导数专题选填题
解得实数 的取值范围是
例题一：【2012厦门市高三上学期期末质检文】设函数f(x)＝ 对任意x1、x2∈(0,＋∞)，不等式 恒成立，则正数k的取值范围是。
14.【2012高考真题山东理12】设函数 ，若 的图象与 图象有且仅有两个不同的公共点 ,则下列判断正确的是
A.当 时，
B. 当 时，
C. 当 时，
D. 当 时，
【答案】B
【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当 时，要想满足条件，则有如图 ，做出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为 ，由图象知 即 ，同理当 时，则有 ，故答案选B.
【答案】D
【解析】因为 为偶函数，所以当 在 上是增函数，则 在 上则为减函数，又函数 的周期是4，所以在区间 也为减函数.若 在区间 为减函数，根据函数的周期可知 在 上则为减函数，又函数 为偶函数，根据对称性可知， 在 上是增函数，综上可知，“ 在 上是增函数”是“ 为区间 上的减函数”成立的充要条件，选D.
【答案】
【解析】曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离为 ，
曲线C1：y=x2+a对应函数的导数为 ，令 得 ，所以C1：y=x2+a上的点为 ，点 到到直线l:y=x的距离应为 ，所以 ，解得 或 （舍去）。
12.【2012高考真题陕西理14】设函数 ， 是由 轴和曲线 及该曲线在点 处的切线所围成的封闭区域，则 在 上的最大值为.
(A)x＜y＜z（B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x
【答案】D
【解析】 ， ， ， ，所以 ，选D.
6.【2012高考真题新课标理10】已知函数 ；则 的图像大致为（）
【答案】B
【解析】排除法，因为 ，排除A. ，排除C,D，选B.
8.【2012高考真题重庆理10】设平面点集 ，则 所表示的平面图形的面积为
2.【2012高考真题新课标理12】设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 最小值为（）
【答案】B
【解析】函数 与函数 互为反函数，图象关于 对称
函数 上的点 到直线 的距离为
设函数
由图象关于 对称得： 最小值为 ,
4.【2012高考真题辽宁理12】若 ，则下列不等式恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
【解析】代入验证，当 ， ，则 ，由 可知， ，结合图像可知函数应在 递增，在 递减，即在 取得最大值，由 ，知a存在.故选B.
4.（陕西理11）设 ，若 ，则 ．
【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从 算起是解答本题的突破口.
【解析】因为 ，所以 ，又因为 ，
所以 ，所以 ， ．
【答案】1
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）】A
【解析】若函数 在R上为减函数，则有 。函数 为增函数，则有 ，所以 ，所以“函数 在R上为减函数”是“函数 为增函数”的充分不必要条件，选A.
12.【2012高考真题山东理8】定义在 上的函数 满足 .当 时， ，当 时， 。则
（A）函数 有极大值 和极小值
（B）函数 有极大值 和极小值
（C）函数 有极大值 和极小值
（D）函数 有极大值 和极小值
【答案】D
【解析】由图象可知当 时， ，所以此时 ，函数递增.当 时， ，所以此时 ，函数递减.当 时， ，所以此时 ，函数递减.当 时， ，所以此时 ，函数递增.所以函数 有极大值 ，极小值 ,选D.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为满足方程 的实数根 叫做函数 的“新驻点”，所以 的新驻点是 的新驻点为 的根 ； 的新驻点为 的根 ；作出图像得 。
3.(安徽理10)函数 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m，n的值可能是
（A）
(B)
(C)
(D)
【答案】B【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.
【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点，考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想，难度较大。
18.【2012高考真题江西理10】如右图，已知正四棱锥 所有棱长都为1，点E是侧棱 上一动点，过点 垂直于 的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记 截面下面部分的体积为 则函数 的图像大致为
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】由 可知 或者 ，在同一坐标系中做出平面区域如图： ，由图象可知 的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为 ，选D.
9.【2012高考真题山东理3】设 且 ，则“函数 在 上是减函数 ”，是“函数 在 上是增函数”的
是
【答案】m＞6
此题答案应为m＞6。关键在于在[0,2]上任取三个数 ，均存在以 为边的三角形，三个不同的数 ,但 可以有两个相同。
【解析】本题主要考查导数的基本运算、闭区间函数的最值及三角形的有关知识.属于基础知识、基本运算的考查.
= ，求导 由 得到 或者 ，
知道 在[0,2]内，函数先减小后增加，计算两端及最小值
【答案】
【解析】设 则 ，过点P作 的垂线
，
，所以，t在 上单调增，在 单调减， .
本题主要考查指数运算,指数函数图象、导数的概念,导数公式,导数的运算与几何意义、利用导数研究函数,导数的应用、直线方程及其斜率、直线的位置关系，运算求解能力,综合应用有关知识的能力,本题属难题.
4.【2012江西师大附中高三下学期开学考卷文】已知 = ，在区间 上任取三个不同的数 ,均存在以 为边长的三角形，则 的取值范围
【答案】C
【解析】因为 ,所以令 ,得 ,此时原函数是增函数;令 ,得 ,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C正确.
4.【2012 黑龙江绥化市一模理12】.已知函数 的图像关于点 对称，且当 时， 成立(其中 是 的导函数)，若 ， ， ，则 的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】B
导数专题选填题
1.【2012安徽省合肥市质检文】已知函数 的导函数的图像如图所示，若 为锐角三角形，则一定成立的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由导函数图象可知， 时， ，即 单调递增，又 为锐角三角形，则 ，即 ，故 ，即 ，故 ，选A。
2.【2012 延吉市质检理10】定义方程 的实数根 叫做函数 的“新驻点”，若函数 的“新驻点”分别为 ，则 的大小关系为（）
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
【答案】B
【解析】因为当 时，f(x)=x3.所以当 ，f(x)=f(2 x)=(2 x)3，
当 时，g(x)=xcos ；当 时，g(x)= xcos ，注意到函数f(x)、g(x)都是偶函数，且f(0)=g(0)，f(1)=g(1)， ，作出函数f(x)、g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间 上各有一个零点，共有6个零点，故选B
4.【2012高考真题天津理4】函数 在区间(0,1)内的零点个数是
（A）0（B）1
（C）2（D）3
【答案】B
【解析】因为函数 的导数为 ，所以函数 单调递增，又 ， ，所以根据根的存在定理可知在区间 内函数的零点个数为1个，选B.
5.【2012高考真题全国卷理9】已知x=lnπ，y=log52， ，则
【答案】
【解析】本题主要考查导数求法、导数综合应用，以及恒成立问题应用.属于基础知识、基本运算、基本能力的考查.
k为正数，
∴对任意x1、x2∈(0,＋∞)，不等式 恒成立
由 得 ，
∴
同理 ，
∴
1.【2012高考真题重庆理8】设函数 在R上可导，其导函数为 ，且函数 的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
另法： ，则方程 与 同解，故其有且仅有两个不同零点 .由 得 或 .这样，必须且只须 或 ，因为 ，故必有 由此得 .不妨设 ，则 .所以 ，比较系数得 ，故 . ，由此知 ，故答案为B.
15.【2012高考真题辽宁理11】设函数f(x) 满足f( )=f(x)，f(x)=f(2 x)，且当 时，f(x)=x3.又函数g(x)=|xcos |，则函数h(x)=g(x)-f(x)在 上的零点个数为
，在[0,2]上任取三个数 ，均存在以 为边的三角形，三个不同的数 对应的 可以有两个相同。由三角形两边之和大于第三边，可知最小边长的二倍必须大于最大边长。
由题意知， （1）
，得到 （2）
，得到 （3）
由（1）（2）（3）得到 为所求
3.(全国Ⅰ理12)函数 的图像与函数 的图像所有交点的横坐标之和等于
（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012
【答案】B
【解析】由 ，可知函数的周期为6，所以 ， ， ， ， ， ，所以在一个周期内有 ，所以 ，选B.
13.【2012高考真题山东理9】函数 的图像大致为
【答案】D
【解析】函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,令 得 ，所以 ， ，函数零点有无穷多个，排除C,且 轴右侧第一个零点为 ，又函数 为增函数，当 时， ， ，所以函数 ，排除B，选D.
（A）2 (B) 4 (C) 6 (D)8
【答案】D
4.【2012武昌区高三年级元月调研文】已知函数 为R上的奇函数， 的导数为 ，且当 时，不等式 成立，若 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是
【答案】
【解析】本题主要考查恒成立问题和积的导数公式，导数与单调性的关系、奇函数的图像性质以及简单的绝对值不等式的解法.属于基础知识、基本运算、基本能力的整合的考查.
高考数学真题分项汇编专题05 导数选择、填空(理科)(解析版)
十年（2014－2023）年高考真题分项汇编导数选择、填空目录题型一：导数的概念及其几何意义 ..................................... 1 题型二：导数与函数的单调性 ......................................... 8 题型三：导数与函数的极值、最值 ..................................... 9 题型四：导数与函数的零点 .......................................... 14 题型五：导数的综合应用 ............................................ 16 题型六：定积分 (20)题型一：导数的概念及其几何意义一、选择题1．(2021年新高考Ⅰ卷·第7题)若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则( )A ．e b a <B ．e a b <C ．0e b a <<D ．0e a b <<【答案】D解析:在曲线x y e =上任取一点(),tP t e ，对函数x y e =求导得e x y ′=，所以，曲线x y e =在点P 处的切线方程为()t t y e e x t −=−，即()1t ty e x t e +−， 由题意可知，点(),a b 在直线()1t t y e x t e +−上，可得()()11t tt b ae t e a t e =+−=+−，令()()1t f t a t e =+−，则()()t f t a t e ′=−．当t a <时，()0f t ′>，此时函数()f t 单调递增， 当t a >时，()0f t ′<，此时函数()f t 单调递减，所以，()()max a f t f a e ==， 由题意可知，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点，则()max a b f t e <=， 当1t a <+时，()0f t >，当1t a >+时，()0f t <，作出函数()f t 的图象如下图所示：由图可知，当0a b e <<时，直线y b =与曲线()y f t =的图象有两个交点,故选D ．2．(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第0题)函数43()2f xx x =−的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为( )A ．21y x =−− B ．21y x =−+ C ．23y x =− D ．21y x =+ 【答案】B【解析】()432f x x x =− ，()3246f x x x ′∴=−，()11f ∴=−，()12f ′=−， 因此，所求切线的方程为()121y x +=−−，即21y x =−+． 故选：B ．【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 3．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第0题)若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为( )A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +12【答案】D解析：设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =的导数为y ′=，则直线l的斜率k =，设直线l的方程为)0y x x −−，即00x x −+=， 由于直线l 与圆2215x y +==， 两边平方并整理得2005410x x −−=，解得01x =，015x =−(舍)， 则直线l 的方程为210x y −+=，即1122y x =+． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题．4．(2019·全国Ⅲ·理·第6题)已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则( )A ．,1a e b ==−B ．,1a e b ==C ．1,1a e b −==D ．1,1a e b −==−【答案】D【解析】由/ln 1x y ae x =++，根据导数的几何意义易得/1|12x y ae ==+=，解得1a e −=，从而得到切点坐标为(1,1)，将其代入切线方程2y x b =+，得21b +=，解得1b =−，故选D ．【点评】准确求导是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．另外对于导数的几何意义要注意给定的点是否为切点，若为切点，牢记三条：①切点处的导数即为切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上。
导数应用精选50题(含有答案)
)
99
A. a b c
B. c > b > a
C. c > a > b
D. a > c > b
10. f (x)是函数f (x)的导函数, 将y f (x)和y f (x) 的图象画在同一直角坐标系中，不
可能正确的是
()
11.已知函数 y xf (x) 的图象如图 3 所示（其中 f (x) 是函数 f (x) 的导函数）．下面四个图 象中， y f (x) 的图象大致是（ ）
30.(本大题满分 14 分) 设 x=3 是函数 f（x）=（x2+a+b）e3-x(x∈R)的一个极值点． (1)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b)，并求 f（x）的单调区间；(2)a>0，g(x)=( a+ 25 ) ex．若
4 存在 x1、x2∈[0，4]使得| f（x1）- g(x2)|<1 成立，求 a 的取值范围．
（3）若函数 y=f(x)+g(x)有两个不同的极值点 x1，x2（xl <x2），且 x2 －xl >1n2，求实数 a 的取值范围．
28.（本题满分 14 分）
5
已知函数 f x a ln x 1 a x 1 x2, a R
2
（1）当 0 a 1时，求函数 f x 的单调区间；
（2）已知 f x 0 对定义域内的任意 x 恒成立，求实数 a 的范围.
（1）求 a, b 的值；（2）求函数 f (x) 的极小值.
26.（本小题满分 13 分）已知定义在正实数集上的函数 f (x) 1 x2 2ex , g(x) 3e2 ln x b （其中 e 为常数， e 2.71828 ）,若这两个函数
高考数学导数的概念与运算选择题
高考数学导数的概念与运算选择题1. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率2. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的导数是（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列关于导数的定义，错误的是（）A. 函数f(x)在某一点x0处的导数定义为f(x0+h)-f(x0)/h，当h趋近于0时B. 导数表示函数在某一点的瞬时变化率C. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率D. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率4. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值25. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-16. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率7. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值28. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-19. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率10. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值211. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-112. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率13. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值214. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-115. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率16. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值217. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-118. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率19. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值220. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-121. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率22. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1D. 最大值3，最小值223. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-124. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率25. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值126. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-127. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率28. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值229. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-130. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率31. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值232. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-133. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率34. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值235. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-136. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率37. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值238. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-139. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率40. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值241. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1C. y=-2x+1D. y=-2x-142. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率43. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值244. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1D. y=-2x-145. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率46. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值247. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+148. 下列关于导数的说法中正确的是（）A. 导数是函数在某一点的瞬时变化率B. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率C. 导数表示函数在某一点的切线斜率，同时也可以表示函数在某一点的瞬时变化率D. 导数可以表示函数在某一点的切线斜率，但不是瞬时变化率49. 函数f(x)在x=1处的导数f'(1)为2，则f(x)在区间[1, 2]上的最大值和最小值分别是（）A. 最大值4，最小值2B. 最大值3，最小值1C. 最大值2，最小值1D. 最大值3，最小值250. 设函数f(x)在x=1处可导，且f'(1)=2，则f(x)在x=1处的切线方程为（）A. y=2x-1B. y=2x+1C. y=-2x+1D. y=-2x-1。
导数定义练习题
导数定义练习题一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1在点x = 2处的导数是：A. 4B. 6C. 8D. 102. 函数y = 3x^2 + 4x + 1的导函数是：A. y' = 6x + 4B. y' = 6x + 1C. y' = 6x^2 + 4xD. y' = 3x + 43. 函数f(x) = sin(2x)在点x = π/4处的导数是：A. -1B. 0C. 1D. 24. 函数y = √x的导函数是：A. y' = 1/(2√x)B. y' = 1/2√xC. y' = √xD. y' = 2√x二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x) = 3x^3 - 2x在点x = -1处的导数是：\[f'(x) = \underline{\hspace{1cm}}\]2. 设函数y = e^x + 3x，求y的导函数：\[y' = \underline{\hspace{1cm}}\]3. 函数f(x) = ln(x^2 + 1)在点x = 1处的导数是：\[f'(x) = \underline{\hspace{1cm}}\]4. 设函数y = (x^2 + 1)^3，求y的导函数：\[y' = \underline{\hspace{1cm}}\]三、简答题（每题10分，共30分）1. 什么是导数的几何意义？\[\text{答案略}\]2. 导数的定义是什么？\[\text{答案略}\]3. 如何计算导数？\[\text{答案略}\]四、解答题（每题20分，共30分）1. 设函数y = x^3 - 4x^2 + 2x + 1，计算y'。
\[\text{答案略}\]2. 设函数y = 2^x + 3x^2，求y'。
\[\text{答案略}\]3. 设函数y = ln(x^3 - 2x^2 + x + 1)，求y'。
高二导数选择题专项训练100题有答案
导数专项训练100题 姓名：一、选择题：1.函数221y x =+在闭区间[1,1]x+∆内的平均变化率为（ ） A.12x +∆ B.2x +∆ C.32x +∆ D.42x +∆2. 若函数2y x=，则当1x =-时，函数的瞬时变化率为（ ）A.1B.1-C.2D.2-3. 函数31y x x=-的导数'y =（ ）A.2213x x -B.1332x -C.2213x x +D.221x x + 4. 已知函数()ln f x x =，则'()ef e 的值等于（ ）A.1B.eC.1eD.2e 5. 已知函数2()22f x x x =-+在区间[1,1],[1,1](01)x x x -∆+∆<∆<的平均变化率分别为12,k k ，则下列关系成立的是（ ） A.120k k +=B.120k k +<C.120k k +<D.120k k ->6.()f x 在(,)a b 内可导，则'()0f x <是()f x 在(,)a b 内单调递减的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件7.函数214yx x=+的单调增区间为（ ） A.(0,)+∞ B.1(,)2+∞C.(,1)-∞-D.1(,)2-∞-8.在下列结论中，正确的结论共有（ ）(1) 单调增函数的导数也是单调增函数； （3）单调减函数的导数也是单调减函数； (2) 单调函数的导数也是单调函数； （4）导函数是单调的，则原函数也是单调的。
A.0个 B.2个 C.3个 D.4个 9. 若在区间(,)a b 内有'()0f x >，且()0f a ≥，则在(,)a b 内有（ ）A.()0f x >B.()0f x <C.()0f x =D.不能确定10. 三次函数3()1yf x ax ==-在(,)-∞+∞内是减函数，则（ ）A.1a =B.2a =C.13a = D.0a <11.已知函数(),()f x g x 都是(,)a b 上的可导函数，在[,]a b 上连续且'()'(),()()f x g x f a g a >=，则当(,)x a b ∈时有（ ）A.()()f x g x >B.()()f x g x <C.()()f x g x =D.大小关系不能确定12.3()3f x x x =-为递增函数的区间是（ ） A.(,1)-∞- B.(1,)+∞ C.(1,1)-D.(,1)(1,)-∞-+∞13.设32()(0)f x ax bx cx d a =+++>，则()f x 为增函数的充要条件是（ ）A.240b ac ->B.0,0b c >>C.0,0b c =>D.230b ac -<14.下列说法正确的是（ ） A. 当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极大值 B. 当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极小值 C. 当0'()0f x =时，则0()f x 为()f x 的极值 D. 当0()f x 为()f x 的极值时，0'()0f x =.15.已知函数()1sin ,(0,2)f x x xx π=+-∈，则函数()f x （ ） A. 在(0,2)π上是增函数, B. 在(0,2)π上是减函数C. 在(0,2)π上是增函数，在(,2)ππ上是减函数D. 在(0,2)π上是减函数，在(,2)ππ上是增函数 16.若函数()f x 可导，则“'()0f x =有实根”是“()f x 有极值”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件17.已知函数()y f x =是定义在区间[,]a b 上的连续函数，在开区间(,)a b 内可导，且'()0f x >，则在(,)a b 上下列各结论中正确的是（ ） A.()f a 是极小值，()f b 是极大值 B. ()f a 是极大值，()f b 是极小值 C. ()f x 有极值，但不是(),()f a f b D. ()f x 没有极值18.函数3()33f x x bx b=-+在(0,1)内有极小值，则（ ）A.0b <B.1b <C.0b >D.12b <19.三次函数当1x=时有极大值4，当3x =时有极小值0，且函数过原点，则此函数是（ ） A.3269y x x x =++ B.3269y x x x =-+ C.3269y x x x =-- D.3269y x x x =+-20.函数3()3(||1)f x x x x =-<，那么（ ）A. 有最大值，无最小值B. 有最大值，也有最小值C. 无最大值，也无最小值D. 既有最大值，又有最小值 21.若(3)2,'(3)2f f ==-，则323()lim3x x f x x →--的值为（ ）A.4-B.8C.0D.322.若函数()f x 为可导函数，且满足0(1)(1)lim12x f f x x→--=，则过曲线()f x y =上的点(1,(1))f 处的切线的斜率为（ ）A.2B.1-C.1D.2-23.若曲线4()2f x x x =-+在点P 处的切线与直线310x y +-=垂直，则点P 的坐标为（ ） A.(1,0) B.(1,2) C.(1,4)- D.(1,0)- 24.已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为（ ）A.2()(1)3(1)f x x x =-+-B.()2(1)f x x =-C.2()2(1)f x x =-D.()1f x x =- 25.曲线cos y x =和tan y x =交点处两曲线的切线的交角为（ ）A.3π B.4π C.4π D.2π26.如果过曲线313yx =上点P 的切线l 的方程为12316x y -=，那么点P 的坐标为（ ） A.8(2,)3 B.4(1,)3- C.28(1,)3-- D.20(3,)327.如果一直线过原点且与曲线11y x =+相切与点P ，那么切点P 的坐标为（ ）A.1(,2)2-B.12(,)23-C.(2,1)--D.1(2,)328.若在曲线sin (0)y x x π=<<上取一点M ，使过M点的切线与直线y x =平行，则点M 的坐标为（ ）A.(3πB.(,3π±C.1(,)62πD.(6π 29.若函数()f x 既是周期函数又是偶函数，则其导函数'()f x 为（ ）A. 既是周期函数，又是偶函数B. 既是周期函数，又是奇函数C. 不是周期函数，但是偶函数D. 不是周期函数，但是奇函数30.已知抛物线2y ax bx c =++过点(1,1)，且在点(2,1)-处的切线方程为3y x =-，则a 、b 、c 的值分别是（ ） A.3,11,9- B.11,3,9- C.9,11,3- D.9,3,11-31.如果一个球的半径r 以0.2/cm s 的速度增加，那么当球的半径20r cm =时，它的体积增加的速度为（ ）3/cm s A.310π B.320π C.330π D.360π32.若函数()f x 在0x 处可导，则000()()lim h f x f x h h→--为（ ）A.(0)fB.'(0)fC.0'()f xD.0'()f x -33.若函数()f x 在0x 处可导，那么000()()lim x x f x f x x x →--为（ ）A.可能不存在B.0'()f x -C.0'()f xD.0()f x34.若函数()f x 在x a =处可导，且'()f a m =，则(2)(2)limx a f x a f a x x a →----为（ ） A.m B.2mC.3mD.m -35. 若f (x )=sin α－cos x ,则f ‘(α)等于（ ） A 、sin αB 、cos αC 、sin α+cos αD 、2sin α36.f (x )=ax 3+3x 2+2,若f ‘(－1)=4,则a 的值等于（ ）A 、319 B 、316 C 、313 D 、310 37．f (x )与g(x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x ),g(x )满足f ′(x )=g ′(x ),则f (x )与g (x )满足（ ）A 、f (x )=g (x )B 、f (x )－g (x )为常数函数C 、f (x )=g (x )=0D 、f (x )+g (x )为常数函数38. 曲线()nyx n N =∈在点P 2n）处切线斜率为20，那么n 为 （ ）A ． 7B ．6C ．5D ．439.函数()f x = （ ）A ．0)x > B ．0)x > C 0)x > D ．0)x >40.函数f(x)=(x+1)(x 2-x+1)的导数是 （ ）A ． x 2-x+1B ．(x+1) (2x-1)C ．3x 2D ．3x 2+141.函数yx =的导数为 （ ）A ．'y x x = B ．'y x =C.'y x = D ．'y x = 42.函数y= （ ）A ．'2cos sin x x x y x += B.'2cos sin x x x y x -=． C.'2sin cos x x x y x -= D ．'2sin cos x x x y x +=43.函数21(31)y x =-的导数是 （ ） A ．'36(31)y x =- B ．'26(31)y x =- C.'36(31)y x =-- D ．'26(31)y x =--44.函数3sin (3)4y x π=+的导数 （ ）A.23sin (3)cos(3)44x x ππ++B.29sin (3)cos(3)44x x ππ++C.29sin (3)4x π+D.29sin (3)cos(3)44x x ππ-++ 45.下列导数数运算正确的是 （ ）A ．'211()1x x x +=+ B ．'21(log )ln 2x x = C.'3(3)3log x xe = D ．2'(cos )2sin x x x x =-46.函数2ln(32)y x x =--的导数 （ ）A ．23x + B ．2132x x -- C ．22223x x x ++- D ．22223x x x -+-47.函数22(0,1)x xy aa a -=>≠，那么'y 为 （ ）A ． 22ln xxa a - B ．222ln xxa a - C.222(1)ln xxx a a -- D ．22(1)ln xxx a a --48.若000(2)()13limx f x x f x x∆→+∆-=∆，则'0()f x = （ ）A ．23B ．32C ．3D ．249. 已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x0∈（a，b）则hhxfhxfn)()(lim--+→的值为（）A、f’(x0)B、2 f’(x0)C、-2 f’(x0)D、050.f(x)=ax3+3x2+2，若f’(-1)=4，则a的值为（）A．19/3 B.16/3 C.13/3 D.10/351.设y=8x2-lnx，则此函数在区间(0,1/4)和(1/2,1)内分别为（）A．单调递增，单调递减 B、单调递增，单调递增 C、单调递减，单调递增 D、单调递减，单调递减52.设y=tanx，则y’=( )A.sec2xB.secx·tanxC.1/(1+x2)D.-1/(1+x2)53.曲线y=x3+x-2 在点P0处的切线平行于直线y=4x-1，则点P0点的坐标是（）54．(0,1) B.(1,0) C.(-1,0) D.(1,4)54.给出下列命题：（1）若函数f(x)=|x|，则f’(0)=0；（2）若函数f(x)=2x2+1，图像上P(1,3)及邻近上点Q(1+Δx,3+Δy)，则xy∆∆=4+2Δx；（3）加速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数；（4）y=2cosx+lgx，则y’=-2cosx·sinx+x1.其中正确的命题有（）A. 0个B.1个C.2个 D。
导数练习题带答案
导数及其应用一、选择题1.一点的导数值为0是函数yf （x ）在这点取极值的（A.成正比，比例系数为 C C.成反比，比例系数为 cB.成正比，比例系数为2C D.成反比，比例系数为2C,）上是单调函数，则实数a 的取值范围是(,、3) (-3, )D .0 3)7. —点沿直线运动，如果由始点起经过刻是A. 1秒末B. 0秒8. 下列等于1的积分是A 充分条件B 必要条件C 充要条件D 必要非充分条件2.y=2x 2 ±一点，则p 处的瞬时变化率为1A . 2 B. 4C. 6 D.-2A.・1 B . 0 C ・1 4.已知函数f （X ） a x 1(x 0） ，右lim f （x ）存在，则 f( 2)x a(x 0)xuA. 4ln25c.2D.R4323•设函数f （X ）二X ・X ，则f （1）的值为（ ） 5•设球的半径为时间t 的函数R t o 若球的体积以均匀速度已知点P(1,2)是曲线()D.5 11】I1I24c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径 A (,3][3, )B. [ .3, 3]1 A. xdx1 B. 0(x 1)dx 1C. 1dx函数y f(x)在)6.已知函数f （X ）3x ax 2x 1 在( t 秒后的距离为s it 44C. 4秒末平那么速度为零的时 3（）D. 0,1,4 秒末9叽10;.——- 的值是A.不存在B.0C.2D.10110. o (e x e x)dx =1 2 1A. eB. 2eC.D. e -e e e二、填空题11. ___________________________________________________________ 设f(x) (1 x)6(1 X)5，则函数f(x)中X?的系数是___________________________________________ 。
12. 过原点作曲线y ex的切线，则切点的坐标为_________________ ，切线的斜率为13. 曲线y=x3在点(1,1)切线方程为_______________ •1 32 ，”14. 函数f(x) —ax 2ax x在R上单调递增，则实数a的取值范围为________________________3三、解答题2215. 设函数f(x) (1 x) ln(1 x)(1) 求函数f (x)的单调区间；1(2) 若当x ［1,e 1 ］时，不等式f (x) m恒成立，求实数m的取值范围；e(3) 若矢于X的方程f (x) x2 x a在区间［0,2］上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围。
导数选填题-【2023高考必备】2013-2022十年高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版)
16．(2022新高考全国I卷·第12题)已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 ， 均为偶函数，则()
A． B． C． D．
17．(2022新高考全国I卷·第10题)已知函数 ，则()
A． 有两个极值点B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心D．直线 是曲线 的切线
三、填空题
18．(2022年全国乙卷理科·第16题)已知 和 分别是函数 ( 且 )的极小值点和极大值点．若 ，则a的取值范围是____________．
2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编
专题03导数选填题
一、选择题
1．(2022年全国甲卷理科·第6题)当 时，函数 取得最大值 ，则 ()
A B． C． D．1
2．(2022新高考全国I卷·第7题)设 ，则()
A． B． C． D．
3．(2021年新高考Ⅰ卷·第7题)若过点 可以作曲线 的两条切线，则()
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
22．(2021年高考全国甲卷理科·第13题)曲线 在点 处的切线方程为__________．
23．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第13题)曲线 在点 处的切线方程为．
24．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第14题)曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ．
14．(2013高考数学新课标2理科·第10题)已知函数 ，下列结论中错误的是()
A．
B．函数 的图象是中心对称图形
C．若 是 的极小值点，则 在区间 上单调递减
D．若 是 的极值点，则
15．(2013高考数学新课标1理科·第11题)已知函数 = ，若| |≥ ，则 的取值范围是()
高三 导数—选择、填空(一)
金牌数学高三专题系列之 基础导数1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零.②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇.2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件.可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续.事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x .于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→ ).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f xx f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的.例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为xx x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆x y ，故x y x ∆∆→∆0lim 不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-4. 常用的导数公式：⑴0'=C (C 为常数)； ⑵1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；⑶x x cos )'(sin =； ⑷x x sin )'(cos -=；⑸*x x x 22sec cos 1)'(tan ==； ⑹*x xx 22csc sin 1)'(cot -==； ⑺x x e e =)'(； ⑻a a a x x ln )'(=；⑼x x 1)'(ln =； ⑽e xx a a log 1)'(log =．5.求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒ ''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫ ⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.题型一：选择题例1.【湖南，文8】设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是 ( )A ．奇函数，且在（0,1）上是增函数B ．奇函数，且在（0,1）上是减函数C ．偶函数，且在（0,1）上是增函数D ．偶函数，且在（0,1）上是减函数拓展练习1.【山东卷文科4】曲线113+=x y 在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是 ( )A ．-9B ．-3C ．9D ．152.【江西卷文科4】曲线x y e =在点A （0,1）处的切线斜率为 ( )A ．1B ．2C ．eD ．1e 3.【江西卷文】若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于 ( ) A ．1-或25-64 B ．1-或214 C ．74-或25-64D ．74-或7题型二 ：填空题例2.【陕西文科】函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________．拓展练习1.【新课标2文科】已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a = ． 2.【天津文科】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ．3.【新课标1，文14】已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = ．题型三 ：综合解答例3.【重庆，文19】已知函数32()f x ax x =+（a R ∈）在x =43-处取得极值. (Ⅰ)确定a 的值，(Ⅱ)若()()x g x f x e =，讨论的单调性..拓展练习1.设函数321()(1)4243f x x a x ax a =--++，其中常数a >1 (Ⅰ)讨论()f x 的单调性;(Ⅱ)若当x ≥0时，()f x >0恒成立，求a 的取值范围。
专题04导数及其应用选择填空题(解析版)
大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新课标文科卷）专题04导数及其应用选择填空题1．【2022年全国甲卷文科08】当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值−2，则f′(2)=（）A．−1B．−12C．12D．1【答案】B【解析】因为函数f(x)定义域为(0,+∞)，所以依题可知，f(1)=−2，f′(1)=0，而f′(x)=ax−bx2，所以b=−2,a−b=0，即a=−2,b=−2，所以f′(x)=−2x+2x2，因此函数f(x)在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，x=1时取最大值，满足题意，即有f′(2)=−1+12=−12．故选：B.2．【2021年全国乙卷文科12】设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则（）A．a<b B．a>b C．ab<a2D．ab>a2【答案】D若a=b，则f(x)=a(x−a)3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a≠b.依题意，x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，当a<0时，由x>b，f(x)≤0，画出f(x)的图象如下图所示：由图可知b<a，a<0，故ab>a2.真题汇总当a>0时，由x>b时，f(x)>0，画出f(x)的图象如下图所示：由图可知b>a，a>0，故ab>a2.综上所述，ab>a2成立.故选：D3．【2019年新课标3文科07】已知曲线y＝ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣1B．a＝e，b＝1C．a＝e﹣1，b＝1D．a＝e﹣1，b＝﹣1【答案】解：y＝ae x+xlnx的导数为y′＝ae x+lnx+1，由在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，可得ae+1+0＝2，解得a＝e﹣1，又切点为（1，1），可得1＝2+b，即b＝﹣1，故选：D．4．【2019年新课标2文科10】曲线y＝2sin x+cos x在点（π，﹣1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣π﹣1＝0B．2x﹣y﹣2π﹣1＝0C．2x+y﹣2π+1＝0D．x+y﹣π+1＝0【答案】解：由y＝2sin x+cos x，得y′＝2cos x﹣sin x，∴y′|x＝π＝2cosπ﹣sinπ＝﹣2，∴曲线y＝2sin x+cos x在点（π，﹣1）处的切线方程为y+1＝﹣2（x﹣π），即2x+y﹣2π+1＝0．故选：C．5．【2019年新课标1文科05】函数f（x）=sinx+x在[﹣π，π]的图象大致为（）cosx+x2A．B．C．D．【答案】解：∵f（x）=sinx+xcosx+x2，x∈[﹣π，π]，∴f（﹣x）=−sinx−xcos(−x)+x2=−sinx+xcosx+x2=−f（x），∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；又f（π）=sinπ+πcosπ+π2=π−1+π2＞0，因此排除B，C；故选：D．6．【2018年新课标1文科06】设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x【答案】解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y＝x．故选：D．7．【2018年新课标2文科03】函数f（x）=e x−e−xx2的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】解：函数f（﹣x）=e −x−e x(−x)2=−e x−e−xx2=−f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x＝1时，f（1）＝e−1e＞0，排除D．当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，故选：B．8．【2018年新课标3文科09】函数y＝﹣x4+x2+2的图象大致为（）A．B．C ．D ．【答案】解：函数过定点（0，2），排除A ，B ． 函数的导数f ′（x ）＝﹣4x 3+2x ＝﹣2x （2x 2﹣1）， 由f ′（x ）＞0得2x （2x 2﹣1）＜0， 得x ＜−√22或0＜x ＜√22，此时函数单调递增， 由f ′（x ）＜0得2x （2x 2﹣1）＞0， 得x ＞√22或−√22＜x ＜0，此时函数单调递减，排除C ，也可以利用f （1）＝﹣1+1+2＝2＞0，排除A ，B ， 故选：D ．9．【2017年新课标1文科08】函数y =sin2x1−cosx 的部分图象大致为（ ）A ．B．C．D．【答案】解：函数y=sin2x1−cosx，可知函数是奇函数，排除选项B，当x=π3时，f（π3）=√321−12=√3，排除A，x＝π时，f（π）＝0，排除D．故选：C．10．【2017年新课标1文科09】已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则（）A．f（x）在（0，2）单调递增B．f（x）在（0，2）单调递减C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称D．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称【答案】解：∵函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），∴f（2﹣x）＝ln（2﹣x）+lnx，即f（x）＝f（2﹣x），即y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，故选：C．11．【2017年新课标2文科08】函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，﹣1）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【答案】解：由x2﹣2x﹣8＞0得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞），令t＝x2﹣2x﹣8，则y＝lnt，∵x∈（﹣∞，﹣2）时，t＝x2﹣2x﹣8为减函数；x∈（4，+∞）时，t＝x2﹣2x﹣8为增函数；y＝lnt为增函数，故函数f（x）＝ln（x2﹣2x﹣8）的单调递增区间是（4，+∞），故选：D．12．【2017年新课标3文科07】函数y＝1+x+sinx的部分图象大致为（）x2A．B．C．D．【答案】解：函数y＝1+x+sinxx2，可知：f（x）＝x+sinxx2是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y＝1+x+sinxx2的图象关于（0，1）对称，当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，当x＝π时，y＝1+π，排除B．故选：D．13．【2017年新课标3文科12】已知函数f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a＝（）A．−12B．13C．12D．1【答案】解：因为f（x）＝x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）＝﹣1+（x﹣1）2+a（e x﹣1+1e x−1）＝0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2＝a（e x﹣1+1e x−1）有唯一解，等价于函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（e x﹣1+1e x−1）的图象只有一个交点．①当a＝0时，f（x）＝x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a＜0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y＝a（e x﹣1+1e x−1）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（e x﹣1+1e x−1）的图象的最高点为B（1，2a），由于2a＜0＜1，此时函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象与y＝a（e x﹣1+1）的图象有两个交点，矛盾；e x−1③当a＞0时，由于y＝1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，且y＝a（e x﹣1+1e x−1所以函数y＝1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y＝a（e x﹣1+1）的图象的最低点为B（1，2a），e x−1由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a＝1，即a=1，符合条件；2，综上所述，a=12故选：C．14．【2016年新课标1文科09】函数y＝2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】解：∵f（x）＝y＝2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）＝2（﹣x）2﹣e|﹣x|＝2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x＝±2时，y＝8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）＝y＝2x2﹣e x，∴f′（x）＝4x﹣e x＝0有解，故函数y＝2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．15．【2016年新课标1文科12】若函数f（x）＝x−1sin2x+a sin x在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范3围是（）A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，13]C ．[−13，13]D ．[﹣1，−13]【答案】解：函数f （x ）＝x −13sin2x +a sin x 的导数为f ′（x ）＝1−23cos2x +a cos x ，由题意可得f ′（x ）≥0恒成立， 即为1−23cos2x +a cos x ≥0， 即有53−43cos 2x +a cos x ≥0，设t ＝cos x （﹣1≤t ≤1），即有5﹣4t 2+3at ≥0， 当t ＝0时，不等式显然成立； 当0＜t ≤1时，3a ≥4t −5t ，由4t −5t 在（0，1]递增，可得t ＝1时，取得最大值﹣1， 可得3a ≥﹣1，即a ≥−13； 当﹣1≤t ＜0时，3a ≤4t −5t ，由4t −5t 在[﹣1，0）递增，可得t ＝﹣1时，取得最小值1， 可得3a ≤1，即a ≤13．综上可得a 的范围是[−13，13]．另解：设t ＝cos x （﹣1≤t ≤1），即有5﹣4t 2+3at ≥0， 由题意可得5﹣4+3a ≥0，且5﹣4﹣3a ≥0， 解得a 的范围是[−13，13]． 故选：C ．16．【2014年新课标1文科12】已知函数f （x ）＝ax 3﹣3x 2+1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞）B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣2）【答案】解：∵f （x ）＝ax 3﹣3x 2+1，∴f ′（x ）＝3ax 2﹣6x ＝3x （ax ﹣2），f （0）＝1； ①当a ＝0时，f （x ）＝﹣3x 2+1有两个零点，不成立；②当a ＞0时，f （x ）＝ax 3﹣3x 2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立； ③当a ＜0时，f （x ）＝ax 3﹣3x 2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=2a时，f（x）＝ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（2a ）=8a2−3•4a2+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．17．【2014年新课标2文科03】函数f（x）在x＝x0处导数存在，若p：f′（x0）＝0：q：x＝x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】解：函数f（x）＝x3的导数为f'（x）＝3x2，由f′（x0）＝0，得x0＝0，但此时函数f（x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x＝x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C．18．【2014年新课标2文科11】若函数f（x）＝kx﹣ln x在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，﹣1]C．[2，+∞）D．[1，+∞）【答案】解：f′（x）＝k−1x，∵函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．∴k≥1x，而y=1x在区间（1，+∞）上单调递减，∴k≥1．∴k的取值范围是：[1，+∞）．故选：D．19．【2013年新课标1文科09】函数f（x）＝（1﹣cos x）sin x在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】解：由题意可知：f（﹣x）＝（1﹣cos x）sin（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故可排除B，又因为当x∈（0，π）时，1﹣cos x＞0，sin x＞0，故f（x）＞0，可排除A，又f′（x）＝（1﹣cos x）′sin x+（1﹣cos x）（sin x）′＝sin2x+cos x﹣cos2x＝cos x﹣cos2x，故可得f′（0）＝0，可排除D，故选：C．20．【2013年新课标2文科11】已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A．∃x0∈R，f（x0）＝0B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递减D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0【答案】解：A 、对于三次函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c ，A ：由于当x →﹣∞时，y →﹣∞，当x →+∞时，y →+∞， 故∃x 0∈R ，f （x 0）＝0，故A 正确；B 、∵f （−2a 3−x ）+f （x ）＝（−2a 3−x ）3+a （−2a3−x ）2+b （−2a3−x ）+c +x 3+ax 2+bx +c =4a 327−2ab 3+2c ，f （−a3）＝（−a3）3+a （−a3）2+b （−a3）+c =2a 327−ab 3+c ，∵f （−2a 3−x ）+f （x ）＝2f （−a3），∴点P （−a3，f （−a3））为对称中心，故B 正确． C 、若取a ＝﹣1，b ＝﹣1，c ＝0，则f （x ）＝x 3﹣x 2﹣x ， 对于f （x ）＝x 3﹣x 2﹣x ，∵f ′（x ）＝3x 2﹣2x ﹣1∴由f ′（x ）＝3x 2﹣2x ﹣1＞0得x ∈（﹣∞，−13）∪（1，+∞） 由f ′（x ）＝3x 2﹣2x ﹣1＜0得x ∈（−13，1）∴函数f （x ）的单调增区间为：（﹣∞，−13），（1，+∞），减区间为：（−13，1），故1是f （x ）的极小值点，但f （x ）在区间（﹣∞，1）不是单调递减，故C 错误； D ：若x 0是f （x ）的极值点，根据导数的意义，则f ′（x 0 ）＝0，故D 正确． 由于该题选择错误的，故选：C ．21．【2020年全国1卷文科15】曲线y =lnx +x +1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】y =2x【解析】设切线的切点坐标为(x0,y0),y=lnx+x+1,y′=1x+1，y′|x=x0=1x0+1=2,x0=1,y0=2，所以切点坐标为(1,2)，所求的切线方程为y−2=2(x−1)，即y=2x.故答案为：y=2x.22．【2020年全国3卷文科15】设函数f(x)=e xx+a ．若f′(1)=e4，则a=_________．【答案】1【解析】由函数的解析式可得：f′(x)=e x(x+a)−e x(x+a)2=e x(x+a−1)(x+a)2，则：f′(1)=e1×(1+a−1)(1+a)2=ae(a+1)2，据此可得：ae(a+1)2=e4，整理可得：a2−2a+1=0，解得：a=1.故答案为：1.23．【2019年新课标1文科13】曲线y＝3（x2+x）e x在点（0，0）处的切线方程为．【答案】解：∵y＝3（x2+x）e x，∴y'＝3e x（x2+3x+1），∴当x＝0时，y'＝3，∴y＝3（x2+x）e x在点（0，0）处的切线斜率k＝3，∴切线方程为：y＝3x．故答案为：y＝3x．24．【2018年新课标2文科13】曲线y＝2lnx在点（1，0）处的切线方程为．【答案】解：∵y＝2lnx，∴y′=2x，当x＝1时，y′＝2∴曲线y＝2lnx在点（1，0）处的切线方程为y＝2x﹣2．故答案为：y＝2x﹣2．25．【2017年新课标1文科14】曲线y＝x2+1x在点（1，2）处的切线方程为．【答案】解：曲线y＝x2+1x ，可得y′＝2x−1x2，切线的斜率为：k＝2﹣1＝1．切线方程为：y﹣2＝x﹣1，即：x﹣y+1＝0．故答案为：x﹣y+1＝0．26．【2016年新课标3文科16】已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e﹣x﹣1﹣x，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是．【答案】解：已知f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝e﹣x﹣1﹣x，设x＞0，则﹣x＜0，∴f（x）＝f（﹣x）＝e x﹣1+x，则f′（x）＝e x﹣1+1，f′（1）＝e0+1＝2．∴曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程是y﹣2＝2（x﹣1）．即y＝2x．故答案为：y＝2x．27．【2015年新课标1文科14】已知函数f（x）＝ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a＝．【答案】解：函数f（x）＝ax3+x+1的导数为：f′（x）＝3ax2+1，f′（1）＝3a+1，而f（1）＝a+2，切线方程为：y﹣a﹣2＝（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2＝（3a+1）（2﹣1），解得a＝1．故答案为：1．28．【2015年新课标2文科16】已知曲线y＝x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，则a＝．，【答案】解：y＝x+lnx的导数为y′＝1+1x曲线y＝x+lnx在x＝1处的切线斜率为k＝2，则曲线y＝x+lnx在x＝1处的切线方程为y﹣1＝2x﹣2，即y＝2x﹣1．由于切线与曲线y＝ax2+（a+2）x+1相切，故y＝ax2+（a+2）x+1可联立y＝2x﹣1，得ax2+ax+2＝0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△＝a 2﹣8a ＝0， 解得a ＝8． 故答案为：8．1．已知函数f (x )=a e x +b (a,b ∈R )在点(0,f (0))处的切线方程为y =3x +2，则2a +b =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．5【答案】D 【解析】由f (x )=a e x +b ，则f ′(x )=a e x ，所以{f (0)=2=a +b,f ′(0)=3=a,解得：a =3，b =−1，所以2a +b =5 .故选：D.2．已知函数f (x )=−xln2−x 3，则不等式f (3−x 2)>f (2x −5)的解集为（ ） A ．(−4,2)B ．(−2,2)C ．(−∞,−2)∪(2,+∞)D ．(−∞,−4)∪(2,+∞)【答案】D 【解析】f(x)的定义域为(−∞,+∞)，因为f ′(x)=−ln2−3x 2 <0，所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递减，所以不等式f (3−x 2)>f (2x −5)等价于3−x 2<2x −5，解得x <−4或x >2， 所以不等式f (3−x 2)>f (2x −5)的解集为(−∞,−4)∪(2,+∞). 故选：D3．已知x 0是函数f(x)=13x −2sin x cos x 的一个极值点，则tan 2x 0的值是（ ）A ．1B ．12C ．37D ．57【答案】D 【解析】f ′(x)=13−2cos 2x,∴cos 2x 0=16∴2cos 2x 0−1=16， ∴cos 2x 0=712，∴sin 2x 0=1−cos 2x 0=512，模拟好题∴tan2x0=sin2x0cos2x0=57故选：D4．已知函数f(x)=e x−e2lnx，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为（）A．e x+2y−e=0B．e x−2y+e=0C．e x−2y−e=0D．e x+2y+e=0【答案】B【解析】∵f′(x)=e x−e2x ，∴f′(1)=e−e2=e2.又f(1)=e1−e2×ln1=e，切点为(1,e)所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f′(1)=e2，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−e=e2(x−1)，即e x−2y+e=0.故选：B.5．已知函数g(x)=lnx+34x −14x−1，f(x)=x2−2tx+4，若对任意的x1∈(0,2)存在x2∈[1,2]，使g(x1)≥f(x2)，则实数t的取值范围是（）A．[2,178]B．[178,+∞)C．[114,+∞)D．[3√22,+∞)【答案】B【解析】因为对任意的x1∈(0,2)存在x2∈[1,2]，使g(x1)≥f(x2)成立，即g(x)min≥f(x)min，由函数g(x)=lnx+34x −14x−1，可得g′(x)=1x−34x2−14=−(x−1)(x−3)4x2,0<x<2，当x∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(1,2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以当x=1时，函数g(x)取得最小值，最小值为g(1)=−12，又由函数f(x)=x2−2tx+4=(x−t)2+4−t2,x∈[1,2]，当t<1时，函数f(x)在[1,2]上单调递增，f(x)min=f(1)=5−2t，即5−2t≤−12，解得t≥114，不成立，舍去；当1≤t ≤2时，函数f (x )在[1,t]上单调递减，[t,2]上单调递增，f (x )min =f (t )=4−t 2，即4−t 2≤−12，解得t ≥3√22或t ≤−3√22，不成立，舍去；当t >2时，函数f (x )在[1,2]上单调递减，f (x )min =f (2)=8−4t ， 即8−4t ≤−12，解得t ≥178，综上可得，实数t 的取值范围是[178,+∞). 故选：B.6．设直线x =t 与函数f(x)=2x 2,g(x)=lnx 的图像分别交于点M,N ，则|MN |的最小值为（ ） A ．12+ln2B ．3ln2−1C ．e2−1D ．12【答案】A 【解析】由题意M(t,2t 2)，N(t,lnt)，所以|MN |=|2t 2−lnt |，令ℎ(t)=2t 2−lnt ，则ℎ′(t)=4t −1t=4t 2−1t ，当0<t <12时，ℎ′(t)<0，当t >12时，ℎ′(t)>0，所以ℎ(t)min =ℎ(12)=12+ln2， 即|MN|的最小值为12+ln2， 故选：A.7．已知函数f (x )=e x +ax 2+2ax 在x ∈(0,+∞)上有最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(12,+∞)B ．(−e 2,−12)C ．(−1,0)D ．(−∞,−12)【答案】D 【解析】解：∵f(x)=e x +ax 2+2ax ， ∴f ′(x)=e x +2ax +2a ，若函数f(x)在x ∈(0,+∞)上有最小值， 即f(x)在(0,+∞)先递减再递增， 即f ′(x)在(0,+∞)先小于0，再大于0， 令f ′(x)<0，得e x <−2a(x +1)， 令g(x)=e x ，ℎ(x)=−2a(x +1)，只需ℎ(x)的斜率−2a 大于过(−1,0)的g(x)的切线的斜率即可，设切点是(x 0，e x 0)，则切线方程是：y −e x 0=e x 0(x −a)， 将(−1,0)代入切线方程得：x 0=0， 故切点是(0,1)，切线的斜率是1，只需−2a >1即可，解得a <−12，即a ∈(−∞,−12)， 故选：D ．8．已知函数f(x)为定义在R 上的增函数，且对∀x ∈R,f(x)+f(−x)=1，若不等式f(ax)+f(−lnx)≥1对∀x ∈(0,+∞)恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,e ] B ．(−∞,e ]C ．(0,1e]D ．[1e,+∞)【答案】D 【解析】∵∀x ∈R ，f(x)+f(−x)=1，∴f(−lnx)=1−f(lnx)， ∵不等式f(ax)+f(−lnx)≥1对∀x ∈(0,+∞)恒成立， ∴f(ax)≥f(lnx)对∀x ∈(0,+∞)恒成立，∵函数f(x)为定义在R 上的增函数，∴ax ≥lnx ，化为：a ≥lnx x，令g(x)=lnx x,x ∈(0,+∞)，则g ′(x)=1−lnx x 2，x ∈(0,e)时，g ′(x)>0，此时函数g(x)单调递增；x ∈(e,+∞)时，g ′(x)<0，此时函数g(x)单调递减. ∴x =e 时，函数g(x)取得极大值. g(x)max =g(e )=1e .∴a ≥1e.则实数a 的取值范围是[1e,+∞).故选：D.9．已知函数f (x )=−e x +ax −e 2有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(0,e 2) B ．(0,e ) C ．(e ,+∞) D ．(e 2,+∞)【答案】D 【解析】f′(x)=−e x+a，当a≤0时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，此时f(x)至多一个零点，不符合题意；当a>0时，令f′(x)=0，则x=lna，当x∈(−∞,lna)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(lna，+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，因为f(x)有两个零点，所以f(lna)=alna−a−e2>0，令g(a)=alna−a−e2,a>0，则g′(a)=lna，令g′(a)<0解得0<a<1，令g′(a)>0，解得a>1，所以g(a)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，且当0<a<1时，g(a)<0，g(1)=−1−e2<0，g(e2)=0，所以a>e2.故选：D.10．已知x∈(0,π2)，且ax<sinx<bx恒成立，则b−a的最小值为（）A．1B．π2C．π2−1D．1−2π【答案】D 【解析】由ax<sinx，x∈(0,π2)得：a<sinxx；令f(x)=sinxx (0<x<π2)，∴f′(x)=xcosx−sinxx2，令g(x)=xcosx−sinx(0<x<π2)，则g′(x)=−xsinx<0，∴g(x)在(0,π2)上单调递减，∴g(x)<g(0)=0，则f′(x)<0，∴f(x)在(0,π2)上单调递减，∴f(x)>f(π2)=2π，∴a≤2π；令ℎ(x)=sinx−bx(0<x<π2)，则ℎ′(x)=cosx−b，∵0<x<π2，∴0<cosx<1；当b≤0时，ℎ′(x)>0，∴ℎ(x)在(0,π2)上单调递增，∴ℎ(x)>ℎ(0)=0，不合题意；当b≥1时，ℎ′(x)<0，∴ℎ(x)在(0,π2)上单调递减，∴ℎ(x)<ℎ(0)=0，满足题意；当0<b<1时，∃x0∈(0,π2)，使得ℎ′(x0)=0，又ℎ′(x)在(0,π2)上单调递减，∴当x∈(0,x0)时，ℎ′(x)>0，∴ℎ(x )在(0,x 0)上单调递增，则ℎ(x )>ℎ(0)=0，不合题意； 综上所述：b ≥1；∴(b −a )min =b min −a max =1−2π.故选：D.11．若曲线y =−√x +1在点(0,−1)处的切线与曲线y =lnx 在点 P 处的切线垂直，则点 P 的坐标为（ ） A ．(e ,1) B ．(1,0) C ．(2,ln2)D ．(12,−ln2)【答案】D 【解析】y =−√x +1的导数为y ′=2√x+1，所以曲线y =−√x +1在点(0,−1)处的切线的斜率为k 1=−12. 因为曲线y =−√x +1在点(0,−1)处的切线与曲线y=ln x 在点P 处的切线垂直， 所以曲线y=ln x 在点P 处的切线的斜率k 2=2.而y=ln x 的导数y ′=1x ，所以切点的横坐标为12，所以切点P(12,−ln2). 故选：D12．定义：设函数f (x )的定义域为D ，如果[m,n ]⊆D ，使得f (x )在[m,n ]上的值域为[m,n ]，则称函数f (x )在[m,n ]上为“等域函数”，若定义域为[1e ,e 2]的函数g (x )=a x （a >0，a ≠1）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则a 的取值范围为（ ） A ．[2e2,1e )B ．[2e2,1e]C ．[e 2e 2,e 1e )D ．[e 2e 2,e 1e ]【答案】C 【解析】当0<a <1时，函数g(x)=a x 在[1e ,e 2]上为减函数，若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在m ，n ∈[1e,e 2]（m <n ）使得{a m =n a n =m ，所以{m ln a =ln nn ln a =ln m ，消去lna ，得mlnm =nlnn ，令k(x)=xlnx ，则k ′(x)=lnx +1，当x ∈[1e ,e 2]时，k ′(x)≥0，所以k(x)在[1e ,e 2]上是单调增函数，所以符合条件的m ，n 不存在.当a>1时，函数g(x)=a x在[1e,e2]上为增函数，若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在m，n∈[1e ,e2]（m<n）使得a m=m，a n=n，即方程a x=x在[1e,e2]上有两个不等实根，即lna=lnxx 在[1e,e2]上有两个不等实根，设函数ℎ(x)=lnxx （1e≤x≤e2），则ℎ′(x)=1−lnxx2，当1e≤x<e时，ℎ′(x)>0；当e<x≤e2时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在[1e,e)上单调递增，在(e,e2]上单调递减，所以ℎ(x)在x=e处取得极大值，也是最大值，所以ℎ(x)max=ℎ(e)=1e ，又ℎ(1e)=−e，ℎ(e2)=2e2，故2e2≤lna<1e，即e2e2≤a<e1e.故选：C.【点睛】解题的关键是讨论g(x)的单调性，根据题意，整理化简得到新的函数，利用导数求得新函数的单调性和最值，分析即可得答案，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.13．已知x1>x2>0，若不等式e2x1−e2x2x1−x2>m e x1+x2恒成立，则m的取值范围为（）A．(−∞,2)B．(−∞,2]C．(−∞,0)D．(−∞,0]【答案】B【解析】解：因为x1>x2>0，不等式e2x1−e2x2x1−x2>m e x1+x2恒成立，等价于e x1−x2−e x2−x1−m(x1−x2)>0恒成立，令t=x1−x2>0，则不等式转化为e t−e−t−mt>0恒成立，令f(t)=e t−e−t−mt(t>0)，则f′(t)=e t+e−t−m，显然e t+e−t≥2√e t⋅e−t=2，当且仅当e t=e−t，即t=0时取等号，所以当m≤2时f′(t)>0，即f(t)在(0,+∞)上单调递增，所以f(t)>f(0)=0，符合题意；当m>2时，令g(t)=f′(t)=e t+e−t−m，则g′(t)=e t−e−t>0，故f′(t)在(0,+∞)上单调递增，所以存在t0∈(0,+∞)满足f′(t0)=0，且当0<t<t0时f′(t)<0，当t>t0时f′(t)>0，所以f (t )在(0,t 0)上单调递减，此时f (t )<f (0)=0，与题意矛盾，综上可得m ∈(−∞,2]； 故选：B14．已知奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )在(0,π2)上恒有f (x )sinx<f ′(x )cosx成立，则下列不等式成立的（ ）A ．√2f (π6)>f (π4)B ．f (−π3)<√3f (−π6)C ．√3f (−π4)<√2f (−π3)D ．√22f (π3)<√3f (π4)【答案】B 【解析】 构造函数F (x )=f (x )sin x，由f (x )在(0,π2)上恒有f(x )sinx<f ′(x )cosx成立，即f ′(x )sin x −f (x )cos x >0,∴F ′(x )=f ′(x )sin x−f (x )cos x(sinx)2>0,∴F (x )在(0,π2)上为增函数，又由F (−x )=f (−x )sin (−x )=−f (x )−sin x=F (x ),∴F (x )为偶函数，∵π6<π4,∴F (π6)<F (π4),∴f(π6)sin π6<f(π4)sin π4,∴√2f (π6)<f (π4)，故A 错误.∵偶函数F (x )在(0,π2)上为增函数，∴F (x )在(−π2,0)上为减函数，∵−π3<−π6,∴F (−π3)>F (−π6),∴f (−π3)sin (−π3)>f (−π6)sin (−π6),∴−f (−π3)>−√3f (−π6), ∴f (−π3)<√3f (−π6)，故B 正确；F (−π4)<F (−π3),∴f(−π4)sin (−π4)<f(π3)sin (−π)，∴−√3f (−π4)<−√2f (−π3),∴√3f (−π4)>√2f (−π3)，故C 错误；∵π3>π4，∴F (π3)>F (π4),∴f(π3)sin π3>f(π4)sin π4,∴√2f (π3)>√3f (π4)，故D 错误.故选：B15．已知f ′(x )是定义在R 上的函数f (x )的导数，且f (x )−f ′(x )<0，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．e 3f (−2)>f (1) B ．f (−2)<e 3f (1) C ．e f (1)<f (2) D ．f (1)<e f (2)【答案】C 【解析】 设g (x )=f (x )ex，则g ′(x )=f ′(x )−f (x )ex.因为f (x )−f ′(x )<0，所以g ′(x )>0，则g (x )在R 上单调递增. 因为−2<1，所以g (−2)<g (1)，即f (−2)e−2<f (1)e，所以3f (−2)<f (1)，则A 错误；因为f (−2)，f (1)的大小不能确定，所以f (−2)，e 3f (1)的大小不能确定，则B 错误； 因为1<2，所以g (1)<g (2)，则f (1)e<f (2)e2，所以e f (1)<f (2)，则C 正确；因为f (1)，f (2)的大小不能确定，所以f (1)，e f (2)不能确定，则D 错误. 故选:C16．曲线y =x 3+lnx 在x =1处的切线方程为 _____________ . 【答案】4x −y −3=0 【解析】解：y ′=3x 2+1x ， 当x =1时，y ′=4,y =1，所以曲线y =x 3+lnx 在x =1处的切线方程为y −1=4(x −1)， 即4x −y −3=0. 故答案为：4x −y −3=0.17．已知函数f (x )=2e −x ，则曲线y =f (x )在点(−2,f (−2))（e ≈2.71828⋅⋅⋅）处的切线方程为______. 【答案】2e 2x +y +2e 2=0 【解析】f ′(x)=−2e −x ，f ′(−2)=−2e 2，f(−2)=2e 2，所以所求切线方程为y −2e 2=−2e 2(x +2)，即2e 2x +y +2e 2=0. 故答案为：2e 2x +y +2e 2=0.18．若直线l 与曲线y =x 2和x 2+y 2=49都相切，则l 的斜率为______．【答案】±2√2 【解析】设y =x 2的切点为(m,m 2)，f ′(x )=2x ，故f ′(m )=2m ， 则切线方程为：y −m 2=2m (x −m )，即2mx −y −m 2=0 圆心到圆的距离为23，即2√1+4m 2=23，解得：m 2=2或−29（舍去）所以m =±√2，则l 的斜率为2m =±2√2 故答案为：±2√2 19．已知函数f (x )=e x +e xe a，g (x )=x −e ae x ，若存在实数x 0，使f (x 0)−g (x 0)=3成立，则实数a =______．【答案】0 【解析】令f(x)−g(x)=e x +e xe a −x +e ae x =e x−a +e a−x +e x −x ，令ℎ(x)=e x −x ，则ℎ′(x)=e x −1， 由ℎ′(x)>0⇒x >0，ℎ′(x)<0⇒x <0，所以函数ℎ(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增， 所以ℎ(x)min =ℎ(0)=1，所以e x−a +e a−x ≥2， 当且仅当e x−a =e a−x 即x =a 时等号成立，即f(x)−g(x)≥3，当且仅当等号同时成立时，等号成立， 故x =a =0，即a =0. 故答案为：0.20．已知函数f(x)=x 2+2x e x −1，则函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为_____________. 【答案】2x −y −1=0 【解析】由已知f ′(x)=2x +2e x +2x e x ，f ′(0)=2，又f(0)=−1， 所以切线方程为y +1=2x ，即2x −y −1=0． 故答案为：2x −y −1=0．21．已知定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足：f(x)={xlnx,0<x ≤12f(x −1),x >1 ，若方程f (x )=kx −12在（0，2]上恰有三个根，则实数k 的取值范围是___________. 【答案】(1−ln2,12) 【解析】方程f (x )=kx −12在（0，2]上恰有三个根，即直线y =kx −12与函数y =f (x )的图像有三个交点， 当0<x ≤1时，f (x )=xlnx ，则f ′(x)=lnx +1， 当0<x <1e时，f ′(x)<0；当1e<x ≤1时，f ′(x )>0，所以f （x ）在（0，1e）上单调递减，f （x ）在（1e，1]上单调递增.结合函数的“周期现象”得f （x ）在（0，2]上的图像如下：由于直线l ；y =kx −12过定点A （0，−12）.如图连接A ，B （1，0）两点作直线l 1：y =12x −12，过点A 作f (x )=xlnx (0<x ≤1)的切线l 2，设切点P （x 0，y 0），其中y 0=x 0lnx 0，f ′(x)=lnx +1，则斜率k l 2=lnx 0+1 切线l 2:y −x 0lnx 0=(lnx 0+1)(x −x 0)过点A （0，−12）.则−12−x 0lnx 0=(lnx 0+1)(0−x 0)，即x 0=12，则k l 2=ln 12+1=1−ln2， 当直线l:y =kx −12绕点A （0，−12）在l 1与l 2之间旋转时.直线l:y =kx −12与函数y =f (x )在[-1，2]上的图像有三个交点，故k ∈(1−ln2,12) 故答案为：(1−ln2,12)22．若曲线y =e x 过点(−2,0)的切线恒在函数f(x)=a e x −x 2+(1e−3)x +2e −1的图象的上方，则实数a的取值范围是__________． 【答案】(−∞,−e 2) 【解析】设曲线y =e x 过点(−2,0)的切线的切点为(x 0,y 0)，则切线的斜率k =e x 0=y 0−0x 0−(−2)=e x 0x 0+2， 所以x 0=−1，k =1e，切线方程为y =1e(x +2)，所以1e(x +2)>a e x −x 2+(1e−3)x +2e−1恒成立，所以a <x 2+3x+1ex恒成立， 令g(x)=x 2+3x+1ex，则g ′(x)=−(x−1)(x+2)ex因为当x <−2，g ′(x)<0，x >−2，g ′(x)>0，所以x=−2为g(x)的极小值点，又因为x→+∞时，g(x)→0+，g(−2)=−e2<0所以gmin(x)=g(−2)=−e2，所以a<−e2.故答案为：(−∞,−e2).23．若直线y=kx+m是曲线y=ln(x−1)的切线，也是曲线y=e x−3的切线，则k=__________.【答案】1或1e【解析】设y=kx+m与y=e x−3和y=ln(x−1)的切点分别为(x1,e x1−3)、(x2,ln(x2−1))；由导数的几何意义可得k=e x1−3=1x2−1，即y=e x1−3⋅x+(1−x1)e x1−3,y=1x2−1x+ln(x2−1)−x2x2−1，∴{e x1−3=1x2−1(1−x1)e x1−3=ln(x2−1)−x2x2−1，∴{x1−3=−ln(x2−1)(1−x1)⋅1x2−1=ln(x2−1)−x2x2−1=3−x1−x2x2−1=2−x1−1x2−1∴2−x1x2−1=2−x1当x2=2时，k=1，当x1=2时，k=1e∴k=1或1e.故答案为：1或1e.24．若存在实数a>0，使得函数f(x)=alnx+x与g(x)=2x2−2x−b的图象有相同的切线，且相同切线的斜率为2，则实数b的最大值为_________．【答案】−1.【解析】设函数f(x)=alnx+x的切点为(x1,y1)，函数g(x)=2x2−2x−b的切点为(x2,y2)分别对函数进行求导，f′(x)=ax+1，g′(x)=4x−2由相同切线的斜率为2，得g′(x2)=4x2−2=2⇒x2=1,g(1)=−b故切线方程为y=2x−2−bf′(x1)=ax1+1=2⇒a=x1,f(x1)=x1lnx1+x1故函数f(x)=alnx+x的切点为(x1,x1lnx1+x1).把切点(x 1,x 1lnx 1+x 1)代入y =2x −2−b 中得x 1lnx 1+x 1=2x 1−2−b ⇒b =−x 1lnx 1+x 1−2令ℎ(x)=−xlnx +x −2，ℎ′(x)=−lnx −1+1=−lnx 当x ∈(0,1)时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增 当x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减 故ℎ(x)≤ℎ(1)=−1 故实数b 的最大值为−1 故答案为：−1.25．已知函数f (x )={xe x +1e ,x ≤0,x 2−2x,x >0,则方程f (x )=0的根___________. 【答案】−1或2##2或-1 【解析】当x ≤0时，f (x )=xe x +1e ，所以f ′(x )=e x +xe x =(x +1)e x ， 令f ′(x )=0，得x =−1， 当x <−1时，f ′(x )<0， 当−1<x ≤0时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(−∞,−1)上单调递减，在(−1,0)上单调递增， 所以f(x)min =f (−1)=0，故当x ≤0时，f (x )=0有唯一根−1， 当x >0时，f (x )=x 2−2x ， 令f (x )=0，解得x =0（舍去）或2， 故当x >0时，f (x )=0的根为2， 综上，f (x )=0根为−1或2. 故答案为：−1或2.。
导数考试题型及答案详解
导数考试题型及答案详解一、选择题1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是：A. 2x + 3B. x^2 + 2C. 2x + 6D. 3x + 2答案：A2. 若f(x) = sin(x)，则f'(π/4)的值是：A. 1B. √2/2C. -1D. -√2/2答案：B二、填空题1. 求函数g(x) = x^3 - 2x^2 + x的导数，g'(x) = __________。
答案：3x^2 - 4x + 12. 若h(x) = cos(x)，求h'(x) = __________。
答案：-sin(x)三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的导数，并求f'(2)的值。
解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
然后将x = 2代入得到f'(2) = 3 * 2^2 - 12 * 2 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3。
2. 已知函数y = ln(x)，求y'。
解：根据对数函数的导数公式，y' = 1/x。
四、证明题1. 证明：若函数f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
证明：根据幂函数的导数公式，对于任意实数n，有f'(x) = n * x^(n-1)。
五、应用题1. 某物体的位移函数为s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 5，求该物体在t = 3时的瞬时速度。
解：首先求位移函数的导数s'(t) = 3t^2 - 12t + 9。
然后将t = 3代入得到s'(3) = 3 * 3^2 - 12 * 3 + 9 = 27 - 36 + 9 = 0。
因此，该物体在t = 3时的瞬时速度为0。
六、综合题1. 已知函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 5，求f'(x)，并求曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率。