口诀巧记二次函数的性质
利用口诀巧记二次函数的增减性
山东莘县魏庄中学教师 闫枫红
二次函数y=ax 2+bx+c 的图像是抛物线，它的对称轴是直线x= -a 2b ，顶点坐标是（-a 2b ，a
b a
c 442
）。
增减性： （1） 若a ＞0，则抛物线的开口向上，当x ＞-a 2b 时，y 随x 的增大而增大；
（2）若a ＞0，则抛物线的开口向上，当x ＜-a 2b 时，y 随x 的增大而减小；
（3）若a ＜0，则抛物线的开口向上，当x ＞-a 2b 时，y 随x 的增大而减小；
（4）若a ＜0，则抛物线的开口向上，当x ＜-a 2b 时，y 随x 的增大而增大。
说明：
① 其中a ＞0，x ＞-a 2b ，可以简单记为“大大”；
a ＞0，x ＜-a 2
b 可以简单记为“大小”；
a ＜0，x ＞-a 2
b 可以简单记为“小大”；
a ＜0，x ＜-a 2
b 可以简单记为“小小”。
②若y 随x 的增大而增大，则y 随x 的减小而减小。
故y 随x 的增大而增大，可以简单记为“同大”或“同小”。
③ y 随x 的增大而减小，意思就是y 不随x 的增大而增大，可简单记为“不同大”。
二次函数的增减性的记忆口诀:
(1) 大大同大
（2） 大小不同大
（3） 小大不同大
（4） 小小同小
也可以简单记为：大大同大，小小同小，大小小大不同大。
中考数学二次函数超全知识点记忆口诀
中考数学二次函数超全知识点记忆口诀1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线. 4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121一次函数与反比例函数考点一、平面直角坐标系 （3分） 1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
二次函数知识点详解及巧记口诀
知识点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p’关于x轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于y（2）点P(x,y)到y轴的距离等于x（3）点P(x,y)到原点的距离等于22yx+知识点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
二次函数口诀
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二次函数图像与性质口诀:
1、基本性质
二次函数抛物线，图象对称是关键；
开口、顶点和交点,它们确定图象限；
开口、大小由a断,c与Y轴来相见,
b的符号较特别，符号与a相关联；
顶点位置先找见，Y轴作为参考线，
左同右异中为0，牢记心中莫混乱；
顶点坐标最重要,一般式配方它就现，
横标即为对称轴,纵标函数最值见。
一般、顶点、交点式，不同表达能互换。
2、待定系数法
二次函数抛物线，选定需要三个点，
a的正负开口判，c的大小y轴看，
△的符号最简便，x轴上数交点，
a、b同号轴左边，抛物线平移a不变。
3、与一元二次方程的关系及平移
二次方程零换y，二次函数便出现。
表中填入组数据，图像叫做抛物线。
抛物线有对称轴，两边增减正相反。
A定开口及大小，线、轴交点叫顶点。
顶点非高即最低。
上低下高很显眼。
如果要画抛物线，平移也可去描点，
提取配方定顶点，两条途径再挑选。
列表描点后连线，平移规律记心间。
左加右减括号内，号外上加下要减。
初中二次函数知识点详解助记口诀
知识点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。
由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点，则不能这样表示。
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（3）三顶点 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，知识点三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。
二次函数知识点详解及巧记口诀
黄冈中学“没有学不好滴数学”系列之十二二次函数知识点详解知识点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P 与点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x（3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +知识点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
二次函数口诀 (2)
待定系数法：二次函数一般式，三点确定a、b、c的值；对称轴若来告知，写出a、b的已知式；如果顶点都已知，化为两个条件式，最好变为顶点式；已知x轴两交点，交点式就出现。
图像信息：a、b、c个个是精灵，a的全身是本领，开口方向又形状；对称轴ab联合定，公式牢牢记心上，左边ab符号同，右边ab符号反，左同右异真简单。
培养图形好悟性，y轴交点c出现，对称轴公式灵活用，2a和b来串想。
a+b+c怎么说明，横为Ⅰ纵对应；a-b+c 的值也相同，横为-1点对应；△的内涵又刷新，x轴交点来反映。
函数与方程：函数与方程关系不一般；若y等于0立马变方程；△开发了新功能，x轴交点就分明；与x轴交点先表示，韦达定理也可参与。
几何与函数：几何与函数，实在理不清；坐标与垂线段，对应要看清；面积的世界太宽广，平行等积可变换；矩形减四周减法思维记心头，平行y轴来分割加法思维来渗透。
全等构造想在前，45度的借用是关键，直角等腰构全等，点的坐标也大用；全等构造找依靠，坐标轴画图真巧妙；有时候没出路，两点间距离公式来帮助；太难的题目也不怕，条件合理来转化；代几综合又一关，数形结合解繁难。
直线与抛物线：直线与抛物线，好比兄弟间，联立起来即方程，代数知识全出现；直线平移k相同，条件迁移特方便；平行x轴纵相同，平行y轴横相同；关联参数来设出，已知才能琢磨透。
图像和性质：图像和性质，读懂全靠顶点式；先中间后两边，顶点寻找最关键，其它各点找对称，横以对称轴为中点，纵相等来就对称；图像画法又一法，顶点加交点更实用。
若是应用实际类，补上端点加实线；若用平移来变化，上加下减在外面，左加右减在里面。
抛物线增减性：对称轴是核心；此类题目太抽象，画图分析有帮助。
实际问题：看清字母的意义，根据实际找规律。
面积问题很容易，关联量的表示不忘记。
最大利润怎分析，图表分析是创意，双变量关联得理清。
抛物线形的实际问题，坐标系的建立是关键。
分清应用的类型，二次函数当模型。
中考数学考点：二次函数图像与性质口诀
中考数学考点：二次函数图像与性质口诀中考数学考点二次函数图像与性质口诀
二次函数抛物线，图象对称是关键；
开口、顶点和交点，它们确定图象限；
开口、大小由a断，c与Y轴来相见，b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要，一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见。
若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。
通过阅读”中考数学考点二次函数图像与性质口诀这篇文章，小编相信大家对中考数学考点又有了更进一步的了解，希望大家学习轻松愉快！。
二次函数abc10条口诀
二次函数abc10条口诀二次函数是中学数学中一个重要的概念，在学习二次函数时，了解关于二次函数的性质和特点是非常重要的。
为了帮助大家更好地记忆和理解二次函数的内容，下面给出了10条关于二次函数的口诀，助您轻松掌握二次函数的重要知识点。
口诀一：二次的意志在二次函数中，二次项的系数a代表了二次函数的开口方向和大小，关于a的取值有三条重要的规则需要记住：1.当a>0时，二次函数开口向上；2.当a<0时，二次函数开口向下；3.当a=0时，二次函数就退化成了一次函数。
口诀二：顶峰或底谷二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，顶点的横坐标就是二次项的系数b的相反数，纵坐标则是带入该横坐标得到的函数值。
口诀三：顺时针或逆时针？二次函数的抛物线在坐标系中的开口方向由二次项的系数a和平方数的系数c的正负号决定：1.当a>0且c>0时，抛物线开口向上；2.当a<0且c>0时，抛物线开口向下；3.当a>0且c<0时，抛物线开口向下；4.当a<0且c<0时，抛物线开口向上。
口诀四：判别式开局判别式是判断二次函数的根的性质的一个重要指标，其值为b2−4ac。
根据判别式的值，可以得到以下结论：1.当判别式>0时，二次函数有两个不相等的实根；2.当判别式=0时，二次函数有两个相等的实根，此时二次函数的抛物线与x轴只有一个交点；3.当判别式<0时，二次函数没有实根，此时二次函数的抛物线与x轴没有交点。
口诀五：根公式最牛根据判别式的值，二次函数的根可以通过以下公式计算得到：1.当判别式>0时，根的公式为$x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；2.当判别式=0时，根的公式为$x=\\frac{-b}{2a}$；3.当判别式<0时，没有实根。
口诀六：对称性二次函数的图像具有关于顶点对称的性质，这意味着如果将顶点的横坐标记为ℎ，则对称轴方程为x=ℎ。
初中数学二次函数技巧、知识点速记口诀、几何知识点146条
初中数学二次函数解题技巧、知识点速记口诀、几何知识点146条I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4ax1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线 x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为 P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
学习二次函数口诀
学习二次函数口诀：一口二轴三顶点交点之后再增减口：抛物线开口轴：对称轴顶点坐标公式交点：图像与坐标轴的交点，包括与x轴y轴的交点增减性：在对称轴两侧的y随x的增加怎样变化的二次函数的图象与性质二次函数开口方向对称轴顶点增减性最大（小）值y = ax2 a>0时，开口向上；a<0抛时，开口向下。
x=0 y=0（0，0）当a>0时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小。
当a>0时，当x=0时，y=0；当a<0时，当x=0时，y=0；y = ax2+c x=0 （0，c）当a>0时，当x=0时，y=c；当a<0时，当x=0时，y=c；y = a（x-h）2 x=h （h，0）当a>0时，当x=h时，y最小=0；当a<0时，当x=h时，y最大=0；y = a（x-h）2 +k x=h （h，k）当a>0时，当x=h时，y最小=k；当a<0时，当x=h时，y最大=k；y = ax2+bx+c x= （），顶点坐标（，）当a>0时，当x=h时，y最小=k；当a<0时，当x=h时，y最大=k；其中h= ，k=★二次函数y = ax2、y = ax2+c、y = a（x-h）2以及y = a （x-h）2 +k的形状相同，只是位置不同，相互之间可以通过平移得到，一般式y = ax2+bx+c可以通过配方化成y = a（x-h）2 +k 的形式。
（上加下减，左加右减）3.二次函数的解析式二次函数解析式常见有三种形式：①一般式：y = ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）②顶点式：y = a（x-h）2 +k（a、h、k是常数，且a≠0）③交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a、x1、x2是常数，且a≠0，x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）。