【原创】人教A版必修5：第二章 2.3 等差数列的前n项和
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＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1) ＝－4n＋3. 又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3， ∴数列{an}的通项公式是an＝1－，4nn＝ ＋13， ，n≥2. (2)由(1)知，当n≥2时， an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4， 但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4， ∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．
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2．等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则
数列Snn的前10项和为________． 解析：因为an＝2n＋1，所以a1＝3，
所以Sn＝n3＋22n＋1＝n2＋2n，
所以Snn＝n＋2，
所以Snn是公差为1，首项为3的等差数列， 所以前10项和为3×10＋102×9×1＝75.
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[活学活用]
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已知{an}是等差数列，a1＝－26，a8＋a13＝5，当{an}的前 n 项
和 Sn 取最小值时，n 等于
Байду номын сангаас()
A．8
B．9
C．10
D．11
解析：选 B ∵{an}是等差数列，a1＝－26，a8＋a13＝5， ∴－26＋7d－26＋12d＝5，解得 d＝3，
∴Sn＝－26n＋nn2－1×3＝32n2－525n＝32n－5652－3 20425，
由二次函数性质得，当n＝13时，Sn有最大值169.
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[法二 邻项变号法]
∵a1＝25＞0，由aann＝＋1＝252－5－2n2n－≤10≥，0，
得nn≥≤11231212，，
即1212≤n≤1312.
又n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169.
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[活学活用]
(2018·全国卷Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若 3S3＝S2＋
S4，a1＝2，则 a5＝
()
A．－12
B．－10
C．10
D．12
解析：选 B 设等差数列{an}的公差为 d，由 3S3＝S2＋S4，得 3(3a1
＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即 3a1＋2d＝0.将 a1＝2 代入上式，解
(3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.
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2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于
()
A．n
B．n(n＋1)
C．n(n－1) 解析：选D
D．nn2＋1
因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋
nn－1 2
×1
＝2n＋2n2－n＝n2＋2 n＝nn2＋1，故选D.
选用 公式
Sn＝
na1＋an 2
Sn＝ na1＋nn2－1d
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[小试身手]
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1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项 an 所有
项的和
(√ )
(2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通
得 d＝－3，故 a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
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已知Sn求an问题 [典例] 已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)判断{an}是否为等差数列？ [解] (1)∵Sn＝－2n2＋n＋2， ∴当n≥2时， Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2 ＝－2n2＋5n－1， ∴an＝Sn－Sn－1
①当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd，SS奇 偶＝aan＋n 1；
②当项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝an，SS奇 偶＝n－n 1.
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[活学活用]
1．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 S4≠0，且 S8＝3S4，设
S12＝λS8，则 λ＝
()
A.13
B.12
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等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前 n 项和公式中有五个量 a1，d，n， an 和 Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基 本量 a1 和 d 的方程组，解出 a1 和 d，便可解决问题．解题时注 意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)， 则 am＋an＝ap＋aq，常与求和公式 Sn＝na12＋an结合使用．
，
即132－120＝1322n＋＋1120，解得n＝10.
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(3)由等差数列的性质，知
ab55＝ab11＋＋22 ab99＝ab11＋＋22 ab99××99＝TS99＝2×9＋9＋3 2＝53.
[答案]
(1)C
(2)10
5 (3)3
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等差数列的前n项和常用的性质 (1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k…组成 公差为k2d的等差数列． (2)数列{an}是等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b为常数)⇔数列 Snn为等差数列． (3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，
∴{an}的前 n 项和 Sn 取最小值时，n＝9.故选 B.
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3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝
1 2
，S4＝20，则S6等
于
()
A．16
B．24
C．36
D．48
解析：选D 设等差数列{an}的公差为d，
由已知得4a1＋4×2 3d＝20，
即4×12＋4×2 3d＝20，解得d＝3，
∴S6＝6×12＋6×2 5×3＝3＋45＝48.
等差数列的前n项和
结束
预习课本P42～45，思考并完成以下问题
(1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？
(2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？
(3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？
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[新知初探]
1．数列的前n项和 对于数列{an}，一般地称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的 前n项和，用Sn表示，即Sn＝ a1＋a2＋…＋an . 2．等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
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(1)已知 Sn 求 an，其方法是 an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常
常因为忽略条件“n≥2”而出错．
(2)在书写{an}的通项公式时，务必验证 n＝1 是否满足
an(n≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用 an＝
S1，n＝1， Sn－Sn－1，n≥2
表示．
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2．已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an. (1)Sn＝2n2＋3n＋2； (2)Sn＝3n－1. 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝7， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1) ＋2]＝4n＋1，又a1＝7不适合上式，
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[解] (1)∵a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－16. 又Sn＝na1＋nn2－1d＝－5， 解得n＝15或n＝－4(舍)． (2)由已知，得S8＝8a1＋ 2 a8＝84＋2 a8＝172， 解得a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
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项公式
( ×)
(3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1( × )
解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确．
(2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n2＋2. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
又∵a1＝S1＝3，
∴a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误．
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[活学活用]
1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝－n2，则
()
A．an＝2n＋1
B．an＝－2n＋1
C．an＝－2n－1
D．an＝2n－1
解析：选B 当n＝1时，a1＝S1＝－1；n≥2时，an＝Sn －Sn－1＝－n2＋(n－1)2＝－2n＋1，此时满足a1＝－1.综
上可知an＝－2n＋1.
所以an＝74，n＋n＝1，1，n≥2. (2)当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，显 然a1适合上式， 所以an＝2×3n－1(n∈N*).
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等差数列的前n项和性质
[典例] (1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则
C．2
D．3
解析：选 C ∵Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，
人教A版2019年高中数学必修5讲义：第二章 2.3 等差数列的前n项和_含答案
等差数列的前n 项和[新知初探]1．数列的前n 项和对于数列{a n }，一般地称a 1＋a 2＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .2．等差数列的前n 项和公式 [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和( ) (2)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)化简后关于n 与a n 的函数式即为数列{a n }的通项公式( ) (3)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1( ) 解析：(1)正确．由前n 项和的定义可知正确． (2)错误．例如数列{a n }中，S n ＝n 2＋2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又∵a 1＝S 1＝3，∴a 1不满足a n ＝S n －S n －1＝2n －1，故命题错误． (3)错误．当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝nd . 答案：(1)√ (2)× (3)×预习课本P42～45，思考并完成以下问题2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n (n ＋1)2解析：选D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n (n －1)2×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n (n ＋1)2，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得4a 1＋4×32d ＝20， 即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.答案：12[典例] 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－5， 解得n ＝15或n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝8(a1＋a8)2＝8(4＋a8)2＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.[活学活用]设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于() A．13B．35C．49 D．63解析：选D∵{a n}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，∴S9＝9(a2＋a8)2＝9×142＝63.[典例]已知数列{a n}的前n项和S n＝－2n2＋n＋2.(1)求{a n}的通项公式；(2)判断{a n}是否为等差数列？[解](1)∵S n＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，S n－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴a n＝S n－S n－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4， 但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．[活学活用]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2，则( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝－2n ＋1 C ．a n ＝－2n －1D ．a n ＝2n －1解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1.2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ＋2； (2)S n ＝3n －1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *).[典例] (1)等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质： S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列． 所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )， 即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)， 解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.(3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. [答案] (1)C (2)10 (3)53[活学活用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选A 设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3， 所以S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ， 所以S nn ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.答案：75[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解] 由S 17＝S 9，得 25×17＋17×(17－1)2d ＝25×9＋9×(9－1)2d ， 解得d ＝－2， [法一 公式法] S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－(n －13)2＋169. 由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二 邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.[活学活用]已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：选C ∵S n 有最大值，∴d <0，则a 10>a 11，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．故选C.层级一 学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2B ．－32n 2－n 2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n (－1＋2－3n )2＝－32n 2＋n 2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7>0，S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8<0，故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________． 解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________.解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. 答案：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1， 所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项． 答案：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ，又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，已知a 1＋a 3＝22，S 5＝45. (1)求a n ，S n ；(2)设数列{S n }中最大项为S k ，求k .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＝22，5a 3＝45，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 3＝9， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.层级二 应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k 2，解得k ＝2 016.故选C.3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 1<0,2S 21＋S 25＝0，则S n 取最小值时，n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d >0，∴67a 11＝67(a 1＋10d )＝67a 1＋670d <0,67a 12＝67(a 1＋11d )＝67a 1＋737d >0，即a 11<0，a 12>0.故选A.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵a nb n＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －12(2n －1)b 1＋b 2n －12(2n －1)＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.答案：4056．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为________． 解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4⇒2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.答案：77．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解：(1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14， 又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.。
人教a版必修5学案：2.3等差数列的前n项和(含答案)
§2.3 等差数列的前n 项和材拓展1．等差数列的判定(1)a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)⇔{a n }是公差为d 的等差数列； (2)2a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数)⇔{a n }是公差为k 的等差数列(n ≥1)；(4)S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是公差为2A 的等差数列(n ≥1)．例如：已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)2＋λ，则λ的值是________． 解析 S n ＝(n －1)2＋λ＝n 2－2n ＋(1＋λ)， ∵{a n }是等差数列， ∴1＋λ＝0，λ＝－1. 答案 －12．等差数列的通项公式将a n ＝a 1＋(n －1)d 可整理为a n ＝dn ＋(a 1－d )，它是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)，它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点，公差d 是该射线所在直线的斜率．例如：等差数列{a n }中，若a n ＝m ，a m ＝n (m ≠n )，则a m ＋n ＝______. 解析 由点(n ，a n )，(m ，a m )，(m ＋n ，a m ＋n )三点共线， ∴a m ＋n －a n (m ＋n )－n ＝a m －a n m －n .即a m ＋n －m m ＝n －m m －n ＝－1， 易得a m ＋n ＝0. 答案 03．等差数列的前n 项和公式(1)将公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 变形可得S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n .故当d ≠0时，等差数列前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一群孤立点．(2)S n n ＝d 2n ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)． 当涉及等差数列前n 项和S n 的计算问题时，有时设S n ＝An 2＋Bn 的形式更简便快捷． 例如：等差数列{a n }中，若S p ＝q ，S q ＝p (p ≠q )，则S p ＋q ＝__________. 解析 设S n ＝An 2＋Bn ，则⎩⎪⎨⎪⎧S p ＝Ap 2＋Bp ＝q (1)S q ＝Aq 2＋Bq ＝p (2) 由(1)－(2)得Ap 2＋Bp －Aq 2－Bq ＝q －p ， ∴A (p 2－q 2)＋B (p －q )＝q －p ， ∵p ≠q ，∴A (p ＋q )＋B ＝－1.∵S p ＋q ＝A (p ＋q )2＋B (p ＋q ) ＝[A (p ＋q )＋B ]·(p ＋q ) ＝－(p ＋q )． 答案 －(p ＋q ) 4．等差数列的性质(1)若数列{a n }和{b n }均是等差数列，则{ma n ＋kb n }仍为等差数列，其中m 、k 均为常数． (2)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(3)等差数列中依次k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d (d 是原数列公差)．(4)若{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别为S n 与S ′n ，则am b m ＝S 2m －1S ′2m －1.(5)等差数列{a n }中，奇数项的和记作S 奇，偶数项的和记作S 偶，则S n ＝S 奇＋S 偶．当n 为偶数时：S 偶－S 奇＝n2d ；当n 为奇数时：S 奇－S 偶＝a 中，S 奇＝n ＋12a 中，S 偶＝n －12a 中，S 奇S 偶＝n ＋1n －1.(其中a 中是等差数列的中间一项)例如：已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是________．解析 S 偶－S 奇＝n2d ＝5d ，∴5d ＝30－15＝15，∴d ＝3. 答案 35．等差数列前n 项和的最值求等差数列前n 项和的最值的常用方法： (1)通项法当a 1>0，d <0时，数列{a n }只有前面有限项为非负数，从某项开始所有项均为负数，因此，S n 有最大值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1<0时，S n 取到这个最大值；当a 1<0，d >0时，数列{a n }只有前面有限项为非正数，从某项开始所有项均为正数，因此，S n 有最小值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1>0时，S n 取到这一最小值．(2)二次函数法由于S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，n ∈N *是关于n 的二次函数式，故可转化为求二次函数的最值问题，但要注意数列的特殊性n ∈N *.例如：{a n }是等差数列，a 1>0，a 2 009＋a 2 010>0，a 2 009·a 2 010<0，则使前n 项和S n 最大时，n 的值是________；使前n 项和S n >0成立时，n 的最大值是________．答案 2 009 4 018法突破一、等差数列的判断方法方法链接：判定等差数列的常用方法： (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)；(2)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数) (n ∈N *)； (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)；(4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)，n ∈N *.例1 数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n (a 1＋a n )2，判断{a n }是否为等差数列？并证明你的结论．解 {a n }是等差数列，证明如下： 因为a n ＝S n －S n －1＝n (a 1＋a n )2－(n －1)(a 1＋a n －1)2(n ≥2)，所以a n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2－n (a 1＋a n )2，所以a n ＋1－a n ＝12[(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)－2n (a 1＋a n )＋(n －1)(a 1＋a n －1)]＝12[(n ＋1)a n ＋1－2na n ＋(n －1)a n －1] (n ≥2)， 即(n －1)(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝0， 所以a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)， 所以数列{a n }为等差数列． 二、等差数列中基本量的运算方法链接：在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个基本量，利用通项公式与前n 项和公式，求出a 1和d ，等差数列就确定了．例2 在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8；(2)已知前3项和为12，前3项积为48，且d >0，求a 1； (3)已知前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k .解 (1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝105a 1＋10d ＝5.解方程组得a 1＝－5，d ＝3，∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 8＝8×(a 1＋a 8)2＝44.(2)设数列的前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意有： ⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝12(a －d )·a ·(a ＋d )＝48， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4a (a 2－d 2)＝48，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4d ＝±2. ∵d >0，∴d ＝2，a －d ＝2.∴a 1＝2. (3)设公差为d ，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3a ＝8，d ＝4－a ，ka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝2，k ＝50或k ＝－51(舍去).因此，a ＝2，k ＝50.三、等差数列的性质及运用方法链接：等差数列有一些重要的性质，例如： (1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； (2)若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；(3)若{a n }是等差数列，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 也成等差数列．(其S k 为前k 项和)(4)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.熟练运用这些性质，可以提高解题速度，获得事半功倍的功效．例3 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，求a 2＋a 4＋a 9的值； (2)已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，求证：①a n b n ＝S 2n －1T 2n －1；②a n b m ＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1.(1)解 由S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72，∴a 1＋a 9＝16，∴a 1＋a 9＝2a 5＝16，∴a 5＝8，∴a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝24.(2)证明 ①a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)2n －12＝S 2n －1T 2n －1.②a n b m ＝2a n 2b m ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2m －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12·2m －12(b 1＋b 2m －1)2m －12·2n －12＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1. 四、等差数列前n 项和的最值 方法链接：等差数列前n 项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论：若d >0，a 1<0，S n 有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0；若a 1>0，d <0，S n 有最大值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0.n 取正整数．例4 (1)首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 11，问n 为何值时，S n 最大？(2)等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求{|a n |}的前30项和及前n 项和．解 (1)设首项为a 1，公差为d ，则由题意知，d <0，点P (n ，S n )在抛物线y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上，其对称轴方程为x ＝7(由S 11＝S 3知)，故(7，S 7)是抛物线的顶点，∴n ＝7时，S n 最大．(2)设公差为d ，则由a 1＋16d ＝a 17，得d ＝3>0，因此a n ＝3n －63.点Q (n ，a n )在增函数y ＝3x －63的图象上．令y ＝0则得x ＝21，故当n ≥22时，a n >0；当1≤n ≤21且n ∈N *时，a n ≤0， 于是|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝a 1＋a 2＋…＋a 30－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝765.记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |， 则由上面的求解过程知：当1≤n ≤21，n ∈N *时， T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝－a 1－a 2－…－a n ＝(123－3n )n 2＝－32n 2＋1232n .当n >21，n ∈N *时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＋|a 21|＋…＋|a n | ＝－(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋a 22＋a 23＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝32n 2－1232n ＋1 260. ∴数列{|a n |}的前n 项和T n ＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n (1≤n ≤21，n ∈N *)，32n 2－1232n ＋1 260 (n >21，n ∈N *).五、关于等差数列的探索性问题方法链接：对于与等差数列有关的探索性问题，先由前三项成等差数列确定参数后，再利用定义验证或证明所得结论．例5 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列．则a 1＋λ2，a 2＋λ22，a 3＋λ23成等差数列，∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8.解得λ＝－1.当λ＝－1时，⎝⎛⎭⎫a n ＋1－12n ＋1－⎝⎛⎭⎫a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－1)－2(a n －1)] ＝12n ＋1(a n ＋1－2a n ＋1) ＝12n ＋1[(2a n ＋2n ＋1－1)－2a n ＋1] ＝12n ＋1×2n ＋1＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2为等差数列，且首项是2，公差是1. 六、关于等差数列的创新型问题方法链接：关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现．解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼，挖掘出题目蕴含的有用信息，利用所学等差数列的有关知识加以解决．例6 下表给出一个“等差数阵”： 4 7 ( ) ( ) ( ) … a 1j … 7 12 ( ) ( ) ( ) … a 2j … ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) … a 3j … ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) … a 4j …… … … … … … … …a i 1 a i 2 a i 3 a i 4 a i 5 … a ij… … … … … … … … … 其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i 行第j 列的数． (1)写出a 45的值；(2)写出a ij 的计算公式．解 (1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i ＋1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i ＋1.所以a 45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a 45＝49.(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j ＝4＋3(j －1)； 第二行是首项为7，公差为5的等差数列： a 2j ＝7＋5(j －1)； ……第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列，因此，a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1)＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .区突破1．审题不细心，忽略细节而致错例1 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，求公差d 的取值范围．[错解] a 10＝a 1＋9d ＝－24＋9d >0，∴d >83.[点拨] 忽略了“开始”一词的含义，题目强调了第10项是该等差数列中的第一个正项，应有a 9≤0.[正解] 设a n ＝－24＋(n －1)d ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋(9－1)d ≤0a 10＝－24＋(10－1)d >0， 解不等式得：83<d ≤3.温馨点评 审题时要细心，包括问题的细节，有时细节决定解题的成败.2．忽略公式的基本特征而致错例2 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且对一切正整数n 都有S n T n ＝5n ＋32n ＋7，试求a 9b 9的值． [错解] 设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，k ≠0， 则a 9＝S 9－S 8＝(5×9＋3)k －(5×8＋3)k ＝5k ， b 9＝T 9－T 8＝(2×9＋7)k －(2×8＋7)k ＝2k ，所以a 9b 9＝52.[点拨] 此解答错在根据条件S n T n ＝5n ＋32n ＋7，设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，这是把等差数列前n 项和误认为是关于n 的一次函数，没有准确把握前n 项和公式的特点．[正解] 因为{a n }和{b n }是公差不为0的等差数列， 故设S n ＝n (5n ＋3)k ，T n ＝n (2n ＋7)k ，k ≠0，则a 9＝S 9－S 8＝9×(5×9＋3)k －8×(5×8＋3)k ＝88k ，b 9＝T 9－T 8＝9×(2×9＋7)k －8×(2×8＋7)k ＝41k ，所以a 9b 9＝8841.温馨点评等差数列的前n 项和S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，是关于n 的二次函数式，且常数项为零，当d ＝0时，S n ＝na 1，但是本题不属于这种情况(否则S n T n ＝na 1nb 1＝a 1b 1与S n T n ＝5n ＋32n ＋7矛盾)．3．对数列的特点考虑不周全而致错例3 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值．[错解] 设公差为d ， ∵S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，得120d ＝－200，即d ＝－53，∴a n ＝20－(n －1)·53，当a n >0时，20－(n －1)·53>0，∴n <13.∴n ＝12时，S n 最大，S 12＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.∴当n ＝12时，S n 有最大值S 12＝130.[点拨] 解中仅解不等式a n >0是不正确的，事实上应解a n ≥0，a n ＋1≤0.[正解] 由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53.∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13＝0，∴a 13＝0. ∵公差d <0，a 1>0，∴a 1，a 2，…，a 11，a 12均为正数， 而a 14及以后各项均为负数．∴当n ＝12或13时，S n 有最大值为S 12＝S 13＝130.4．忽略题目中的隐含条件而致错例4 一个凸n 边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120°，公差为5°，求凸n 边形的边数．[错解] 一方面凸n 边形的内角和为S n ，S n ＝120°n ＋n (n －1)2×5°.另一方面，凸n 边形内角和为(n －2)×180°.所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180.化简整理得：n 2－25n ＋144＝0. 所以n ＝9或n ＝16.即凸n 边形的边数为9或16.[点拨] 凸n 边形的每个内角都小于180°.当n ＝16时，最大内角为120°＋15°×5°＝195°>180°应该舍掉．[正解] 凸n 边形内角和为(n －2)×180°，所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180，解得：n ＝9或n ＝16.当n ＝9时，最大内角为120°＋8°×5°＝160°<180°； 当n ＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°舍去． 所以凸n 边形的边数为9.题多解例 一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． 分析 本题可从基本方法入手，先求a 1，d ，再求前110项之和，为了简化计算，也可利用等差数列前n 项和的性质．解 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎫1 099－109×11100 ＝－110.故此数列的前110项之和为－110. 方法二 设S n ＝an 2＋bn . ∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10， 解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n .∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.方法三 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧S p ＝pa 1＋p (p －1)2d ＝q ， ①(p ≠q )S q＝qa 1＋q (q －1)2d ＝p . ②①－②得(p －q )a 1＋(p －q )(p ＋q －1)2d＝－(p －q )． 又p ≠q ，∴a 1＋p ＋q －12d ＝－1，∴S p ＋q ＝(p ＋q )a 1＋(p ＋q )(p ＋q －1)2d＝(p ＋q )(－1)， ∴S 110＝－110.方法四 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100 成等差数列，设其公差为D .前10项的和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120. ∴S 110＝－120＋S 100＝－110.方法五 ∵S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100 ＝90(a 11＋a 100)2＝90(a 1＋a 110)2.又S 100－S 10＝10－100＝－90， ∴a 1＋a 110＝－2.∴S 110＝110(a 1＋a 110)2＝－110.题赏析1．(2009·全国Ⅱ)已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 解 设{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)， 或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．2．(2009·江苏)设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．解 (1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0.由a 22＋a 23＝a 24＋a 25得a 22－a 25＝a 24－a 23，由性质得－3d (a 4＋a 3)＝d (a 4＋a 3)，因为d ≠0 所以a 4＋a 3＝0，即2a 1＋5d ＝0.① 又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 由①②可得a 1＝－5，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数．又由(1)知a m ＋2为奇数， 所以a m ＋2＝2m －3＝±1，即m ＝1,2. 经检验，符合题意的正整数只有m ＝2. 赏析 试题考查了等差数列的有关知识，起点较低，落点较高，难度控制得恰到好处．第(2)问要求考生有一定的分析问题解决问题的能力．。
高中数学人教A版必修5第二章2.3等差数列前n项和(一)课件(共19张PPT)
例题1
2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校 通”工程的通知》。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目 标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的 校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500 万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校 通”工程中的总投入是多少？
那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首 项和公差分别是什么?
结论: 当r 0时为数列{an}等差数列, 当r 0时数列{an}不是等差数列
课堂小结
1.等差数列的前n项和公式1：
Sn
n(a1 2
an
)
2.等差数列的前n项和公式2：Sn
na1
n(n 1) 2
d
3.数列中an与Sn的关系： an=Sn-Sn-1（n ≥ 2）
此处暂停2分钟思考
解：由题意知S 10
310, S20
1220
方程组思想
将它们代入公式Sn
na1
n(n 1) 2
d
可得
10a1 20a1
45d 310 190d 1220
解得
ad1
4 6
Sn
=4n
n(n 1) 2
6
3n2
n
例题3 数列中an与Sn的关系
已知数列{an}的前n项和为
Sn
n2
1 2
n①2
1 2
n
[(n
1)2
1 2
(n
1)]
2n
1 2
高三人教版必修五数学第二章知识点：等差数列的前n项和
高三人教版必修五数学第二章知识点：等差数列的前n项和
高三人教版必修五数学第二章知识点：等差数列
的前n项和
我们从一出生到耋耄之年，一直就没有离开过数学，或者说我们根本无法离开数学，这一切有点像水之于鱼一样。
查字典数学网为大家推荐了高三人教版必修五数学第二章
知识点，请大家仔细阅读，希望你喜欢。
一、等差数列及前n项和知识点汇总
1.等差数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.
2.等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+(n-1)d.
3.等差中项
如果A=(a+b)/2，那么A叫做a与b的等差中项.
4.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且m+n=p+q，
则am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N*).
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.。
人教版A版高中数学必修5：2.3 等差数列的前n项和(2)
学习目标
1，熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式，并会用它们解决相关问题 2，通过对公式的应用，提高分析问题和 解决问题的能力 3，增强学好数学的心理体验，产生热爱 数学的情感
导学案反馈
• 完成率：94% • 优秀个人：权宇辰，王雨欣，刘梦真，
邓伟航，陈洺河，陈柏冰 • 优秀小组：第九组 • 存在的问题：(1)有10多人是抄的
第八组点评
解：由题意可知 Sn n2 2
∴ Sn1 n 12 2 n 2
Sn1 n2 2n 3 n 2
an Sn Sn1 n 2
an n2 2 n2 2n 3 n 2
an 2n 1 n 2
当 n 1 时 S1 a1 3 不符合上式
∴数列 an 的通项公式为
a 3 n 1
n
2n 1 n 2
归纳提升
等差数列前n项和的最值问题有两种方法
1,由 Sn
na1
nn 1d
2
展开得
Sn
d 2
n2
Hale Waihona Puke a1
d 2
n ，利用二次函数配
方法求得最值时n的值。
由预习案问题2可知：an 2n 22
∵ 当n=11时，a11 0
∴ 当n=10或者n=11时 取的最小值
由公式 解得
Sn
na1
nn 1d
2
S10 S11 110
探究展示二
已知数列 an 的前n项和为 Sn ，
Sn n2 2 ,求这个数列的通项公
式。 第一组展示
-新人教A版必修5-第二章-2.3-等差数列的前n项和
nn＋1 ∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝ 2 .
当 n＝19 时，S19＝190.当 n＝20 时，S20＝210>200.
∴n＝19 时，剩余钢管根数最少，为 10 根．
练一练·当堂检测、目标达成落实处
§2.3（二）
1．记等差数列前 n 项和为 Sn，若 S2＝4，S4＝20，则该数列 的公差 d 等于 A．2
研一研·问题探究、课堂更高效
§2.3（二）
探究 3 设 Sn、 Tn 分别为两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和， an S2n－1 证明：b ＝ . T n 2n－1
2n－1 1 证明 ∵S2n－1＝2(2n－1)(a1＋a2n－1)＝ 2 · 2an＝(2n－1)an；
同理 T2n－1＝(2n－1)bn；
解 (1)方法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 成等 差数列．
∴30,70，S3m－100 成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
研一研·问题探究、课堂更高效
§2.3（二）
方法二
Sm S2m S3m 在等差数列中， m ， ， 成等差数列， 2m 3m 2S2m Sm S3m ∴ 2m ＝ m ＋3m .
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点一 等差数列前 n 项和公式的推导
§2.3（二）
问题 求和：1＋2＋3＋…＋100＝？ 对于这个问题， 著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结 果．当时他的思路和解答方法是： S＝1＋2＋3＋…＋99＋ 100，把加数倒序写一遍：S＝100＋99＋98＋…＋2＋1. 所以有 2S＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(99＋2)＋(100＋1)＝ 100×101，∴S＝50×101＝5 050. 请你利用“高斯的算法”求 1＋2＋3＋…＋n＝？
人教A版高中数学必修五 2.3等差数列的前n项和课件
一个 方法
倒序相加法
两个 公式
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
三个 思想
数形结合思想 、转化思想 方程思想(知三求一）
即 Sn= a1+a2+a3+…+an
对于等差数列an，我们用两种方式表示 Sn
Sn= a1 + a2 + a3 +… + an-1 + an Sn= an + an-1 + an-2 + … + a2 + a1
n个
2Sn (a1 an ) (a2 an1) (a3 an2 ) (an a1)
记:S= 1 + 2 + 3 +… + (n-1) + n S= n + (n-1) + (n-2) +… + 2 + 1
倒序
n个
相加 2S n(n 1)
法
S n(n 1)
启 示
2
探究新知
数列｛an｝的前n项和定义： 一般地，我们称
a1+a2+a3+…+an 为数列｛an｝的前n项和，用Sn表示，
2、a1 100, d 2, n 50 ，求Sn
3、等差数列－10，－6，－2 , 2，…的前 ______项的和为54？
已知等差数列{an}的前10项和是310，前20项和 是1220,求等差数列{an}的前n项和Sn.
解：由题意知 S10 310, S20 1220
代入公式
Sn
na1
an )
an
我们可结合梯形的面积公式来理解记忆 等差数列前 n 项和公式.
新人教A版必修5高中数学2.3等差数列的前n项和(2)学案(二)
高中数学 2.3等差数列的前n 项和(2)学案新人教A 版必修5学习目标1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值.学习重难点1.重点：数列前n 项和公式的研究应用2.难点：前 n 项和的公式n S 的最值.一、课前预习习1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S .习2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S .二、新课探究 ※ 学习探究问题：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？※ 试一试例1已知数列{}n a 的前n 项为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？变式：已知数列{}n a 的前n 项为212343n S n n =++，求这个数列的通项公式.小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为: n a =11(1)(2)nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n S 求n a .例2 已知等差数列2454377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3， 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.（1）利用n a : 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值； 当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由21()22n d dS n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值.※ 模仿练习练1. 已知232n S n n =+，求数列的通项n a .练2. 有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和.三、总结提升 ※ 学习小结1. 数列通项n a 和前n 项和n S 关系；2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法. ※ 知识拓展等差数列奇数项与偶数项的性质如下：1°若项数为偶数2n ，则: S S nd 偶奇－＝；1(2)n n S an S a +≥奇偶＝；2°若项数为奇数2n ＋1，则: 1n S S a +奇偶－＝；1n S na +=偶；1(1)n S n a ++奇＝；1S n S n +偶奇＝. 当堂检测1. 下列数列是等差数列的是（ ）.A. 2n a n =B. 21n S n =+C. 221n S n =+D. 22n S n n =-2. 等差数列{n a }中，已知1590S =，那么8a =（ ）. A. 3 B. 4 C. 6 D. 123. 等差数列{n a }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）. A. 70 B. 130 C. 170 D. 2104. 在小于100的正整数中共有 个数被7除余2，这些数的和为 .5. 在等差数列中，公差d ＝12，100145S =，则13599...a a a a ++++= .课后作业1. 在项数为2n +1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150，求n 的值.2. 等差数列{n a }，10a <，912S S =，该数列前多少项的和最小？课后反思。
高一数学 必修5系列教案：2.3等差数列前N项和2
等差数列的前n项和(人教A版必修5第二章第三节)（一）以境激情,提出问题有一种新型的放置粉笔的装置，它具有取放粉笔方便、快捷的优点——V型粉笔架（教师把事先制作好的道具给学生演示）最底层装1支，倒数第二层装2支，以此类推每往上一层粉笔增加一支，一共装了14层；另一种是普通的盒装粉笔装置，一盒50支，共有2盒；请问：哪一种装置的粉笔数多？【设计意图】创设生活化问题情境，一方面激发学生学习新知的兴趣与积极性，另一方面充分体现数学在实际生活中的广泛应用。
大部分学生采用直接相加或者借助计算器来完成，少数学生可能会想到用高斯的算法来处理，教师趁机引导：直接计算是一种方法，但是数字大的时候计算量很大，运算效率低下，为了提高运算效率，我们经常会借助巧算，借此引出高斯求和的故事[知识链接] （教师幻灯投影、图文并茂）高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。
200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（50＋51）＝101×50＝5050.师生共同分析高斯算法的巧妙之处：把不同数的求和问题转化成相同数的求和问题教师借此渗透人文价值教育：高斯与阿基米德、牛顿并列为数学史上最伟大的三大数学家，他的数学业绩几乎遍布整个数学王国，被誉为“数学王子”。
此外，高斯还是优秀的天文学家，物理家，高斯埋头苦干，精益求精，探索专研的品质堪为世人之楷模。
他对数论，代数，复变函数，超几何级数，统计学，微分学，概率论都有不同程度的贡献。
因此，数学领域内有许多的术语都冠以高斯的名字，如“高斯曲线”，“高斯质数”等。
近代数学史学家贝尔对高斯的成就评价道：“在数学的世界里，高斯处处留方。
”[学情预设]高斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性．教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律．学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但估计他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了以下由浅入深、由具体到抽象的几个问题．（二）启发引导,探索发现问题1、如果V型粉笔架有25层，请问：一共有多少支粉笔？把学生分成若干小组，进行小组合作、交流讨论学习，思考成熟的小组举手示意并派代表展示本小组的成果，其它学生则一起分享。
人教A版高中数学必修五2.3等差数列的前n项和教案(最新整理)
例题 2
法 2： 由 题 意 知 s10 310 ,
s20 1220 代入公式
解:设从 2001 年起第 n 年投入的资金为
an,根据题意,数列｛an｝是一个等差数列, 其中 a1=500, d=50
sn
n(a1 an ) 得： 2
那么，到 2010 年（n=10），投入的资金
总额为
s10
10 500 10 9 50 2
三、教学策略及设计 本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类
比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的思路，同时， 借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教 学难点。 四. 教法、学法
本课采用“探究——发现”教学模式． 教师的教法突出活动的组织设计与方法的引 导.
【设计意图】进一步引导学生 探究项数为偶数的等差数列求
深化认识
和时倒序相加是否可行。从而
得出任意项数的等差数列求和
都可用倒序相加法，确立倒序
相加的思想和方法！
奇数时，首尾配对出现了问题，通过动 画演示引导帮助学生思考解决问题的 办法，为引出倒序相加法做铺垫。
动画演示：假如再给你同样多的珠 宝，在原图的基础上你能设计出一个什 么样的图案呢？
sn
n(a1 an ) , 2
sn
na1
n(n 1) d;
2
4、前 n 项和公式的灵活应用及方程的 思想。
课后作业
1. 课本 P40 习题 2.2 A 组
第 4，5，B 组 第 2 题
2.配套练习
六、作业布置： （一）书面作业： 1.已知等差数列{an},其中 d=2,n=15,