【试读】高考数学微专题(上册)(1)
2024年高考数学专项复习数列中的奇偶项问题(微专题)(解析版)
数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列a n中，a1=2，na n+1-n+1a n=1n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1,n为奇数,2a n+1,n为偶数，求数列bn的前100项和.1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列a n满足a1+3a2+⋯+2n-1a n=n．(1)证明：1a n是一个等差数列；(2)已知c n=119a n,n为奇数a n a n+2,n为偶数，求数列c n 的前2n项和S2n．2024年高考数学专项复习数列中的奇偶项问题（微专题）（解析版）2(2023·吉林·统考三模)已知数列a n满足a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数an的前n项和为S n．(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-1．3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3.4(2023·湖南邵阳·统考三模)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 3=5,S 9=81，数列{b n }满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n a n +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .5(2023·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，其公比q ≠-1，a 4+a 5a 7+a 8=127，且S 4=a 3+93．(1)求数列a n 的通项公式；(2)已知b n =log 13a n ,n 为奇数a n,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和T n ．2【2020年新课标1卷文科】数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1，前16项和为540，则a1=1(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列{a n}是正项等比数列，满足a3是2a1、3a2的等差中项，a4=16．(1)求数列{a n}的通项公式；log，求数列{b n}的前n项和T n．(2)若b n=-1n⋅2a2n+12【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.n n+13(2023·广东深圳·统考一模)记S n，为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S n．1(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n前n项和为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.2(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n前n项和满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n的通项公式；和数列b n(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列a n中，a1=2，na n+1-n+1a n=1n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1,n为奇数,2a n+1,n为偶数，求数列bn的前100项和.【解析】【小问1详解】∵na n+1-n+1a n=1,∴a n+1n+1-a nn=1n-1n+1,a n+1+1n+1=a n+1n，所以a n+1n是常数列，即a n+1n=a1+11=3,∴a n=3n-1；【小问2详解】由(1)知，a n是首项为2，公差为3等差数列，由题意得b2n-1=a2n-1=6n-4，b2n=2a2n+1=12n+4，设数列b2n-1，b2n的前50项和分别为T1，T2，所以T1=50b1+b992=25×298=7450，T2=50×b2+b1002=25×620=15500，所以b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950；综上，a n=3n-1，b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950.1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列a n满足a1+3a2+⋯+2n-1a n=n．(1)证明：1a n是一个等差数列；(2)已知c n=119a n,n为奇数a n a n+2,n为偶数，求数列c n 的前2n项和S2n．【答案】(1)证明见详解(2)S2n=2n-1n19+n34n+3【详解】(1)当n=1时，可得a1=1，当n≥2时，由a1+3a2+⋯+2n-1a n=n，则a1+3a2+⋯+2n-3a n-1=n-1n≥2，上述两式作差可得a n=12n-1n≥2，因为a1=1满足a n=12n-1，所以a n的通项公式为a n=12n-1，所以1a n=2n-1，因为1a n-1a n-1=2n-1-2n-3=2(常数)，所以1a n是一个等差数列．(2)c n=2n-119,n为奇数12n-12n+3,n为偶数 ，所以C1+C3+⋯C2n-1=1+5+9+⋯4n-319=2n-1n19，C2+C4+⋯C2n=1413-17+17-111+⋯+14n-1-14n+3=n34n+3所以数列c n的前2n项和S2n=2n-1n19+n34n+3．2(2023·吉林·统考三模)已知数列a n满足a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数an的前n项和为S n．(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-1．【答案】(1)a1=12，a2=4；1024是数列a n的第342项(2)S2n-1=4n6+3n2-5n+116【详解】(1)由a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数可得a1=12，a2=4．令2n-2=1024=210，解得：n=12为偶数，不符合题意，舍去；令3n-2=1024，解得：n=342，符合题意．因此，1024是数列a n的第342项．(2)S2n-1=a1+a2+a3+a4+⋅⋅⋅+a2n-2+a2n-1=12+4+2+10+⋅⋅⋅+6n-8+22n-3=12+2+⋅⋅⋅+22n-3+4+10+⋅⋅⋅+6n-8=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116．另解：由题意得a2n-1=22n-3，又a2n+1a2n-1=4，所以数列a2n-1是以12为首项，4为公比的等比数列．a2n=6n-2，又a2n+2-a2n=6，所以数列a2n是以4为首项，6为公差的等差数列．S2n-1为数列a2n-1的前n项和与数列a2n的前n-1项和的总和．故S2n-1=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116.3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3.【答案】(1)a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)证明见解析.【详解】(1)由题意a2n+1=a2n+1=2a2n-1+1,所以a2n+1+1=2a2n-1+1,因为a1+1=2≠0,所以数列a2n-1+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以a2n-1+1=2n,即a2n-1=2n-1,而a2n=2a2n-1=2n+1-2,所以a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)方法一：由(1)得T2n=ni=11a2i-1+1a2i=32ni=112i-1=32ni=12i+1-12i-12i+1-1<32ni=12i+12i-12i+1-1=3ni=12i2i-12i+1-1=3ni=112i-1-12i+1-1=31-12n+1-1<3方法二：因为2n-1≥2n-1n∈N*,所以T2n=∑ni=11a2i-1+1a2i=32∑n i=112i-1≤32∑n i=112i-1=31-12n<34(2023·湖南邵阳·统考三模)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5,S9=81，数列{b n}满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n an +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =2n -1,b n =3n (2)T 2n =3⋅9n 8-116n +12-724【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=5S 9=81 ，即a 1+2d =59a 1+9×82d =81 ，∴a 1=1,d =2，∴a n =2n -1.∵a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3，①∴a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n -1b n -1=n -2 ⋅3n +3n ≥2 ，②所以①-②得，a n b n =2n -1 ⋅3n ，∴b n =3n n ≥2 .当n =1时，a 1b 1=3,b 1=3，符合b n =3n .∴b n =3n .(2)T 2n =c 1+c 2+c 3+⋯+c 2n ，依题有：T 2n =b 1+b 3+⋯+b 2n -1 +1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2.记T 奇=b 1+b 3+⋯+b 2n -1，则T 奇=3(1-32n )1-32=32n +1-38.记T 偶=1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2，则T 偶=12d 1a 2-1a 4 +1a 4-1a 6 +⋯+1a 2n -1a 2n +2=12d 1a 2-1a 2n +2=1413-14n +3 .所以T 2n =32n +1-38+1413-14n +3 =3⋅9n 8-116n +12-7245(2023·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，其公比q ≠-1，a 4+a 5a 7+a 8=127，且S 4=a 3+93．(1)求数列a n 的通项公式；(2)已知b n =log 13a n ,n 为奇数a n,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =3n (2)T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数【详解】(1)因为a n 是等比数列，公比为q ≠-1，则a 4=a 1q 3,a 5=a 1q 4，a 7=a 1q 6,a 8=a 1q 7，所以a 4+a 5a 7+a 8=a 1q 3+a 1q 4a 1q 6+a 1q 7=1q 3=127，解得q =3，由S 4=a 3+93，可得a 11-34 1-3=9a 1+93，解得a 1=3，所以数列a n 的通项公式为a n =3n ．(2)由(1)得b n =-n ,n 为奇数3n ,n 为偶数，当n 为偶数时，T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n =b 1+b 3+⋅⋅⋅+b n -1 +b 2+b 4+⋅⋅⋅+b n =-1+3+⋅⋅⋅+n -1 +32+34+⋅⋅⋅+3n=-n2⋅1+n -12×+91-9n 21-9=983n -1 -n 24；当n 为奇数时T n =T n +1-b n +1=983n +1-1 -n +1 24-3n +1=18×3n +1-98-n +1 24；综上所述：T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数.题型二、含有(-1)n 类型2【2020年新课标1卷文科】数列{a n }满足a n +2+(-1)n a n =3n -1，前16项和为540，则a 1=【答案】7【解析】a n +2+(-1)n a n =3n -1，当n 为奇数时，a n +2=a n +3n -1；当n 为偶数时，a n +2+a n =3n -1.设数列a n 的前n 项和为S n ，S 16=a 1+a 2+a 3+a 4+⋯+a 16=a 1+a 3+a 5⋯+a 15+(a 2+a 4)+⋯(a 14+a 16)=a 1+(a 1+2)+(a 1+10)+(a 1+24)+(a 1+44)+(a 1+70)+(a 1+102)+(a 1+140)+(5+17+29+41)=8a 1+392+92=8a 1+484=540，∴a 1=7.故答案为：7.1(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1、3a 2的等差中项，a 4=16．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =-1 n ⋅2a 2n +1log ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3是2a 1、3a 2的等差中项，所以2a 3=2a 1+3a 2，即2a 1q 2=2a 1+3a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2-3q -2=0，解得q =2或q =-12，因为数列{a n }是正项等比数列，所以q =2．因为a 4=16，即a 4=a 1q 3=8a 1=16，解得a 1=2，所以a n =2×2n -1=2n ；(2)解法一：(分奇偶、并项求和)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，①若n 为偶数，T n =-3+5-7+9-⋯-2n -1 +2n +1 =-3+5 +-7+9 +⋯+-2n -1 +2n +1 =2×n2=n ；②若n 为奇数，当n ≥3时，T n =T n -1+b n =n -1-2n +1 =-n -2，当n =1时，T 1=-3适合上式，综上得T n =n ,n 为偶数-n -2,n 为奇数(或T n =n +1 -1 n -1，n ∈N *)；解法二：(错位相减法)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，T n =-1 1×3+-1 2×5+-1 3×7+⋯+-1 n ⋅2n +1 ，所以-T n =-1 2×3+-1 3×5+-1 4×7+⋯+-1 n +1⋅2n +1 所以2T n =3+2[-1 2+-1 3+⋯+-1 n ]--1 n +12n +1 ，=-3+2×1--1 n -12+-1 n 2n +1 =-3+1--1 n -1+-1 n 2n +1=-2+2n +2 -1 n ，所以T n=n+1-1n-1，n∈N*2【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.【答案】(1)a n=2n-1，S n=n2；(2)T n=(-1)n n(n+1)2.【解析】【分析】(1)利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前n项和即可；(2)根据(1)中所求即可求得b n，对n分类讨论，结合等差数列的前n项和公式，即可容易求得结果.【详解】(1)由S5=5(a1+a5)2=5×2a32=5a3=25得a3=5.又因为a5=9，所以d=a5-a32=2，则a3=a1+2d=a1+4=5，解得a1=1；故a n=2n-1，S n=n(1+2n-1)2=n2.(2)b n=(-1)n n2.当n为偶数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-1+b n=-12+22+-32+42+⋯+-(n-1)2+n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[n-(n-1)]×[n+(n-1)] =1+2+3+⋯+(n-1)+n=n(n+1)2.当n为奇数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-2+b n-1+b n=-12+22+-32+42+-(n-2)2+(n-1)2-n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[(n-1)-(n-2)]×[(n-1)+(n-2)]-n2 =1+2+3+⋯+(n-2)+(n-1)-n2=(n-1)(1+n-1)2-n2=-n(n+1)2.综上得T n=(-1)n n(n+1)2题型三、a n+a n+1类型3(2023·广东深圳·统考一模)记S n，为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S n．【解析】(1)已知S n=a n2+n2+1，n∈N*当n=1时，a1=a12+2，a1=4；当n=2时，a1+a2=a22+5，a2=2，所以a1+a2=6．因为S n=a n2+n2+1①，所以S n+1=a n+12+n+12+1②．②-①得，a n+1=a n+12-a n2+n+12-n2，整理得a n+a n+1=4n+2，n∈N*，所以a n+1+a n+2-a n+a n+1=4n+1+2-4n+2=4(常数)，n∈N*，所以a n+a n+1是首项为6，公差为4的等差数列．(2)由(1)知，a n-1+a n=4n-1+2=4n-2，n∈N*，n≥2．当n为偶数时，S n=a1+a2+a3+a4+⋯+a n-1+a n=n26+4n-22=n2+n；当n为奇数时，S n=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a n-1+a n=4+n-1210+4n-22=n2+n+2．综上所述，S n=n2+n,当n为偶数时n2+n+2,当n为奇数时1(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n前n项和为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.【答案】(1)a n=n,n=2k-1,k∈Zn-1,n=2k,k∈Z，bn=3n-1；(2)58n-59n8.【分析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n82(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n 满足a 1=1，a n +a n +1=2n ；数列b n 前n 项和为S n ，且b 1=1，2S n =b n +1-1.(1)求数列a n 和数列b n 的通项公式；(2)设c n =a n ⋅b n ，求c n 前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，b n =3n -1；(2)58n -5 9n8.【解析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n8。
高考微专题一 以分段函数为载体的热点问题
1 1 1 ]∪[ , ) 2 4 3
答案:(-1,-
反思归纳 分段函数零点问题的关键是画出函数图象、研究函数性质, 通过数形结合的方法确定零点个数、零点所在的区间,或者根据 t≤2,故实数 t 的取值范围是[1,2].故选 A. 2
反思归纳 分段函数的值域为各段函数值域的并集,分段函数的最大值为 各段最大值中的最大,最小值为各段最小值中最小的.
理数
热点三 分段函数的单调性
(1 2a) x , x 1, 【例 3】 (2017·河南濮阳一中检测)已知函数 f(x)= 当 x1≠x2 1 log a x , x 1, 3
围是( (A)[1,2]
5 (C) 1, 2
)
5 (B) 2, 2
(D)[2,+∞)
理数
解析:对 y=x2-x,x∈(0,1),y∈[f(x)在(0,2]上的值域为[-
1 1 1 ,0),对 y= ,x∈[1,2],y∈[ ,1],故函数 4 x 2
1 1 ,0)∪[ ,1].当 x∈(2,4]时,f(x)=2f(x-2)-2, 4 2 5 ,-2)∪[-1,0].综上可知, 2
解析:当 0≤x<1 时,f(x)=x, 又 f(x+1)=(x+1)-[x+1]=x-[x]=f(x), 故函数 f(x)是以 1 为周期的周期函数. 在同一坐标系中,分别作出函数 y=f(x),y=kx+k 的大致图象, 可知当方程 f(x)=kx+k 有三个不同的实根时, k 满足 3k+k≥1 且 2k+k<1,或者-3k+k≥1 且-2k+k<1, 解得
2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用) 考向01 集合(重点)- (解析版)
考向01 集合【2022年新高考全国Ⅰ卷】若集合{4},{31}M xx N x x =<=≥∣∣，则M N =（ ）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】 【分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂. 【详解】1{16},{}3M x x N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D【2022年新高考全国II 卷】已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（ ） A ．{1,2}- B ．{1,2} C ．{1,4} D ．{1,4}-【答案】B 【解析】 【分析】求出集合B 后可求A B . 【详解】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B =，故选：B.(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借用Venn 图求解.(2)集合中的元素若是连续的实数,常借助数轴求解,但要注意端点值能否取到. (3)根据集合的运算求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时应用数形结合求解.（1）集合运算的相关结论交集 A B A ⊆ A B B ⊆ A A A = A ∅=∅ A B B A = 并集 A B A ⊇A B B ⊇A A A =A A ∅=A B BA =补集()UU A A =UU =∅UU ∅= ()U A A =∅()U A A U =（2）(.)UUU A B A B A A B B A B A B ⊆⇔=⇔=⇔⊇=⇔∅易错题【01】对集合中元素的类型理解不到位集合问题是高考必考问题,一般作为容易题出现,求解集合问题的关键是理解集合中元素的类型,特别是用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是连续数集、离散数集、点集或其他类型的集合.易错题【02】忽略集合中元素互异性利用元素与集合的关系或两集合之间的关系求参数的值,集合中元素的互异性常常容易忽略,求解问题时要特别注意,求出以后一定要代入检验,看看是否满足元素的互异性.易错题【03】忽略空集空集是任何集合的子集,在涉及集合关系,如根据,A B ⊆求参数的值或范围要注意A 是否可以为∅,根据A B =∅求参数的值或范围必须优先考虑空集的情况,否则会造成漏解．易错题【04】忽视集合转化的等价性把用描述法表示的集合转化为用列举法表述的集合或化简集合容易忽略等价性,如去分母忽略分母不为零,解含有对数式的不等式要保证对数式有意义,要注意集合中的限制条件等.1．（2022·全国·模拟预测）若集合{}24M xy x x ==-∣，{}222x N x -=>∣，则M N =（ ）A ．{}01xx ≤≤∣ B ．{01}x x ≤<∣ C ．{14}x x <<∣ D ．{1}∣<xx 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的定义，先对集合进行化简，再利用交运算即可求解. 【详解】由题意知{}04M xx =≤≤∣，{1}N x x =<∣，所以{01}M N x x ⋂=≤<∣． 故选:B ．2．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知集合{}22(,)4A x y x y =+=，(){},34B x y y x ==+，则A B中元素的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【解析】 【分析】把34y x =+代入224x y +=，根据方程的根的个数分析即可 【详解】集合{}22(,)4A x y x y =+=，{}(,)34B x y y x ==+，把34y x =+代入224x y +=，得22330x x ++=，即3x =有唯一解，故集合A B 中元素的个数为1． 故选：B3．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）已知集合{}2670A x x x =--<，{}3,1x B y y x ==<，则()R A B ⋂=（ ） A ．[)3,7 B ．(][)1,03,7-⋃C ．[)7,+∞D ．()[),17,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合A 、B ，再去求R B ，进而求得()RA B【详解】{}()26701,7A x x x =--<=-，{}()3,10,3x B y y x ==<=， 所以(][)R ,03,B =-∞⋃+∞，所以()(][)R 1,03,7A B ⋂=-⋃． 故选：B ．1．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）设集合{}{}220,1,1,2,3A x N x x B =∈--≤=-，则A B =（ ）A ．{1,0}-B ．{1,2}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3}【答案】B 【解析】 【分析】化简集合A ，根据交集运算求解. 【详解】{}{}{}220120,1,2A x N x x x N x =∈--≤=∈-≤≤=，{}1,1,2,3B =-， {1,2}A B ∴=，故选：B2．（2022·全国·模拟预测（文））如图，三个圆的内部区域分别代表集合A ，B ，C ，全集为I ，则图中阴影部分的区域表示（ ）A ．ABC ⋂⋂ B ．()I A C B ⋂⋂ C ．()I A B C ⋂⋂D ．()I B C A ⋂⋂【答案】B 【解析】 【分析】找到每一个选项对应的区域即得解. 【详解】 解：如图所示，A. A B C ⋂⋂对应的是区域1；B. ()I A C B ⋂⋂对应的是区域2；C. ()I A B C ⋂⋂对应的是区域3；D. ()I B C A ⋂⋂对应的是区域4. 故选：B3．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知集合{}23log 1,02x P x x Q xx -⎧⎫=>=≤⎨⎬+⎩⎭，则()P Q =R （ ） A ．[2,2]- B ．(2,2]- C ．[0,2] D ．(0,2]【答案】B 【解析】【分析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合,P Q ，结合集合的补集及交集的定义即可求解. 【详解】由2log 1x >，得2x >，所以{}2,P x x =>{}R2P x x =≤.由302x x -≤+，得23x -<≤，所以{}23x x Q =-<≤， 所以(){}{}{}R 23222P Q x x x x x x -<=≤=≤-<≤，故选：B.4．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）设集合{}2|log ,4A y y x x ==>，{}2|320B x x x =-+<，则()A B =R （ ） A ．(1,2) B ．(1,2] C ．(,2]-∞ D ．(,2)-∞【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性求得集合A ，解一元二次不等式求得B ,即可根据集合的补集以及并集运算求得答案. 【详解】由题意得{}2|log ,4{|2}A y y x x y x ==>=>，则{|2}A y y =≤R，而{}2|320{|12}B x x x x x =-+<=<<，故()(,2]A B =-∞R ， 故选：C.5．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知集合(){}2,A x y y x ==，(){},21B x y y x ==-，则集合AB的子集个数为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】B 【解析】 【分析】 求出抛物线2y x 和曲线2||1y x =-的交点，确定集合A B 的元素个数，即可确定答案.【详解】由题意得21,02121,0x x y x x x -≥⎧=-=⎨--<⎩，当0x ≥时，21y x =- 联立2y x ，解得11x y =⎧⎨=⎩ ；当0x <时，21y x =-- 联立2yx ，解得11x y =-⎧⎨=⎩；故抛物线2yx 与曲线2||1y x =-有两个公共点，分别为(11)-，，(11)，， 则集合A B 有两个元素，所以A B 的子集个数为224=， 故选:B ．6．（2022·河北·沧县中学模拟预测）若集合{}{}21,0,1,2A x Z x B =∈-<<=，则A B ⋃=（ ） A ．(2,1)- B ．{1,0}- C ．(2,1]{2}-⋃ D ．{1,0,1,2}-【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出集合A ，再利用并集的定义即可求解. 【详解】由题意可知{}}{211,0A x Z x =∈-<<=-，又{}0,1,2B =， 所以}{{}1,00,1,2{1,0,1,2}A B =-=-．故选：D ．7．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（文））已知集合()22,1,,42x y A x y x Z y Z ⎧⎫=+≤∈∈⎨⎬⎩⎭，则A 中元素的个数为（ ） A ．9 B ．10C ．11D ．12【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的性质得22,x y -≤≤≤. 【详解】解：由椭圆的性质得22,x y -≤≤≤又,x Z y Z ∈∈,所以集合()()()()()()()()()()(){}=2,0,2,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1A ------- 共有11个元素. 故选：C8．（2022·陕西·模拟预测（理））已知集合234|0A x x x ，{}2|B x a x a =<<，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．[)4,+∞ C ．()(),12,4-∞-⋃ D ．[][)1,24,-⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】由题知{}1,4A =-，进而分B =∅和B ≠∅空集两种情况讨论求解即可. 【详解】解：由题知{}{}2|3401,4A x x x =--==-，因为A B =∅， 所以，当{}2|B x a x a=<<=∅时，2a a≥，解得01a ≤≤，当{}2|B x a x a =<<≠∅时，2241a a a a ⎧≤⎪≥-⎨⎪>⎩或24a a a ≥⎧⎨>⎩，解得[)(][)1,01,24,a ∈-+∞，综上，实数a 的取值范围是[][)1,24,-⋃+∞. 故选：D9．（2022·江苏·南京市第一中学三模）非空集合{|03}A x N x =∈<<，2{|10,}B y N y my m R =∈-+<∈，A B A B =，则实数m 的取值范围为（ ） A ．510,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．170,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．517,24⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】由题知{}1,2A B ==，进而构造函数()21f x x mx =-+，再根据零点存在性定理得()()()302010f f f ⎧≥⎪<⎨⎪<⎩，解不等式即可得答案. 【详解】解：由题知{}0{|}13,2A x N x =∈<=<， 因为A B A B =，所以A B =，所以{}2{|10,}1,2B y N y my m R =∈-+<∈=，故令函数()21f x x mx =-+，所以，如图，结合二次函数的图像性质与零点的存在性定理得： ()()()302010f f f ⎧≥⎪<⎨⎪<⎩，即103052020m m m -≥⎧⎪-<⎨⎪-<⎩，解得51023m <≤，所以，实数m 的取值范围为510,23⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A10．（2022·四川攀枝花·三模（理））设集合{}A x x a =>，{}2320B x x x =-+>，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．(),1-∞ B ．(],1-∞ C ．()2,+∞ D ．[)2,+∞【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合B ，再由A B ⊆求出实数a 的范围. 【详解】{}{23202B x x x x x =-+>=>或}1x <.因为集合{}A x x a =>，A B ⊆，所以2a ≥. 故选：D11．（2022·安徽黄山·二模（文））若集合2{|60}A x x x =--+>，5{|1}3B x x =≤--，则A B 等于（ ） A ．()3,3- B ．[2,3)-C ．(2,2)-D ．[2,2)-【答案】D 【解析】 【分析】解不等式化简集合A ，B ，再利用交集的定义直接求解作答. 【详解】不等式260x x --+>化为：260x x +-<，解得：32x -<<，则(3,2)A =-， 不等式513x ≤--，即203x x +≤-，整理得：(2)(3)030x x x +-≤⎧⎨-≠⎩，解得23x -≤<，则[2,3)B =-，所以[2,2)A B ⋂=-. 故选：D1．（2022·全国·高考真题（文））集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N =（ ）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可解出． 【详解】因为{}2,4,6,8,10M =，{}|16N x x =-<<，所以{}2,4MN =．故选：A. 2．（2022·全国·高考真题（理））设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =，则（ ）A ．2M ∈B ．3M ∈C ．4M ∉D ．5M ∉【答案】A【解析】【分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可【详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误故选:A 3．（2022·全国·高考真题（理））设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B xx x =-=-+=∣，则()U A B ⋃=（ ）A ．{1,3}B ．{0,3}C ．{2,1}-D ．{2,0}-【答案】D【解析】【分析】 解方程求出集合B ,再由集合的运算即可得解.【详解】 由题意，{}{}2=4301,3B x x x -+==，所以{}1,1,2,3A B ⋃=-, 所以(){}U 2,0A B ⋃=-.故选：D.4．（2022·浙江·高考真题）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（ ）A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}【答案】D【解析】【分析】利用并集的定义可得正确的选项.{}1,2,4,6A B =，故选：D.5．（2022·北京·高考真题）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A （ ） A ．(2,1]-B ．(3,2)[1,3)--C ．[2,1)-D ．(3,2](1,3)-- 【答案】D【解析】【分析】利用补集的定义可得正确的选项．【详解】由补集定义可知：{|32U A x x =-<≤-或13}x <<，即(3,2](1,3)U A =--，故选：D ．6．（2022·全国·高考真题（文））设集合5{2,1,0,1,2},02A B x x ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（ ） A ．{}0,1,2B ．{2,1,0}--C ．{0,1}D ．{1,2}【答案】A【解析】【分析】 根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为{}2,1,0,1,2A =--，502B x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∣，所以{}0,1,2A B =． 故选：A.7．（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U AB =（ ）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3} 【答案】B【解析】【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂.由题设可得{}U 1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B. 8．（2021·全国·高考真题（文））设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N =（ ）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,9【答案】B【解析】【分析】求出集合N 后可求M N ⋂.【详解】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，故{}5,7,9M N ⋂=，故选：B.9．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C【解析】【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T =.故选：C.10．（2021·全国·高考真题（理））设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N =（ ） A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【解析】【分析】根据交集定义运算即可【详解】 因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭, 故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.11．（2021·全国·高考真题）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4 【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义可求A B .【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .12．（2020·浙江·高考真题）设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足： ①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则y x∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素【答案】A【解析】分别给出具体的集合S 和集合T ，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.【详解】首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项 C ；若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ；下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈， 若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p p p p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i q p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =， 此时{}234456*********,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确.故选：A .【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 13．（2020·全国·高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ） A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3} 【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.14．（2020·浙江·高考真题）已知集合P ={|14}<<x x ，{|23}Q x x =<<，则PQ =（ ） A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x ≤<D ．{|14}<<x x【答案】B【解析】【分析】根据集合交集定义求解.【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q == 故选：B【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.。
微专题1 三角形中面积问题 - 提高版
微专题1 三角形中面积问题【真题感悟】1．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________． 【答案】63【解析】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=，即212c =，解得23,23c c ==-（舍去）， 所以243a c ==，113sin 43236 3.222ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△ 2. （2020年新高考全国Ⅰ、Ⅱ卷）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC =35，BH DG ∥，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2．【答案】542π+【解析】设==OB OA r ，由题意7AM AN ==，12EF =，所以5NF =， 因为5AP =,所以45AGP ︒∠=， 因为//BH DG ，所以45AHO ︒∠=，因为AG 与圆弧AB 相切于A 点，所以OA AG ⊥， 即OAH △为等腰直角三角形； 在直角OQD △中，252OQ r =-，272DQ r =-，因为3tan 5OQ ODC DQ ∠==，所以3252212522r r -=-， 解得22r =；等腰直角OAH △的面积为11222242S =⨯⨯=； 扇形AOB 的面积()221322324S ππ=⨯⨯=，所以阴影部分的面积为1215422S S ππ+-=+. 故答案为：542π+.3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinsin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围． 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=． 因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sin cos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC 的面积3ABC S =△．由正弦定理得()sin 120sin 31sin sin 2C c A a C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而33ABC S <<△．因此，△ABC 面积的取值范围是33,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 【典例导引】例1已知△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，满足a ＋1a ＋4cos C ＝0，b＝1.(1)若△ABC 的面积为32，求a ； (2)若A ＝π6，求△ABC 的面积．解法1(1)由S ＝12absinC ＝12asinC ＝32得asinC ＝3，即sinC ＝3a .又a ＋1a ＝－4cosC ，那么(a ＋1a )2＝16cos 2C ＝16(1－sin 2C)＝16－48a2，即a 4－14a 2＋49＝0，得到a 2＝7，即有a ＝7.－2（a 2＋1－c 2）a ，即a 2＋1＝23c 2，①又由b 2＋c 2－a 2＝2bccosA 可知c 2－a 2＋1＝3c ，②由①②得到c 2－33c ＋6＝0，亦即(c －3)(c －23)＝0，可知c ＝3或c ＝2 3. 经检验，c ＝3或c ＝23均符合题意； 那么，△ABC 的面积为S ＝12bcsinA ＝32或34.解法2(1)a ＋1a ＋4cosC ＝0得，－acosC ＝14(a 2＋1)，①又由S ＝12absinC ＝12asinC ＝32可得asinC ＝3，②由①②平方相加得a 2＝116(a 2＋1)2＋3，即a 4－14a 2＋49＝0，得到a 2＝7，即有a ＝7.(2)如图，又由a ＋1a ＋4cosC ＝0可得：a ＋1a ＋4（a 2＋b 2－c 2）2ab ＝0，又b ＝1，所以a 2＝23c 2－1，④由③④可得c 2－33c ＋6＝0(下面同解法1 )．变式 在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2acosB. (1)若a ＝2，B ＝π12，试求△ABC 的面积；(2)若△ABC 中的面积S ＝a 24，求角A 的大小．解析：由b ＋c ＝2a cos B 及正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B.因为sin C ＝sin (A ＋B)＝sin A cos B ＋cos A sin B ，代入化简得：sin B ＝sin A cos B －cos A sin B ，即sin B ＝sin (A －B)，因为A ，B 都为三角形的内角，所以B ＝A －B ，即A ＝2B.(2)由S ＝a 24得12ab sin C ＝14a 2，即a ＝2b sin C ，即sin A ＝2sin B sin C ，因为A ＝2B ，所以sin 2B＝2sin B sin C ，即cos B ＝sin C ，又B ，C 是三角形的内角，所以C ＝π2±B.当C ＝π2＋B 时，B＝π8，C ＝5π8，A ＝π4；当C ＝π2－B 时，B ＝π4，C ＝π4，A ＝π2，综上所述，A ＝π4或π2. 例2（2020届山东省泰安市高三6月全真三模）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2cos22sin sin A B A B ++=1+cos2C .（1）求角C .（2）设D 为边AB 的中点，△ABC 的面积为2，求CD 2的最小值.【解析】（1）由已知可得22212sin 12sin 2sin sin 112sin A B A B C -+-+=+-，222sin sin sin sin 2sin A B A B C =+-由正弦定理得222ab a b c =+-，所以222cos 122a b c C ab +-==，又()0C π∈，，所以3C π=.（2）由1sin 2ABC S ab C ∆=，即12=2ab ，所以ab =. 由()12CD CA CB =+，所以()222124CD CA CB CA CB =++⋅，则()()()222221112cos 2444CD b a ab C b a ab ab ab =++=+++=≥a b =时取等号，所以2CD 的最小值为例3（2020届山东省滨州市高三数学二模）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，__________，求△ABC 的周长L 和面积S.在①3cos 5A =，cos C =，②sin sin sin c C A b B =+，60B ︒=，③2c =，1cos 4A =-这三个条件中，任选一个补充在上面问题中的横线处，并加以解答. 【解析】选① 因为3cos 5A =，cos C =，且0A π<<，0B π<<， 所以4sin 5A =，sin C = 在△ABC 中，A B C π++=，即()B A C π=-+， 所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C+A C =+=4355=+==由正弦定理得，4sin 54sin 5a Bb A===， 因为sin sin B C =，所以c b ==所以△ABC的周长44L a b c =++=+=+ △ABC的面积11sin 48225S ab C ==⨯⨯=. 选②因为sin sin sin c C A b B =+， 所以由正弦定理得，22c a b =+ 因为4a =，所以224b c =-. 又因为60B ︒=.由余弦定理得22116242b c c =+-⨯⨯⨯ 所以224164c c c -+=-. 解得5c =.所以b =.所以△ABC的周长459L a b c =++==△ABC的面积11sin 45222S ac B ==⨯⨯⨯=选③因为2c =，1cos 4A =-，所以由余弦定理得，21164224b b =++⨯⨯⨯. 即2120b b +-=.解得3b =或4b =-（舍去）.所以△ABC 的周长4329L a b c =++=++=， 因为(0,)A π∈，所以sin 4A ==，所以△ABC 的面积13221sin 2S bc A =⨯⨯==.变式（2020届海南省海口市高三模拟）在①cos 3B =，3c =，②1cos 3A =，()sin 3sin A B B +=，③ab =1cos 3A =三组条件中任选一组补充在下面问题中，并加以解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC ，_____，求b ．【解析】若选①：cos 3B =，3c =．因为cos 3B =，0πB <<，所以1sin 3B =．由111sin 3223ABCSac B a ==⨯⨯⨯=，解得a =由余弦定理得2222cos 892313b ac ac B =+-=+-⨯⨯=，所以1b =． 若选②：1cos 3A =，()sin 3sin AB B +=．因为1cos 3A =，0πA <<，所以sin A =． 因为πA B C ++=，所以()sin sin A B C +=． 所以sin 3sin C B =，由正弦定理可得3c b =．所以11sin 322ABCSbc A b b ==⨯⨯=1b =．若选③：ab =1cos 3A =．因为11sin sin 22ABCSab C C ==⨯=sin 1C =． 又因为0πC <<，所以π2C =． 因为1cos 3A =，0πA <<，所以sin A =，且π1sin sin cos 23B A A ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭．根据正弦定理sin sin a bA B=，可得a =．所以2ab ==，解得1b =． 【新题在线】1．（2020届山东省淄博市二模）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若sin sin b A a C =，1c =，则b =__，ABC ∆面积的最大值为___.【答案】1 12【解析】因为sin sin b A a C =，所以由正弦定理可得ba ac =，所以1b c ==; 所以111sin sin 222ABC S bc A A ∆≤==，当sin 1A =，即90A =︒时，三角形面积最大. 2．(2020届山东师范大学附属中学高三4月线上模拟)在△ABC 中，设角A ，B ，C 对应的边分别为,,a b c ，记△ABC 的面积为S ，且22242a b c =+，则2Sa 的最大值为__________.【解析】由题知22222222422c 2os 4b a c a c ac B a b c ⇒=-=+-=+， 整理得()222232cos 33cos 2a c ac B a c B ac-=-+⇒=，因为()222222221sin 1cos sin 224ac B c B S c B a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭， 代入()223cos 2a c B ac-=整理得2422421922916S c c a a a ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令22c t a =，有()22222111110922931616336S t t t a ⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2221036S S a a ⎛⎫⇒ ⎪⎝⎭≤，所以2S a 3．（2020届山东省高三数学模拟测试五）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知c =sin25C =. （1）若1a =，求sin A ； （2）求△ABC 的面积S 的最大值. 【解析】（1）因为23cos 12sin25C C =-=-，所以4sin 5C =，由正弦定理sin sin a c A C =得sin sin 10a C A c ==. （2）由（1）知3cos 5C =-，2222266162cos 2555c b a b a C b a ba ab ba ba =+-⋅⋅=+++=≥，所以16325ba ≥，10ba ≥，114sin 104225S ba C =⨯⨯=≤， 当且仅当a b =时，△ABC 的面积S 有最大值4. 【作业反馈】1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝13，3sin B ＝2sin C ，且△ABC 的面积为22，则a ＝( )A ．2 3B ．3C ．2D ． 3 【答案】B【解析】因为cos A ＝13，所以sin A ＝223.因为3sin B ＝2sin C ，所以3b ＝2c .所以S △ABC＝22＝12bc sin A ＝34b 2×223，解得b ＝2，所以c ＝3.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋9－2×2×3×13＝9，解得a ＝3.2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知c ＝2 2，点P 是AB 的中点，若PC ＝a －b ，则△ABC 面积的最大值为（ ） A ． 3B ．3C ．2 3D ．12【答案】A【解析】因为点P 是AB 的中点，c ＝2 2，PC ＝a －b ，所以cos cos APC CPB ∠=-∠，即22222222+-+-=-⋅⋅PA PC AC PB PC BC PA PC PB PC， 2222=，所以222222()2()0+--++--=a b b a b a ，整理得：22440+-+=a b ab ，因此2244042+-+=≥-a b ab ab ，即2ab ≥，当且仅当a b ==2244+=-a b ab ；又22841226cos 22+---===a b ab ab C ab ab ab ，所以sin =C ，因此ABC △面积为11sin 22∆===ABCS ab C=≤=4ab =时，取得最大值.故选：A 3. 设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()1cos cos cos2c A a B b A =+，△ABC 的面积为 3，b c +=ABC 的外接圆面积为（ ）A.48πB.24πC.16πD.4π 【答案】D【解析】因为()1cos cos cos 2c A a B b A =+， 由正弦定理可得()1sin cos sin cos sin cos 2C A A B B A =+，即()1sin cos sin 2C A A B =+， 由于在△ABC 中， A ＋B ＝π－C ，由诱导公式可得()sin sin A B C +=，由于在△ABC 中，sin 0C ≠，所以1cos 2A =，因为()0,A π∈，故3A π=，由于△ABC 的面积为 3，b c +=所以由三角形面积公式以及余弦定理可得：22213=sin 22cos 26bc A a b cbc A b c ⎧⎪⎪=+-⋅⎨⎪+=⎪⎩解得：23a =所以由正弦定理可得2sin a RA=，解得：2R =，则△ABC 的外接圆的半径为2，其面积为4π，故答案选D.4. 我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则△ABC 的面积222222142a b c S a b ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦.根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则△ABC 的面积为（ ）A ． 2B ．2 2C ． 6D ．2 3 【答案】A【解析】由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=， 因为sin 0C ≠，所以1cos 3A =-，由余弦定理22222cos 23a b c bc A bc --=-==，所以3bc =，由△ABC 的面积公式得()22222222112324242c b a S b c ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+--=-=-=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选：A 5．(2020届山东省烟台市高三新高考数学模拟)刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2的近似值为（ ）A ．90πB ．180π C ．270π D ．360π【答案】A【解析】由割圆术可知当n 变得很大时,这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积, 设圆的半径为r ,每个等腰三角形的顶角为360n , 所以每个等腰三角形的面积为21360sin 2r n , 所以圆的面积为221360sin 2r n r n π=⋅,即3602sin n nπ=, 所以当180n =时,可得3602sin sin 218018090ππ===,故选:A 6．(多选)(2020届山东省临沂市高三一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2 3，c ＝3，A ＋3C ＝π，则下列结论正确的是（ ）A ．3cos C =B ．2sin 3B =C ．3a =D ．2ABC S = 【答案】AD【解析】3A C π+=，故2B C =，根据正弦定理：sin sin b c B C=，即23sin 32sin cos C C C =⨯，sin 0C ≠，故3cos C =，6sin C =，22sin sin 22sin cos B C C C ===. 2222cos c a b ab C =+-，化简得到2430a a -+=，解得3a =或1a =，若3a =，故4A C π==，故2B π=，不满足，故1a =.116sin 123222ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△.故选：AD. 7．如图，在△ABC 中，已知AC ＝7，∠B ＝45°，D 是边AB 上的一点，AD ＝3，∠ADC ＝120°.则△ABC 的面积是________．答案：75＋5538.在△BCD 中，由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝CD sinB ，BD sin75°＝5sin45°，解得BD ＝5＋532，8．如图，等腰△ABC 腰上的中线BD 为定长3，当顶角α变化时，则△ABC 面积的最大值为________．答案：6.9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若2cos A (b cos C ＋c cos B )＝a ＝13，△ABC 的面积为33，则A ＝________，b ＋c ＝________.答案：π37 解析：由正弦定理可得，2cos A (sin B cos C ＋sin C cos B )＝2cos A sin A ＝sin A ，所以cos A ＝12，解得A ＝π3.因为S △ABC ＝33＝12bc sin A ＝34bc ，所以bc ＝12.由余弦定理可得，13＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，所以(b ＋c )2＝49，解得b ＋c ＝7.10.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，c ＝8.(1)若点M 是线段BC 的中点，AM BM＝3，求b 的值； (2)若b ＝12，求△ABC 的面积．解析：(1)因为点M 是线段BC 的中点，AM BM＝3，设BM ＝x ，则AM ＝3x ，又B ＝60°，c ＝8，在△ABM 中，由余弦定理得3x 2＝64＋x 2－2×8xcos60°，解得x ＝4(负值舍去)，则BM ＝4，BC ＝8.所以△ABC 中为正三角形，则b ＝8.(2)在△ABC 中，由正弦定理b sinB ＝c sinC ，得sinC ＝csinB b ＝8×3212＝33. 又b>c ，所以B>C ，则C 为锐角，所以cosC ＝63. 则sinA ＝sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋cosBsinC ＝32×63＋12×33＝32＋36，所以△ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝48×32＋36＝242＋8 3.(1)求角C 的大小；(2)若⎪⎪⎪⎪CA ―→－12CB ―→＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)因为2c cos B ＝2a －b ，所以2sin C cos B ＝2sin A －sin B ＝2sin(B ＋C )－sin B ，化简得sin B ＝2sin B cos C ，因为sin B ≠0，所以cos C ＝12.因为0＜C ＜π，所以C ＝π3.所以ab ≤8，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．所以S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤23，所以△ABC 面积的最大值为2 3. 12．（2020届山东省高考模拟考试（12月））在△ABC 中，A ＝90°，点D 在BC 边上．在平面ABC 内，过D 作DF ⊥BC 且DF ＝AC ．（1）若D 为BC 的中点，且△CDF 的面积等于△ABC 的面积，求∠ABC ； （2）若∠ABC ＝45°，且BD ＝3CD ，求cos ∠CFB ．【解析】（1）如图所示，D 为BC 的中点，所以BD ＝CD ．又因ABC CDF S S =△△，即111224AB AC CD DF BC AC ⨯=⨯=⨯，从而2BC AB =， 又90A =︒，从而30ACB ∠=︒，所以903060ABC ∠=︒-︒=︒．（2）由45ABC ∠=︒，从而AB AC =，设AB AC k ==，则2BC k =． 由3BD CD =，所以33244BD BC k ==，24CD k =． 因为DF AC k ==，从而22344BF DF BD k =+=，22324CF DF CD k =+=． （方法一）从而由余弦定理，得222222917251788cos 23342244k k k CF BF BC CFB CF BF k k +-+-∠===⨯⨯⨯ （方法二）所以2cos 3417DF DFB BF ∠==从而cos BD DFB BF ∠==；cos DF DFC CF ∠== 从而1sin 3CD DFC CF ∠==．所以()cos cos CFB CFD DFB ∠=∠+∠=。
2022年高考数学函数的微专题复习专题01 函数图象的识别与辨析(解析版)
2022年高考数学函数的微专题复习专题01函数图象的识别与辨析题型一、由函数的解析式识别图象函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项例1、【2020年天津卷】.函数241xy x =+的图象大致为（）A.C.变式1、【2020年浙江卷】.函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，+π]的图象大致为（）A. B.C. D.变式2、（江苏省连云港市2021届高三调研）函数3ln |2|()(2)-=-x f x x 的部分图象大致为（）.A ．B ．C ．D ．变式3、（2021·山东德州市·高三期末）函数22sin 3()cos x xf x x x +=+在[,]-ππ的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．题型二、由函数的图象辨析函数的解析式由函数的图象确定解析式，首先要观察函数的图象，可以从以下几个方面入手：（1）观察函数的对称性，判断函数的奇偶性；（2）观察图象所在象限，判断函数的定义域和值域；（3）从图象中观察一些特殊位置以及图象的发展趋势；结合上面的信息进行对函数解析式的排除。
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项例2、（山东省2020-2021学年高三调研）已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（）A ．()2e e 2x xf x x x --=+-B ．()2e e 2x xf x x x --=+-C ．()22e e x xx x f x -+-=-D ．()22e e x xx x f x -+-=-变式1、（2021·江苏苏州市·高三期末）在数学的研究性学习中，常利用函数的图象研究函数的性质，也利用函数的解析式研究函数的性质，下列函数的解析式（其中 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数）与所给图象最契合的是（）A ．22sin 1x y x =+B ．221xy x =+C ．x xxx e e y e e ---=+D ．x xxxe e y e e --+=-变式2、（山东省青岛市2020-2021学年高三模拟）已知函数()f x 的部分图象如下所示，则()f x 可能为（）A ．cos 1()22x xx f x -+=+B ．cos sin ()22x xx x x f x -+=+C ．cos sin ()22x xx x x f x -+=-D ．cos sin ()22x xx x x f x -+=+题型三、情景问题中解析式情景问题中的解析式问题关键要从问题情景中挖掘有用的信息，从情景中理解所给的函数解析式所具有的特点，然后再结合具体的解析式研究性质等问题。
2022届高考数学一轮复习讲义微专题1：对勾函数的性质与图像(学生版+教师版)
【学生版】微专题：对勾函数的性质与图像1、对勾函数的定义与表示对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如：()bf x ax x=+（0ab >）的函数；当0,0a b ≠≠时，对勾函数()bf x ax x=+是正比例函数()f x ax =与反比例函数()bf x x=，通过“函数的和的运算”合成的函数； （1）当,a b 同号时, 对勾函数()bf x ax x=+的图像，形状酷似双勾；故称“对勾函数”，如下图所示：（2）当,a b 异号时，对勾函数()bf x ax x=+的图像，形状发生了变化；如下图所示：2、对勾函数的性质研究以一般式：(0)by ax x x=+≠(a 、0b >)为例； （1）定义域： （2）值 域： （3）奇偶性： （4）单调性： （5）渐近线：【拓展】对于对勾函数()bf x ax x=+（0ab >）的单调性判断与证明； ① 当0,0a b >>时， 说明：；② 当0,0a b <<时 说明：；③当0,0a b ><时 ④当0,0a b <>时 3、对勾函数的图像特征对勾函数()b f x ax x =+，当0,0a b ≠≠时, 对勾函数()bf x ax x=+是正比例函数()f x ax =与反比例函数()bf x x=“叠加”而成的函数. 【拓展】对勾函数顶点与最值相关对勾函数()(0,0)bf x ax a b x=+>>， 对勾函数()(0,0)bf x ax a b x=+<<， 4、对勾函数的初步应用 1、若函数()4f x x x=+，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小值为4B ．函数()f x 在(0,2)上严格单调递减，在(2,)+∞上严格单调递增C ．函数()f x 的最大值为4D ．函数()f x 在(0,2)上严格单调递增，在(2,)+∞上严格单调递减 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】；2、已知函数()bf x ax x=+，其中a 、b 为常数，且()15f =，()24f =；（1）求a 、b 的值；（2）利用单调性的定义证明函数()f x 在区间()0,2上是减函数；（3）求函数()f x 在区间[]1,3上的最大值和最小值； 【提示】； 【答案】； 【解析】【说明】利用定义证明函数单调性的方法：（1）取值：设1x 、2x 是所给区间上的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差()()12f x f x -的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论；即取值→作差→变形→定号→下结论；体验教材研究函数单调性的方法与证明； 综上，理解对勾函数的构成，及单调性，单调区间，形成结论；注意利用定义法加以证明。
高考数学答案微专题1
微专题1例题1 答案：－1665.解法1由tan α2＝12得，sin α＝2tanα21＋tan 2a 2＝11＋14＝45，cos α＝35，由sin (α＋β)＝513＜sin α，α，β∈(0，π)，α＋β∈(0，2π)，所以cos (α＋β)＝－1213.cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－1665.解法2由tan α2＝12得，tan α＝43，由法1可知，tan (α＋β)＝－512.tan β＝－6316，cos β＝－1665.解法3由cos (α＋β)＝－1213，得cos α＋β2＝2626，cos α2＝255，cos β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2－α2＝7130130，cos β＝2cos 2β2－1＝4965－1＝－1665.变式联想变式1 答案：17250.解析：设θ＋15°＝t ，则θ＝t －15°，且sin t ＝45，cos t ＝35，所以cos 2t ＝2cos 2t －1＝－725，sin 2t ＝2sin t cos t＝2425， 所以2θ－15°＝2t －45°，所以cos (2θ－15°)＝cos (2t －45°)＝22(cos 2t ＋sin 2t)＝17250. 变式2答案：2＋13. 解析：cos α＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π8－π8＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋2×π8，所以3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π8sin π8＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π8cos π8，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π8＝13tanπ8＝13（2－1）＝2＋13.串讲激活串讲1答案：(1)－3； (2)－3＋4310. 解析：根据题意tan α＝2，sin α＝25，cos α＝15， (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3；(2)sin ⎝⎛⎭⎫2α＋5π6＝sin 2αcos5π6＋cos 2αsin 5π6＝2sin α·cos α⎝⎛⎭⎫－32＋(2cos 2α－1)×12＝2×15×25⎝⎛⎭⎫－32＋⎝⎛⎭⎫2×15－1×12＝－3＋4310.串讲2答案：(1)－35；(2)－17250.解析：(1)解法1：因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4，又sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－1－⎝⎛⎭⎫2102＝－7210.所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4＝－7210×22＋210×22＝－35.解法2：由sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210，得sin αcos π4＋cos αsin π4＝ 210，即sin α＋cos α＝15，①.又sin 2α＋cos 2α＝1，②.由①②解得cos α＝－35或cos α＝45.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－35.(2)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝－35，所以sin α＝1－cos 2α ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45.所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×45×⎝⎛⎭⎫－35＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝⎛⎭⎫－352－1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4＝sin 2αcos π4－cos 2αsin π4＝⎝⎛⎭⎫－2425 ×22－⎝⎛⎭⎫－725×22＝－17250. 新题在线答案：(1)f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；(2)－33＋410.解析：(1)设f(x)的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π.又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x ＋φ)．因为点⎝⎛⎭⎫π12，2在函数图象上， 所以2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1.因为－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝－65， 得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－35.因为2π3＜α＜7π6，所以π＜α＋π3＜3π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－45.所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3sinπ3＝－45×12＋⎝⎛⎭⎫－35×32＝－33＋410.。
【独家】高考数学微专题(学生版)(至第3波) (1)
13、已知函数 f (x) ex ，方程 f 2 (x) tf (x) 1 0(t R) 有四个不同的实数根，则实数 t 的取值范围为 x
________.
14、若关于 x 的方程 (x 3)2 ex aex 2a | x 3 | 有且仅有 6 个不等的实数解，则实数 a 的取值范围是
则实数 m 的取值范围为（ ）.
A. (1 1, e) e
B. (1 ,2) (2, e) e
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高考数学微专题
（上册）
主编 张立祥 焦子奇 编委 刘明政 范德柱 张达望 刘 丽 廖金林
覃 荣 窦 威 王 芳 鲍伟伟 余黎进军 罗永云 林进伟 史军军
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河北焦子奇
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第一部分 函数 第一章 函数性质······································································································· 002 1.1 单调性··············································································································· 002 1.2 奇偶性··············································································································· 006 1.3 奇偶性+单调性·····································································································009 1.4 周期性··············································································································· 012 1.5 奇偶性+周期性·····································································································015 1.6 对称性··············································································································· 017 1.7 凹凸性··············································································································· 023 1.8 性质综合············································································································ 025 第二章 函数综合······································································································· 031 2.1 嵌套函数············································································································ 031 2.2 分段函数············································································································ 035 2.3 零点问题············································································································ 038 2.4 恒成立共零点······································································································ 042 2.5 恒成立之零点比大小····························································································· 043 2.6 倍（保）值区间··································································································· 044 2.7 类周期函数········································································································· 046 2.8 指对幂比大小······································································································ 049 2.9 整数解问题········································································································· 054 2.10 切线距离···········································································································056 2.11 齐次式·············································································································· 057 2.12 同构················································································································· 059 2.13 平口单峰···········································································································060 2.14 综合应用···········································································································063