高考理科数学真题练习题古典概型理含解析

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高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习试题：9.5古典概型Word版含答案

古典概型(1)理解古典概型及其概率计算公式．(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．知识点古典概型古典概型 (1)特点：①试验中所有可能出现的结果个数只有有限个，即有限性． ②每个结果发生的可能性相等，即等可能性． (2)概率公式：P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数＝m n.易误提醒 (1)在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视他们是否是等可能的．(2)概率的一般加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )中，易忽视只有当A ∩B ＝∅，即A ，B 互斥时，P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，此时P (A ∩B )＝0.[自测练习]1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9种，其中，甲、乙参加同一小组的情况有3种．故甲、乙参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13.答案：A2．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张．事件A 为“抽到红桃K ”，事件B 为“抽到黑桃”，则P (A ∪B )＝________(结果用最简分数表示)．解析：∵P (A )＝152，P (B )＝1352，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝152＋1352＝1452＝726.答案：7263．(2016·南京模拟)现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为________．解析：从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，有甲、乙，甲、丙，乙、丙三种可能，则甲被选中的概率为23.答案：234．(2016·昆明模拟)投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1,2,3,4,5,6)一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________．解析：抛掷两颗相同的正方体骰子共有36种等可能的结果：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)．点数积等于12的结果有：(2,6)，(3,4)，(4,3)，(6,2)，共4种，故所求事件的概率为436＝19.答案：19考点一古典概型|1．从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a ，b ，使得a 2≥4b 的概率是( ) A.13 B.512 C.12D.712解析：基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，…，(4,3)，共12个，符合条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共6个，因此使得a 2≥4b 的概率是12.答案：C2．(2015·高考湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球．若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖．(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率．你认为正确吗？请说明理由．解：(1)所有可能的摸出结果是{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，b 2}．(2)不正确．理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为412＝13，不中奖的概率为1－13＝23>13，故这种说法不正确．计算古典概型事件的概率可分三步(1)算出基本事件的总个数n .(2)求出事件A 所包含的基本事件个数m .(3)代入公式求出概率P .考点二古典概型的交汇命题|古典概型在高考中常与平面向量、集合、函数、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高．归纳起来常见的交汇探究角度有： 1．古典概型与平面向量相结合． 2．古典概型与直线、圆相结合． 3．古典概型与函数相结合． 4．古典概型与统计相结合．探究一古典概型与平面向量相结合1．已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(3，y )，其中x 随机选自集合{－1,1,3}，y 随机选自集合{1,3,9}． (1)求a ∥b 的概率； (2)求a ⊥b 的概率．[解] (1)由题意，得(x ，y )所有的基本事件为(－1，1)，(－1,3)，(－1,9)，(1,1)，(1,3)，(1,9)，(3,1)，(3,3)，(3,9)，共9个．(1)设“a ∥b ”为事件A ，则xy ＝－3. 事件A 包含的基本事件有(－1,3)，共1个．故a ∥b 的概率为P (A )＝19.(2)设“a ⊥b ”为事件B ，则y ＝3x .事件B 包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2个．故a ⊥b 的概率为P (B )＝29.探究二古典概型与直线、圆相结合2．(2015·洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即满足2aa 2＋b 2≤2，a 2≤b 2的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于2136＝712.答案：712探究三古典概型与函数相结合3．设a ∈{2,4}，b ∈{1,3}，函数f (x )＝12ax 2＋bx ＋1.(1)求f (x )在区间(－∞，－1]上是减函数的概率；(2)从f (x )中随机抽取两个，求它们在(1，f (1))处的切线互相平行的概率．解：(1)f ′(x )＝ax ＋b ，由题意f ′(－1)≤0，即b ≤a ，而(a ，b )共有(2,1)，(2,3)，(4,1)，(4,3)四种，满足b ≤a 的有3种，故概率为34.(2)由(1)可知，函数f (x )共有4种可能，从中随机抽取两个，有6种抽法． ∵函数f (x )在(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝a ＋b ，∴这两个函数中的a 与b 之和应该相等，而只有(2,3)，(4,1)这1组满足，∴概率为16.探究四古典概型与统计相结合4．(2015·高考安徽卷)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．解：(1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为110.解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算．9.古典概型综合问题的答题模板【典例】(12分)(2015·高考福建卷)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道相供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示.组号分组频数1[4,5) 22[5,6)83[6,7)74[7,8] 3(1)现从融合指数在[4,5)和2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．[易误点析](1)观察表中数据，先求出样本空间所含的基本事件数，再求出至少有1家的融合指数在[7,8]内所含的基本事件数，最后利用古典概型的概率公式，即可求出所求事件的概率；(2)利用频率分布直方图中的平均数的计算方法，即可得结果．[规范解答](1)法一：融合指数在[7,8]内的3家“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的2家“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的5家“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．(3分)其中，至少有1家的融合指数在[7,8]内的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个．(6分)所以所求的概率P＝910.(8分)法二：融合指数在[7,8]内的3家“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的2家“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的5家“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．(3分)其中，没有1家的融合指数在[7,8]内的基本事件是：{B1，B2}，共1个．(6分)所以所求的概率P＝1－110＝910.(8分)(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4．5×220＋5.5×820＋6.5×720＋7.5×320＝6.05.(12分)[模板形成]审题求出样本空间所含的基本事件数↓再分析并求出所求事件的事件数↓利用古典概型公式求概率↓根据统计知识求解相关问题↓反思解题过程，注意规范化[跟踪练习]在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为()A.15B.25C.16D.18解析：如图，在正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF ，BCDE ，ABCF ，CDEF ，ABCD ，ADEF ，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P ＝615＝25，故选B.答案：BA 组考点能力演练1．第22届冬季奥运会于2014年2月7日在俄罗斯索契开幕，到冰壶比赛场馆服务的大学生志愿者中，有2名来自莫斯科国立大学，有4名来自圣彼得堡国立大学，现从这6名志愿者中随机抽取2人，则至少有1名志愿者来自莫斯科国立大学的概率是( )A.1415 B.115 C.35D.25解析：从6人中抽取2人的基本事件个数为15，而事件“两名志愿者都来自圣彼得堡国立大学”包含的基本事件个数为6，∴所求概率为P ＝1－615＝35.故选C.答案：C2．(2016·威海一模)从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a ，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( )A.16B.13C.14D.12解析：由题意可知m ＝(a ，b )有：(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共12种情况．因为m ⊥n ，即m ·n ＝0，所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ，满足条件的有(3,3)，(5,5)共2个，故所求的概率为16.答案：A3．记a ，b 分别是投掷两次骰子所得的数字，则方程x 2－ax ＋2b ＝0有两个不同实根的概率为( )A.518B.14C.310D.910解析：由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为a ，b ，则基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，…，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种，而方程x 2－ax ＋2b ＝0有两个不同实根的条件是a 2－8b >0，因此满足此条件的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(5,3)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，共9个，故所求的概率为936＝14.答案：B4．(2016·亳州质检)已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )A.12B.13C.14D.18解析：易知过点(0,0)与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使OA 斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为416＝14. 答案：C5．一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a >b ，b <c 时称为“凹数”(如213,312等)，若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )A.16B.524C.13D.724解析：由1,2,3组成的三位数有123,132,213,231,312,321，共6个．由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个．当b ＝1时，有214,213,314,412,312,413，共6个“凹数”．当b ＝2时，有324,423，共2个“凹数”．故这个三位数为“凹数”的概率P ＝6＋224＝13.答案：C6．从2男3女共5名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是男生或都是女生的概率等于________．解析：设2名男生为A ，B,3名女生为a ，b ，c ，则从5名同学中任取2名的方法有(A ，B )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共10种，而这2名同学刚好是一男一女的有(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，共6种，故所求的概率P ＝1－610＝25. 答案：257．设集合P ＝{－2，－1,0,1,2}，x ∈P 且y ∈P ，则点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为________．解析：以(x ，y )为基本事件，可知满足x ∈P 且y ∈P 的基本事件有25个．若点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部，则x ，y ∈{－1,1,0}，用列表法或坐标法可知满足x ∈{－1,1,0}且y ∈{－1,1,0}的基本事件有9个．所以点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝4内部的概率为925.答案：9258．将一颗骰子投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为________．解析：圆心(2,0)到直线ax －by ＝0的距离d ＝|2a |a 2＋b2，当d <2时，直线与圆相交，则有d ＝|2a |a 2＋b 2<2，得b >a ，满足题意的b >a 共有15种情况，因此直线ax －by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2相交的概率为1536＝512.答案：5129．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名老师来自同一学校的概率．解：(1)从甲、乙两校报名的教师中各选1名，共有n ＝C 13×C 13＝9种选法．记“2名教师性别相同”为事件A ，则事件A 包含基本事件总数m ＝C 12·1＋C 12·1＝4，∴P (A )＝m n ＝49. (2)从报名的6人中任选2名，有n ＝C 26＝15种选法．记“选出的2名老师来自同一学校”为事件B ，则事件B 包含基本事件总数m ＝2C 23＝6. ∴选出2名教师来自同一学校的概率P (B )＝615＝25.10．(2016·烟台一模)某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩(成绩均为整数且满分为100分)，数学成绩分组及各组频数如下：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，14；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100)，4. (1)请把给出的样本频率分布表中的空格都填上； (2)估计成绩在85分以上学生的比例；(3)为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩[90,100)中选两位同学，共同帮助成绩在[40,50)中的某一位同学．已知甲同学的成绩为42分，乙同学的成绩为95分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．样本频率分布表解：(1)样本的频率分布表：(2)估计成绩在85分以上的有6＋4＝10人，所以估计成绩在85分以上的学生比例为1050＝15.(3)[40,50)内有2人，记为甲、A .[90,100)内有4人，记为乙，B 、C 、D .则“二帮一”小组有以下12种分组办法：(甲，乙，B )，(甲，乙，C )，(甲，乙，D )，(甲，B ，C )，(甲，B ，D )，(甲，C ，D )，(A ，乙，B )，(A ，乙，C )，(A ，乙，D )，(A ，B ，C )，(A ，B ，D )，(A ，C ，D )．其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：(甲，乙，B )，(甲，乙，C )，(甲，乙，D )．所以甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为P ＝312＝14.B 组高考题型专练1．(2015·高考广东卷)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A.521B.1021C.1121D ．1解析：由题意得基本事件的总数为C 215，恰有1个白球与1个红球的基本事件个数为C 110C 15，所以所求概率P ＝C 110C 15C 215＝1021.答案：B2．(2015·高考江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．解析：从4只球中一次随机摸出2只球，有6种结果，其中这2只球颜色不同有5种结果，故所求概率为56.答案：563．(2015·高考四川卷)一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5.乘客P 1，P 2，P 3，P 4，P 5的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车．乘客P 1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．(1)若乘客P 1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；(2)若乘客P 1坐到了55号座位的概率．解：(1)余下两种坐法如下表所示：(2)若乘客P 1坐到了2号座位，其他乘客按规则就座，则所有可能的坐法可用下表表示为：于是，所有可能的坐法共8种．设“乘客P 5坐到5号座位”为事件A ，则事件A 中的基本事件的个数为4，所以P (A )＝48＝12.答：乘客P 5坐到5号座位的概率是12.4．(2014·高考福建卷)根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1 035美元为低收入国家；人均GDP 为1 035～4 085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4 085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12 616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：(1)(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．解：(1)设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为1a(8 000×0.25a＋4 000×0.30a＋6 000×0.15a＋3 000×0.10a＋10 000×0.20a)＝6 400.因为6 400∈[4 085,12 616)，所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个．设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，则事件M包含的基本事件是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3个，所以所求概率为P(M)＝310.。

高中数学必修二 10 1 3 古典概型练习(含答案)

10.1.3 古典概型一、选择题1．下列有关古典概型的四种说法：①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点出现的可能性相等；④已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率()kP An=.其中所正确说法的序号是（）A．①②④B．①③C．③④D．①③④【答案】D【解析】②中所说的事件不一定是样本点，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确.故选:D.2．某袋中有9个除颜色外其他都相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为( )A．15B．14C．49D．59【答案】C【解析】从9个球中任意取出1个,样本点总数为9,取出的球恰好是白球含4个样本点,故所求概率为49,故选：C.3．甲乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（）A ．13 B ．14 C ．15 D ．16【答案】A【解析】依题意，基本事件的总数有339⨯=种，两个人参加同一个小组，方法数有3种，故概率为3193=. 4．齐王有上等、中等、下等马各一匹，田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现在从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜得概率为（）A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】C【解析】设齐王上等、中等、下等马分別为,,A B C ，田忌上等、中等、下等马分别为,,a b c ，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,基本事件有：()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,A a A b A c B a B b B c C a C b C c ，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：()()()()()(),,,,,,,,,,,A a A b A c B b B c C c ，共 6种,∴齐王的马获胜的概率为6293P ==，故选C. 5．（多选题）下列概率模型是古典概型的为( )A ．从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小B ．同时据两枚质地均匀的骰子,点数和为6的概率C ．近三天中有一天降雨的概率D ．10人站成一排,其中甲,乙相邻的概率【答案】ABD【解析】古典概型的特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等.显然A､B､D符合古典概型的特征，所以A､B､D是古典概型；C选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.故选：ABD.6．（多选题）张明与李华两人做游戏,则下列游戏规则中公平的是（）A．抛掷一枚质地均匀的骰子,向上的点数为奇数则张明获胜,向上的点数为偶数则李华获胜B．同时抛掷两枚质地均匀的硬币,恰有一枚正面向上则张明获胜,两枚都正面向上则李华获胜C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色的则张明获胜,扑克牌是黑色的则李华获胜D．张明､李华两人各写一个数字6或8,两人写的数字相同则张明获胜,否则李华获胜【答案】ACD【解析】选项A中,向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等,A符合题意;选项B中,张明获胜的概率是12,而李华获胜的概率是14,故游戏规则不公平,B不符合题意;选项C中,扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等,C符合题意;选项D中,两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等,D符合题意.故选：ACD二、填空题7．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于9的概率是_______．【答案】1 6【解析】抛掷一个骰子两次，基本事件有36种，其中符合题意的有：()()()()()()4,6,5,5,,5,6,6,4,6,5,6,6共六种，故概率为61 366=.8．有红心1，2，3，4和黑桃5这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均为红心的概率是_______．【答案】3 5【解析】五张扑克牌中随机抽取两张，有：12、13、14、15、23、24、25、34、35、45共10种，抽到2张均为红心的有：12、13、14、23、24、34共6种，所以，所求的概率为：63105=故答案为：35. 9．从2、3、8、9任取两个不同的数值，分别记为a 、b ，则为整数的概率= ．【答案】16【解析】：从2，3，8，9中任取两个数记为,a b ，作为作为对数的底数与真数，共有2412A =个不同的基本事件，其中为整数的只有23log 8,log 9两个基本事件，所以其概率21126P ==. 10．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出红球的概率为________．【答案】0.2【解析】∵A ＝“摸出红球或白球”与B ＝“摸出黑球”是对立事件，且P(A)＝0.58，∴P(B)＝1－P(A)＝0.42，又C ＝“摸出红球或黑球”与D ＝“摸出白球”是对立事件，且P(C)＝0.62，∴P(D)＝0.38. 设事件E ＝“摸出红球”，则P(E)＝1－P(B ∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－0.42－0.38＝0.2. 三、解答题11．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y.奖励规则如下：①若3xy ≤，则奖励玩具一个；②若8xy≥，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅰ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.【答案】（Ⅰ）516.（Ⅰ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.【解析】（Ⅰ）两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．满足xy≤3的有（1,1），（1,,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5个，所以小亮获得玩具的概率为5 16．（Ⅰ）满足xy≥8的有（2,4），（3,,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6个，所以小亮获得水杯的概率为6 16；小亮获得饮料的概率为5651161616 --=，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．12．某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动．他们的年龄在25岁至50岁之间．按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示．下表是年龄的频率分布表.(1)求正整数a ，b ，N 的值；(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？ (3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率．【答案】（1）25,100，250；（2）1人，1人，4人；（3）815. 【解析】 (1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以25a =. 且0.08251000.02b =⨯= 总人数252500.025N ==⨯ (2)因为第1,2,3组共有2525100150++=人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为2561150⨯=，第2组的人数为2561150⨯=，第3组的人数为10064150⨯=，所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人．(3)由(2)可设第1组的1人为A ，第2组的1人为B ，第3组的4人分别为1C ，2C ，3C ，4C 则从6人中抽取2人的所有可能结果为：()A B ，，()1A C ，，()2A C ，，()3A C ，，()4A C ，，()1B C ，，()2B C ，，()3B C ，，()4B C ，，()12C C ，，()13 C C ，，()14C C ，，()()2324 C C C C ，，，，()34C C ，共有15种．其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：()1AC ，，()2A C ，，()3A C ，，()4A C ，，()1B C ，，()2B C ，，()3B C ，，()4B C ，，共有8种．8 15.所以恰有1人年龄在第3组的概率为。

高考数学专练题随机事件、古典概型与几何概型(试题部分)

专题十一概率与统计【真题探秘】11.1随机事件、古典概型与几何概型探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.随机事件的概率(1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别.(2)了解两个互斥事件的概率加法公式.(3)理解古典概型及其概率计算公式.2019课标Ⅰ,6,5分古典概型排列与组合★★★2018课标Ⅱ,8,5分古典概型组合2018课标Ⅰ,10,5分与面积有关的几何概型圆的面积和三角形的面积2.古典概型2017课标Ⅰ,2,5分与面积有关的几何概型圆的面积3.几何概型2016课标Ⅰ,4,5分与长度有关的几何概型(4)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.(5)了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. (6)了解几何概型的意义2016课标Ⅱ,10,5分与面积有关的几何概型随机模拟分析解读本节是高考的热点,常以选择题或填空题的形式出现,主要考查利用频率估计随机事件的概率,常涉及对立事件、互斥事件,古典概型及与长度、面积有关的几何概型,有时也与其他知识进行交汇命题,以解答题的形式出现,如概率与统计和统计案例的综合,主要考查学生的逻辑思维能力和数学运算能力.破考点练考向【考点集训】考点一随机事件的概率1.(2019山东烟台一模,3)已知甲袋中有1个红球1个黄球,乙袋中有2个红球1个黄球,现从两袋中各随机取一个球,则取出的两球中至少有1个红球的概率为()A.13B.12C.23D.56答案D2.(2019山西太原模拟,2)已知随机事件A和B互斥,且P(A∪B)=0.7,P(B)=0.2,则P(A)=()A.0.5B.0.1C.0.7D.0.8答案A考点二古典概型1.(2020届河南百校联盟9月联合检测,4)2019年7月1日,《上海市生活垃圾管理条例》正式实施,生活垃圾要按照“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”的分类标准进行分类,没有垃圾分类和未投放到指定垃圾桶内等会被罚款和行政处罚.若某上海居民提着厨房里产生的“湿垃圾”随意地投放到楼下的垃圾桶,若楼下分别放有“可回收物”“有害垃圾”“湿垃圾”“干垃圾”四个垃圾桶,则该居民会被罚款和行政处罚的概率为()A.13B.23C.14D.34答案D2.(2019江西南昌一模,6)2021年广东新高考将实行3+1+2模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.今年上高一的小明与小芳都准备选历史与政治,假若他们都对后面三科没有偏好,则他们选课相同的概率为()A.12B.13C.16D.19答案B考点三几何概型1.(2020届贵州贵阳8月月考,7)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为()A.15B.14C.13D.12答案B2.(2018湖南三湘名校教育联盟第三次联考,3)已知以原点O为圆心,1为半径的圆以及函数y=x3的图象如图所示,则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点),则该小米落入阴影部分的概率为()A.12B.14C.16D.18答案B炼技法提能力【方法集训】方法1古典概型概率的求法1.(2019安徽蚌埠二模,4)从1,2,3,4中选取两个不同数字组成两位数,则这个两位数能被4整除的概率为()A.13B.14C.16D.112答案B2.(2019江西九江一模,4)洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水,其甲壳上有此图案,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方白圈皆阳数,四隅黑点为阴数,其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图,若从四个阴数中随机抽取两个数,则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是()A.12B.23C.14D.13答案D方法2几何概型概率的求法1.(2020届河南安阳第一次调研月考,10)从[-2,3]中任取一个实数a,则a的值能使函数f(x)=x+asin x在R上单调递增的概率为()A.45B.35C.25D.15答案C2.如图,在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器,圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切,圆锥的顶点在鱼缸的缸底上,现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食,则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是()A.1-π4B.π12C.π4D.1-π12答案A【五年高考】A组统一命题·课标卷题组考点一古典概型(2018课标Ⅱ,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.112B.114C.115D.118答案C考点二几何概型1.(2018课标Ⅰ,10,5分)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3答案A2.(2017课标Ⅰ,2,5分)如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.12D.π4答案B3.(2016课标Ⅰ,4,5分)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是()A.13B.12C.23D.34答案B4.(2016课标Ⅱ,10,5分)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,x n,y1,y2,…,y n,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(x n,y n),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nm B.2nmC.4mnD.2mn答案CB组自主命题·省(区、市)卷题组考点一古典概型1.(2017山东,8,5分)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.518B.49C.59D.79答案C2.(2019江苏,6,5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.答案7103.(2018江苏,6,5分)某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为.答案310考点二几何概型1.(2015陕西,11,5分)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则y≥x的概率为()A.34+12πB.14-12πC.12-1πD.12+1π答案 B2.(2017江苏,7,5分)记函数f(x)=√6+x -x 2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x ∈D 的概率是 . 答案593.(2015福建,13,4分)如图,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(2,4),函数f(x)=x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于 .答案512C 组教师专用题组考点一古典概型1.(2014课标Ⅰ,5,5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18B.38C.58D.78答案 D2.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 . 答案563.(2015江苏,5,5分)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球.从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为 . 答案564.(2013课标Ⅱ,14,5分)从n 个正整数1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n= . 答案 85.(2016天津,16,13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A 发生的概率;(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X 的分布列和数学期望. 解析 (1)由已知,有P(A)=C 31C 41+C 32C 102=13.所以,事件A 发生的概率为13.(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)=C 32+C 32+C 42C 102=415,P(X=1)=C 31C 31+C 31C 41C 102=715,P(X=2)=C 31C 41C 102=415.所以,随机变量X 的分布列为X 01 2 P415 715 415随机变量X 的数学期望E(X)=0×415+1×715+2×415=1.6.(2015陕西,19,12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T 只与道路畅通状况有关,对其容量为100的样本进行统计,结果如下:T(分钟) 25 30 35 40 频数(次)20304010(1)求T 的分布列与数学期望ET;(2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区作一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率. 解析 (1)由统计结果可得T 的频率分布为T(分钟)25 3035 40频率0.2 0.3 0.4 0.1以频率估计概率得T 的分布列为T 25 30 35 40 P0.2 0.3 0.4 0.1从而ET=25×0.2+30×0.3+35×0.4+40×0.1=32(分钟).(2)设T 1,T 2分别表示往、返所需时间,T 1,T 2的取值相互独立,且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一:P(A)=P(T 1+T 2≤70)=P(T 1=25,T 2≤45)+P(T 1=30,T 2≤40)+P(T 1=35,T 2≤35)+P(T 1=40,T 2≤30) =0.2×1+0.3×1+0.4×0.9+0.1×0.5=0.91.解法二:P(A )=P(T 1+T 2>70)=P(T 1=35,T 2=40)+P(T 1=40,T 2=35)+P(T 1=40,T 2=40) =0.4×0.1+0.1×0.4+0.1×0.1=0.09. 故P(A)=1-P(A )=0.91.考点二几何概型1.(2015湖北,7,5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p 1为事件“x+y ≥12”的概率,p 2为事件“|x-y|≤12”的概率,p 3为事件“xy ≤12”的概率,则( ) A.p 1<p 2<p 3 B.p 2<p 3<p 1 C.p 3<p 1<p 2 D.p 3<p 2<p 1答案 B2.(2016山东,14,5分)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx 与圆(x-5)2+y 2=9相交”发生的概率为 . 答案34【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020届陕西百校联盟九月联考,4)“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”讲的是西施浣纱的故事;“落雁”指的就是昭君出塞的故事;“闭月”是述说貂蝉拜月的故事;“羞花”谈的是杨贵妃醉酒观花的故事.她们分别是中国古代的四大美女,某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧,甲、乙、丙、丁抽签决定扮演的对象,则甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的概率为()A.13B.712C.512D.12答案B2.(2020届四川成都青羊石室中学10月月考,9)2021年广东新高考将实行3+1+2模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史,假若他们都对后面四科没有偏好,则他们选课相同的概率为()A.136B.116C.18D.16答案D3.(2018重庆九校联盟第一次联考,4)已知随机事件A,B发生的概率满足条件P(A∪B)=34,某人猜测事件A∩B发生,则此人猜测正确的概率为()A.1B.12C.14D.0答案C4.(2019河北石家庄3月教学质量检测,9)袋子中有大小、形状完全相同的四个小球,分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字,有放回地从中任意摸出一个小球,直到“和”“谐”两个字都被摸到就停止摸球,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数,分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字,以每三个随机数为一组,表示摸球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:343432341342234142243331112342241244431233214344142134由此可以估计,恰好第三次就停止摸球的概率为()A.16B.29C.518D.19答案B5.(2020届安徽合肥一中、安庆一中第一次素质测试,8)2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行.长三角城市群包括上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市,简称“三省一市”.现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游,假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游,则恰有一个地方未被选中的概率为()A.2764B.916C.81256D.716答案B6.(2020届四川石室中学高三开学考试,7)一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”,如图是由三个半圆构成的图形,最大半圆的直径为6,若在最大的半圆内随机取一点,该点取自阴影部分的概率为49,则阴影部分图形的“周积率”为()A.2B.3C.4D.5答案B7.(2019山西阳泉二模,8)赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的,如图1).类比“赵爽弦图”,可构造如图2所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形,设DF=2AF,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形内的概率是()图1 图2A.2√1313B.413C.2√77D.47 答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)8.(2020届山西静乐第一中学高三月考,15)如图所示,阴影部分是由曲线y=x 2和圆x 2+y 2=2及x 轴围成的封闭图形.在圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为 .答案 18-112π9.(2018广东江门一模,16)两位教师对一篇初评为“优秀”的作文复评,若批改成绩都是两位正整数,且十位数字都是5,则两位教师批改成绩之差的绝对值不超过2的概率为 .答案 0.44。

新高考数学理一轮总复习知能演练10.5古典概型(含答案详析)

一、选择题1． (2013 ·城质检聊)先后投掷两枚平均的正方体骰子，骰子向上的面的点数分别为x， y，则log 2x y＝ 1 的概率为 ()1B.5A. 63611C.12D. 2分析：选 C.知足 log2 x y＝ 1 的(x，y)，有 (1,2)，(2,4)， (3,6)这 3 种状况，而总的可能数有3 136 种，所以所求概率为 P＝36＝12.2． (2011 高·考课标全国卷)有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加此中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性同样，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为() 11A. 3B.223C.3D. 4分析：选 A. 记三个兴趣小组分别为1、 2、 3，甲参加 1 组记为“甲 1”，则基本领件为“甲 1，乙 1；甲 1，乙 2；甲 1，乙 3；甲 2，乙 1；甲 2，乙 2；甲 2，乙 3；甲 3，乙 1；甲 3，乙 2；甲 3，乙 3”，共 9 个．记事件 A 为“ 甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，此中事件 A 有“甲 1，乙 1；甲312，乙 2；甲 3，乙 3”，共 3 个．所以P(A)＝9＝3.3． (2012 高·考安徽卷 ) 袋中共有 6 个除了颜色外完整同样的球，此中有1个红球、 2个白球和 3 个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于()1 B.2A. 5534C.5D. 5分析：选 B. 设袋中红球用 a 表示， 2 个白球分别用b1，b2表示， 3 个黑球分别用 c1，c2，c3表示，则从袋中任取两球所含基本领件为：(a， b1)， (a， b2)， (a， c1)， (a， c2)， (a， c3)，( b1，b2)，(b1， c1)，(b1，c2) ，(b1， c3)， (b2，c1)， (b2，c2)， (b2， c3)， (c1，c2 )，(c1， c3)， (c2，c3)，共 15 个．两球颜色为一白一黑的基本领件有：(b1， c1)， (b1，c2)， (b1， c3)， (b2， c1)， (b2， c2)，( b2， c3)，共 6 个．62∴其概率为15＝5.应选 B.4． (2011 高·考安徽卷 )从正六边形的6个极点中随机选择 4 个极点，则以它们作为极点的四边形是矩形的概率等于 ()11A. 10B.811C.6D.5分析：选 D.假定正六边形的6 个极点分别为 A 、 B 、C 、 D 、 E 、 F ，则从 6 个极点中任取 4 个极点共有15 种结果，以所取 4 个点作为极点的四边形是矩形有3 种结果，故所求概1率为 5.5．一个坛子里有编号为 1,2，， 12 的 12 个大小同样的球，此中 1 到 6 号球是红球，其他的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且起码有 1 个球的号码是偶数的概率为 ( )A. 1B. 1 22 113 2C.22D. 11分析：选 D.基本领件总数为 C 122，事件包括的基本领件数为 C 62－C 32，故所求的概率为 PC 62－ C 32＝2＝C 12211.二、填空题6． (2011 高·考福建卷 )盒中装有形状、大小完整同样的 5 个球，此中红色球 3 个，黄色球 2 个．若从中随机拿出 2 个球，则所拿出的 2 个球颜色不一样的概率等于 ________．分析：从 5 个球中任取 2 个球有 10 种取法， 2 个球颜色不一样的取法有 3× 2＝ 6(种 )，故6 3所求概率为 10＝ 5.答案：357．一笼里有 3 只白兔和 2 只灰兔，现让它们一一出笼，假定每一只跑出笼的概率同样，则先出笼的两只中一不过白兔，而另一不过灰兔的概率是 ________．分析：从笼子中跑出两只兔子的状况有A 52＝ 20 种状况．设事件 A ：先出笼的两只中一1 1 1 13 2＋C 2 C 3 12 3C C不过白兔，另一不过灰兔．则 P(A)＝ A 52＝20＝ 5.答案： 358．(2013 ·城质检东 )某地为了检查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公事员、教师、自由职业者三个集体的有关人员中，抽取若干人构成检查小组，有关数据见下表，则检查小组的总人数为 ________；若从检查小组中的公事员和教师中随机选 2 人撰写检查报告，则其中恰巧有 1 人是公事员的概率为 ________.有关人员数抽取人数公事员 32x教师48 y自由职业者644分析：由从自由职业者64 人抽取 4 人可得，每一个个体被抽入样的概率为4 164＝16，则公事员应该抽取 32×1＝ 2(人 )，教师应该抽取 48×1＝ 3(人 )，由此可得检查小组共有 2＋31616＋ 4＝ 9(人 )．从检查小组中的公事员和教师中随机选2 人撰写检查报告，则此中恰有 1 人是C 12·C 31 3公事员的概率为 P ＝C ＝523 答案： 95三、解答题9． (2013 ·南质检济 )现有编号分别为 1,2,3,4,5 的五道不一样的政治题和编号分别为 6,7,8,9的四道不一样的历史题．甲同学从这九道题中一次性随机抽取两道题，每道题被抽到的概率是相等的，用符号 (x ， y)表示事件“抽到的两道题的编号分别为(1)问有多少个基本领件，并列举出来；(2)求甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17 但不小于x ， y ，且 x ＜ y ”．11 的概率．解： (1)共有 36 个等可能的基本领件，列举以下：(1,2)， (1,3)， (1,4)， (1,5)， (1,6)， (1,7) ， (1,8)， (1,9)，(2,3) ， (2,4)，(2,5) ， (2,6) ，(2,7) ，(2,8) ，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6) ，(3,7)，(3,8)，(3,9)， (4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8) ，(4,9)，(5,6)，(5,7) ，(5,8)， (5,9) ，(6,7) ，(6,8)， (6,9)， (7,8) ， (7,9)， (8,9)．(2)记 “ 甲同学所抽取的两道题的编号之和小于 17 但不小于 11” 为事件 A.则事件 A 为“ x ， y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9} ，且 x ＋y ∈[11,17) ，此中 x ＜y ” ，由 (1)可知事件 A 共包括 15 个基本领件，列举以下：(2,9)， (3,8)， (3,9)， (4,7)， (4,8)， (4,9) ， (5,6)， (5,7)，(5,8) ， (5,9)，(6,7) ， (6,8) ，(6,9) ，(7,8) ，(7,9)，所以 15 5P(A)＝ 36＝ 12，即甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17 但不小于11 的概率为125.10．(2012·考天津卷高)某地域有小学21 所，中学14 所，大学7 所，现采纳分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校正学生进行视力检查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数量；(2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据剖析， ①列出全部可能的抽取结果；②求抽取的 2 所学校均为小学的概率．解： (1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数量为3、 2、 1.(2)①在抽取到的 6 所学校中， 3 所小学分别记为 A 1， A 2， A 3, 2 所中学分别记为 A 4， A 5，大学记为 A 6，则抽取 2 所学校的全部可能结果为 { A 1，A 2 1，A 3 }，{ A1，A 4 1，A 5} ， } ，{A } ，{A 1 62， A 32 ，A 4 2， A 5 }，{A2，A 6 ，{ A 3，A 4 } ， { A3，A 5 ， { A 3， A 6 }，{ A 4，{A A }，{A}，{ A}，{A}}54， A 65，A 6种．A }，{A } ， { A }，共 15②从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学 (记为事件 B)的全部可能结果为 { A 1，A 2 1，}，{A 3 2， A 3种．A }，{A}，共 33 1所以 P(B)＝ 15＝ 5.一、选择题1．甲从正方形四个极点中随意选择两个极点连成直线，乙也从该正方形四个极点中任意选择两个极点连成直线，则所得的两条直线互相垂直的概率是 ( )3 4A. 18B.1856C.18D. 18分析：选 C.甲从正方形四个极点中随意选择两个极点连成直线，乙也从该正方形四个6× 6极点中随意选择两个极点连成直线，所得的直线共有2 ＝18 对，而互相垂直的有5 对，P ＝ 5故依据古典概型概率公式得 18.2．(2013 ·肥质检合 )已知 A ＝{1,2,3} ， B ＝ { x ∈R |x 2－ ax ＋b ＝ 0，a ∈ A ，b ∈ A} ，则 A ∩ B＝B 的概率是 ()21A. 9B.38C.9D． 1分析：选 C.∵A∩B＝ B，∴B 可能为 ?，{1} ， {2} ， {3} ， {1,2} ， {2,3} ， {1,3} ．当 B＝?时， a2－ 4b＜ 0，知足条件的a， b 为 a＝ 1， b＝ 1,2,3；a＝2， b＝ 2,3；a＝ 3， b＝ 3.当 B＝ {1}时，知足条件的a， b 为 a＝ 2， b＝ 1.当 B＝ {2} ， {3} 时，没有知足条件的 a， b.当 B＝{1,2}时，知足条件的a，b 为 a＝ 3，b＝ 2.当 B＝ {2,3} ， {1,3} 时，没有知足条件的 a， b.∴A∩ B＝8 ＝ 8B 的概率为3×39.应选 C.二、填空题3．盒子里共有大小同样的 3 只白球， 1 只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不一样的概率是 ________．分析：设 3只白球为 A，B， C,1 只黑球为 d，则从中随机摸出两只球的情况有：AB，1AC ，Ad，BC ，Bd， Cd，共 6 种，此中两只球颜色不一样的有 3 种，故所求概率为2.答案：124．(2012 高·考江苏卷 )现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，－ 3 为公比的等比数列，若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于8 的概率是 ________．分析：由题意得 a n＝ (－ 3)n－1，易知前 10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于863的项为第一项和偶数项，共 6 项，即 6 个数，所以 P＝10＝5.3答案：5三、解答题5．一个袋中装有四个形状大小完整同样的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求拿出的球的编号之和不大于 4 的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，而后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求 n<m＋2 的概率．解： (1)从袋中随机取两个球，其全部可能的结果构成的基本领件有： 1 和 2,1 和 3,1和4,2和 3,2和 4,3和 4，共 6个．从袋中拿出的两个球的编号之和不大于 4 的事件有： 1 和2,1和3，共 2 个．所以所求2 1事件的概率为 P＝6＝3.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为 n，其全部可能的结果(m， n)有：(1,1)， (1,2)， (1,3)， (1,4)， (2,1)， (2,2) ， (2,3)， (2,4)，(3,1) ， (3,2)，(3,3) ， (3,4) ，(4,1) ，(4,2) ，(4,3)， (4,4) ，共 16 个．又知足条件n≥m＋2 的事件有： (1,3)， (1,4)， (2,4)，共 3 个．3所以知足条件n≥ m＋ 2 的事件的概率为P1＝16.故知足条件n<m＋ 2 的事件的概率为1－P1＝ 1－163＝1316.。

高考数学最新真题专题解析—古典概型与几何概型(理科)

高考数学最新真题专题解析—古典概型与几何概型考向一古典概型【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】635. 【试题解析】从正方体的8个顶点中任取4个，有48C 70n ==个结果，这4个点在同一个平面的有6612m =+=个，故所求概率1267035m P n ===．故答案为：635．【命题意图】本题主要考查古典概型的的概率计算公式，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）列举法求古典概型的概率；（2）树状图法求古典概型的概率．【得分要点】(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 考向二几何概型【母题来源】2021年高考全国卷（理科）【母题题文】在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A ．79B ．2332C ．932D ．29【答案】B【试题解析】设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，分别求出,A Ω对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，其面积为111S Ω=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，即图中的阴影部分，其面积为133********A S =-⨯⨯=，所以()2332A S P A S Ω== 【命题意图】本题主要考查几何概型的的概率计算公式，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）由长度比求几何概型的概率；（2）由面积比求几何概型的概率；（3）由体积比求几何概型的概率；（4）由角度比求几何概型的概率. 【得分要点】(1)能运用模拟方法估计概率. (2)了解几何概型的意义.真题汇总及解析一、单选题1．（2022·河南许昌·高二期末（理））若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区．若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（） A ．14B ．56C ．13D ．512【答案】B 【解析】【分析】计算出甲单独去分配的社区，甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，从而得到总的分配方法，再计算出甲乙分配到同一舍去的方法，得到乙与甲分配到不同社区的方法，根据古典概型求概率公式进行计算. 【详解】甲单独去分配的社区，有将乙，丙，丁三人分为两组，再和另外两个社区进行全排列，有212312C C A 6 种方法；甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，其余两人和另外两个社区进行全排列，有1232C A 6=种方法；其中甲乙分配到同一社区的方法有22A 2=种，则乙与甲分配到不同社区的方法有66210+-=种，所以乙与甲分配到不同社区的概率是105666=+ 故选：B2．（2022·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（） A ．13B ．25C ．1130D ．310【答案】B 【解析】【分析】列举出三人所有工作日，由古典概型公式可得. 【详解】解：甲工作的日期为1，2，4，5，7，8，10，...，29. 乙工作的日期为1，2，3，5，6，7，9，10，...，30. 丙工作的日期为1，2，3，4，6，7，8，9， (29)在同一天工作的日期为1，2，7，11，13，14，17，19，22，23，26，29 ∴三人同一天工作的概率为122305P ==．故选：B ．3．（2022·辽宁实验中学模拟预测）某国计划采购疫苗，现在成熟的疫苗中，三种来自中国，一种来自美国，一种来自英国，一种由美国和德国共同研发，从这6种疫苗中随机采购三种，若采购每种疫苗都是等可能的，则买到中国疫苗的概率为（） A ．16B ．12C ．910D ．1920【答案】D 【解析】【分析】由对立事件的概率公式计算．【详解】没有买到中国疫苗的概率为13611C 20P ==，所以买到中国疫苗的概率为119120P P =-=．故选：D ．4．（2022·河南安阳·模拟预测（文））为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与3家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为（） A ．12 B ．23C ．34D ．1316【答案】D 【解析】【分析】由古典概型与对立事件的概率公式求解即可【详解】因为每所高校至少对接两家用人单位，所以每所高校共有2333314C C+=+=种选择，所以甲、乙两所高校共有4416⨯=种选择，其中甲、乙两所高校的选择涉及两家用人单位的情况有233C=种，所以甲、乙两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为31311616P=-=，故选：D5．（2022·全国·模拟预测（理））2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晩20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场）、下届2026年冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中文之美．现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（）A．25B．13C．16D．14【答案】B【解析】【分析】先求出这六个国家的所有可能出场的顺序的排列数，再求出乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的排列数，将即乌兹别克斯坦、安道尔看作一个国家，利用捆绑法，根据古典概型的概率公式求得答案.【详解】由题意得，乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国所有可能的出场顺序有66A种，其中乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的顺序有2525A A种,故乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率为252566A A1A3=，故选：B6．（2022·北京·北大附中三模）有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“A”的概率为（）A．152B．827C．413D．1752【答案】C【解析】【分析】直接根据古典概型概率计算公式即可得结果.【详解】依题意，样本空间包含样本点为52，抽到的牌为“红桃”或“A”包含的样本点为16，所以抽到的牌为“红桃”或“A”的概率为1645213=，故选：C.7．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）定义：10000100010010,(,,,,)abcde a b c d e a b c d e Z=++++∈，当a b c d e><><时，称这个数为波动数，由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数中，波动数的概率为（）A ．115B ．215C ．760D ．112【答案】B 【解析】【分析】先判断出由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数有120种，列举出波动数有个，即可求出波动数的概率. 【详解】由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数一共有55A 120=种.而构成波动数，需满足a b c d e ><><，有：31425，31524，41325，41523，51324，51423，32415，32514，42315，42513，52314，52413，21435，21534，53412，43512一共16个. 所以波动数的概率为16212015=. 故选：B.8．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））在区间[]0,1上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于12的概率为（） A ．34B ．12C ．14D ．18【答案】C 【解析】【分析】设在[]0,1上取的两数为x ，y ，满足12x y ->，画出不等式表示的平面区域，结合面积比的几何概型，即可求解.设在[]0,1上取的两数为x ，y ，则12x y ->，即12x y ->，或12x y -<-．画出可行域，如图所示，则12x y ->，或12x y -<-所表示的区域为图中阴影部分，易求阴影部分的面积为14，故所求概率11414P ==；故选：C.9．（2022·全国·哈师大附中模拟预测）若在区间[]1,1-内随机取一个实数t ，则直线y tx =与双曲线2214xy -=的左、右两支各有一个交点的概率为（）A ．14B ．12C ．18D ．34【答案】B 【解析】【分析】求出双曲线渐近线的斜率，根据已知条件可得出t 的取值范围，结合几何概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】双曲线的渐近线斜率为12±，则12t <，即1122t -<<，故所求概率为12P =，10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））甲、乙两人约定某日上午在M 地见面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（）. A ．13B ．16C ．59D ．38【答案】B 【解析】【分析】从早上7点开始计时，设甲经过x 十分钟到达，乙经过y 十分钟到达，可得x 、y 满足的不等式线组对应的平面区域为如图的正方形ABCD ，而甲乙能够见面，x 、y 满足的平面区域是图中的四边形EFGH ．分别算出图中正方形和四边形的面积，根据面积型几何概型的概率公式计算可得．【详解】解：从早上7点开始计时，设甲经过x 十分钟到达，乙经过y 十分钟到达，则x 、y 满足0639x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，作出不等式组对应的平面区域，得到图中的正方形ABCD ，若甲乙能够见面，则x 、y 满足||1x y -≤，该不等式对应的平面区域是图中的四边形EFGH ，6636ABCD S =⨯=，114422622EFGH BEHBFGS SS=-=⨯⨯-⨯⨯= 因此，甲乙能见面的概率61366EFGH ABCD S P S ===故选：B ．二、填空题11．（2022·上海青浦·二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是_________.（结果用最简分数表示）【答案】49【解析】【分析】先计算总共的选择数，再计算三个核酸检测点都有志愿者到位的数量，即可得答案.【详解】解：四个志愿者总的选择共333381N =⨯⨯⨯=种，要满足三个核酸检测点都有志愿者到位，则必有2个人到同一核酸检测点，故从4人中选择2人出来，共有24C 6=种，再将这2人看成整体1人和其他2人共3人，选择三个核酸检测点，共33A 6=种，所以6636n =⨯=，所以364819n P N ===.故答案为：49.12．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（理））关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，每人随机写下一个x 、y都小于1的正实数对(),x y ，再统计x 、y 两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 的个数m ，最后再根据m 来估计π的值．假如统计结果是36m =，那么π的估计值为______．【答案】3.2【解析】【分析】(,)x y 表示的点构成一个正方形区域，x 、y 两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 表示的点构成图中阴影部分，分别求出其面积，由几何概型概率公式求得其概率后可得．【详解】(,)x y 表示的点构成一个正方形区域，如图正方形OABC （不含边界），x 、y 两数能与1构成钝角三角形满足条件2211x y x y +>⎧⎨+<⎩，(,)x y 表示的点构成的区域是图中阴影部分（不含边界），因此所求概率为1136********P ππ-==-=，估计 3.2π≈．故答案为：3.213．（2022·河南·模拟预测）现有四张正面分别标有数字-1，0，-2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作m 不放回，再从余下的卡片中取一张记作n ．则点(),P m n 在第二象限的概率为______．【答案】16【解析】【分析】列出所有可能的情况，根据古典概型的方法求解即可【详解】由题，点(),P m n 所有可能的情况为()1,0-，()1,2--，()1,3-，()0,1-，()0,2-，()0,3，()2,1--，()2,0-，()2,3-，()3,1-，()3,0，()3,2-共12种情况，其中在第二象限的为()2,3-，()1,3-，故点(),P m n 在第二象限的概率为21126= 故答案为：1614．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（理））寒假即将来临，小明和小强计划去图书馆看书，约定上午8：00~8：30之间的任何一个时间在图书馆门口会合．两人商量好提前到达图书馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去．则两人能够在图书馆门口会合的概率是_________________．【答案】59【解析】先把两人能够会合转化为几何概型，利用几何概型的概率公式直接求解.【详解】设小明到达的时刻为8时x 分，小强到达的时刻为8时y 分，其中030,030x y ≤≤≤≤，则当|x-y |≤10时，两人能够在图书馆门口会合.如图示：两人到达时刻（x ，y ）构成正方形区域，记面积为S ,而事件A ：两人能够在图书馆门口会合构成阴影区域，记其面积为S 1 所以1900-22005()=9009S P A S ⨯==. 故答案为：59.【点睛】（1）几何概型的两个特征——无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型；（2）几何概型通常转化为长度比、面积比、体积比。

考点31 古典概型(练习) (解析版)

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，区间45,55 ， 55, 65 ， 65,75 内的频率依次为 0.3 ， 0.2 ， 0.1 ．
用分层抽样的方法在区间 45, 75 内抽取一个容量为 6 的样本，
则在区间
45,
55
内应
3
件，记为
A1
，
A2
，
A3
．
在区间
55,
65
内应抽取
6
0.3
15 3
3．2020 年 2 月份，根据新型冠状病毒的疫情情况，教育部下达了延迟开学的通知.由此使得全国中小学生停课，影响了教学进度，某高中按照“停课不停学”的原则，扎实开展停课不停学的工作，特制定了网上
0.2 0.2
0.1
2
件，记为
B1
，
B2
．
在区间
65,
75
内应抽取
6
0.3
0.1 0.2
0.1
1
件，记为
C
．
设“从样本中任意抽取 2 件产品，这 2 件产品都在区间 45, 65 内”为事件 M，
则所有的基本事件有：A1, A2 ，A1, A3 ，A1, B1 ，A1, B2 ，A1,C ，A2, A3，
3 整除包含 (1, 2), (1, 5), (2, 4), (4, 5) 四种取法，所以概率为
4
2
，选 A．
10 5
10．已知函数
t
，若 t 是从 1，2，3 三个数中任取的一个数，是从 0，1，2 三
个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将 t 记为横坐标，将记为纵坐标，可知总共有䇅t 䇅䇅䇅䇅䇅䇅t 䇅䇅䇅䇅䇅䇅t 䇅䇅䇅䇅 9

2021届高考数学总复习(人教A版,理科)配套题库：古典概型(含答案解析)

第4讲古典概型一、选择题1．将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷3次，至少毁灭一次5点向上的概率是( )A.5216B.25216C.31216D.91216解析抛掷3次，共有6×6×6＝216个大事．一次也不毁灭5，则每次抛掷都有5种可能，故一次也未毁灭5的大事总数为5×5×5＝125.于是没有毁灭一次5点向上的概率P＝125 216，所求的概率为1－125216＝91216.答案 D2．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，假如从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是()．A.15 B.310 C.25 D.12解析基本大事有C25＝10个，其中为同色球的有C23＋C22＝4个，故所求概率为410＝2 5.答案 C3．甲、乙两人各写一张贺年卡，任凭送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是()．A.12 B.13 C.14 D.15解析(甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都送给丁)，共四种状况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的状况有两种，所以P＝24＝1 2.答案 A4．甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )A.318B.418C.518D.618解析正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个等可能的基本大事．两条直线相互垂直的状况有5种(4组邻边和对角线)，包括10个基本大事，所以概率等于518.答案 C5．一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1 000个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是( )．A.112B.110C.325D.1125解析小正方体三面涂有油漆的有8种状况，故所求其概率为：81 000＝1125.答案 D6．将号码分别为1,2,3,4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a，放回后，乙从今口袋中再摸出一个小球，其号码为b，则使不等式a－2b＋4<0成立的大事发生的概率为()．A.18 B.316 C.14 D.12解析由题意知(a，b)的全部可能结果有4×4＝16个．其中满足a－2b＋4<0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4个，所以所求概率为14.答案 C二、填空题7．在集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，在集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为________．解析由题意得到的P(m，n)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6个，在圆x2＋y2＝9的内部的点有(2,1)，(2,2)，所以概率为26＝13.答案138. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．解析组成满足条件的数列为：.19683,6561,2187,729,243,81,27.9,3,1-----从中随机取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为53.答案 539．甲、乙二人参与普法学问竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4 个推断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是________．解析方法1：设大事A ：甲乙两人中至少有一人抽到选择题．将A 分拆为B ：“甲选乙判”，C ：“甲选乙选”，D ：“甲判乙选”三个互斥大事，则P (A )＝P (B )＋P (C )＋P (D )．而P (B )＝C 16C 14C 110C 19，P (C )＝C 16C 15C 110C 19，P (D )＝C 14·C 16C 110C 19，∴P (A )＝2490＋3090＋2490＝7890＝1315.方法2：设大事A ：甲乙两人中至少有一人抽到选择题，则其对立大事为A ：甲乙两人均抽推断题．∴P (A )＝C 14C 13C 110C 19＝1290，∴P (A )＝1－1290＝7890＝1315. 故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为1315. 答案 131510．三位同学参与跳高、跳远、铅球项目的竞赛．若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．解析依据条件求出基本大事的个数，再利用古典概型的概率计算公式求解．由于每人都从三个项目中选择两个，有(C 23)3种选法，其中“有且仅有两人选择的项目完全相同”的基本大事有C 23C 13C 12个，故所求概率为C 23C 13C 12(C 23)3＝23. 答案 23 三、解答题11．某地区有学校21所，中学14所，高校7所，现接受分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对同学进行视力调查．(1)求应从学校、中学、高校中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出全部可能的抽取结果； ②求抽取的2所学校均为学校的概率．解 (1)由分层抽样的定义知，从学校中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从高校中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1.故从学校、中学、高校中分别抽取的学校数目为3,2,1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所学校分别记为A 1，A 2，A 3,2所中学分别记为A 4，A 5,1所高校记为A 6，则抽取2所学校的全部可能结果为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，A 5)，(A 1，A 6)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，A 5)，(A 2，A 6)，(A 3，A 4)，(A 3，A 5)，(A 3，A 6)，(A 4，A 5)，(A 4，A 6)，(A 5，A 6)，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为学校(记为大事B )的全部可能结果为(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，共3种．所以P (B )＝315＝15.12．从某小组的2名女生和3名男生中任选2人去参与一项公益活动． (1)求所选2人中恰有一名男生的概率； (2)求所选2人中至少有一名女生的概率．解析设2名女生为a 1，a 2,3名男生为b 1，b 2，b 3，从中选出2人的基本大事有：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共10种．(1) 设“所选2人中恰有一名男生”的大事为A ，则A 包含的大事有：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，共6种， ∴P (A )＝610＝35，故所选2人中恰有一名男生的概率为35.(2)设“所选2人中至少有一名女生”的大事为B，则B包含的大事有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，共7种，∴P(B)＝7 10，故所选2人中至少有一名女生的概率为710.13．袋内装有6个球，这些球依次被编号为1,2,3，…，6，设编号为n的球重n2－6n＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．(1)从袋中任意取出一个球，求其重量大于其编号的概率；(2)假如不放回的任意取出2个球，求它们重量相等的概率．解(1)若编号为n的球的重量大于其编号．则n2－6n＋12>n，即n2－7n＋12>0.解得n<3或n>4.∴n＝1,2,5,6.∴从袋中任意取出一个球，其重量大于其编号的概率P＝46＝23.(2)不放回的任意取出2个球，这两个球编号的全部可能情形共有C26＝15种．设编号分别为m与n(m，n∈{1,2,3,4,5,6}，且m≠n)球的重量相等，则有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，即有(m－n)(m＋n－6)＝0.∴m＝n(舍去)或m＋n＝6.满足m＋n＝6的情形为(1,5)，(2,4)，共2种情形．由古典概型，所求大事的概率为2 15.14．某省试验中学共有特级老师10名，其中男性6名，女性4名，现在要从中抽调4名特级老师担当青年老师培训班的指导老师，由于工作需要，其中男老师甲和女老师乙不能同时被抽调．(1)求抽调的4名老师中含有女老师丙，且4名老师中恰有2名男老师、2名女老师的概率；(2)若抽到的女老师的人数为ξ，求P(ξ≤2)．解由于男老师甲和女老师乙不能同时被抽调，所以可分以下两种状况：①若甲和乙都不被抽调，有C48种方法；②若甲和乙中只有一人被抽调，有C12C38种方法，故从10名老师中抽调4人，且甲和乙不同时被抽调的方法总数为C48＋C12C38＝70＋112＝182.这就是基本大事总数．(1)记大事“抽调的4名老师中含有女老师丙，且恰有2名男老师，2名女老师”为A，由于含有女老师丙，所以再从女老师中抽取一人，若抽到的是女老师乙，则男老师甲不能被抽取，抽调方法数是C25；若女老师中抽到的不是乙，则女老师的抽取方法有C12种，男老师的抽取方法有C26种，抽调的方法数是C12C26.故随机大事“抽调的4名老师中含有女老师丙，且4名老师中恰有2名男老师、2名女老师”含有的基本大事的个数是C25＋C12C26＝40.依据古典概型概率的计算公式得P(A)＝40182＝2091.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3,4，所以P(ξ≤2)＝1－P(ξ>2)＝1－P(ξ＝3)－P(ξ＝4)，若ξ＝3，则选出的4人中，可以含有女老师乙，这时取法为C23C15种，也可以不含女老师乙，这时有C33C16种，故P(ξ＝3)＝C23C15＋C33C16182＝21182＝326；若ξ＝4，则选出的4名老师全是女老师，必含有乙，有C44种方法，故P(ξ＝4)＝C44182＝1182，于是P(ξ≤2)＝1－21182－1182＝160182＝8091.。

高一数学古典概型试题答案及解析

高一数学古典概型试题答案及解析1.袋中有大小相同的三个白球和两个黑球，从中任取两个球，两球同色的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】所有不同方法数有种,所求事件包含的不同方法数有种,因此概率,答案选B.【考点】古典概型的概率计算2.某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工的合格零件数，按十位数字为茎，个位数字为叶得到的茎叶图如图所示．已知甲、乙两组数据的平均数都为10.（1）求的值；（2）分别求出甲、乙两组数据的方差和，并由此分析两组技工的加工水平；（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．（注：方差，为数据的平均数）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由题意根据平均数的计算公式分别求出的值；（2）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差和，再根据它们的平均值相等，可得方差较小的发挥更稳定一些；（3）用列举法求得所有的基本事件的个数，找出其中满足该车间“质量合格”的基本事件的个数，即可求得该车间“质量合格”的概率.试题解析：解：（1）由题意得，解得，再由，解得；(2)分别求出甲、乙两组技工在单位时间内加工的合格零件数的方差：，，并由，可得两组技工水平基本相当，乙组更稳定些.（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行检查，设两人加工的合格零件数分别为，则所有的有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（7，11）、（7，12）、（8，8）、（8，9）、（8，10）、（8，11）、（8，12）、（10，8）、（10，9）、（10，10）、（10，11）、（10，12）、（12，8）、（12，9）、（12，10）、（12，11）、（12，12）、（13，8）、（13，9）、（13，10）、（13，11）、（13，12），共计25个，而满足的基本事件有（7，8）、（7，9）、（7，10）、（8，8）、（8，9），共计5个基本事件，故满足的基本事件个数为，所以该车间“质量合格”的概率为.【考点】1、古典概型及其概率计算公式；2、平均数与方差.3.有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依次类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为 .【答案】【解析】由题可知前9组数据共有，第10组共有10数，且第一个为46，其中为3的倍数的数为：48,51,54，故概率为.【考点】古典概型.4.设函数是从1，2，3三个数中任取一个数，b是从2，3，4，5四个数中任取一个数， (1) 求的最小值;（2）求恒成立的概率.【答案】（1）则当时，;当时，;当时，; （2）.【解析】（1）对于的最小值问题，对于不同的其结果不一样，故应分别讨论，且采用分离常数法；（2）由（1）小题，要使其恒成立必有,并由列举法计算出其中符合条件的.试题解析：由,因为,故有.则当时，;当时，;当时，;由（1）可知，要使恒成立，当时，;当时，;当时，;故满足条件的有对.共有，则概率.【考点】(1)函数最值问题（分离常数法）；（2）古典概型.5.已知方程是关于的一元二次方程．（1）若是从集合四个数中任取的一个数，是从集合三个数中任取的一个数，求上述方程有实数根的概率；（2）若，，求上述方程有实数根的概率．【答案】（1）（2）【解析】（1）先将从集合四个数中任取的一个数作为，从集合三个数中任取的一个数作为的所有情况列出来，再将使上述方程由实数根的情况列出来，根据古典概型公式算出所求事件的概率；（2）先作出满足，表示的平面区域并计算出区域的面积S，再根据要使方程有实数根，则△≥0，求出a,b满足的不等式，作出该不等式与，表示区域并计算面积，根据几何概型公式，该面积与S的比值就是上述方程有实数根的概率.试题解析：设事件为“方程有实数根”．当，时，方程有实数根的充要条件为．（1）基本事件共12个：，，，．其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．事件中包含9个基本事件．事件发生的概率为．（2）试验的全部结果所构成的区域为．构成事件的区域为．所以所求的概率．考点:古典概型；几何概型6.在两个袋内,分别写着装有、、、、、六个数字的张卡片,今从每个袋中各取一张卡片,则两数之和等于9的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】任取一张卡片共种情况，两数之和为9包括共4种，所以两数之和为9的概率为,故选C.【考点】古典概型的概率问题7.某种饮料每箱装5听，其中有3听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是_________．【答案】【解析】每箱中3听合格的饮料分别记为,不合格的2听分别记为。

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高考数学复习课时作业66 古典概型一、选择题1．已知袋子中装有大小相同的6个小球，其中有2个红球、4个白球．现从中随机摸出3个小球，则至少有2个白球的概率为( C )A.34B.35C.45D.710解析：所求问题有两种情况：1红2白或3白，则所求概率P ＝C 12C 24＋C 34C 36＝45. 2．投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋n i)2为纯虚数的概率为( C )A.13 B.14 C.16D.112解析：∵(m ＋n i)2＝m 2－n 2＋2mn i 为纯虚数， ∴m 2－n 2＝0，∴m ＝n ，(m ，n )的所有可能取法有6×6＝36种，其中满足m ＝n 的取法有6种，∴所求概率P ＝636＝16.3．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，甲被选中的概率是( B ) A.23 B.12 C.13D.14解析：P ＝1－C 23C 24＝1－12＝12.故选B.4．已知集合M ＝{1,2,3,4}，N ＝{(a ，b )|a ∈M ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( C )A.12 B.13 C.14D.18解析：易知过点(0,0)，与y ＝x 2＋1相切的直线为y ＝2x (斜率小于0的无需考虑)，集合N 中共有16个元素，其中使直线OA 的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4个，故所求的概率为416＝14.5．从数字1,2,3,4,5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于12的概率为( A )A.225B.13125C.18125D.9125解析：从5个数字中任意抽取3个数字组成一个三位数，并且允许有重复的数字，这样构成的数字有53＝125个，但要使各位数字之和等于12且没有重复数字时，则该数只能含有3,4,5三个数字，它们有A 33＝6种；若三位数的各位数字均重复，则该数为444；若三位数中有2个数字重复，则该数为552,525,255，有3种．因此，所求概率为P ＝6＋1＋3125＝225.故选A.6．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( C )A.112 B.114 C.115D.118解析：不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C 210种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率P ＝3C 210＝115，故选C.7．如图，三行三列的方阵中有九个数a ij (i ＝1,2,3；j ＝1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是( D )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23a31a 32 a 33A.37B.47C.114D.1314解析：从九个数中任取三个数的不同取法共有C 39＝84种，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C 13·C 12·C 11＝6种，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1－684＝1314. 二、填空题8．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是56.解析：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A ＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件A ＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，A 包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P (A )＝636＝16，所以P (A )＝1－16＝56. 9．(2019·重庆适应性测试)从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，则所取3个数之和为偶数的概率为25.解析：依题意，从2,3,4,5,6这5个数字中任取3个，共有10种不同的取法，其中所取3个数之和为偶数的取法共有1＋3＝4种(包含两种情形：一种情形是所取的3个数均为偶数，有1种取法；另一种情形是所取的3个数中2个奇数，另一个是偶数，有3种取法)，因此所求的概率为410＝25.10．用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是14.若用两种颜色有122,212,221,211,121,112.所以基本事件共有8种．又相邻颜色各不相同的有2种，故所求概率为14.三、解答题11．在某项大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加A 岗位服务的概率．解：(1)记“甲、乙两人同时参加A 岗位服务”为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110，所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)有两人同时参加A 岗位服务的概率P 2＝C 25A 33C 25A 44＝14，所以仅有一人参加A 岗位服务的概率P 1＝1－P 2＝34.12．某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分析制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．(注：分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．解：(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是530＋45＝115，所以样本中包含的男生人数为30×115＝2，女生人数为45×115＝3.则从5人中任意选取2人共有C 25＝10种，抽取的2人中没有一名男生有C 23＝3(种)，则至少有一名男生有C 25－C 23＝7(种)．故至少有一名男生的概率为P ＝710，即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.13．(2019·西安调研)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( B )A.115B.15C.14D.12解析：由题意，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共4种．故所求事件的概率P ＝4·A 33C 36A 33＝15.14．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为16. 解析：十个数中任取七个不同的数共有C 710种情况，七个数的中位数为6，那么6只能处在中间位置，有C 36种情况，于是所求概率P ＝C 36C 710＝16.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·甘肃二诊)某县自古就以盛产“美瓜”而名扬内外，生产的“瓜州蜜瓜”有4个系列30多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，含糖量达14%～19%，是消暑止渴的佳品，有诗曰：冰泉浸绿玉，霸刀破黄金；凉冷消晚暑，清甘洗渴心．调查表明，蜜瓜的甜度与海拔、日照时长、温差有极强的相关性，分别用x ，y ，z 表示蜜瓜甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标ω＝x ＋y ＋z 的值评定蜜瓜的等级，若ω≥4，则为一级；若2≤ω≤3，则为二级；若0≤ω≤1，则为三级．近年来，周边各省也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的种植情况，研究人员从不同省份随机抽取了10块蜜瓜种植地，得到如下结果：(2)在所取样本的二级和二级蜜瓜种植地中任取2块，X 表示取到三级蜜瓜种植地的数量，求椭机变量X 的分布列及数学期望．解：(1)计算10块种植地的综合指标，可得下表：由上表可知：等级为一级的有5个，其频率为2.用样本的频率估计总体的频率，可估计等级为一级的蜜瓜种植地数量为110×12＝55(块)．(2)二级和三级蜜瓜种植地共有5块，三级蜜瓜种植地有2块，则X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 02C 23C 25＝310，P (X ＝1)＝C 12C 13C 25＝35，P (X ＝2)＝C 22C 03C 25＝110.所以随机变量X 的分布列为从而E (X )＝0×10＋1×5＋2×10＝5.。