2020版高分宝典高考数学二轮微专题复习(江苏专用)讲义：微专题七基本不等式
【精选】江苏专版版高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本不等式及其应用课件
如果解题过程中不满足上述条件,可以进行必要、合理的拆分或配凑因
1, 1
2
.
∵a>0,b>0, 1 + 1 =1,
2a b b 1
∴ 1 + 1 =1,即 1 + 1 =1.
2(t 2b) b b 1
2t 3b b 1
∴ 1 =1- 1 = b .
2t 3b b 1 b 1
从而2t-3b= b 1=1+ 1 ,即2t=3b+ 1 +1≥2 3b 1 +1=2 3 +1
u
u 52 2 52
u
= 5 1,故a≥ 5 1 ,即amin= 5 1.
2
2
2
答案 5 1 2
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
a
2
b
2
,∴
a
2
b
2
≥a+b+3,即 (a+b)2-1(a+b)-3≥0,解得a+b≥6(a+b≤-2舍去).
(江苏专用)2020版高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本不等式及不等式的应用课件
本不等式等有关知识,利用点到直线的距离公式变形考查学生的运算求解能力,体现了从几何
关系到代数关系的直观想象和数学运算的核心素养.
设P
x0 ,
x0
4 x0
,x0>0,则点P到直线x+y=0的距离d=
x0
x0
4 x0
2
=
2
x0
2 x0
≥4,当且仅当x0= x20 ,
1 2
c,
3 2
c
,C
1 2
a,
3 2
a
,D
(1,0),由A,D,C三点共线,
得
3c 2
=
3 2
a
,化简得ac-a-c=0,即 1 + 1 =1,
1 c 1 1 a 1
ac
2
2
所以4a+c=(4a+c) 1a
1 c
=5+ c + 4a ≥9,
得 1 acsin 120°= 1 csin 60°+ 1 asin 60°,
2
2
2
则ac=a+c,即 1 + 1 =1,
ac
所以4a+c=(4a+c) 1a
1 c
=5+ c + 4a ≥9,当且仅当a= 3 ,c=3时取等号.故4a+c的最小值为9.
ac
2
解法二(解析法):以B为原点,BD所在直线为x轴,建立直角坐标系,则A
即x0= 2 时取“=”.
(江苏专版)2020版高考数学一轮复习第七章不等式第二节二元一次不等式组与简单的线性规划问题课件文苏教版
y＝2×2－5＝－1时，z最小，zmin＝3×2－1＝5. 答案：5
5．当实数x，y满足xx＋－2y－y－1≤4≤00，， x≥1
时，1≤ax＋y≤4
恒成立，则实数a的取值范围是________．
x＋2y－4≤0， 解析：作出不等式组x－y－1≤0，
x≥1
表示的平面区域如图中阴影部分所示，
△ABC 的内部(含边界)，x2＋y2 表示的是此区
域内的点(x，y)到原点距离的平方．从图中可
知最短距离为原点到直线 BC 的距离，其值为 1；最远的距离 为 AO，其值为 2，故 x2＋y2 的取值范围是[1,4]． 答案：[1,4]
角度三：线性规划中的参数问题
4．(2018·苏州质检)已知x，y满足xx＋≥y2≤，4， 2x－y－m≤0.
2．如图所示的平面区域(阴影部分)满足的不等式为______．
解析：平面区域的边界线方程为x1＋1y＝1，即 x＋y－1＝0. 所以平面区域满足不等式是 x＋y－1＞0. 答案：x＋y－1＞0
3．(2018·南京高三年级学情调研)已知实数 x，y 满足条件
2y≥≤3x，≤4， x＋y≤8，
联立xx－ ＋3y＝y＝2，1， 解得xy＝＝1474，， 答案：74，14
所以点P的坐标为47，14.
2．(2018·连云港质检)已知实数x，y满足 xx－ －y3＋y－1≥1≤0， 0， x≤1.
若z＝kx－y的最小值为－5，则实数k＝________. 解析：不等式组对应的平面区域是以点(1,2)，(1,0)和 (－2，－1)为顶点的三角形及其内部，当z取得最小值时， 直线y＝kx－z在y轴上的截距最大，当k≤1时，目标函数 直线经过点(1,2)时，zmin＝k－2＝－5，k＝－3适合；当 k＞1时，目标函数直线经过点(－2，－1)时，zmin＝－2k＋ 1＝－5，k＝3适合，故k＝±3. 答案：±3
(江苏专用)高考数学总复习第七章第三节基本不等式及其应用课件苏教版
所以 1
m
+2
n
1 5
=
1 m
2 n
(2m+n)=
1 5
4
≥n
m
4m n
=
1 5
,4 2
n m
4m n
8 5
a+
a 1
=b
b2
+m
m
1=2n-
n
2
≤2-
1 m
= 2
n
,当且8 仅2 当n=2m=
55
故 a + 的b 最大值是 .2
a1 b2
5
时取等5 号,
2
考点突破
考点一 利用基本不等式求最值
+c的最小值为
.
(2)(2019徐州铜山高三模拟)正数a,b,c满足 1 +1 1 = a ,若 b + >t恒成立,
a b c c cb
则实数t的最大值为
2
at
33
a b1
2
规律总结
常数代换法求最值的关键在于常数的变形应用,利用这种方法求最值要
注意以下三个方面:1.条件的灵活变形,确定或分离出常数是基础;2.已
知等式化为“1”的表达式,是代数式等价变形的基础;3.基本不等式求
最值的条件需要检验.
角度三 消元法求最值
典例3 (1)(2018南通高三调研)已知a,b,c均为正数,且abc=4(a+b),则a+b
.
答案 1
解析 x>0,y>0,2x+5y=20≥2 1,0则x y0<xy≤10,当且仅当2x=5y=10,即x= 5,y=2时取等号,则lg x+lg y=lg xy≤1,故最大值是1.
2020版高分宝典高考数学二轮微专题复习(江苏专用)课件：微专题四平面向量的线性运算和坐标运算
目标 2 平面向量的坐标运算 例 2 (1) 已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，向量 m＝(a， 3 b)与 n＝(cosA，sinB)平行， 则 A＝__________.
π 3
解析：因为 m∥n，所以 asinB－ 3bcosA＝0.由正弦定理，得 sinAsinB－ 3
＋nO→B，所以
C
︵ 在优弧AB上．
建立平面直角坐标系，不妨设半径为 1，则 A(0,1)，B(1,0)． 设 C(cosθ，sinθ)θ∈2π，2π， 代入O→C＝mO→A＋nO→B，可得 n＝cosθ，m＝sinθ，即 m＋n＝cosθ＋sinθ＝ 2sinθ＋π4. 又 θ＋π4∈34π，94π，所以 m＋n∈[－ 2，1)．
又A→C＝A→B＋A→D，所以λ2λ－＋μ2μ＝＝11，，
解得 λμ＝＝6525，.
所以 λ＋μ＝85.
3. 在△ABC 中，已知 C＝45°，O 是△ABC 的外心，若O→C＝mO→A＋nO→B(m，n∈R)，
则 m＋n 的取值范围是________． [－ 2，1) 解析： 因为 C＝45°，O 是△ABC 外心，所以∠AOB＝90°，O→C＝mO→A
根据等面积公式可得圆的半径
r＝
2 ，即圆 5
C
的方程是(x－2)2＋y2＝45，
A→P＝(x，y－1)，A→B＝(0，－1)，A→D＝(2,0)，若满足A→P＝λA→B＋μA→D，
即xy＝ －21μ＝，－λ， μ＝2x，λ＝1－y，所以 λ＋μ＝2x－y＋1.
设 z＝2x－y＋1，即2x－y＋1－z＝0，点 P(x，y)在圆(x－2)2＋y2＝45上，
sinBcosA＝0，又 sinB≠0，从而 tanA＝ 3，由于 0＜A＜π，所以 A＝3π.
2020版高分宝典高考数学二轮微专题复习(江苏专用)课件：微专题十六等差、等比数列
(2) 117 解析：解法 1: a1＋a2＝a11＋q＝49，
两式相除可得
a3＋a4＋a5＋a6＝a1q2＋q3＋q4＋q5＝40，
q2＋q4＝90，即 q2＝－10(舍)或 q2＝9.又 an>0，所以 q＝3，故 a1＝19，所以 a7＋a8
＋a9＝a1q6(1＋q＋q2)＝1 053，即a7＋a98＋a9＝117.
(1) 3 解析：由 a8＝a6＋6a4 得 a2q6＝a2q4＋6a2q2，则有 q4－q2－6＝0，所以 q2
＝3(舍负)．又 q>0，所以 q＝ 3，则 a3＝a2q＝ 3.
(2)
3 5
解析：因为 SS2nn＝4nn＋＋12，所以令 n＝1 可得，SS12＝26＝13，即2aa1＋1 d＝13，化
解法 2: 因为aa31＋ ＋aa42＝q2，aa51＋ ＋aa62＝q4，所以 a3＋a4＋a5＋a6＝(q2＋q4)(a1＋a2)＝40. 即 q4＋q2＝90，解得 q2＝9.又 an>0，所以 q＝3.又aa71＋ ＋aa82＋ ＋aa93＝q6，aa74＋ ＋aa85＋ ＋aa96＝q3， 故 a1＋a2＋…＋a6＝q16＋q13(a7＋a8＋a9)＝40＋49，解得 a7＋a8＋a9＝1 053，即 a7＋a98＋a9＝117.
2. 等差数列{an}中，已知 Sn 是其前 n 项和，a1＝－9，S99－S77＝2，则 S10＝________.
0 解析：设公差为 d.因为S99－S77＝2，所以9－2 1d－7－2 1d＝2， 所以 d＝2.因为 a1＝－9，所以 S10＝10×(－9)＋10× 2 9×2＝0.
3. 若公比不为 1 的等比数列{an}满足 log2(a1a2…a13)＝13，等差数列bn满足 b7＝a7， 则 b1＋b2＋…＋b13 的值为________．
江苏专用2020版高考数学专题复习专题7不等式第42练不等式的概念与性质练习理
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题7 不等式 第42练 不等式的概念与性质练习 理1．(2016·镇江模拟)设A ＝12a ＋12b ，B ＝1a ＋b(a ＞0，b ＞0)，则A ，B 的大小关系是________． 2．(2017·河南六市第一次联考)若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是________．(填序号)①a 2＜b 2；②ab ＜b 2；③a ＋b ＜0；④|a |＋|b |＞|a ＋b |.3．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中，能使log b 1b ＜log a 1b＜log a b 成立的条件的序号是________．4．(2016·济南模拟)已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是________．(填序号) ①1x 2＋1＞1y 2＋1； ②ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)； ③sin x ＞sin y ； ④x 3＞y 3.5．对于实数a ，b ，c 有下列命题：①若a ＞b ，则ac ＜bc ；②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；③若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2；④若c ＞a ＞b ＞0，则ac －a ＞bc －b；⑤若a ＞b ，1a ＞1b，则a ＞0，b＜0.其中真命题是________．(填序号)6．(2016·北京西城区模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a ＞b .若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则下列结论正确的是________．①a ∧b ≥2，c ∧d ≤2; ②a ∧b ≥2，c ∨d ≥2； ③a ∨b ≥2，c ∧d ≤2; ④a ∨b ≥2，c ∨d ≥2.7．若存在x 使不等式x －mex＞x 成立，则实数m 的取值范围为____________．8．设a ＞0，且a ≠1，P ＝log a (a 3－1)，Q ＝log a (a 2－1)，则P 与Q 的大小关系是________． 9．对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式： ①log a (1＋a )＜log a (1＋1a )；②log a (1＋a )＞log a (1＋1a)； ③a 1＋a＜a 1＋1a ；④a1＋a＞a 1＋1a.其中成立的是________．10．(2016·苏州模拟)设a ＞b ＞c ＞0，x ＝a 2＋b ＋c2，y ＝b 2＋c ＋a2，z ＝c 2＋a ＋b2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“＞”连接)11．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．12．(2017·辽宁五校联考)三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，则ba的取值范围是________．13．(2016·长沙模拟)已知a ，b ，c ∈{正实数}，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n ＞2时，c n 与a n＋b n的大小关系为______________．(用“＞”连接)14．已知－12＜a ＜0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a ，则A ，B ，C ，D 的大小关系是________．(用“＞”连接)答案精析1．A ＞B 2.④ 3.② 4.④ 5．②③④⑤解析 ①中，c 的符号不确定，故ac 与bc 的大小关系也不能确定，故为假． ②中，由ac 2＞bc 2知c ≠0，∴c 2＞0，则a ＞b ，故为真．③中，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ，b ＜0可得ab ＞b 2，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ，a ＜0可得a 2＞ab ，∴a 2＞ab ＞b 2，故为真．④中，由a ＞b 得－a ＜－b ，∴c －a ＜c －b ， 又c ＞a ，∴0＜c －a ＜c －b ， ∴1c －a ＞1c －b＞0. 又a ＞b ＞0，∴ac －a ＞bc －b，故为真．⑤中，由a ＞b 得a －b ＞0，由1a ＞1b 得b －aab＞0，又b －a ＜0，∴ab ＜0，而a ＞b ， ∴a ＞0，b ＜0，故为真． 6．③解析 不妨设a ≤b ，c ≤d ，则a ∨b ＝b ，c ∧d ＝c .若b ＜2，则a ＜2，∴ab ＜4，与ab ≥4矛盾，∴b ≥2.故a ∨b ≥2.若c ＞2，则d ＞2，∴c ＋d ＞4，与c ＋d ≤4矛盾， ∴c ≤2.故c ∧d ≤2.故③正确． 7．(－∞，0) 解析 由x －mex＞x ，得－m ＞e x×x －x (x ＞0)， 令f (x )＝e x×x －x (x ＞0)， 则－m ＞f (x )min ，f ′(x )＝e x ×x ＋e x ×12x－1≥2×e x－1＞0(x ＞0)，所以f (x )为(0，＋∞)上的增函数，所以f (x )≥f (0)＝0，－m ＞0，m ＜0. 8．P ＞Q解析 由题意可知a ＞1.∴(a 3－1)－(a 2－1)＝a 2(a －1)＞0， ∴a 3－1＞a 2－1，∴log a (a 3－1)＞log a (a 2－1)，即P ＞Q . 9．②④解析 因为0＜a ＜1，所以(1＋a )－(1＋1a)＝a ＋1a －1a＜0，则1＋a ＜1＋1a，可知②④成立． 10．z ＞y ＞x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )＞0，∴y ＞x . 同理，z ＞y ，∴z ＞y ＞x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z ＞y ＞x .11．27解析 由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4y2≤81.又3≤xy 2≤8，∴18≤1xy 2≤13，∴2≤x 3y 4≤27.又x ＝3，y ＝1满足条件，这时x 3y 4＝27.∴x 3y4的最大值是27. 12．[23，32]解析 两个不等式同时除以a ，得 将②乘(－1)，得两式相加，得1－2b a ≤b a －1≤2－b a ，解得23≤b a ≤32.13．c n＞a n＋b n解析 ∵a ，b ，c ∈{正实数}， ∴a n＞0，b n＞0，c n＞0.而a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n.∵a 2＋b 2＝c 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1， ∴0＜a c ＜1,0＜b c＜1. ∵n ∈N，n ＞2，∴(a c)n＜(a c)2，(b c)n＜(b c)2.∴a n ＋b n c n ＝(a c )n ＋(b c )n ＜a 2＋b 2c2＝1.∴a n＋b n＜c n. 14．C ＞A ＞B ＞D解析 由已知得－12＜a ＜0，不妨取a ＝－14，这时A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45.由此猜测：C ＞A ＞B ＞D . ∵C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a a 2＋a ＋11＋a＝－a [a ＋122＋34]1＋a.又∵1＋a ＞0，－a ＞0， (a ＋12)2＋34＞0，∴C ＞A .∵A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2＞0，∴A ＞B . ∵B －D ＝1－a 2－11－a＝a a 2－a －11－a＝a [a －122－54]1－a.又∵－12＜a ＜0，∴1－a ＞0.又∵(a －12)2－54＜(－12－12)2－54＜0，∴B ＞D .综上所述，C ＞A ＞B ＞D .。
2020版高考数学(江苏专用)新增分大一轮课件：第七章 不等式、推理与证明、数学归纳法 §7.7
(2)求证：对任意的正整数n，f(n)是8的倍数.
命题点2 和二项式系数有关的问题
* 例 3 (2018· 江苏扬州中学期中)已知 Fn(x)＝ [(－1)k· Ck f ( x )]( n ∈ N ). n k k＝0 n
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( × )
(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数 都增加了一项.( × ) (3)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时， 左边式子应为1＋2＋22＋23.( √ ) (4)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n0＝3.( √ )
1
2
3
4
5
6
PART TWO
2
题型分类
深度剖析
自主演练
题型一
用数学归纳法证明等式
1 1 1 1 n 1.用数学归纳法证明： ＋ ＋ ＋…＋ ＝ (n∈N*). 2×4 4×6 6×8 2n2n＋2 4n＋1
1 1 1 1 1 1 1 1 2.用数学归纳法证明：1－2＋3－4＋…＋ －2n＝ ＋ ＋…＋2n(n∈N*). 2n－1 n＋1 n＋2
大一轮复习讲义
第七章
不等式、推理与证明、数学归纳法
§7.7 数学归纳法
考情考向分析
KAOQINGKAOXIANGFENXI
高考要求理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题，以 附加题形式在高考中出现，难度为中高档．
2020届高考数学二轮复习分层讲义(基础)：不等式选讲
目录目录 (1)一、考纲解读 (2)二、命题趋势探究 (2)三、知识点精讲 (2)(一).不等式的性质 (2)(二).含绝对值的不等式 (3)(三).基本不等式 (3)(四).不等式的证明 (4)四、解答题题型总结 (4)核心考点一:解含绝对值的不等式 (4)核心考点二:含绝对值不等式恒成立，求参数问题 (6)核心考点三:含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题 (8)核心考点四:已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围 (9)核心考点五:比较法（差值法和比值法）证明不等式 (12)核心考点六:利用函数的单调性证明 (13)一、考纲解读1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式.二、命题趋势探究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.三、知识点精讲(一).不等式的性质1.同向合成（1）,a b b c a c >>⇒>；（2）,c a b d a c b d >>⇒+>+；（3）0,c 0a b d ac bd >>>>⇒>.（合成后为必要条件）2.同解变形（1）a b a c b c >⇔+>+；（2）0,0,a b c ac bc c ac bc >⇔>>⇔<<；（3）11000a b a b b a>>⇔>>⇔>>. （变形后为充要条件）3.作差比较法0,0a b a b a b a b >⇔>-><⇔-<(二).含绝对值的不等式（1）0,||a x a a x a ><⇔>-<<；0,||,a x a x a x a >>⇔>><-或（2）22||||a b a b >⇔> （3）||||x a x b c +++<零点分段讨论(三).基本不等式（1）222a b ab +>（当且仅当等号成立条件为a b =） （2）0,0,22a b a b ab +>>≥（当且仅当等号成立条件为a b =）； 30,0,0,3a b c a b c abc ++>>>≥（当且仅当a b c ==时等号成立） （3）柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当ad bc =时取等号） ①几何意义：2222||ad bc a b c d ⋅⇔+≤++a b a b ||||||≤ ②推广：222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++.当且仅当向量12(,,,)n a a a a =与向量12(,,,)n b b b b =共线时等号成立.(四).不等式的证明（1）作差比较法、作商比较法.（2）综合法——由因到果.（3）分析法——执果索因.（4）数学归纳法.（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式.（6）反证法.（7）放缩法.四、解答题题型总结核心考点一:解含绝对值的不等式对于含绝对值的不等式问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值.常用的去绝对值方法是零点分段法.特别用于多个绝对值的和或差不等式问题.若单个绝对值的不等式常用以下结论：|()|()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<；|()|()()()()()f x g x f x g x f x g x >⇔><-或；22|()||()|()()(()())(()())0f x g x f x g x f x g x f x g x >⇔>⇔+->. 有时去绝对值也可根据22||x x =来去绝对值. 1.在实数范围内，不等式||2|1|1x --≤的解集为 .解析 由于||2|1|1x --≤，即1|2|11x -≤--≤，即|2|2x -≤，所以222x -≤-≤，所以04x ≤≤.所以不等式的解集为[0,4].2.不等式|5||3|10x x -++≥的解集是（ ）A. [5,7]-B. [4,6]-C. (,5][7,)-∞-+∞D. (,4][6,)-∞-+∞解析 解法一：当5≥x 时，原不等式可变形为1022≥-x ，所以6≥x ；当53<<-x 时，原不等式可变形为108≥，显然不成立；当3-≤x 时，原不等式可变形为4,1022-≤≥-x x 得，所以(][)+∞⋃-∞-∈,64,x . 解法二：利用绝对值的几何意义，35++-x x 表示实数轴上的点x 到点x =-3与x =5的距离之和，要使点x 到点x =-3与x =5的距离之和等于10，只需64=-=x x 或，于是当6≥x ，或4-≤x 可使35++-x x 10≥成立. 故选D.3.已知函数()|2||5|f x x x =---.（1）证明：3()3f x -≤≤；（2）求不等式2()815f x x x ≥-+的解集. 解析 (1)()|2||5|f x x x =--- , |()|2||5|||(2)(5)|3f x x x x x =---≤---=,故3()3f x -≤≤ .(2)由(1)知.当2x ≤ 时,2()815f x x x ≥-+ 的解集为空集; 当25x << 时,2()815f x x x ≥-+ 的解集为{|535}x x -≤< ; 当5x ≥ 时,2()815f x x x ≥-+ 的解集为{|56}x x ≤≤. 综上所述,不等式的解集为{|536}x x -≤≤.核心考点二:含绝对值不等式恒成立，求参数问题1.已知()|1|()f x ax a =+∈R ,不等式()3f x ≤的解集为{}|21x x -≤≤.(1)求a 的值；(2)若|()2()|2xf x f k -≤恒成立，求k 的取值范围. 解析 （1）由|1|3ax +≤得42ax -≤≤，又()3f x ≤的解集为{}|21x x -≤≤，所以当0a ≤时，不合题意.当0a >时，42x a a-≤≤得2a =. (2)记()()2()2x h x f x f =-，则1,11()43,1211,2x h x x x x ⎧⎪≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩， 所以|()|1h x ≤，因此1k ≥，即k 的取值范围是[1,)+∞.2.已知函数()|||2|f x x a x =++-.（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()|4|f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.解析 (1)当3a =- 时,()3|3||2|3f x x x ≥⇔-+-≥2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩ 或23323x x x <<⎧⎨-+-≥⎩ 或3323x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩1x ⇔≤或4x ≥ (2)原命题 ()|4|f x x ⇔≤- 在[1,2] 上恒成立||24x a x x ⇔++-≤-在[1,2] 上恒成立 22x a x ⇔--≤≤-在[1,2] 上恒成立30a ⇔-≤≤ .3. 若关于实数x 的不等式|5||3|x x a -++<无解，则实数a 的取值范围是 . 解析 因为|5||3||5||3||53|8x x x x x x -++=-++≥-++= ,所以min (|5||3|)8x x -++= ,要使|5||3|x x a -++<无解,只需8a ≤ .故实数a 的取值范围是(,8]-∞ .4.已知函数()|21||2|f x x x a =-++,g()3x x =+.(1)当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；(2)设1a >-，且当1[,)22a x ∈-时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围. 解析 (1)当2a =- 时,不等式()()f x g x < 化为|21||22|30x x x -+---< .设函数|21||22|3y x x x =-+---, 则1521212361xx y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩ ,其图像如图16—46所示,由图像可知,当且仅当(0,2)x ∈ 时, 0y < ,所以原不等式的解集是{|02}x x << .(2)当1[,)22a x ∈- 时,()1f x a =+ ,不等式()()f x g x ≤ 化为13a x +≤+ , 所以2x a ≥- 对1[,)22a x ∈-都成立,故22a a -≥- . 故43a ≤,从而a 的取值范围是4(1,]3- . 核心考点三:含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题1.若关于x 的不等式|||1||2|a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 . 解析 不等式|||1||2|a x x ≥++-有解，则min ||(|1||2|)3a x x ≥++-=，故实数a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞.2.若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .解析 因为 |||1||()(1)||1|x a x x a x a -+-≥---=-.要使|||1|3x a x -+-≤有解,可使|1|3a -≤,所以313a -≤-≤ ,所以24a -≤≤ . 3.已知a ∈R ，关于x 的方程21||||04x x a a ++-+=有实根，求a 的取值范围.解析 方程21||||04x x a a ++-+= 有实根, 则11404a a ⎛⎫∆=--+≥ ⎪⎝⎭⇒1144a a -+≤. (1)求出绝对值的零点, 104a -=,得14a =;0a =,得0a =. (2)数轴标根,(3)分段讨论:①011()44a a a <⎧⎪⎨---≤⎪⎩ ⇒无解. ② 10411()44a a a ⎧≤<⎪⎪⎨⎪--+≤⎪⎩⇒10,4a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. ③141144a a a ⎧≥⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩⇒14a =. 综上可得,10,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.核心考点四:已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围1. 设不等式|2|()x a a *-<∈N 的解集为A ，且31,22A A ∈∉ .(1)求a 的值；(2)求函数()|||2|f x x a x =++-的最小值. 解析 （1）因为3,2A ∈且12A ∉，所以3|2|2a -<，且1|2|2a -≥，解得1322a <≤.又a *∈N ，所以1a =.(2)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=，当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取等号，所以()f x 的最小值为3.2.设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >.(1) 当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；(2)若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-，求a 的值.解析 (1)当1a =时,()32f x x ≥+可化为12x -≥,由此可得3x ≥或1x ≤-,故不等式 ()32f x x ≥+的解集为{|31}x x x ≥≤或.(2)由()0f x ≤得20x a x -+≤,故此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或 30x a x a x <⎧⎨-+≤⎩, 即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x a a x <⎧⎪⎨≤-⎪⎩. 由于0a >,所以不等式组的解集为|2a x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭ .由题设可得12a -=-,故2a =.3.已知函数()||f x x a =-，其中1a >.(1) 当2a =时，求不等式()4|4|f x x ≥--的解集；(2) 已知关于x 的不等式|(2)2()|2f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤，求a 的值.解析 (1)当2a =时,()26,2|4|2,2426,4x x f x x x x x -+≤⎧⎪+-<<⎨⎪-≥⎩当2x ≤时,由()44f x x ≥--得264x -+≥,解得1x ≤; 当24x <<时, ()44f x x ≥--无解;当4x ≥时, 由()44f x x ≥--得264x -≥,解得5x ≥.所以 ()44f x x ≥--的解集为{|15}x x x ≤≥或 .(2)记()()()22h x f x a f x =+- ,则2,042,()02,a x h x a x a x a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩,由|()|2h x ≤ ,解得1122a a x -+≤≤. 又已知 |()|2h x ≤的解集为{|12}x x ≤≤ ,所以211212a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ,于是3a =. 4.若不等式|4|2kx -≤的解集为{}|13x x ≤≤，则实数k = .解析 因为42kx -≤,所以242kx -≤-≤,即26kx ≤≤,又不等式的解集为{}13x x ≤≤. 故2k =.核心考点五:比较法（差值法和比值法）证明不等式1.已知,,a b m 均为正实数，且a b <，求证：a m a b m b+>+. 解析 a m a b m b+-=+ ()()()b a m a b m b b m +-+=+()bm am b b m -=+ ()()b a m b b m -+.因为,,a b m +∈R ，a b <，所以0b a ->,0m >,0b m +>.故()0()a m ab a m b m b b b m +--=>++.所以a m a b m b +>+. 2.已知,,a b +∈R ，且a b ≠,n *∈N . 求证：11()()2()n n n n a b a b ab ++++<+. 解析 ()()112()n n n n a b b a b a +++++-111122n n n n n n a a ab ba b b ++++=++-+-11n n n n ab a b a b ++=+--()()n n n n a b a b a b =-+- ()()n n b a a b =--为确定差的符号,应分0a b >>和0b a >>两种情况讨论.①若0a b >>,n N *∈,则n n a b >,因此()()0n n b a a b --<,故原不等式成立;②若0b a >>,n N *∈,则n n b a >,因此()()0n n b a a b --<,原不等式也成立,综上所述, ()()112()n n n n a b b a b a +++++<.核心考点六:利用函数的单调性证明使用对象：在某区间成立的函数不等式、数值不等式的证明通常是通过辅助函数完成的. 解题程序：（1）移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式一端为0，另一端为所作辅助函数()f x .（2）求()f x 并验证()f x 在指定区间上的单调性.（3）求出区间端点的函数值（或极限值），其中至少有一个为0或已知符号，作比较即得所证.1.已知01x <<，求证：31sin 6x x x -<. 解析 原不等式等价于31sin 0(01)6x x x x -+><<. 令31()sin (01)6f x x x x x =-+≤<，21()cos 12f x x x '=-+2212sin 22x x =-+. 令()sin (01)22x x g x x =-≤<，则11()cos 0222x g x '=-≤， 故()g x 在[0,1)上是减函数，所以当01x <<时，()sin(0)022x x g x g =-<=，故s i n 22x x <. 故22()2()022x x f x '>-+=，所以()f x 在[0,1)上是增函数. 又(0)0f =，所以当01x <<时，()0f x >成立.于是31sin 6x x x -<成立. 2.证明：当02x π<<时，2sin xx x π<<.解析 不等式sin x x <⇔sin 0x x -<.令()sin f x x x =-,()cos 1f x x ='-,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故()f x 在 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减,又()00f =, 所以()()00f x f <= ,所以sin x x <. 不等式2sin x x π>⇔ sin 2x x π>⇔ sin 20x x π->. 令()sin 29x x x π=- ,所以 ()22cos sin cos (tan )0x x x x g x x x x x-==-<' (因为tan x x >). 所以()g x 在(0,)2π上单调递减.又sin 22()022f ππππ=-= , 故当02x π<<时,()02f x f π⎛⎫>= ⎪⎝⎭,即 ()02f x f π⎛⎫>= ⎪⎝⎭, 于是2sin x x π<,综上所述,2sin xx x π<<.。
2020版高分宝典高考数学二轮微专题复习(江苏专用)课件：微专题六解不等式及线性规划
考课 情时 分作 析业
不等式解法的考察载体主要是函数、导数、数列，并且都转化为一元二次不等式 的解法．线性规划要求也很低，主要考察常见目标函数的问题．
年份 2017 2018 2019
填空题
T7解一元二次不等式 T11解函数不等式 T5解对数不等式 T4解不等式
目标 2 线性规划的基本问题 例 2 (1) 已知抛物线 y＝x2 在 x＝1 处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为 D(包 含三角形内部与边界)．若点 P(x，y)是区域 D 内的任意一点，则 x＋2y 的取值范围 是________． －2，12 解析：由 y＝x2 得 y′＝2x，则在点 x＝1 处的切线斜率 k＝2×1＝2，切 线方程为 y－1＝2(x－1)，即 2x－y－1＝0.在平面直角坐标系中作出可行域，如图 阴影部分所示，则点 A(0，－1)，B12，0.
解法二：如图所示，当 a＝0 时，显然不能使原不等式对任意的 x＞0 恒成立，故 a≠0， 且当 x＝1a，a≠0 时，原不等式恒成立．易知 a＞0，当 x＝1a时，ax－1＝0，此时， 结合图象可知 x＝1a是方程 x2＋ax－5＝0 的一个根，所以 a＝12.
点评：在二次方程、不等式及函数的处理过程中要注意灵活使用判别式，同时要 注意主变量与辅变量及它们的取值范围．
【思维变式题组训练】
1.
已知函数
f(x)
＝
x，x≥0， x2，x<0，
则 关 于 x 的 不 等 式 f(x2) ＞ f(3 － 2x) 的 解 集 是
________． (－∞，－3)∪(1,3)
解析：由题意得x32－>32－x≥2x0， 或3x2－>23x－<02，x2，
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基本不等式作为 C 级考点，每年必考，但基本上都是作为工具在其他知识点里面出 现．
年份 2017 2018 2019
填空题 T10 应用题中的最值 T13 三角形中边长和的最值 T7，T19 基本不等式的应用
目标 1 基本不等式应用于一元函数的最值
1
4x2－2x＋1
例 1 (1) 已知 x＜2，则函数 y＝ 2x－1 的最大值是________．
sinα 3. 已知 α，β 均为锐角，且 cos(α＋β)＝sinβ，则 tanα 的最大值是________．
目标 2 给定条件下二元变量的最值问题
例 2 (1) 若 log4(3a＋4b)＝log2ab，则 a＋b 的最小值是________．
2xy
xy
(2) 已知 x>0，y>0，则x2＋8y2＋x2＋2y2的最大值是________．
(1) 为使剩下木板 MBCDN 的面积最大，试确定 m，n 的值； (2) 求剩下木板 MBCDN 的外边框长度(MB，BC，CD，DN 的长度之和)的最大值．
点评：
【思维变式题组训练】
如图，某城市有一块半径为 1(单位：百米)的圆形景观，圆心为 C，有两条与圆形景观 相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多 市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议， 决定在绿化地中增建一条与圆 C 相切的小道 AB.问：A，B 两点应选在何处，可使得小道 AB 最短？
a2 2
1
(3) 已知 a，b 均为正数，且 ab－a－2b＝0，则 4 －a＋b2－b的最小值为________．
点评：
【思维变式题组训练】
1. 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等差数列，则 cosA＋2cosC 的最大值为________．
( )1 3 1
(2) 已知在 _________．
点评：
△ABC
中，，A→B·A→C＝3C→A·C→B
111 ，则tanA＋tanB＋tanC的最小值为
【思维变式题组训练】
1 1. 已知函数 f(x)＝2x 100－x2，则 f(x)的最大值为________．
x2＋ax＋11 2. 已知函数 f(x)＝ x＋1 (a∈R)，若对于任意的 x∈N*，f(x)≥3 恒成立，则 a 的取 用基本不等式解应用题
例 3 如图，长方形 ABCD 表示一张 6×12(单位：分米)的工艺木板，其四周有边框
(图中阴影部分)，中间为薄板．木板上一瑕疵(记为点 P)到外边框 AB，AD 的距离分别为 1 分米，2 分米．现欲经过点 P 锯掉一块三角形废料 MAN，其中 M，N 分别在 AB，AD 上．设 AM，AN 的长分别为 m 分米，n 分米．
0＜x＜
2. 若实数 x，y 满足 xy＋3x＝3
2 ，则x＋y－3的最小值为________．
x－2y 3. 若实数 x，y 满足 2x2＋xy－y2＝1，则5x2－2xy＋2y2的最大值为________．
2a2 b2＋1 4. 已知函数 f(x)＝x－sinx，若正数 a，b 满足 f(2a－1)＋f(b－1)＝0，则a＋1＋ b 的 最小值为________．