上海闵行区初三数学二模试卷及答案
2022年上海市闵行区中考数学二模试题及答案解析
2022年上海市闵行区中考数学二模试卷1. 下列实数中，一定是无限不循环小数的是( ) A. √83 B. 27C. √5D. 0.2022022022…2. 下列运算正确的是( ) A. 3m +2m =5m 2 B. (2m 2)3=8m 6 C. m 8÷m 4=m 2D. (m −2)2=m 2−43. 在下列方程中，有实数根的是( )A. √4x +1=−1B. x 2+3x +1=0C. x 2+2x +3=0D. xx−1=1x−14. 2019年1月1日“学习强国”学习平台正式上线，每天登录“学习强国”APP 学习可以获得积分．小张在今年5月份最后几天每天的学习积分依次为50，46，44，43，42，46，那么这组数据的中位数和众数分别是( )A. 44和50B. 44和46C. 45和46D. 45和505. 在下列函数中，同时具备以下三个特征的是( )①图象经过点(1,1)；②图象经过第三象限；③当x <0时，y 的值随x 的值增大而增大．A. y =−x 2+2B. y =−xC. y =−2x +3D. y =1x6. 如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 的中点，分别联结DE 、EF 、DF 、AE ，点O 是AE 与DF 的交点，下列结论中，正确的个数是( ) ①△DEF 的周长是△ABC 周长的一半； ②AE 与DF 互相平分；③如果∠BAC =90°，那么点O 到四边形ADEF 四个顶点的距离相等； ④如果AB =AC ，那么点O 到四边形ADEF 四条边的距离相等．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7. 因式分解：2x 2−6x =______．8. 计算：3(2a ⃗ −b ⃗ )+5(2a ⃗ +3b ⃗ )=______．9. 已知函数f(x)=√x，那么f(3)=______．x−110. 方程√2−x=5的根是______．11. 不等式组{16x>24x−329x>7x−6的解集是______．12. 一个布袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3，从布袋中任取一个球记下数字作为点P的横坐标x，不放回小球，然后再从布袋中取出一个球记下数字作为点P的纵坐标y，那么点P(x,y)落在直线y=x+1上的概率是______．13. 明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托．”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么竿长______尺．(注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺)14. “双减”政策全面实施后，中学生可以自由选择是否参加校内课后延时服务，因此放学时间也有差异，有甲(16：30)、乙(17：20)、丙(18：00)三个时间点供选择．为了解某校七年级全体学生的放学时间情况，随机抽取了该校七年级部分学生进行统计，绘制成如图不完整的统计图表，那么扇形统计图中表示丙时间点的扇形圆心角为______度．15. 如图，过原点且平行于y=3x−1的直线与反比例函数y=k(k≠0,x>0)的图象相交x于点C，过直线OC上的点A(1,3)作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AD=2BD，那么点C的坐标为______．16. 如图，点G为等腰△ABC的重心，AC=BC，如果以2为半径的⊙G分别与AC、BC相切，且CG=2√5，那么AB的长为______．17. 如图，已知点G是正六边形ABCDEF对角线FB上的一点，满足BG=3FG，联结FC，如果△EFG的面积为1，那么△FBC的面积等于______．18. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是AB的中点，将AM沿CM所在的直线翻折，点A落在点A′处，A′M⊥AB，且交BC于点D，A′D：DM的值为______．19. 计算：3−1+|4−√3|−912−1√3−2． 20. 解方程组：{x +y =54x 2−9y 2=0．21. 北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？22. 直角三角形中一个锐角的大小与两条边的长度的比值之间有明确的联系，我们用锐角三角比来表示．类似的，在等腰三角形中也可以建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作preA ，这时preA =底边腰=BCAB ．仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题： (1)pre60°的值为______． (A)12； (B)1； (C)√32；(D)2．(2)对于0°<A <180°，∠A 的正对值preA 的取值范围是______． (3)如果sinA =817，其中∠A 为锐角，试求preA 的值．23. 如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M.过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G．(1)求证：BE=FG；(2)如果AB⋅DM=EC⋅AE，联结AM、DE，求证：AM垂直平分DE．24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C.将抛物线的对称轴沿x轴的正方向平移，平移后交x轴于点D，交线段BC于点E，交抛物线于点F，过点F作直线BC的垂线，垂足为点G．(1)求抛物线的表达式；(2)以点G为圆心，BG为半径画⊙G；以点E为圆心，EF为半径画⊙E．当⊙G与⊙E内切时．①试证明EF与EB的数量关系；②求点F的坐标．25. 如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=26，BC=42，cosB=5，AD=DC.点M在射线13CB上，以点C为圆心，CM为半径的⊙C交射线CD于点N，联结MN，交射线CA于点G．(1)求线段AD的长；(2)设线段CM=x，AG=y，当点N在线段CD上时，试求出y关于x的函数关系式，并写出x的GC取值范围；(3)联结DM，当∠NMC=2∠DMN时，求线段CM的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、原式=2，是整数，不合题意；B、2是分数，是无限循环小数，不合题意；7C、√5是无理数，是无限不循环小数，符合题意；D、0.2022022022…，是无限循环小数，不合题意；故选：C．根据无限不循环小数的概念解答即可．此题考查的是实数，有理数和无理数统称实数．2.【答案】B【解析】解：A、3m+2m=5m，原计算错误，故此选项不符合题意；B、(2m2)3=8m6，原计算正确，故此选项符合题意；C、m8÷m4=m4，原计算错误，故此选项不符合题意；D、(m−2)2=m2−4m+4，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．根据合并同类项法则、积的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式进行计算即可．本题考查了合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式．解题的关键是熟练掌握合并同类项法则、积的乘方的运算法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式．3.【答案】B【解析】解：A．√4x+1=−1，∵√4x+1≥0，∴此方程无实数根，故本选项不符合题意；B.x2+3x+1=0，∵Δ=32−4×1×1=9−4=5>0，∴方程有两个不相等的实数根，故本选项符合题意；C.x2+2x+3=0，∵Δ=22−4×1×3=4−12=−8<0，∴方程无实数根，故本选项不符合题意；D.xx−1=1x−1，方程两边都乘x−1，得x=1，检验：当x=1时，x−1=0，所以x=1是增根，即原方程无实数根，故本选项不符合题意；故选：B．根据√4x+1的值是非负数，即可判断选项A；根据根的判别式即可判断选项B和选项C，方程两边都乘x−1得出x=1，再进行检验，即可判断选项D．本题考查了解无理方程，根的判别式和解分式方程等知识点，注意：二次根式√a中a≥0，√a≥0．4.【答案】C【解析】解：对这组数据重新排列顺序得，42，43，44，46，46，50，∴这组数据的中位数是44+462=45，在这组数据中，46出现的次数最多，∴这组数据的众数是46，故选：C．根据中位数和众数的概念解答．本题考查的是中位数、众数的概念，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．5.【答案】A【解析】解：图象经过点(1,1)，故B不符合题意；图象经过第三象限，故C不合题意；当x<0时，y的值随x的值增大而增大，故D不合题意，故符合题意的只有A，故选：A．根据一次函数，反比例函数以及二次函数的性质即可判断．本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数图象上点的坐标特征，熟知函数的性质是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：①∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，∴EF=12AB，DF=12BC，DE=12AC，∴EF+DF+DE=12(AB+BC+AC)，∴△DEF的周长是△ABC周长的一半，故①正确；②∵点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，∴DE//AC，DF////BC，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AE与DF互相平分，故②正确；③∵∠BAC=90°，四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF是矩形，∴AE=DF，OA=OE=OD=OF，∴点O到四边形ADEF四个顶点的距离相等，故③正确；④∵AB=AC，∴AD=AF，∵四边形ADEF是平行四边形，∴四边形ADEF是菱形，∴AE，DF是菱形两组对角的平分线，∴点O到四边形ADEF四条边的距离相等，故④正确．综上所述：正确的是①②③④，共4个，故选：D．①根据三角形中位线定理即可解决问题；②根据三角形中位线定理证明四边形ADEF是平行四边形，进而可以解决问题；③证明四边形ADEF是矩形，进而可以解决问题；④证明四边形ADEF是菱形，再根据菱形的性质即可解决问题．本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理．7.【答案】2x(x−3)【解析】解：2x2−6x=2x(x−3)．故答案为：2x(x−3)．直接提取公因式2x即可．此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．8.【答案】16a⃗+12b⃗【解析】解：3(2a⃗−b⃗ )+5(2a⃗+3b⃗ )=6a⃗−3b⃗ +10a⃗+15b⃗=16a⃗+12b⃗ ．故答案是：16a⃗+12b⃗ ．实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算过程中，所以根据实数的运算法则解答即可．本题主要考查了平面向量．此题属于平面向量的计算，属于基础题．9.【答案】√32【解析】解：∵f(x)=√xx−1，∴f(3)=√33−1=√32，故答案为：√32．将x=3代入该函数解析式进行计算可得此题结果．此题考查了运用实数的计算求解函数值的能力，关键是能准确代入、计算．10.【答案】x=−23【解析】解：√2−x=5，方程两边平方，得2−x=25，解得：x=−23，经检验x=−23是原方程的解，即原方程的解是x=−23，故答案为：x=−23．方程两边平方得出2−x=25，求出方程的解，再进行检验即可．本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．11.【答案】−3<x<4【解析】解：{16x>24x−32①9x>7x−6②，解不等式①得：x<4，解不等式②得：x>−3，∴原不等式组的解集为：−3<x<4，故答案为：−3<x<4．按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．12.【答案】13【解析】解：列表得：∵共有6种等可能的结果，数字x、y满足y=x+1的有2种，分别是(1,2)，(2,3)，∴数字x、y满足y=x+1的概率为：26=13；故答案为：13．首先根据题意画出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与数字x、y满足y=x+1的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．13.【答案】15【解析】解：设绳索长x 尺，竿长y 尺，由题意得：{x =y +512x =y −5， 解得：{x =20y =15， 即竿长15尺，故答案为：15．设绳索长x 尺，竿长y 尺，由题意：绳索长=竿长+5尺，竿长=绳索长的一半+5尺，列出方程组，解方程组即可．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．14.【答案】36【解析】解：由题意知，被调查的总人数为10÷25%=40(人)，∴丙时间点的人数为40−(10+26)=4(人)，则扇形统计图中表示丙时间点的扇形圆心角为360°×440=36°， 故答案为：36．先根据甲时间点人数及其所占百分比求出总人数，再求出丙时间点的人数，继而用360°乘以丙时间点人数所占比例即可．本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．15.【答案】(√33,√3) 【解析】解：过原点且平行于y =3x −1的直线为y =3x ，∵A(1,3)，∴AB =3，OB =1，∵AD =2BD ，∴BD =1，∴D(1,1)将D 坐标代入反比例解析式得：k =1；∴反比例函数的解析式为；y =1x ， 由{y =3x y =1x 解得：{x =√33y =√3或{x =−√33y =−√3， ∵x >0，∴C(√33,√3)；故答案为：(√33,√3)． 根据A 坐标，以及AB =2BD 求出D 坐标，代入反比例解析式求出k 的值，直线y =3x 与反比例解析式联立方程组即可求出点C 坐标．此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及直线与反比例函数的交点求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．16.【答案】3√5【解析】解：如图，延长CG 交AB 于点D ，设⊙G 与AC 相切于点F ，连接FG ．∵AC 是切线，F 是切点，∴GF ⊥AC ，∴CF =√CG 2−GF 2=√(2√5)2−22=4，∵CA =CB ，G 是△ABC 的重心，∴CD 是中线，∴CD ⊥AB ，AD =DB ，∵CG =2DG ，∴CD=3√5，∵tan∠FCG=FGCF =ADCD，∴AD=12CD=3√52，∴AB=2AD=3√5，故答案为：3√5．如图，延长CG交AB于点D，设⊙G与AC相切于点F，连接FG.利用勾股定理求出CF，再利用重心的性质求出CD，根据tan∠FCG=FGCF =ADCD，求出AD即可解决问题．本题考查三角形的重心，等腰三角形的性质，解直角三角形，切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．17.【答案】4【解析】解：如图，连接CE，正六边形的每个内角的度数为：180×(6−2)÷6=120°，∴∠A=∠AFE=120°，∵AF=AB，∴∠AFB=∠ABF=(180−120)÷2=30°，∴∠BFE=∠AFE−∠BFE=120−30=90°，同理可得∠CEF=90°，∴∠BFE+∠CEF=180°，∴BF//CE，∴S△GBC S△GEF =GBGF，即S△GBC1=3GFGF，∴S△GBC=3，∴S△FBC=S△GBC+S△GEF=3+1=4．故答案为：4．连接CE，先利用正六边形的性质和等腰三角形的性质可求出∠BFE=∠CEF=90°，进而可判断出BF//CE；再利用平行线的性质：两平行线之间的距离处处相等可得S△GBCS△GEF =GBGF=3，即可计算出△GBC的面积；最后再次利用该平行线的性质可得S△FBC=S△GBC+S△GEF计算即可得答案．本题主要考查正多边形的性质和平行线的性质，掌握等高不等底的两个三角形面积之比等于底之比是解题关键．18.【答案】√2【解析】解：连接AA′，交CM于点P，如图，设DM=a(a>0)，AM=b(b>0)，∵M是AB的中点，∠ACB=90°，∴CM是Rt△ABC有斜边上的中线，∴CM=12AB，即AM=BM=CM，∴BM=CM=b，AB=AM+BM=2b，∵A′M⊥AB，∴∠A′MB=∠A′MA=90°，即∠DMA=∠DMB=90°，∴DB=√DM2+BM2=√a2+b2，∵AM、A′M关于CM对称，∴A′M=AM，∠AMC=∠A′MC，AA′⊥CM，∴A′M=b，∴A′D =A′M −DM =b −a ．∵∠A′MA =90°，∴∠AMC +∠A′MC =90°，∴2∠AMC =90°，∴∠AMC =45°，∵AA′⊥CM ，∴△APM 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形，∴AP =MP =√22AM =√22b ，∴CP =CM −MP =b −√22b =2−√22b ， ∵AA′⊥CM ，∴∠APC =90°，∴AC =√AP 2+CP 2=(√22b)+(2−√22b)=√2−√2|b|，∵b >0， ∴√2−√2×|b|=b √2−√2，故AC =b √2−√2，∵在Rt △ABC 中，sinB =AC AB ， 在Rt △DMB 中，sinB =DM DB ， ∴AC AB =DM DB ，∴b √2−√22b =√a 2+b ， ∴√a 2+b =√2−√22， ∴a 2a 2+b 2=(√2−√22)2=2−√24， 故a 2+b 2a 2=2−√2，∴1+(b a )2=√2)(2+√2)(2−√2)=4+2√2， ∴(b a )2=3+2√2，∵a >0，b >0， ∴b a >0，∴b a =√3+2√2=√(√2+1)2=√2+1， ∴A′DDM =b−a a =ba−1=√2， 即A′D ：DM 的值为√2．故答案为：√2．连接AA′，交CM 于点P ，可设DM =a(a >0)，AM =b(b >0)，由直角三角形斜边上的中线的定义可得CM 是Rt △ABC 有斜边上的中线，可得BM =CM =b ，AB =AM +BM =2b ，再由折叠的性质可得A′M =AM ，∠AMC =∠A′MC ，AA′⊥CM ，从而可求得∠AMC =45°，则可证得△APM 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形，故有CP =CM −MP =b −√22b =2−√22b ，从而可求得AC =b √2−√2，再由sinB =AC AB ，sinB =DM DB ，得AC AB =DM DB ，可求得a 2+b 2a 2=2−√2，b a =√3+2√2=√(√2+1)2=√2+1，即可求解．本题主要考查翻折变换(折叠问题)，解答的关键是明确折叠的过程中相应的边或角之间的关系．19.【答案】解：原式=13+4−√3−3+2+√3=103． 【解析】直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、分数指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．本题考查了实数的运算，正确化简各数是解题的关键．20.【答案】解：{x +y =5①4x 2−9y 2=0②， 由②得：(2x +3y)(2x −3y)=0．∴2x +3y =0，2x −3y =0，∴原方程组可化为{x +y =52x +3y =0，{x +y =52x −3y =0．解方程组解{x +y =52x +3y =0得{x 1=15y 1=−10； 解方程组{x +y =52x −3y =0得{x 2=2y 2=3． ∴原方程组的解为：{x 1=15y 1=−10，{x 2=2y 2=3． 【解析】因式分解方程组中的方程②，化为两个一元一次方程，与组中的方程①重新构成新的方程组，求解即可．本题考查了高次方程，把高次方程转化为一元一次方程是解决本题的关键．21.【答案】解：设玩具厂改良生产线前每天生产x 箱“冰墩墩”，根据题意，得6000x =6000x+20+10， 化简得：x 2+20x −12000=0，解得x 1=100，x 2=−120(不合题意，舍去)，经检验，x 1=100是原方程的根，且符合题意，答：玩具厂改良生产线前每天生产100箱“冰墩墩”．【解析】设玩具厂改良生产线前每天生产x 箱“冰墩墩”，根据改良生产线后提前10天完成任务，列分式方程，求解即可．本题考查了分式方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键．22.【答案】B 0<preA <2【解析】解：(1)在△ABC 中，AB =AC ，∠A =60°，∴△ABC 为等边三角形，∴BC =AB ，∴pre60°=BC AB =1，故答案为：B ；(2)在△ABC 中，根据三角形的三边关系得，BC <AB +AC ，∵AB =AC ，∴BC <2AB ，∴preA =BC AB <2，∵preA>0，∴0<preA<2，故答案为：0<preA<2；(3)如图，过点B作BD⊥AC于D，则∠ADB=90°，∵sinA=BDAB =817，∴设AB=17k，BD=8k(k≠0)，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AD=√AB2−BD2=√(17k)2−(8k)2=15k，∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC=17k．∴DC=AC−AD=2k，在Rt△BCD中，BC=√BD2+CD2=√(8k)2+(2k)2=2√17k，∴preA=BCAB =2√17k17k=2√1717．(1)先判断出△ABC是等边三角形，进而得出BC=AB，最后用新定义求解，即可球场答案；(2)先判断出BC<2AB，最后用新定义求解，即可求出答案；(3)过点B作BD⊥AC于D，设AB=17k，BD=8k(k≠0)，进而用勾股定理求出AD，BC，最后用新定义求解，即可求出答案．此题主要考查了等腰三角形的性质，新定义，勾股定理，三角形的三边关系，等边三角形的判定和性质，作出辅助线构造出直角三角形是解(3)的关键．23.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠ECD=90°，∴∠BAE+∠BEA=90°，又∵FG⊥BC，∴∠BGF=∠B=90°，∵线段AE绕点E顺时针旋转90°，即：∠AEF=90°，∴∠GEF+∠BEA=90°，∴∠BAE=∠GEF，在△ABE与△EGF中，{∠B=∠BGF ∠BAE=∠GEF AE=FE∴△ABE≌△EGF(AAS)，∴BE=FG；(2)如图，连接AM，DE，∵∠B=∠ECD，∠BAE=∠GEF，∴△ABE∽△ECM，∴AB EC =AEEM，∵AB⋅DM=EC⋅AE，∴AB EC =AEDM，∴AE EM =AEDM，∴EM=DM，在Rt△AEM与Rt△ADM中，{EM=DMAM=AM，∴Rt△AEM≌Rt△ADM(HL)，∴AD=AE．∴点A在线段DE的垂直平分线上，∵EM=DM，∴点M在线段DE的垂直平分线上，∴AM垂直平分DE．【解析】(1)由“AAS”可证△ABE≌△EGF，可得BE=FG；(2)由相似三角形的性质可证EM=DM，由“HL”可证Rt△AEM≌Rt△ADM，可得AE=AD，可得结论．本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵点A坐标为(−1,0)，点B坐标为(3,0)．设抛物线y=a(x+1)(x−3)(a≠0)，∵抛物线经过点C(0,4)，∴4=−3a．解得a=−43．∴抛物线的表达式是y=−43x2+83x+4；(2)①由于⊙G与⊙E内切，当r⊙G<r⊙E时，则EF−GB=GE，设EF=5t，FG=3t，GE=4t，则5t−GB=4t，∴GB=t<GE=4t，∴点E在线段CB的延长线上．又∵已知点E在线段BC上，∴矛盾，因此不存在．当r⊙G>r⊙E时，则GB−EF=GE，又∵GE=GB−EB，∴EF=EB；②∵OC⊥OB，FD⊥OB，∴∠COB=∠EDB=90°．∴tan∠OBC=EDBD =OCOB=43．∴设BD=t，则DE=43t；在Rt△BED中，由勾股定理得，BE=√DE2+DB2=√t2+(43t)2=53t．∴DF=DE+EF=43t+53t=3t，∴F坐标为(3−t,3t)，∵F点在抛物线y=−43x2+83x+4上，∴3t=−43(3−t)2+83(3−t)+4，∴解得t=74，t=0(点F与点B重合，舍去)．∴F坐标为(54,21 4).【解析】(1)根据点A、B的坐标，设抛物线y=a(x+1)(x−3)，再将点C代入即可求出a的值，从而得出答案；(2)①分两种情形，当r⊙G>r⊙E时，则GB−EF=GE，则EF=EB，当r⊙G<r⊙E时，则EF−GB= GE，设EF=5t，FG=3t，GE=4t，则5t−GB=4t，则GB=t<GE=4t，从而得出矛盾；②由tan∠OBC=EDBD =OCOB=43.设BD=t，则DE=43t，利用勾股定理得BE=5t3，则F坐标为(3−t,3t)，代入抛物线解析式，从而解决问题．本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，圆与圆的位置关系，三角函数等知识，根据⊙G与⊙E内切，得出EF=EB是解决问题的关键．25.【答案】解：(1)过点A作AH⊥BC于H，过点D作DE⊥AC于E，∵在Rt△ABH中，∠AHB=90°，AB=26，cosB=513，∴BH=10，AH=24，∴CH=BC−BH=32．∵在Rt△AHC中，∠AHC=90°，由勾股定理得，AC=√AH2+CH2=40，∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA，AE=12AC=20．∵AD//BC，∴∠DAC=∠ACB=∠DCA，在Rt△ADE中，cos∠DAC=AEAD =cos∠ACB=CHAC=45，∴AD=CD=25；(2)延长MN交AD的延长线于点F．∵AD//BC，∴DF CM =DNCN，AFCM=AGGC，∵CM=CN=x，CD=AD=25，∴DN=25−x，∴DFx =25−xx，∴DF=25−x，∴AF=50−x，∴y=AGGC =50−xx(0<x≤25)；(3)当点N在CD上时，∵CM=CN，∴∠NMC=∠MNC．∵∠NMC=2∠DMN，∠MNC=∠DMN+∠MDN，∴∠DMN=∠MDN．∴DN=MN=25−x，∵MG=35x，MG=12MN，∴MN=65x．∴65x=25−x，∴x=12511，即CM=12511；当点N在CD的延长线上时，DN=x−25，延长DA交射线MN于点P．∵∠NMC=2∠DMN，∴∠NMD=∠DMC，∵AD//BC，∠NMC=∠MNC，∴∠NPD=∠MNC，NPPM =DNDC，∴DN=PD=x−25．∵AD//BC，∴∠PDM=∠DMC，∴∠NMD=∠PDM．∴PM=PD=x−25．∴65x−(x−25)x−25=x−2525，∴x=55，即CM=55，综上所述，线段CM的长为12511或55．【解析】(1)过点A作AH⊥BC于H，过点D作DE⊥AC于E，首先利用cosB=513，得出BH的长，从而得出AH、CH、AC的长，再根据cos∠DAC=AEAD =cos∠ACB=CHAC=45，可得答案；(2)延长MN交AD的延长线于点F.根据AD//BC，得DFCM =DNCN，AFCM=AGGC，表示出DF的长，从而得出AF的长，即可得出答案；(3)分两种情形，当点N在CD上时，可得DN=MN=25−x，再利用三角函数表示出MG的长，从而得出答案，当点N在CD的延长线上时，DN=x−25，延长DA交射线MN于点P.同理可得答案．本题是圆的综合题，主要考查了圆的相关性质，三角函数，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，运用分类思想是解决问题(3)的关键．。
闵行区初中二模数学试卷
一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列数中，绝对值最小的是（）。
A. -3B. 2C. 0D. -52. 若方程 2x - 5 = 3 的解为 x，则 x 的值是（）。
A. 4B. 2C. 1D. 03. 在等腰三角形 ABC 中，AB = AC，若∠B = 50°，则∠A 的度数是（）。
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°4. 一个长方体的长、宽、高分别为 4cm、3cm、2cm，则它的表面积是（）。
A. 52cm²B. 54cm²C. 56cm²D. 58cm²5. 下列函数中，在定义域内单调递增的是（）。
A. y = 2x + 1B. y = -3x + 2C. y = x²D. y = 1/x6. 若 a > b，且 c < 0，则下列不等式中正确的是（）。
A. ac > bcB. ac < bcC. a/c > b/cD. a/c < b/c7. 下列各组数中，存在一个偶数和一个奇数，使得它们的和为偶数的是（）。
A. 2, 4, 6B. 1, 3, 5C. 0, 2, 4D. 7, 9, 118. 若 a, b, c 成等差数列，且 a + b + c = 12，则 b 的值是（）。
A. 3B. 4C. 5D. 69. 在平面直角坐标系中，点 A（-2，3）关于原点对称的点是（）。
A. （-2，-3）B. （2，-3）C. （-2，3）D. （2，3）10. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）。
A. 正方形B. 等边三角形C. 梯形D. 圆二、填空题（每题5分，共50分）11. 若 |x - 1| = 3，则 x 的值为 _______。
12. 在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，AB = 5cm，AC = 3cm，则 BC 的长度为_______。
上海市闵行区2020-2021学年第二学期九年级数学二模试卷(电子版有答案)
所以 4 3 m 8
三、解答题： 19．原式 = 0 20． −2 x 3，数轴略
21．（1） 45
（2） 7 2 10
22．60
23．（1）由 ABE = ECF ,AEB = EFC, EA = EF 可证 （2） AB2 = BG BD AB = BD ABD∽ GBA
点 A 处，从点 A 处开始，在河流南岸立 4 根标杆，以这 4 根标杆为顶点，组成边长为 10 米的正方形 ABCD ，
且 A，D，E 三点在一条直线上，在标杆 B 处观察塔 E，视线 BE 与边 DC 相交于点 F，如果测得 FC = 4
米，那么塔与树的距离 AE 为_______米．
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17．如图，在 Rt ABC 中，ACB = 90 ，A = 60 ，点 D 为 AB 中点，将 ACD 沿直线 CD 翻折后， 点 A 落在点 E 处，设 BC = a ， DB = b ，那么向量 DE 用向量 a ， b 表示为________．
A．这组数据的方差是 0
B．这组数据的众数是 0
C．这组数据的中位数是 0
D．这组数据的平均数是 0
5．下列命题中，真命题是（ ）
A．有两个内角是 90 的四边形是矩形
B．一组邻边互相垂直的菱形是正方形
C．对角线相互垂直的梯形是等腰梯形
D．两组内角相等的四边形是平行四边形
6．如图，在 ABC 中， C = 90 ， AC = BC ， AB = 8 ，点 P 在边 AB 上， P 的半径为 3， C 的
3
4
5
6
B
C
D
A
B
2024届上海市闵行区初三二模数学试卷(含答案)
2024届上海市闵行区初三二模数学试卷一、选择题1.下列实数中，有理数是（ ）A.3π−B. 1−C.D.2.下列运算正确的是（ ）A. 2a a a+= B. 2a a a⋅= C. ()3328a a= D. ()326aa −=3.下列函数中，y 的值随着x 的值增大而增大的是（ ）A. 1y x=B. 2y x =−+C. 2y x =−D. 1y x=−4.某班级的一个小组6名学生进行跳绳测试，得到6名学生一分钟跳绳个数分别为166,160,160,150,134,130，那么这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A. 150,150 B. 155,155 C. 150,160 D. 150,1555.在Rt ABC 中，∠CAB=90°，AB=5，AC=12，以点A ，点B ，点C 为圆心的,,A B C 的半径分别为5、10、8，那么下列结论错误的是（ ） A. 点B 在A 上B. A 与B 内切C. A 与C 有两个公共点D. 直线BC 与A 相切6.在矩形ABCD 中，AB<BC ，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，联结DE 、DF 、EF ，,AB a BE CF b ===，DE=c ，∠BEF=∠DFC ，以下两个结论：①()()222a b a b c ++−=②2a b c +>其中判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①②都错误C. ①正确，②错误D. ①错误，②正确二、填空题7.计算：124=_____________8.单项式22xy 的次数是_______________ 9.不等式组2620x x <⎧⎨−>⎩的解集是______________10.计算：()()32523a b a b −++=________________11.分式方程2111x x x =−−的解是______________ 12.已知关于x 的方程220x x m ++=没有实数根，那么m 的取值范围是______________13.《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十九两，牛二、羊五，直金十六两，牛、羊各直金几何?”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金19两，2头牛、5只羊共值金16两，每头牛、每只羊各值金多少两?”根据题意，设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两，那么可列方程组为_______________14.某校在实施全员导师活动中，对初三（1）班学生进行调查问卷：学生最期待的一项方式是：A 畅谈交流心得；B 外出郊游骑行；C 开展运动比赛；D 互赠书签贺卡。
2024上海闵行区初三二模数学试卷及答案
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闵行区初三数学中考二模卷及答案
闵行区2021学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷 2021.04一、选择题：〔本大题共6题，每题4分，总分值24分〕1．以下实数中，是无理数的是〔A 〕3.14； 〔B 〕237； 〔C 1； 〔D 2．以下运算肯定正确的选项是〔A〔B 1；〔C 〕2a =；〔D 2-3．不等式组21,10x x ->⎧⎨-<⎩的解集是 〔A 〕12x >-； 〔B 〕12x <-； 〔C 〕1x <； 〔D 〕112x -<<． 4．用配方法解方程0142=+-x x 时，配方后所得的方程是〔A 〕2(2)3x -=；〔B 〕2(2)3x +=； 〔C 〕2(2)1x -=；〔D 〕2(2)1x -=-． 5．在△ABC 与△A ′B ′C ′中，AB = A ′B ′，∠A =∠A ′，要使△ABC ≌△A ′B ′C ′，还需要增加一个条件，这个条件不正确的选项是〔A 〕AC = A ′C ′；〔B 〕BC = B ′C ′； 〔C 〕∠B =∠B ′；〔D 〕∠C =∠C ′．6．以下命题中正确的选项是〔A 〕矩形的两条对角线相等；〔B 〕菱形的两条对角线相等；〔C 〕等腰梯形的两条对角线互相垂直；〔D 〕平行四边形的两条对角线互相垂直．二、填空题：〔本大题共12题，每题4分，总分值48分〕7．计算：124= .8．因式分解：2x y x y -= .9x 的实数根是 .10．如果关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，那么m 的取值范围是 .11．一次函数2(1)5y x =-+的图像在y 轴上的截距为 ． 12．反比例k y x=〔0k ≠〕的图像经过点〔2，-1〕，那么当0x >时，y 随x 的增大而 ．〔填“增大〞或“减小〕. 13．抛物线22y a x b x =++经过点〔3，2〕，那么该抛物线的对称轴是直线 .14．布袋中装有3个红球和3个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 .15．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，如果AB a =，AD b =，那么OC = .16．：⊙O 1、⊙O 2的半径长分别为2、5，如果⊙O 1与⊙O 2相交，那么这两圆的圆心距d 的取值范围是 ．17．如图，在正方形ABCD 中，E 为边BC 的中点，EF ⊥AE ，与边CD 相交于点F ，如果△CEF 的面积等于1，那么△ABE 的面积等于 ．18．如图，在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠A = 50°，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，将△BDE 沿直线DE 翻折，点B 与点F 重合，如果∠ADF = 45°，那么∠CEF = 度． 三、解答题：〔本大题共7题，总分值78分〕 19．〔此题总分值10分〕 先化简，再求值：21232()222x x x x x++÷+-+，其中2x =．20．〔此题总分值10分〕解方程组：2223,44 1.x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩21．〔此题共2小题，总分值10分，其中第〔1〕小题4分，第〔2〕小题6分〕如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 在边AB 上，以点A 为圆心，线段AD 的长为半径的⊙A 与边AC 相交于点E ，AF ⊥DE ，垂足为点F ，AF 的延长线与边BC 相交于点G ，联结GE ．DE = 10，12cos 13BAG ∠=，12AD DB =． 求：〔1〕⊙A 的半径AD 的长； 〔2〕∠EGC 的余切值．22．〔此题共2小题，每题5分，总分值10分〕 为了有效地利用电力资源，电力部门推行分时用电．即在居民家中安装分时电表，每天6∶00至22∶00用电每千瓦时0.61元，每天22∶00至次日6∶00用电每千瓦时0.30元．原来不实行分时用电时，居民用电每千瓦时0.61元．某户居民为了解家庭的用电及电费情况，于去年9月随意记录了该月6天的用电情况，见下表〔单位：千瓦时〕．〔1〕如果该用户去年9月份〔30天〕每天的用电情况根本相同，根据表中数据，试估量该用户去年9月总用电量约为多少千瓦时．〔2〕如果该用户今年3月份的分时电费为127.8元，而按照不实行分时用电的计费方法，其电费为146.4元，试问该用户今年3月份6∶00至22∶00与22∶00至次日6∶00两个时段的用电量各为多少千瓦时？〔注：以上统计是从每个月的第一天6∶00至下一个月的第一天6∶00止〕23．〔此题共2小题，每题6分，总分值12分〕〔第15题图〕 A C B D E F 〔第18题图〕 A B C D E F 〔第17题图〕 A F D E B C G：如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = CD ，BC = 2AD ．DE ⊥BC ，垂足为点F ，且F 是DE 的中点，联结AE ，交边BC 于点G ．〔1〕求证：四边形ABGD 是平行四边形；〔2〕如果AD =，求证：四边形DGEC 是正方形．24．〔此题共3小题，总分值12分，其中第〔1〕小题4分，第〔2〕小题3分，第〔3〕小题5分〕：在平面直角坐标系中，一次函数3y x =+的图像与y 轴相交于点A ，二次函数2y x bx c =-++的图像经过点A 、B 〔1，0〕，D 为顶点． 〔1〕求这个二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；〔2〕将上述二次函数的图像沿y 轴向上或向下平移，使点D 的对应点C 在一次函数3y x =+的图像上，求平移后所得图像的表达式；〔3〕设点P 在一次函数3y x =+的图像上，且2ABP ABC S S ∆∆=，求点P 的坐标． 25．〔此题共3小题，总分值14分，其中第〔1〕小题4分，第〔2〕、〔3〕小题每题5分〕如图，在平行四边形ABCD 中，8AB =，tan 2B =，CE ⊥AB ，垂足为点E 〔点E 在边AB 上〕，F 为边AD 的中点，联结EF ，CD ．〔1〕如图1，当点E 是边AB 的中点时，求线段EF 的长；〔2〕如图2，设BC x =，△CEF 的面积等于y ，求y 与x 的函数解析式，并写出函数定义域；〔3〕当16BC =时，∠EFD 与∠AEF 的度数满足数量关系：EFD k AEF ∠=∠，其中k ≥0，求k 的值．闵行区2021学年第二学期九年级质量调研考试 数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：〔本大题共6题，每题4分，总分值24分〕1．C ；2．D ；3．B ；4．A ；5．B ；6．A ．二、填空题：〔本大题共12题，每题4分，总分值48分〕 7．2；8．(1)x y x -；9．2x =；10．1m ≤；11．3；12．增大；13．32x =；14．12； 15．1122a b +；16．37d <<；17．4；18．35． 三、解答题：〔本大题共7题，总分值78分〕19．解：原式32(2)(2)(2)32x x x x x x ++=⨯+-+……………………………………………〔4分〕 A B C D E F G 〔第23题图〕 〔第24题图〕 A B C D E F 〔图1〕 A B C DE F 〔图2〕 〔第25题图〕 A B CD E F2x x =-．…………………………………………………………………〔2分〕当2x =时，原式===．…………………〔4分〕 20．解：由 22441x x y y -+=，得 21x y -=，21x y -=-． ………………〔2分〕原方程组化为23,21x y x y +=⎧⎨-=⎩； 23,2 1.x y x y +=⎧⎨-=-⎩……………………………………〔4分〕 解这两个方程组，得原方程组的解是112,12x y =⎧⎪⎨=⎪⎩； 221,1.x y =⎧⎨=⎩…………………………………………………〔4分〕 21．解：〔1〕在⊙A 中，∵ AF ⊥DE ，DE = 10，∴ 1110522DF EF DE ===⨯=． …………………………………〔1分〕 在Rt △ADF 中，由 12cos 13AF DAF AD ∠==， 得 12AF k =，13AD k =．…………………………………………〔1分〕 利用勾股定理，得 222AF DF AD +=．∴ 222(12)5(13)k k +=．解得 1k =．……………………………〔1分〕 ∴ AD = 13． …………………………………………………………〔1分〕 〔2〕由〔1〕，可知 1212AF k ==．………………………………………〔1分〕∵ 12AD DB =， ∴ 13AD AB =．………………………………………〔1分〕 在⊙A 中，AD = AE ．又∵ AB = AC ， ∴ AD AE AB AC=．∴ DE // BC ．…………………〔1分〕 ∴ 13AF AD AG AB ==，EGC FEG ∠=∠． ∴ AG = 36． ∴ 24FG AG AF =-=．…………………………〔1分〕在Rt △EFG 中，5cot 24EF FEG FG ∠==．……………………………〔1分〕 即得 5cot 24EGC ∠=．………………………………………………〔1分〕 22．解：〔1〕6∶00至22∶00用电量：4.5 4.4 4.6 4.6 4.3 4.6301356+++++⨯=．……………………………〔2分〕 22∶00至次日6∶00用电量：1.4 1.6 1.3 1.5 1.7 1.530456+++++⨯=．………………………………〔2分〕 所以 135 +45 = 180〔千瓦时〕．……………………………………〔1分〕 所以，估量该户居民去年9月总用电量为180千瓦时．〔2〕根据题意，得该户居民5月份总用电量为 146.42400.61=〔千瓦时〕．〔1分〕 设该用户6月份6∶00至22∶00的用电量为x 千瓦时，则22∶00至次日6∶00的用电量为〔240 –x 〕千瓦时．根据题意，得 0.610.30(240)127.8x x +-=．……………………〔2分〕 解得 180x =．…………………………………………………………〔1分〕所以 24060x -=． …………………………………………………〔1分〕 答：该用户6月份6∶00至22∶00与22∶00至次日6∶00两个时段的用电量分别为180、60千瓦时．23．证明：〔1〕∵ DE ⊥BC ，且F 是DE 的中点，∴ DC = EC ．即得 ∠DCF =∠ECF ．……………………………………………〔1分〕 又∵ AD // BC ，AB = CD ，∴ ∠B =∠DCF ，AB = EC ．∴ ∠B =∠ECF ．∴ AB // EC ．…………………………………〔1分〕 又∵ AB = EC ，∴ 四边形ABEC 是平行四边形．……………〔1分〕∴ 12BG CG BC ==．………………………………………………〔1分〕 ∵ BC = 2AD ，∴ AD = BG ．………………………………………〔1分〕 又∵ AD // BG ，∴ 四边形ABGD 是平行四边形．……………〔1分〕 〔2〕∵ 四边形ABGD 是平行四边形，∴ AB // DG ，AB = DG ．…………………………………………〔1分〕 又∵ AB // EC ，AB = EC ，∴ DG // EC ，DG = EC ．∴ 四边形DGEC 是平行四边形．…………………………………〔1分〕 又∵ DC = EC ，∴ 四边形DGEC 是菱形．……………………〔1分〕 ∴ DG = DC ．由AD =，即得CG ．………………〔1分〕 ∴ 222DG DC CG +=．∴ 90GDC ∠=︒．∴ 四边形DGEC 是正方形． ……………………………………〔2分〕24．解：〔1〕由 0x =，得 3y =．∴ 点A 的坐标为A 〔0，3〕．………………………………………〔1分〕 ∵ 二次函数2y x bx c =-++的图像经过点A 〔0，3〕、B 〔1，0〕，∴ 3,10.c b c =⎧⎨-++=⎩……………………………………………………〔1分〕 解得 2,3.b c =-⎧⎨=⎩∴ 所求二次函数的解析式为223y x x =--+．……………………〔1分〕 顶点D 的坐标为D 〔-1，4〕．…………………………………………〔1分〕 〔2〕设平移后的图像解析式为2(1)y x k =-++．根据题意，可知点C 〔-1，k 〕在一次函数3y x =+的图像上，∴ 13k -+=．…………………………………………………………〔1分〕 解得 2k =．……………………………………………………………〔1分〕 ∴ 所求图像的表达式为2(1)2y x =-++或221y x x =--+．……〔1分〕 〔3〕设直线1x =-与x 轴交于点E ．由〔2〕得 C 〔-1，2〕．又由 A 〔0，3〕，得AC =根据题意，设点P 的坐标为P 〔m ，m +3〕．∵ △ABP 与△ABC 同高，于是，当 2ABP ABC S S ∆∆=时，得2AP AC ==1分〕此时，有两种不同的情况：〔ⅰ〕当点P 在线段CA 的延长线上时，得CP CA AP =+=，且0m >．过点P 作PQ 1垂直于x 轴，垂足为点Q 1．易得 1EO AP CA OQ =．∴．解得 2m =．即得 35m +=． ∴ P 1〔2，5〕．………………………………………………………〔2分〕〔ⅱ〕当点P 在线段AC 的延长线上时，得 CP AP AC =-=0m <．过点P 作PQ 2垂直于x 轴，垂足为点Q 2．易得 2EQ OEAC PC =．∴．解得 2m =-．即得 31m +=． ∴ P 2〔-2，1〕．………………………………………………………〔2分〕 综上所述，点P 的坐标为〔2，5〕或〔-2，1〕．另解：〔3〕由〔2〕得 C 〔-1，2〕．又由 A 〔0，3〕，得 AC =根据题意，设点P 的坐标为P 〔m ，m +3〕．∵ △ABP 与△ABC 同高，于是，当 2ABP ABC S S ∆∆=时，得 2AP AC ==1分〕∴ 28AP =．即得 22(33)8m m ++-=．………………………………………〔1分〕 解得 12m =，22m =-．………………………………………………〔1分〕 ∴ m +3 = 5或1．……………………………………………………〔1分〕 ∴ 点P 的坐标为〔2，5〕或〔-2，1〕．……………………………〔1分〕25．解：〔1〕分别延长BA 、CF 相交于点P ．在平行四边形ABCD 中，AD // BC ，AD = BC ．……………………〔1分〕 又∵ F 为边AD 的中点，∴ 12PA AF PF PB BC PC ===．即得 P A = AB = 8．……………………〔1分〕 ∵ 点E 是边AB 的中点，AB = 8，∴ 142AE BE AB ===． 即得 12PE PA AE =+=．∵ CE ⊥AB ，∴ tan 428EC BE B =⋅=⨯=．∴ PC =1分〕在Rt △PEC 中，90PEC ∠=︒，12PF PC =，∴ 12EF PC ==1分〕 〔2〕在Rt △PEC 中，tan 2EC B BE ==，∴ 12BE EC =． 由 BC = x ，利用勾股定理 222BE EC BC +=，得 BE x =．即得 2EC BE ==．………………………〔1分〕∴ 8AE AB BE x =-=-．∴ 16PE PA AE =+=．…〔1分〕 于是，由 12PF PC =，得 111222EFC PEC y S S PE EC ∆∆===⨯⋅．∴ 1(16)4y x =-．………………………………………〔1分〕∴ 2110y x =-，0x <≤2分〕 〔3〕在平行四边形ABCD 中，AB // CD ，CD = AB = 8，AD = BC = 16．∵ F 为边AD 的中点，∴ 182AF DF AD ===．………………〔1分〕 ∴ FD = CD ．∴ DFC DCF ∠=∠．………………………………〔1分〕 ∵ AB // CD ，∴ ∠DCF =∠P ．∴∠DFC =∠P．……………………………………………………〔1分〕在Rt△PEC中，90PEC∠=︒，12PF PC=，∴EF = PF．∴∠AEF =∠P =∠DFC．又∵∠EFC =∠P +∠PEF = 2∠PEF．……………………………〔1分〕∴∠EFD =∠EFC +∠DFC = 2∠AEF +∠AEF = 3∠AEF．即得k = 3．……………………………………………………………〔1分〕。
闵行初中二模数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列各数中，属于无理数的是（）A. 3.14B. 2/3C. √2D. 1.6182. 已知a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a + b > b + aB. a - b < b - aC. a/b > b/aD. a/b < b/a3. 一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，则它的对角线长为（）A. 7cmB. 9cmC. 12cmD. 13cm4. 在直角坐标系中，点A（-2，3）关于x轴的对称点为（）A. （-2，-3）B. （2，3）C. （2，-3）D. （-2，3）5. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = 2x + 16. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，d = 3，则S10 = （）A. 50B. 55C. 60D. 657. 下列关于一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0的解法中，正确的是（）A. 直接开平方B. 因式分解C. 使用公式法D. 使用配方法8. 下列关于圆的性质中，正确的是（）A. 圆的直径等于圆的半径的两倍B. 圆的周长等于圆的直径的π倍C. 圆的面积等于圆的半径的平方的π倍D. 以上都是9. 已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则该三角形是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 梯形10. 下列关于坐标系中点的位置描述正确的是（）A. 第一象限的点坐标为（x，y），x > 0，y > 0B. 第二象限的点坐标为（x，y），x < 0，y > 0C. 第三象限的点坐标为（x，y），x < 0，y < 0D. 第四象限的点坐标为（x，y），x > 0，y < 0二、填空题（每题5分，共25分）11. 若x + 2 = 0，则x = _______。
2023上海闵行区初三二模数学试卷及答案
2022学年第二学期九年级学业质量调研数学试卷（练习时间：100分钟，满分：150分）1．本练习含三个大题，共25题．答题时，学生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．3．本次练习不可以使用科学计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．代数式24xy 的次数是（A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4．2．上海某区3月20日至3月26日的气温（°C ）如下表：那么这一周最高气温的众数和中位数分别是（A ）13，13；（B ）13，15；（C ）8，15；（D ）8，13．3．一次函数b kx y +=（k ≠0）的图像经过第一、二、三象限，它的解析式可以是（A ）1+=x y ；（B ）1y x =-；（C ）1y x =-+；（D ）1y x =--．4．下列命题是真命题的是（A ）平行四边形的邻边相等；（B ）平行四边形的对角线互相平分；（C ）平行四边形内角都相等；（D ）平行四边形是轴对称图形．5．在平面直角坐标系中，如果把抛物线22=x y 向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是（A ）开口方向相同；（B ）对称轴相同；（C ）顶点的横坐标相同；（D ）顶点的纵坐标相同．6．如图,在△ABC 中，∠ACB =90°．用尺规作图的方法作出直角三角形斜边上的中线CP ,那么下列作法一定正确的是（A ）（B ）（C ）（D ）日期20日21日22日23日24日25日26日天气多云晴晴阴多云阴小雨最低气温1215118988最高气温16222313151313PAC BACBPACBPACBP二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：a a 3+2=▲．8．因式分解：224x y -=▲．9．已知关于x 的方程0=+4+2m x x 有两个相等的实数根，那么m 的值为▲．10．方程x x =2+的解是▲．11．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC =2AD ，如果AD a = ，AB b = ，那么AC=▲（用a和b 线性组合表示）．12．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在问天实验舱内开讲．进行的太空实验有①毛细效应；②水球变“懒”实验；③太空趣味饮水；④会调头的扳手．某校1500名学生在线观看了“天宫课堂”第三课，并参与了关于“我最喜爱的太空实验”的问卷调查．如果从中随机抽取45名学生的问卷调查情况进行统计分析，并将调查数据整理成下面的条形图，那么估计该校喜欢③太空趣味饮水实验的初中学生有▲名．13．为开展“学习二十大，奋进新征程”主题宣讲活动，某学校从甲、乙、丙三位宣讲员中随机抽取两人参加，恰好选中甲、丙两人的概率为▲．14．如果正六边形的半径长为2，那么它的面积为▲．15．我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x 斗，那么可列方程为▲．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在直线y =2x 上，点A 的横坐标为1，点P是x 轴正半轴上一点，点B 在反比例函数(0)ky x x=>图像上，联结AP 、PB 和OB ．如果四边形OAPB 是矩形，那么k 的值是▲．17．如图，在菱形ABCD 中，AB =6，∠A =80°，如果将菱形ABCD 绕着点D 逆时针旋转后，点A 恰好落在菱形ABCD 的初始边AB 上的点E 处，那么点E 到直线BD 的距离为▲．18．阅读理解：如果一个三角形中有两个内角α、β满足290+=︒αβ，那么我们称这ABCD(第11题图）（第12题图）①③④②人数实验类7131510D（第21题图）EABC个三角形为特征三角形．问题解决：如图，在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AB =25，4tan 3A =，如果△ABC 是特征三角形，那么线段AC 的长为▲．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：11214---⨯+20．（本题满分10分）解不等式组253 2.x x x -≥-⎧⎨<+⎩；d，并把解集在数轴上表示出来；21．（本题共2小题，每小题5分，满分10分）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =2，BC =4，点D 为AB 的中点，过点B 作CD 的垂线，交CD 的延长线于点E ．（1）求线段CD 的长；（2）求CDDE的值．0－4－3－2－112（第16题图）ABC（第18题图）BOPxyA（第17题图）ABDC22．（本题共2小题，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）如图，在修建公路AD 时，需要挖掘一段隧道BC ，已知点A 、B 、C 、D 在同一直线上，CE ⊥AD ，∠ABE =143°，BE =1500米；（1）求隧道两端B 、C 之间的距离（精确到个位）；（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．（2）原计划单向开挖，但为了加快施工进度，从B 、C 两端同时相向开挖，这样每天的工作效率提高了20%，结果提前2天完工．问原计划单向开挖每天挖多少米？23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，在扇形AOB 中，点C 、D 在»AB 上，»AD =»CB，点F 、E 分别在半径OA 、OB 上，OF =OE ，联结DE 、CF ．（1）求证：DE =CF ；（2）设点P 为»CD的中点，联结CD 、EF 、PO ，线段PO 交CD 于点M 、交EF 于点N ．如果PO //DE ，求证：四边形MNED 是矩形．A BCDE（第22题图）AOB (第23题图)EDF C24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x mx n =-++经过点A （3，0）、B （0，3），与x 轴的负半轴交于点C ．（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）设点D 在该抛物线上（位于对称轴右侧部分），联结CD ．①如果CD 与线段AB 交于点E ，且BE =2AE ，求∠ACD 的正切值；②如果CD 与y 轴交于点F ，以CF 为半径的⊙C ，与以DB 为半径的⊙D 外切，求点D 的坐标．25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =1，以BC 为边作△DBC （点D 、A 在直线BC 的异侧），且满足BD =BC ，∠BCD =∠ABC +45°．（1）求证：∠A =∠ABD ；（2）设点E 为边BC 的中点，联结DE 并延长交边AB 于点F ，当△BEF 为直角三角形时，求边AC 的长；（3）设AB =x ，CD =y ，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域．ABCD（第25题图）Oyx（第24题图）AB COyx（备用图）ABC2022学年第二学期初三年级学业质量调研数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．C ；2．B ；3．A ；4．B ；5．D ；6．C ．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．5a ；8．(2)(2)x y x y -+；9．4；10．x =2；11．a b2+；12．500；13．31；14．；15．103(5)=30x x +-；16．-8；17．3；18．325．三、解答题（本大题共8题，满分78分）19．（本题满分10分）解：原式=11--+……………………………（2分+2分+2分+2分）=0．……………………………………………………………（2分）20.（本题满分10分）解：由（1）得3x ≥-；……………………………………………………………（3分）（2）得1x <．……………………………………………………………………（3分）所以不等式组的解集为31x -≤<．…………………………………………………（2分）数轴表示略．…………………………………………………………………………（2分）21．（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）在△ABC 中，90ACB ∠=°，2AC =，4BC =，∴AB ===．………………………………………（2分）∵90ACB ∠=︒，D 为AB 的中点．∴12CD AB =．…………………………（2分）∴CD =．………………………………………………………………………（1分）（2）∵D 为AB 的中点，∴12BD AB =．又∵12CD AB =，∴CD BD =．……………………………………………………（1分）∴DBC DCB ∠=∠．∵BE CE ⊥，∴90BEC ∠=︒．∵90ACB ∠=︒，∴ACB BEC ∠=∠．∴ACB BEC △∽△．……………………………………………………（2分）∴CE CBCB AB =，4CE =．∴5CE =，55DE CE CD =-=-．…………………………………（1分）∴53CD DE =．………………………………………（1分）（其他解法参照酌情给分）22．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）解：（1）由题意可得：180********CBE ABE ︒∠=︒︒︒=-∠-=．……………………（1分）∵CE AD ⊥，∴90BCE ∠=︒．在Rt △BCE 中，90BCE ∠=︒，cos BCCBE BE∠=，………………………………………（1分）∵BE=150，cos 1500cos3715000.80=1200BC BE CBE =⋅∠=⋅≈︒⨯．………………（2分）（2）设原计划单向开挖每天挖x 米．………………………………………………（1分）()120012002120x x-=+％，……………………………………………（2分）解得100x =．………………………………………………（1分）经检验100x =是原方程的解，且符合题意．………………………………………（1分）答：隧道两端B 、C 之间的距离为1200米，原计划单向开挖每天挖100米．……（1分）23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）（1）证明：∵»AD =»CB；∴»AD -»CD=»CB -»CD ；∴»AC =»BD；…………………………………（1分）∴AOC BOD ∠=∠．…………………………………（1分）在△ODE 和△OCF 中，OE OF BOD AOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ODE ≌△OCF ．…………………………………（3分）∴DE =CF ．…………………………………（1分）（2）证明：∵点P 为»CD的中点，OP 为半径，∴OP ⊥CD 于M ，…………………………………（1分）∴∠OMD =90︒．∵PO //DE ，∴∠OMD +∠MDE=180︒．∴∠MDE =90︒．…………………………………（1分）∵OC =OD ，OP ⊥CD ，∴∠COP =∠DOP ．…………………………………（1分）∵AOC BOD ∠=∠，∴∠COP +∠AOC =∠DOP +∠BOD ，∴∠AOP =∠BOP ，即∠FON =∠EON ．……………………（1分）∵OF =OE ，∴ON ⊥EF ．∴∠ENP =90︒．…………………………………（1分）∵∠OMD =90︒，∠MDE =90︒，∴四边形MNED 是矩形．…………………………………（1分）（其他解法参照酌情给分）24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）解：（1）∵抛物线2y x mx n =-++经过A （3，0）、B （0，3）．∴9303m n n -++=⎧⎨=⎩，．∴2m =，3n =，…………………………………………………………（1分）∴该抛物线的表达式为223y x x =-++．………………………………（1分）当y =0时，2230x x -++=，解得1213x x =-=，．…………………………………………………（1分）∵点C 在x 轴的负半轴，∴C （-1，0）．……………………………………………………………（1分）∴该抛物线的表达式为223y x x =-++，C （-1，0）．（2）①过点E 作EH ∥OB 交OA 于点H ，∴∠CHE =∠COB =90°．∵EH ∥OB ，∴AE AH EHAB OA OB ==．………………………………………………（1分）∵BE =2AE ，∴13AE AB =．∴23AH EH OA OB ==．…………………………………………（1分）∵A （3，0）、B （0，3），∴OA =OB =3，∴AH =1，EH =1，………………………………………………………（1分）∴CH =3．在Rt △CEH 中，∠CHE =90°，1tan 3EH ACD CH ∠==．…………………（1分）∴∠ACD 的正切值是13．（3）设点D 的坐标为（x ，223x x -++），其中1x >．过点D 作DP ⊥y 轴，垂足为点P ．∵∠DPO =∠POC =90°，∴DP //x 轴，∴CO FODP FP=．∵⊙C 与⊙D 外切，∴CF BD CD +=，…………………（1分）又CF FD CD +=，∴BD =FD ．…………………（1分）又∵DP ⊥y 轴，∴BP =FP ．由DP =x ，CO =1，FP =22x x -，FO =232(2)x x --得2212432x x x x x-++=-，…………………（1分）整理得22350x x --=，解得52x =或1x =-，经检验，只有52x =符合题意．∴点D 的坐标为（52，74）．…………………（1分）（其他解法参照酌情给分）25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）解：（1）∵BD=BC ，∴∠BDC =∠BCD ．………………………………………………………（1分）∵∠BCD =∠ABC +45°，∴∠BDC =∠ABC +45°．∵180BDC BCD CBD ∠+∠+∠=︒，∴∠C BD =90°-2∠ABC ．∴∠ABD =∠C BD+∠ABC=90°-∠ABC ．………………………………（1分）∵∠ACB ＝90°，∴∠A +∠ABC ＝90°，∴∠A=90°-∠ABC ．………………………………………………………（1分）∴∠A =∠ABD ．…………………………………………………………（1分）（2）设∠ABC =θ1︒当∠BFE ＝90°时，∵∠BFE ＝90°，∴∠ABD +∠FDB ＝90°．∵90ABD θ∠=︒-，∴∠FDB ＝θ．∵∠ABC =θ，∴∠FDB =∠ABC ．∵∠EFB =∠BFD ，∴△FBE ∽△FDB ．∴EF BEFB BD=．………………………………………………………………（1分）∵点E 为边BC 的中点，∴12BE BC =．∵BD=BC ，∴EF BE FB BD =12=．…………………………………………………（1分）在Rt △BEF 中，∠EFB =90°，1tan 2EF ABC FB ∠==．∴在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，11tan 122AC BC ABC =⋅∠=⨯=．………………………………………………（1分）2︒当∠BEF ＝90°时，则∠BED ＝90°．在Rt △BDE 中，∠DEB =90°，由勾股定理，得2DE ===．……………………（1分）∵90BEF ACB ∠=∠=︒，∴EF AC ∥，∴90EFB BAC θ∠=∠=︒-．∴EFB ABD ∠=∠，∴1DF BD ==．………………………………………（1分）∴12EF DF DE =-=-．∵EF AC ∥，∴12EF BE AC BC ==．∴2AC =．………………………………………………………………（1分）综上所述：边AC 的长为12或2-（3）过点C 作CH ∥AB ，交BD 于点H ．∵CH ∥AB ，∴,CHD ABD BCH ABC ∠=∠∠=∠．∵A ABD ∠=∠，∴CHD A ∠=∠．∵CH ∥AB ，且AC 与BD 不平行，∴四边形ABHC 是梯形．∵A ABD ∠=∠，∴四边形ABHC 是等腰梯形．∴BH =AC ．由45BCD ABC BCH ABC BCD DCH BCH ∠=∠+︒∠=∠∠=∠+∠，，，∴45DCH ∠=︒．……………………………………………………………（1分）过点D 作DG CH ⊥于点G ．∴sin 452DG CD y =⋅= ，sin sin CHD A ∠=由12y x=．……………………………（1分）∴(222y x x =1＜．……………………………（1分+1分）。
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闵行区2014学年第二学期九年级质量调研考试数 学 试 卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答 题一律无效．3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证 明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列各数中，是无理数的是（A（B ）2π；（C ）247；（D2．a（A）2(a ；（B）2(a -；（C）a -（D）a + 3．下列方程中，有实数根的方程是（A ）430x +=； （B1-；（C ）22111x x x =--； （Dx -． 4．如图，反映的是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的频数（人数）分布直方图（部分）和扇形分布图，那么下列说法正确的是 （A ）九（3）班外出的学生共有42人； （B ）九（3）班外出步行的学生有8人；（C ）在扇形图中，步行的学生人数所占的圆心角为82º； （D ）如果该校九年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的学生约有140人．5 （A ）矩形；（B ）等腰梯形． 6．下列命题中假命题是（A （B （C （D二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：124= ▲ ． 8．计算：31a a -⋅= ▲ ．9．在实数范围内分解因式：324x x -= ▲ ．学校_____________________ 班级__________ 准考证号_________ 姓名______________ …………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………乘车50% 步行 x % 骑车 y % （第4题图）10．不等式组34,222x xxx-<⎧⎪⎨+≤⎪⎩的解集是▲ ．11．已知关于x的方程220x x m--=没有实数根，那么m的取值范围是▲ ．12．将直线113y x=+向下平移2个单位，那么所得到的直线表达式为▲．13．如图，已知在梯形ABCD中，AB // CD，且AB = 3CD．设AB a=，AD b=，那么AO =▲ （用a、b的式子表示）．14．在Rt△ABC中，∠C = 90º，AC = 3，BC = 4．如果以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB相切，那么r =▲．15．从小敏、小杰等3名同学中任选2名同学担任校运动会的志愿者，那么恰好选中小敏和小杰的概率为▲ ．16．某校几位九年级同学准备学业考试结束后结伴去周庄旅游，预计共需费用1200元，后来又有2位同学参加进来，但总的费用不变，每人可少分担30元．试求共有几位同学准备去周庄旅游？如果设共有x位同学准备去周庄旅游，那么根据题意可列出方程为▲ ．17．小丽在大楼窗口A处测得校园内旗杆底部C的俯角为α度，窗口离地面高度AB = h（米），那么旗杆底部与大楼的距离BC =▲ 米（用α的三角比和h的式子表示）．18．如图，已知在Rt△ABC中，∠C = 90º，AC = BC = 1，点D在边BC上，将△ABC沿直线AD翻折，使点C落在点C′处，联结AC′，直线AC′与边CB的延长线相交于点F．如果∠DAB=∠BAF，那么BF = ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）20．（本题满分10分）解方程：22212,320.x yx x y y+=⎧⎨-+=⎩21．（本题满分10分，其中每小题各5分）如图，已知在△ABC中，AB AC==sin B∠=D为边BC的中点．E 为边BC延长线上一点，且CE = BC．联结AE，F为线段AE的中点．求：（1）线段DF的长；（2）∠CAE的正切值．22．（本题满分10分，其中每小题各5分）货车在公路A处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A处相距360千米的B处．下表记录的是货车一次加满油后油箱内剩余油量y（升）与行驶时间x（时）之间关系：ABC（第18题图）A BD C（第13题图）O（第17题图）AB CD EF（第21题图）取值范围）；（2）在（1）的条件下，如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C 处，C 的前方12千米的D 处有一加油站，那么在D 处至少加多少升油，才能使货车到达B 处卸货后能顺利返回D 处加油?（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内剩余油量应随时不少于10升） 23．（本题满分12分，其中每小题各6分）如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，∠A = 90º，AB = AD ．点E 在边AB 上，且DE ⊥CD ，DF 平分∠EDC ，交BC 于点F ，联结CE 、EF ． （1）求证：DE = DC ； （2）如果2BE BF BC =⋅，求证：∠BEF =∠CEF ． 24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y ax ax =--与x 轴相交于A 、B两点，与y 轴相交于点C ，其中点A 的坐标为（-3，0）．点D 在线段AB 上，AD = AC ． （1）求这条抛物线的关系式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以DB 为半径的圆D 与圆C 外切，求圆C 的半径； （3）设点M 在线段AB 上，点N 在线段BC 上．如果线段MN 被直线CD 垂直平分，求BNCN 的值． 25．（本题满分14分，其中第（1）小题各4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB = DC = 5，AD = 4．M 、N 分别是边AD 、BC 上的任意一点，联结AN 、DN ．点E 、F 分别在线段AN 、DN 上，且ME // DN ，MF // AN ，联结EF ．（1）如图1，如果EF // BC ，求EF 的长； （2）如果四边形MENF 的面积是△ADN 的面积的38，求AM 的长；（3）如果BC = 10，试探索△ABN 、△AND 、△DNC 能否两两相似？如果能，求AN 的长；如果不能，请说明理由．闵行区2014学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷参考答案及评分标准 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B ；2．C ；3．D ；4．B ；5．D ；6．A ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）A B CD M NE F（图1）（第24题图）AB CDEF A B C DM N E F （第25题图）7．2； 8．2a ； 9．2(4)x x -； 10．223x ≤<； 11．1m <-；12．113y x =-； 13．1233a b +；14．125；15．13；16．12001200302x x -=-；17．tan h α（或cot h α⋅）；181． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：原式13+-6分）4=． ……………………………………………………………………（4分）20．解：由① 得 122x y =-． ③……………………………………（2分）把③ 代入②，得 22(122)3(122)20y y y y ---+=．整理后，得 27120y y -+=．……………………………………………（2分） 解得 13y =，24y =． ……………………………………………………（2分） 分别代入③，得 16x =，24x =．…………………………………………（2分）所以，原方程组的解是116,3,x y =⎧⎨=⎩224,4.x y =⎧⎨=⎩…………………………………（2分） 另解：由② 得 ()(2)0x y x y --=．………………………………………………（2分）即得 0x y -=，20x y -=． ………………………………………………（2分） 原方程组化为212,0,x y x y +=⎧⎨-=⎩212,20.x y x y +=⎧⎨-=⎩…………………………………………（2分） 解得原方程组的解为 114,4,x y =⎧⎨=⎩226,3.x y =⎧⎨=⎩……………………………………（4分） 21．解：（1）联结AD ．∵AB = AC ，D 为边BC 的中点，∴AD ⊥BC ．…………………（1分）在Rt △ABD 中，由AB =sin B ∠=， 得sin 4AD AB B =⋅∠==． ……………………………（1分）∴2BD =．∴24BC BD ==．……………………………………………………（1分） ∵CE = BC ，∴CE = 4．即得 DE = 6．………………………（1分） 在Rt △ADE 中，利用勾股定理，得AE ===又∵F 是边AE的中点，∴12DF AE ==．…………………（1分）（2）过点C 作CH ⊥AE ，垂足为点H ．∵CH ⊥AE ，AD ⊥BC ，∴∠CHE =∠ADE = 90º． ……………（1分） 又∵∠E =∠E ，∴△CHE ∽△ADE ．……………………………（1分）∴CH EH CEAD DE AE ==，即得46CH EH ==．解得CH =EH ．…………………………………（1分）∴AH AE EH =-==．………………………（1分）∴4tan 7CH CAE AH ∠===．…………………………………（1分） 22．解：（1）设所求函数为 y k x b =+．…………………………………………（1分）根据题意，得 150,120.b k b =⎧⎨+=⎩…………………………………………（1分）解得 30,150.k b =-⎧⎨=⎩………………………………………………………（2分）∴ 所求函数的解析式为 30150y x =-+． ………………………（1分）（2）设在D 处至少加w 升油．根据题意，得360460121504303021060w -⨯--⨯+≥⨯⨯+．……（3分）解得 94w ≥． …………………………………………………………（1分） 答：D 处至少加94升油，才能使货车到达B 处卸货后能顺利返回D 处加油．…………………………………………………………………………………（1分） 说明：利用算术方法分段分析解答正确也给满分．23．证明：（1）过点D 作DH ⊥BC ，垂足为点H ．∵AD // BC ，∴∠ADH =∠DHC ．……………………………（1分） ∵DH ⊥BC ，∴∠ADH =∠DHC = 90º． 即得 ∠ADH =∠EDC = 90º． ……………………………………（1分） ∵ADE ADH EDH ∠=∠-∠， CDH EDC EDH ∠=∠-∠，∴∠ADE =∠CDH ．………………………………………………（1分） ∵AD // BC ，AB ⊥BC ，DH ⊥BC ，∴AB = DH ． ∵AB = AD ，∴AD = DH ． 又∵∠A =∠DHC = 90º，∴△ADE ≌△DHC ．………………（2分） ∴DE = DC ．………………………………………………………（1分） （2）∵DE = DC ，∠EDF =∠CDF ，∴DF 垂直平分CE ．………（1分）∴FE = FC ．即得 ∠FEC =∠FCE ．……………………………（1分）∵2BE BF BC =⋅，∴BE BCBF BE=． 又∵∠B =∠B ，∴△BEC ∽△BEF ．…………………………（2分） ∴∠BCE =∠BEF ．………………………………………………（1分） ∴∠BEF =∠CEF ．………………………………………………（1分） 24．解：（1）抛物线224y ax ax =--经过点A （-3，0），∴2(3)2(3)40a a ----=．………………………………………（1分）解得 415a =．…………………………………………………………（1分） ∴ 所求抛物线的关系式为 24841515y x x =--．…………………（1分）抛物线的对称轴是直线 1x =． ……………………………………（1分） （2）当 0x =，时，4y =-，即得 C （0，-4）．又由 A （-3，0），得5AC =．…………（1分） ∴AD = AC = 5．又由 A （-3，0），得 D （2，0）．∴CD =1分） 又由直线1x =为抛物线24841515y x x =--的对称轴，得 B （5，0）． ∴BD = 3．设圆C 的半径为r ．∵ 圆D 与圆C 外切，∴CD = BD + r ．…………………………（1分） 即得3r =+．解得3r =．……………………………………………………（1分）∴ 圆C的半径长为3． （3）联结DN ．∵AC = AD ，∴∠ACD =∠ADC ．………………………………（1分） ∵ 线段MN 被直线CD 垂直平分，∴MD = ND ． 即得 ∠MDC =∠NDC ．∴∠NDC =∠ACD ．∴ND // AC ． ∴BN BD NC DA=．………………………………………………………（1分） 即得 AD = 5．…………………………………………………………（1分） ∴AB = 8，即得 BD = 3,． ∴35BN BD CN DA ==．……………………………………………………（1分） 25．解：（1）∵AD // BC ，EF // BC ，∴EF // AD ．……………………………（1分）又∵ME // DN ，∴ 四边形EFDM 是平行四边形．∴EF = DM ．…………………………………………………………（1分） 同理可证，EF = AM ．…………………………………………………（1分） ∴AM = DM ．∵AD = 4，∴122EF AM AD ===．……………………………（1分）（2）∵38ADN MENF S S ∆=四边形，∴58AME DMF ADN S S S ∆∆∆+=．即得 58AME DMF ADN ADN S S S S ∆∆∆∆+=．……………………………………………（1分）∵ME // DN ，∴△AME ∽△AND ．∴22AMEADNS AMS AD∆∆=．……………………………………………………（1分）同理可证，△DMF∽△DNA．即得22DMFADNS DMS AD∆∆=．……………（1分）设AM = x，则4DM AD AM x=-=-．∴22(4)516168x x-+=．………………………………………………（1分）即得2430x x-+=．解得11x=，23x=．∴AM的长为1或3．………………………………………………（1分）（3）△ABN、△AND、△DNC能两两相似．……………………………（1分）∵AD // BC，AB = DC，∴∠B =∠C．由AD // BC，得∠DAN =∠ANB，∠ADN =∠DNC．∴当△ABN、△AND、△DNC两两相似时，只有∠AND =∠B一种情况．……………………………………………………………………（1分）于是，由∠ANC =∠B +∠BAN，∠ANC =∠AND +∠DNC，得∠DNC =∠BAN．∴△ABN∽△DNC．又∵∠ADN =∠DNC，∴△AND∽△DNC．∴△ABN∽△AND∽△DNC．∴AB BNNC CD=，AN ADBN AN=．………………………………………（1分）设BN = x，则NC = 10 –x．∴5105xx=-．即得210250x x-+=．解得5x=．……………………………（1分）经检验：x = 5是原方程的根，且符合题意．∴5BN CN==．∴45ANAN=．即得AN=1分）∴当△ABN、△AND、△DNC两两相似时，AN的长为。