(完整版)2019届江苏省高考数学二轮复习微专题3.平面向量问题的“基底法”和“坐标法”
最全归纳平面向量中的范围与最值问题 (十大题型)(学生版)
最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线题型九：平行四边形大法题型十：向量对角线定理方法技巧总结技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四．等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；技巧五．平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点，由中线长定理得：2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减：PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六．向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1，若对任意c ，(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立，则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：|a|=1,b ⋅a =-1，若对满足条件的任意向量b ，|c -b |≥|c -a |恒成立，则cos c +a ,a 的最小值是．3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2，a ⋅b =0，若关于t 的方程ta +b2-c=12有解，记向量a ,c 的夹角为θ，则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量，且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ，则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3-e 2 的最小值为．2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2，设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ，若1≤a ⋅b ≤2，则|a|的取值范围为．3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =74，|a -b|=3，(a -c )(b -c )=-2，则c的取值范围是．1已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ⋅b =3，向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ，且a ⋅c =b ⋅c ，记x =c ⋅aa ，y =c ⋅b b，则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ，b ，c 满足a =1，b=2，a ⋅b=-1，向量c -a 与向量c -b 的夹角为π4，则c 的最大值为．3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ，b 满足a =1，b=3，且a ⊥b ，若向量c 满足c -a -b =2a -b ，则c的最大值是．1.已知向量a ，b 满足a =1，b =3，且a ⋅b =-32，若向量a -c 与b -c 的夹角为30°，则|c |的最大值是. 2.已知向量a ，b ，满足a =2b =3c =6，若以向量a ，b 为基底，将向量c 表示成c =λa+μb (λ，μ为实数)，都有λ+μ ≤1，则a ⋅b的最小值为 3.已知向量a 、b 满足：a -b=4，a =2b .设a -b 与a +b 的夹角为θ，则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF=μDC ．若λ+μ=23，则AE ⋅AF 的最小值为．2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若2λ+μ=52，则AE ⋅AF 的最小值．3.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为．4.菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AB ⋅AN的最大值为．5.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠A =120°，点N 是DC 边上的点，且DN =3NC，点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足a +b =3，a ⋅b =0．若c =λa+1-λ b ，且c ⋅a =c ⋅b，则c 的最大值为．8.已知平面向量a ，b ，c 满足a =2，b =1，a ⋅b =-1，且a -c 与b -c 的夹角为π4，则c 的最大值为．9.已知平面向量a 、b 、c 满足a=4，b =3，c =2，b ⋅c =3，则a -b 2a -c 2-a -b⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC，则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是平面向量，满足a -b =a +b ，a =2b =2，c +a -b=5，则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，c -a与c -b 的夹角为3π4，a -b=2，c -b =1，则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3，且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值，则m 的最大值是． 1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =-3，a -b=4，c -a 与c -b 的夹角为π3，则c -a -b 的最大值为． 2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π3，c -a 与c -b的夹角为2π3，a -b =23，c -b =2，则b ⋅c 的取值范围是．3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =2，且(c -a )⋅(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π6,π3，则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b|=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c的最大值为. 5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =4，且a -c⋅b -c =-1，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π3,π2，则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c ，若a =b =a -b =1，且2a -c+2b +c =23，则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ，b 满足a =b =1，且a ⋅b=0，若向量c 满足c +a +b=1，则c 的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b ，c 满足a -b +c=2b =2，b -a 与a 的夹角为3π4，则c 的最大值为．9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a与向量b 的夹角为π3，a -c=23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b=3，b =1，则a +2a +b 的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2，|b |=4，a ，b 的夹角为π3，且(a -c )⋅(b -c )=2，则|c |的最大值是.3设平面向量a ，b ，c 满足a =b =2，a 与b 的夹角为2π3，a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为．1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a|=1，|b |=3，a ⋅b =0，c -a 与c -b 的夹角是π6，则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD 中．以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ．当点P 在劣弧EF 上运动时，BP ⋅DP的最小值为．3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ，b ，c 满足a =1，b ⋅c =0，a ⋅b =1，a⋅c=-1，则b +c 的最小值为．4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图，在平面四边形ABCD 中，∠CDA =∠CBA =90°，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为CD 边上的动点，则AE ⋅BE的最小值为．5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1，b +a +b -a =4，则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b 满足a=3，且b -λa 的最小值为1(λ为实数)，记a,b =α，a ,a -b=β，则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足2AM +AN =1，设AC =xAM +yAN ，则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是．2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为． 3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为． 1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R )，则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．2在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ的最小值为．1.设向量a ，b ，c满足|a |=|b |=1，a ⋅b =12，(a -c )⋅(b -c )=0，则|c |的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时，y 的取值范围是()A.0，+∞ B.12，32C.12，+∞ D.-12，321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB，则3x +y 的取值范围是．2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ，则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图，OM ⎳AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB，则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ，则下列结论正确的个数为()①当x =0时，y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时，x =-12，y =52③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC=AB ⋅AC=2，点Q 在线段BC (含端点)上运动，点P 是以Q 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若AP =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点(不包括端点A ，B ，C )，且M ，N ，G 三点共线，若AM =λAB ，AN =μAC，则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中，AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ，M 为线段EF 的中点，若AM=1，则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA =1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =600，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若u =x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图，C ，D 在半径为1的⊙O 上，线段AB 是⊙O 的直径，则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足|a +e |=|b -e |=1，a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，若记a =OA⋅OB ，b =OB ⋅OC ，c =OC ⋅OD ，则()A.a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c2如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO ⋅BC的值是()A.-8B ．-1C ．1D ．83如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BC 若，AB =a ，AD =b ，则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。
平面向量常用方法归纳
平面向量常用方法归纳1、基底法 在处理平面向量问题时，有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的，我们利用平面向量的基本定理，选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底，把所求向量都用所选基底表示来处理问题.【例1.1】在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则__________． 【答案】16- 【解析】方法一：基底法 ()()()1625092-=-+=⋅++⋅+=+⋅+=⋅MC MB MC MB AM AM MC AM MB AM AC AB 方法二：极化恒等式法161004194122-=⋅-=-=⋅BC AM AC AB 【例1.2】已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，．若，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】方法一：基底法AB AC ⋅=ABCD 120BAD ,E F ,BC DC BE BC DF DC 1AE AF 23CE CF 122356712()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=-⋅-=+⋅+⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=⋅32111321DC BC DC AD BC AB CF CE AF AE μλμλ，()()⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-++-∴3111242μλλμλμμλ令μλ+=x ，λμ=y ，则原式可化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-3111242x y y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==6165y x ，65=+∴μλ.方法二：解析法建立如图所示直角坐标系，则：()0,2B ，()3,1C ，()3,1-D ，又 BC BE λ=，DC DF μ=，易得()λλ3,2-E ，()3,12-μF()1224=--+=⋅∴λμμλAF AE ，()32222-=--+=⋅λμμλCF CE ，下同方法一. 65=+∴μλ【练习1.1】已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________.【答案】5 【提示】本题仍然推荐基底法和坐标法，可令DC DP λ=，当43=λ时取得最小值5.【练习1.2】如图，△ABC 是边长为32的等边三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上的任意一点，则BP AP ⋅的取值范围是 .【答案】[]13,1 【提示】本题可以使用基底法和极化恒等式两种方法处理，当然也可以使用解析法处理..2、平方法在向量中，遇到和模长有关的问题，很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理，并且要灵活运用：向量的平方等于它模长的平方这个规律，即22||a a =.【例2.1】设,a b 是两个非零向量，( )A ．若||||||a b a b +=-，则a b ⊥B ．若a b ⊥，则||||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ，使得b a λ=D ．若存在实数λ，使得b a λ=，则||||||a b a b +=-【答案】CABCD AD BC 090ADC ∠=2,1AD BC ==P DC 3PA PB +C AB P【解析】方法一：平方法 对式子||||||b a b a -=+进行两边平方处理， 易得：1,cos -=b a ，即向量a 与b 反向，而“存在实数λ，使得b a λ=”表示向量a 与b 共线，故选项C 正确.方法二：三角不等式由三角不等式||||||||b a b a +≤-等号成立的条件是向量a 与b 反向，下同方法一.【例2.2】11. 如图，在△ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 的中点，P 为CD 上一点，且满足AP t AC =13AB +，若△ABC 的面积为332，则||AP 的最小值为 【答案】2【解析】由AP t AC =13AB +，点D 为AB 的中点，易得： AD AC t AP 32+=，又P D C 、、 三点共线，31=∴t ， AB AC AP 3131+=∴， 则A AC AB AB AC AB AC AP cos ||||2313131||222++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，又233sin ||||21==∆A AC AB S ABC ，∴6||||=AC AB ，2||=≥=∴AP ， 当且仅当6||||==AC AB 时取等号.【练习2.1】设12,e e 为单位向量，非零向量12,,b xe ye x y R =+∈.若12,e e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于__________．【答案】2【提示】平方法转化成二次函数最值问题，数形结合也可处理.【练习2.2】设为两个非零向量,a b 的夹角，已知对任意实数，||b ta +的最小值为1（ ）A.若确定，则||a |唯一确定B.若确定，则||b 唯一确定C.若||a 确定，则唯一确定D.若||b 确定，则唯一确定【答案】B【提示】平方法转化成一次二此不等式恒成立问题，或使用数形结合方法处理.3、投影法 平面向量数量积（点乘）：||||cos ,a b a b a b ⋅=<>θt θθθθ③b 在a 上的投影是||cos ,.b a b <>④投影有正有负，正负代表投影的位置.【例3.1】如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，是小正方形的其余各个顶点，则的不同值的个数为（ ）A. 7B. 5C. 3D. 1【答案】C【解析】i AP 在向量AB 上的投影有三种情况，分别是52 AP AP 、的投影是0，1AP ，3AP ，6AP 的投影是1，4AP ，7AP的投影是2， 所以共有三个不同的结果，故选C.【例3.2】如图，在等腰直角ABO ∆中，1,OA OB C ==为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设,,OA a OB b OP p ===，则()p b a -等于( ) A ．12- B. 12 C ．32- D. 32【答案】A【提示】投影法(1,2,,7)i P i =(1,2,,7)i AB AP i ⋅=()2||41||||41AB AB AB AB OP a b p -=⋅-=⋅=-⋅， 又ABO ∆ 是等腰直角三角形，且1==OB OA ，2||=∴AB ，∴()21||412-=-=-⋅AB a b p .【练习3.1】已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则 ． 【答案】332 【提示】方法一：投影法由题意知1||||21==e e ，又121=⋅=⋅e b e b ，由向量数量积的几何意义，可知b 在1e 与2e 上的投影均为1，又2121=⋅e e ，3,21π=e e ， 则向量b 如图所示，由几何关系易得332||=b 方法二：坐标法1e 2e 1212e e ⋅=b 121b e b e ⋅=⋅=b =建立如图所示的直角坐标系，设()y x b ,= 易得：()0,11=e ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,212e ，121=⋅=⋅b e b e ，可得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=12321y x x ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==331y x ， 332||=∴b 方法三：数形结合121=⋅=⋅b e b e ，01cos ||||cos ||||2211>==∴θθe b e b ，21θθ=∴，又2121=⋅e e ，3,21π=e e ， 621πθθ==∴或65π（舍） 代回已知11=⋅e b ，易得332||=b 【练习3.2】在ABC 中，5BC =，G ，O 分别为ABC 的重心和外心，且5OG BC ⋅=，则ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述三种情况都有可能【答案】B【提示】方法一利用重心和外心的性质，利用投影的思想来处理5=⋅BC OG 这个条件，方法二利用基底代换，把条件5=⋅BC OG 转化为余弦定理形式来判断C ∠为钝角.4、坐标法 几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法，在平面向量中，这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。
高一数学苏教版2019必修第二册单元复习课件单元复习09+平面向量
21
[解] ∵c＝(－2 3，2)，∴|c|＝4， 又 a⊥c，∴a·c＝0. ∵b·c＝|b||c|cos 23π＝|b|×4×－12＝－4， ∴|b|＝2.又 c＝ma＋nb，∴c2＝ma·c＋n·b·c， ∴16＝－4n，∴n＝－4.
22
又 a·c＝ma2＋na·b，
∴0＝8m－4a·b.
苏教版2019选择性必修第一册
单元复习09 平面向量
1．五种常见的向量 (1)单位向量：模为1的向量． (2)零向量：模为0的向量． (3)平行(共线)向量：方向相同或相反的向量． (4)相等向量：模相等，方向相同的向量． (5)相反向量：模相等，方向相反的向量．
2．两个重要定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ， 使b＝λa.
4．平面向量的三个性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2.
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A→B|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2.
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos
θ＝
a·b |a||b|
＝
x21＋x1xy221＋ ·y1xy222＋y22.
“ THANKS ”
P→G＝O→G－O→P＝13(a＋b)－ma＝13－ma＋13b.
15
由 P，G，Q 共线得，存在实数 λ 使得P→Q＝λP→G，
即 nb－ma＝λ13－ma＋13λb，
则－m＝λ31－m， n＝13λ，
消去 λ，得1n＋m1 ＝3.
16
向量数量积的运算
【例 2】 设向量O→A＝a，O→B＝b，且|O→A|＝|O→B|＝4，∠AOB＝ 60°.
数学高考二轮微专题6 平面向量的线性运算
rr ab
O
r a
B
r b
A
点使如r并得图且：arr与箭将br头向的指量起向ar点平被相移减同至向，Ou量u这Aur ,ar时向的连量向接br量平aruB与移uArbr至的Ouu终Bur ,O a b.
B
r
rr
b
ab
r a
A
2.向量共线定理
通过向量共线定理，可以实现三点共线与向量共线
的转化，它是处理有关平行及三点共线问题的一个
DF
/
/
O
E.
2 所以O点为AD的中点.
uuur AO
1
uuur AD.
2
又Q
D为BC的中点,据例2可知:
uuur AD
1
uuur ( AB
uuur AC
),
uuur AO
1
uuur ( AB
uAuCur ).又Q
uuur AB
uuur AC
uu2ur 6 AO
uuur EC,
uuur AB
uuu4r AC
uuur
OB OC OB OA OC OA ,
uuur uuur uuur CB AB AC
uuur uuur uuur uuur uuur C
D
如图,作出 AB AC AD, CB AD ,
因此以
uuur AB,
uuur AC
为邻边的平行四边形为
A
CB
矩形,所以BAC 90o,ABC 的形状为直角三角形.
O
在uuur平面u内uur, O, Auu,urB是不共线的三点,设 OP xOA yOB(x, y R), 则:
A, B, P 三点共线 x y 1.
高考数学专题二 微专题19 平面向量的数量积及最值与范围问题
微专题19
平面向量的数量积 及最值与范围问题
考情分析
平面向量的数量积有关的最值和范围问题是高考的热点之一， 其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向 量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标 函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值 或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份， 所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.一般难 度较大.
＝x－322＋(y－2)2－245.
又x－322＋(y－2)2 表示圆 x2＋y2＝1 上一点到点32，2距离的平方，圆 心(0,0)到点32，2的距离为52， 所以P→A·P→B∈52－12－245，52＋12－245， 即P→A·P→B∈[－4,6].
跟踪训练2 (1)如图，已知 AOB 是半径为 4，圆心角为π2的扇形，点 E，
(2)已知向量 a，b 满足a－b＝3，a＝2b，设 a－b 与 a＋b 的夹角为 θ， 则 cos θ 的最小值为
A.45
√B.35
C.13
D.25
令b2＝t，则a2＝4b2＝4t， 则a－b2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝9,2a·b＝5t－9， 由 5t－9＝2a·b≤2ab＝4t 得 t≤9， 由 5t－9＝2a·b≥－2ab＝－4t 得 t≥1， 所以 1≤t≤9，a＋b＝ a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2＝ 10t－9， 所以 cos θ＝aa＋＋bb·aa－－bb＝ 1a02t－－b92×3＝ 10tt－9＝ 10tt－2 9， 令 y＝10tt－2 9，显然 y>0，t2－10yt＋9y＝0，
解得1≤z≤3，所以z的最大值是3，即λ＋μ的最大值是3.
微专题3平面向量问题的“基底法”和“坐标法”(含答案)
微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法”例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，D F →＝19λDC →，则 AE →·A F →的最小值为________．(例1)变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π3，点M 是边AB 的中点，点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN →，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________．变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________．处理平面向量问题一般可以从两个角度进行：切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的．1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·A F→＝________．2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·A F →＝2，则AE →·B F →＝________．3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE→＝3332，则AB 的长为________．(第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________．5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC→⊥AB →，则实数m n＝________． 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13AC →，则|BQ →|的最小值是________． 7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12PC →，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________．(第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE→＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________．9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n的最小值为________． 10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC→且AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝3.(1) 求AB →·AC →的值；(2) 求λ＋μ的值．微专题。
2019高考数学(江苏专用)二轮复习专题一三角函数和平面向量微专题2平面向量数量积问题的常用处理策略课件
2-1
在矩形ABCD中,AB= 3
,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若 AE
·B F
=1,则 AB· AF 的值为
.
答案 2
解析 以点A为坐标原点,AD、AB所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标 系,
则D(2,0),B(0, 3
),E(1, 3
),设F(2,y),y∈[0, 3
ABC内一点(含边界),若满足 BP
= 1 BA+λ BC(λ∈R),则 BA· BP
的取值范围为
.
4
答案
85 , 245
解析
取 BD
= 1 BA
, CE
= 1 CA
,由点P为△ABC内一点(含边界),且 BP
= 1 BA+λ
4
4
4
BC
,得点P在线段DE上,λ∈ 0, 34
2
2
题型二 利用坐标法求解
例2 如图,△ABC为等腰三角形,∠BAC=120°,AB=AC=4,以A为圆心,1为半径
︵
的圆分别交AB,AC于点E,F,点P是劣弧 EF
上的一点,则 PB
· PC
的取值范围是
.
答案 [-11,-9]
解析 以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B
=-1 71
-1 8 =-2 7 .
77
77
49 49 7
题型三 利用极化恒等式求解
例3 (2017江苏南通二调)如图,在四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA=3,
OC=5.若 AB · AD
解答平面向量数量积问题的三种途径
思路探寻2考点透视= OA ∙ AB + CA2= OA ∙()AO + OB + CA 2= CA 2- OA 2+ OA ∙ OB = CA 2- OA 2= CA 2-1,当CA =2时， OC ∙ AB + CA ∙CB 取得最大值为3.首先根据三角形和外接圆的特点选择 OA 、OB 作为基底，并结合已知条件求出基底 OA 、OB 的数量积；然后用基底 OA 、 OB 表示出 OC 、 AB 、 CA 、CB，并根据向量的数量积公式求解.图3图4例3.如图4，在等腰直角△ABC 中，AC =2,点M 为线段AB 上的动点(包含端点)，点D 为AC 的中点，将AC 绕点D 旋转到EF ，则 ME ∙MF 的最小值为_____.解：连接MD ，则 ME ∙ MF =() MD + DE ∙()MD + ED =||MD 2-|| DE 2,当MD ⊥AB 时，MD 最小，即||MDmin=，由|| DE 2=1，可得 ME ∙ MF 最小值为-12.解答本题，需以 MD 、DE 为基底，并用基底表示出平面向量 ME 、MF ，将问题转化为求|| MD min.再结合图形的特点，确定|| MD 取最小值时的情形，即可解题.三、利用投影法运用投影法求解平面向量数量积问题，需根据平面向量数量积的几何意义，构造出相应的几何图形，通过研究几何图形中的垂直、平行等关系，确定向量投影之间的关系，从而求得平面向量的数量积.运用投影法解题，需熟练掌握并运用向量数量积的几何意义、模长公式、余弦函数的性质.例4.若在菱形ABCD 中，AC =4,则 CA ∙AB =______.解：如图5所示，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴2AO =AC =4，且AC ⊥BO ，∴||AB cos ∠CAB =AO =2，∴CA ∙ AB =-|| AC ∙|| AB cos ∠CAB =-8.根据题意画出图形，通过观察图形，可以确定AB在CA 方向上的投影即为|| A O ，于是连接BD ，根据菱形的性质：对角线互相垂直，构造出直角三角形，即可通过解直角三角形求出投影||A O 的长度，从而利用射影法求得 CA ∙AB 数量积的大小.图5图6例5.在△ABC 中，∠ABC =π3,点O 是△ABC 的外心， BA ∙ BO =2, BC ∙ BO =4,则 BA ∙ BC =______.解：如图6所示，设AB ，BC 中点分别为D ，E ，连接OD ，OE ，则OD ⊥AB ，OE ⊥BC ,由 BA ∙BO =2，可得|| BA ∙|| BO cos ∠OBD =12||BA ∙|| BA =2，故||BA =2，由 BC ∙BO =4，可得|| BC ∙|| BO cos ∠OBE =12|| BC ∙|| BC =4,故||BC =22,所以 BA ∙ BC =|| BA ∙||BC cos ∠ABC =22.要求 BA 、 BC 的数量积，需求出向量 BA 、BC 的模长，于是根据 BO 及其在 BA 、BC 上的投影关系，分别求得|| BA 、||BC 的大小，就能根据射影法顺利求出目标向量数量积的大小.相比较而言，坐标法比较常用，且解题过程较为简单；射影法比较灵活，但通常很难想到.无论运用哪种方法，都需熟练掌握并运用平面向量的数量积公式及其几何意义、向量运算法则及其几何意义，根据已知条件和解题需求，选用合适的方法进行求解.（作者单位：江苏省泗洪姜堰高级中学）50。
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微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法”
例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，D F →＝19λDC →，则 AE →·A F →
的最小值为
________．
(例1)
变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π
3，点M 是边AB 的中点，
点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN →
，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________．
变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________．
处理平面向量问题一般可以从两个角度进行：
切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．
切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的．
1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·A F →
＝________．
2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·A F →＝2，则AE →·B F →
＝________．
3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →
＝33
32
，则AB 的长为________．
(第2题) (第3题) (第4题)
4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________．
5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC
→
⊥AB →
，则实数m n
＝________．
6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13
AC →，则|BQ →
|的最小值是________．
7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12
PC →
，点M ，N 在过点P
的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →
，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________．
(第7题) (第8题) (第9题)
8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE →
＝λBA →＋μBD →
(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________．
9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，
动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →
(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n
的最小值为________．
10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC →
且AP →·AB →＝0，AP →·AC →
＝3.
(1) 求AB →·AC →
的值； (2) 求λ＋μ的值．。