k22?2bkb4，，?xx?x?x?????22??2k?2b1?kb4?????222b?kb?OF?OH?xx?yy?1?kb?xx?kb?x?x∴212122k21?k21?2121212122k1?21?2k????22221k41?kk2k?2k?12?1???k?，222k1k?2k?121?22431?k112，所以，得???k?25k241?23322233，∴，解得或?k????kk???322323????2332,??,故所求范围为．????2323????22yx1??222AA，的焦距为，离心率为已知椭圆，圆，．4c??O:xy0bC:??1?a?c22122ba2ABA△AB．是椭圆的左右顶点，面积的最大值为是圆的任意一条直径，2O1的方程；1）求椭圆及圆（OC PE，求，）若为圆的任意一条切线，与椭圆的取值范围．交于两点（2PQQ Oll??2264yx223,，）．；1【答案】（）（21?yx?1????334??1xABB，易知当线段轴距离为，（【解析】1）设则点到h h?a2??AO??h??S2S1AAAB△OB△211?a?c??S2ycBO??h，，轴时，在AB△Amax1c1b?3，，，，，1?a?c2c?2?a??e?a222yx22．，圆的方程为所以椭圆方程为1x?y?1??432b2LL的方程为，此时）当直线2；的斜率不存在时，直线（3PQ??1x??a m221d???L，，直线为圆的切线，设直线，方程为：1?k?m?mkx?y?2k?1y?kx?m????222直线与椭圆联立，，得，0?4m?4k??3x12?8kmx22?yx??1? 43??8km?x?x??21234k????2，由韦达定理得：，判别式0?k?Δ?4823?24m?12??x?x ?212?34k?22?23?kk?43?122，，令所以弦长3?3?t?4k??xxPQ?1?k2123k?42??1624??所以；3,???3PQ?3???????t3t??????64PQ?3,，综上，??3??22yx????FF经、．如图，己知的左、右焦点，直线是椭圆51xy?k?:l01a?b?G:??2122ab 43ABF△FBA．过左焦点交，且与椭圆，的周长为两点，G21（1）求椭圆的标准方程；G △ABFI为等腰直角三角形？若存在，求出直线）是否存在直线的方程；若不，使得（2l2存在，请说明理由．??xc，故与，因为直线．轴的交点为22yx；2（1））不存在，见解析．（【答案】1??23【解析】（1）设椭圆的半焦距为1,0?1?Gcl ABF△34a?3，所以，的周长为，即又，故3?AFAB??BF4a?4222222?3?1ab??c?2．22yx因此，椭圆的标准方程为．1??G32（2）不存在．理由如下：AB不可能为底边，即．先用反证法证明BFAF?22??????，假设，，设，则由题意知BFB?x,Fy1,0,yAAFx222121222????22?1x?1?y?yx?，????222112．又得：，，代入上式，消去，?1???10?6x?x?x?xyy21122222xyxy2121213322xx?xx?x?6．轴，所以，故因为直线斜率存在，所以直线不垂直于ll2211?3xx?x?2x3?3?6矛盾）与，，(2211??2222，所以矛联立方程，得：6?x??x?0?6?3k?26x?kx?3k23?22?yx?1?2k6???1?xy?k?盾．2123k?2?故．BF?AF22AB不可能为等腰直角三角形的直角腰．再证明△ABFA为直角顶点．为等腰直角三角形，不妨设假设2??22F△AF，此方设，在中，由勾股定理得：，则m?AF m?2?AF343m?2??m2112程无解．故不存在这样的等腰直角三角形．。
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高考数学-圆锥曲线
1. 已知椭圆116252
2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点
距离为（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．7
2. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ）
A ．116922=+y x
B ．1
162522=+y x C ．1162522=+y x 或1
25162
2=+y x D ．以上都不对
3 .动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）
A ．双曲线
B ．双曲线的一支
C ．两条射线
D ．一条射线
4、 抛物线x y 102
=的焦点到准线的距离是（ ）
A ．25
B ．5
C ．215
D ．10
5. 若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为（ ）。
A ．(7,
B ．(14,
C ．(7,±
D ．(7,-±
6. 如果22
2=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）
A ．()+∞,0
B ．()2,0
C ．()+∞,1
D ．()1,0
7. 以椭圆1
16252
2=+y x 的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（ ）
A ．1481622=-y x
B ．12792
2=-y x C ．1481622=-y x 或1
2792
2=-y x D ．以上都不对
8. 过双曲线的一个焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，F 1是另一焦点，若∠PF 1Q=2
π， 则双曲线的离心率e 等于（ ）
A ．12-
B ．2
C ．12+
D ．22+
9. F 1 ,F 2是椭圆1792
2=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠0
2145=F AF ，则
Δ
12
AF F 的面积为（ ）
A ．7
B ．47
C ．27
D ．257
10. 抛物线x y 62=的准线方程为＿＿＿＿＿.
11. 双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________
12. 若曲线22
141x y k k +=+-表示双曲线，则k 的取值范围是 。
13. 若椭圆
221x my +=
的离心率为2，则它的长半轴长为_______________. 14. 椭圆552
2=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。
15. 求在抛物线2
4y x =上一点，到直线45y x =-的距离最小值_________。
16: 椭圆221
89x y k +=+的离心率为12，则k 的值为______________
17: 双曲线
22
88kx ky -=的一个焦点为(0,3)，则k 的值为______________ 18: 抛物线220y x =的焦点到准线的距离是( )
A ．52
B ．5
C ． 15
2 D ．10
19: 双曲线
2241x y -=的渐近线方程是( ) A ．2y x =± B ． 4y x =± C ．
14y x =± D ． 1
2y x
=±
20: “0ab >”是“方程
221ax by +=表示椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
21: 经过点(3,1)P -且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是( )
A ．2210x y -=
B ． 2210y x -=
C ． 228x y -=
D ．
22
8y x -= 22: 椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,那么椭圆的离心率等于( )
A ．15
B ． 1
2 C ．
3 D ． 4
23: 与椭圆1
422
=+y x 共焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A ．1222=-y x B ．1422=-y x C ．13322=-y x D ．1222
=-y x
24: 如图所示，F 1、F 2分别为椭圆C ：)0(122
2
2>>=+b a b y a x 的左、右两个焦点，A 、
B 为两个顶点，已知椭圆
C 上的点)
23
,1(到F 1、F 2两点的距离之和为4．求椭圆C 的
方程和焦点坐标；
25: 设12,F F 是双曲线11692
2=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且01260F PF ∠=，
求△
12
F PF 的面积。
2011年圆锥曲线高考题精选
1、（陕西2）设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（ ）
A ．28y x =-
B ．24y x =-
C ．28y x =
D ．24y x =
2、(四川14)双曲线22
16436
x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是4，那么P 到左
准线的距离是_____________．
3、（新课标4）椭圆22
1168
x y +
=的离心率为( )
A ．13
B ．1
2
C ．33
D ．
2
2
4、(广东8)设圆C 与圆x 2+（y-3）2=1外切，与直线y =0相切，则C 的圆心轨迹为
A ．抛物线
B ．双曲线
C ．椭圆
D ．圆 5、（福建11）设圆锥曲线I 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线I 上存在点P 满足
1PF ：12F F ：2PF =4：3:2，则曲线I 的离心率等于 A ．13
22或
B ．2
23或
C ．1
22
或
D ．2332
或
6、（安徽3）双曲线x y 222-=8的实轴长是
（A ）2 （B ）22 （C ） 4
（D ） 27、（11江西12）若双曲线22116y x m
-=的离心率e=2，则m=____.
8、（11湖南6）设双曲线22
21(0)9
x y a a -
=>的渐近线方程为320,x y ±=则a 的值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
9、（11山东15）已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞和椭圆22
x y =1169
+有相同的
焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程
为 ．
10、（11重庆）如图，椭圆的中心为原点0，离心率2
，一条准线的方程是22x =
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；。