离散第2讲 广义并交笛卡尔归纳定义
离散数学知识点整理
离散数学一、逻辑和证明1.1命题逻辑命题：是一个可以判断真假的陈述句。
联接词：∧、∨、→、↔、¬。
记住“p仅当q”意思是“如果p，则q”，即p→。
记住“q除非p”意思是“¬p→q”。
会考察条件语句翻译成汉语。
系统规范说明的一致性是指系统没有可能会导致矛盾的需求，即若pq无论取何值都无法让复合语句为真，则该系统规范说明是不一致的。
1.3命题等价式逻辑等价：在所有可能情况下都有相同的真值的两个复合命题，可以用真值表或者构造新的逻辑等价式。
谓词+量词变成一个更详细的命题，量词要说明论域，否则没有意义，如果有约束条件就直接放在量词后面，如∀x>0P(x)。
当论域中的元素可以一一列举，那么∀xP(x)就等价于P(x1)∧P(x2)...∧P(xn)。
同理，∃xP(x)就等价于P(x1)∨P(x2)...∨P(xn)。
两个语句是逻辑等价的，如果不论他们谓词是什么，也不论他们的论域是什么，他们总有相同的真值，如∀x（P(x)∧Q(x))和(∀xP(x))∧(∀xQ(x))。
量词表达式的否定：¬∀xP(x) ⇔∃x¬P(x)，¬∃xP(x) ⇔∀x¬P(x)。
1.5量词嵌套我们采用循环的思考方法。
量词顺序的不同会影响结果。
语句到嵌套量词语句的翻译，注意论域。
嵌套量词的否定就是连续使用德摩根定律，将否定词移入所有量词里。
1.6推理规则一个论证是有效的，如果它的所有前提为真且蕴含着结论为真。
但有效论证二、集合、函数、序列、与矩阵2.1集合∈说的是元素与集合的关系，⊆说的是集合与集合的关系。
常见数集有N={0,1,2,3...}，Z整数集，Z+正整数集，Q有理数集，R实数集，R+正实数集，C复数集。
A和B相等当仅当∀x(x∈A↔x∈B)；A是B的子集当仅当∀x(x∈A→x∈B)；A是B的真子集当仅当∀x(x∈A→x∈B)∧∃x(x∉A∧x∈B)。
幂集：集合元素的所有可能组合，肯定有∅何它自身。
《离散数学》讲义 - 2
注意：
①括号的约定，与命题逻辑合式公式对括号的约定 类似，但量词后的括号不能省略。 ②谓词合式公式简称为谓词公式。
离散数学
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小结
谓词函数
谓词和客体变元 谓词函数、命题 客体变元取值范围及真值
个体域和全总个体域 量词
存在量词和全称量词（表示及判定）
谓词公式 谓词表达式表示命题或句子（带有量词）
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小结
谓词公式翻译
量词 谓词函数 联结词
离散数学
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2－3习题作业
P62 (3)a),c);(5);(7)
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2－4 变元的约束
离散数学
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1、概念
（1）指导变元（作用变元）和作用域（辖域） 给定a为一个谓词公式，其中有一部分公式形 式为(x)P(x)或(x)P(x)。其中、后面跟的x 叫做量词的指导变元或作用变元；P(x)叫做相应量 词的作用域或辖域。 注意：括号有决定性的作用。
离散数学 28
附3：一些人对某种食物过敏。 解：设：M(x)：x是人。 R(y)：y是食物。 Q(x,y)：x对y过敏。 (x)(M(x)(y)(R(y)Q(x,y)))
离散数学
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附4：有且仅有一个偶数是质数。 分析：命题（有一个偶数是质数）（只有一个偶数是质 数） 解：设：P(x)：x是偶数。 Q(x)：x是质数。 E(x,y)：x等于y。 (x)((P(x)Q(x))(y)( (P(y)Q(y))E(x,y))) 或 (x)((P(x)Q(x))(y)( (P(y)E(x,y))Q(y)))
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2、n元谓词的确定－约束变元的概念
根据约束变元的概念，P(x1,x2,…,xn)是n元 谓词，它有n个相互独立的自由变元。若对其中的 k个变元进行约束则成为n－k元谓词。即根据谓词 公式中所包含的自由变元的个数。 谓词公式中如果没有自由变元出现，则该公式 就成为一个命题。
离散数学知识点总结
注意/技巧：析取符号为V，大写字母Vx + y = 3不是命题前件为假时，命题恒为真运用吸收律命题符号化过程中要注意命题间的逻辑关系，认真分析命题联结词所对应的自然语言中的联结词，不能只凭字面翻译。
也就是说，在不改变原意的基础上，按照最简单的方式翻译通用的方法：真值表法VxP（x）蕴含存在xP（x）利用维恩图解题证明两个集合相等：证明这两个集合互为子集常用的证明方法：任取待证集合中的元素<,>构造相应的图论模型第一章命题逻辑命题和联结词命题的条件：表达判断的陈述句、具有确定的真假值。
选择题中的送分题原子命题也叫简单命题，与复合命题相对简单联结词的真值表要记住非（简单）合取（当且仅当P，Q都为真时，命题为真）析取（当且仅当P，Q都为假时，命题为假），P，Q可以同时成立，是可兼的或条件（→）（当且仅当P为真，Q为假时，命题为假）P是前件，Q是后件只要P，就Q等价于P→Q只有P，才Q等价于非P→非Q，也就是Q→PP→Q特殊的表达形式：P仅当Q、Q每当P双条件（↔）（当且仅当P与Q具有相同的真假值时，命题为真，与异或相反）命题公式优先级由高到低：非、合取和析取、条件和双条件括号省略条件：①不改变先后次序的括号可省去②最外层的括号可省去重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、偶然式可满足式：包括重言式和偶然式逻辑等价和蕴含（逻辑）等价:这是两个命题公式之间的关系，写作“⇔”，要与作为联结词的↔区分开来。
如果命题公式A为重言式，那么A⇔T常见的命题等价公式：需要背过被标出的，尽量去理解。
关键是掌握公式是将哪个符号转换为了哪个符号，这对于解证明题有很大的帮助！验证两个命题公式是否等价：当命题变元较少时，用真值表法。
当命题变元较多时，用等价变换的方法，如代入规则、替换规则和传递规则定理：设A、B是命题公式，当且仅当A↔B是一个重言式时，有A和B逻辑等价。
蕴含:若A→B是一个重言式，就称作A蕴含B，记作A⇒B常见的蕴含公式的运用方法同上面的命题等价公式证明A⇒B：①肯定前件，推出后件为真②否定后件，推出前件为假当且仅当A⇒B且B⇒A时，A⇔B，也就是说，要证明两个命题公式等价，可以证明它们相互蕴含联结词的完备集新的联结词：条件否定、异或（不可兼或）、或非（析取的否定）、与非（合取的否定）任意命题公式都可由仅含{非，析取}或{非，合取}的命题公式来等价地表示全功能联结词集合极小全功能联结词集合对偶式对偶式：将仅含有联结词非、析取、合取（若不满足，需先做转换）的命题公式A中的析取变合取，合取变析取，T变F，F变T得到的命题公式A*称为A的对偶式范式析取式：否定+析取合取式：否定+合取析取范式：（合取式）析取（合取式）……析取（合取式）。
离散数学数理逻辑部分定义与概念
离散数学数理逻辑部分定义与概念命题逻辑1.（论域）定义：论域是一个数学系统，记为D。
它由三部分组成：(1)一个非空对象集合S，每个对象也称为个体；(2)一个关于D的函数集合F；(3)一个关于D的关系集合R。
2.（逻辑连接词）定义设n > 0，称{0, 1}n到{0, 1}的函数为n元函数，真值函数也称为联结词。
若n = 0，则称为0元函数。
3.（命题合式公式）定义(1)常元0和1是合式公式；(2)命题变元是合式公式；(3)若Q, R是合式公式，则(?Q)、(Q∧R)、(Q∨R)、(Q→R)、(Q?R)、(Q⊕R)是合式公式；(4)只有有限次应用(1)-(3)构成的公式是合式公式。
4.（生成公式）定义：设S是联结词的集合。
由S生成的公式定义如下：⑴若c是S中的0元联结词，则c是由S生成的公式。
⑵原子公式是由S生成的公式。
⑶若n≥1，F是S中的n元联结词，A1, …, A n是由S生成的公式，则F A1…A n是由S生成的公式。
5.（复杂度）公式A的复杂度表示为FC(A)常元复杂度为0。
命题变元复杂度为0，如果P是命题变元，则FC(P) = 0。
如果公式A = ?B，则FC(A) = FC(B)+ 1。
如果公式A = B1∧B2，或A = B1∨B2，或A = B1→B2，或A = B1?B2，或A = B1⊕B2，或则FC(A) = max{FC(B1), FC(B2)} + 1。
6.命题合式公式语义论域：研究对象的集合。
解释：用论域的对象对应变元。
结构：论域和解释称为结构。
语义：符号指称的对象。
公式所指称对象。
合式公式的语义是其对应的逻辑真值。
7.（合式公式语义）设S是联结词的集合是{?，∧，∨，⊕，→，?}。
由S生成的合式公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下：⑴v(0) = 0, v(1) = 1。
⑵若Q是命题变元p，则v(Q) = pv。
⑶若Q1, Q2是合式公式若Q = ?Q1，则v(Q) = ?v(Q1)若Q = Q1∧Q2，则v(Q) = v(Q1) ∧v(Q2)若Q = Q1∨ Q2，则v(Q) = v(Q1) ∨v(Q2)若Q = Q1→Q2，则v(Q) = v(Q1) →v(Q2)若Q = Q1?Q2，则v(Q) = v(Q1) ?v(Q2)若Q = Q1⊕Q2，则v(Q) = v(Q1) ⊕v(Q2)8.（真值赋值）由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下：⑴若Q是S中的0元联结词c，则v(Q) = c。
离散数学第二章讲解
练习
1. 设A={0,1}, B={1,2}, 则AB ={(0,1),(0,2), (1,1),(1,2)} BB ={(1,1),(1,2), (2,1),(2,2)}
2. #A=2, #B=3 则#(AB)= 6
#(2AB)= 26 由A到B的不同的关系的个数是 26
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普遍关系 因为AB AB，AA AA 所以AB是一个由A到B的关系 AA是A上的一个关系
常将AA记作UA={(ai,aj)|ai,ajA}
恒等关系 定义集合A上的恒等关系IA={(a,a)|aA}
例:设A={a,b,c},则 UA=AA={(a,a),(a,b),(a,c), (b,a),(b,b),(b,c), (c,a),(c,b),(c,c)}是A上的普遍 关系 IA={(a,a),(b,b),(c,c)}是A上的恒等关系
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对于B={2,5,8}
则B×B ={(2,2),(2,5),(2,8),(5,2),(5,5),(5,8) ,(8,2),(8,5),(8,8)} 令6={(2,2),(5,2),(8,2)}
7={(8,5), (5,2),(2,8),(2,5)}
因为6 BB, 7 BB, 所以，6, 7均是集合B上的关系
其中第i个元素ai称为该有序n元组的第i个坐标。
例 {a,b,c,d}={b,a,d,c},但(a,b,c,d)(b,a,d,c) {4,4,3,2}={4,3,2} ,但(4,4,3,2)(4,3,2) 当n=2时，有序二元组(a,b)又称为序偶。
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定义：设(a1,a2,…,an) 和(b1,b2,…,bn)是两个有序n元组， 若a1= b1, a2=b2,…,an=bn,则称这两个有序n元组相等，并 记作(a1,a2,…,an)=(b1,b2,…,bn)。
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。
下面就来对离散数学中的一些重要知识点进行总结。
一、集合论集合是离散数学的基础概念之一。
集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
集合的表示方法有列举法和描述法。
集合之间的关系包括子集、真子集、相等。
集合的运算有并集、交集、补集等。
集合的并集是由属于两个或多个集合中的所有元素组成的集合。
交集则是由同时属于两个或多个集合的元素组成的集合。
补集是在给定的全集 U 中，不属于某个集合 A 的元素组成的集合。
集合的运算遵循一些基本的定律，如交换律、结合律、分配律等。
这些定律在解决集合相关的问题时非常有用。
二、关系关系是集合论中的一个重要概念，它描述了两个集合元素之间的某种联系。
关系可以用集合的形式表示，也可以用关系矩阵和关系图来表示。
关系的性质包括自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。
不同性质的关系在实际应用中有着不同的意义。
等价关系是一种特殊的关系，它同时具有自反性、对称性和传递性。
等价关系可以将集合中的元素进行分类，形成等价类。
偏序关系也是一种常见的关系，它具有自反性、反对称性和传递性。
偏序关系可以用来描述元素之间的顺序关系，例如在集合的包含关系中。
三、函数函数是一种特殊的关系，它对于定义域中的每个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
函数的类型包括单射函数、满射函数和双射函数。
函数的复合是将两个函数依次作用，得到一个新的函数。
函数的逆是在函数是双射的情况下存在的，并且逆函数的复合等于原函数。
四、图论图是由顶点和边组成的结构。
图可以分为无向图和有向图。
图的基本概念包括顶点的度、路径、回路、连通性等。
图的存储方式有邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵适合表示稠密图，而邻接表适合表示稀疏图。
图的遍历算法有深度优先搜索和广度优先搜索。
这两种算法在图的处理中经常被用到，例如寻找图中的路径、判断图的连通性等。
离散数学讲义第2章
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2-2 命题函数与量词（续）
例3：Q(x, y)：“x比y重” 当x，y指人或物时，它是一个命题，若x，y为实数时， Q(x, y)不是命题。
b) (x)(P(x)(y) R(x,y)) (x)的作用域是：(P(x)(y)(R(x,y))， (y)的作用域是：R(x,y)。 x,y为约束变元。
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2-4 变元的约束（续）
c) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z))(x)P(x,y) (x)(y)的作用域是：(P(x,y)Q(y,z)) x,y为约束变元，z是自由变元。 (x)的作用域是P(x,y) x为约束变元，y是自由变元。
例2：没有不犯错误的人。(F(x), M(x)) 解： (x)(M(x) F(x))
且该命题与“任何人都会犯错误”意义相同： (x)(M(x) F(x))
例3：尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。(P(x),M(x)) 解： (x)(M(x) P(x)) ((x)(M(x) P(x)))
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某些为假。
例5：(P(x, y) P(y, z)) P(x, z)。考虑P(x, y)的解释： （1）“x小于y”，则P(x, y)永真。 （2）“x为y的儿子”，则P(x, y)永假。 （3）“x距离y10米”，则P(x, y)可能为真或假。
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2-2 命题函数与量词（续）
个体变元：函数P(x)中的x。
(z)(P(z)R(z,y)) Q(x,y) 但不可换名为
(y)(P(y)R(y,y)) Q(x,y) 或
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学知识点总结同时要善于总结，在学习《离散数学》的过程，对概念的理解是学习的重中之重。
本文就来分享一篇离散数学知识点总结，希望对大家能有所帮助！一、认知离散数学离散数学是计算机科学基础理论的核心课程之一，是计算机及应用、通信等专业的一门重要的基础课。
它以研究量的结构和相互关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素，充分体现了计算机科学离散性的特点。
学习离散数学的目的是为学习计算机、通信等专业各后续课程做好必要的知识准备，进一步提高抽象思维和逻辑推理的能力，为计算机的应用提供必要的描述工具和理论基础。
1．定义和定理多离散数学是建立在大量定义、定理之上的逻辑推理学科，因此对概念的理解是学习这门课程的核心。
在学习这些概念的基础上，要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理和性质。
在考试中有一部分内容是考查学生对定义和定理的识记、理解和运用，因此要真正理解离散数学中所给出的每个基本概念的真正的含义。
比如，命题的定义、五个基本联结词、公式的主析取范式和主合取范式、三个推理规则以及反证法；集合的五种运算的定义；关系的定义和关系的四个性质；函数（映射）和几种特殊函数（映射）的定义；图、完全图、简单图、子图、补图的定义；图中简单路、基本路的定义以及两个图同构的定义；树与最小生成树的定义。
掌握和理解这些概念对于学好离散数学是至关重要的。
2. 方法性强在离散数学的学习过程中，一定要注重和掌握离散数学处理问题的方法，在做题时，找到一个合适的解题思路和方法是极为重要的`。
如果知道了一道题用怎样的方法去做或证明，就能很容易地做或证出来。
反之，则事倍功半。
在离散数学中，虽然各种各样的题种类繁多，但每类题的解法均有规律可循。
所以在听课和平时的复习中，要善于总结和归纳具有规律性的内容。
在平时的讲课和复习中，老师会总结各类解题思路和方法。
作为学生，首先应该熟悉并且会用这些方法，同时，还要勤于思考，对于一道题，进可能地多探讨几种解法。
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❖序偶(ordered pairs)
如何在集合的基础上定义出以是次单序个客的体概，念？
集合，甚至序偶
定义1.9：设a, b为任意对象，称集合{{a}, {a, b}} 为二元有序组，或序偶，简记作<a,b>。其中a称 为序偶<a,b>的第一分量，b称为序偶的<a,b>第二 分量。
A1 A2 = {<x, y> | x A1，y A2}
说明
运算是左结合的 A1A2…An = (A1A2…An–1) An 当A1=A2=…=An=A时，A1A2… An记作An A1A2…An = {< a1, a2, …, an> | a1 A1，…, an An}
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖笛卡尔积运算举例
例1.10 A={1, 2}, B={a, b, c}, C={}, R为实数集 A×B，B×A A×B×C， A×(B×C) A×， ×A R2， R3
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖笛卡儿积的性质
定理1.20 设A、B、C为任意集合，表示∪，∩ 或－运算，那么：
A (B C) = (A B) (A C) (B C) A = (B A) (C A)
以上第三种定义方法称为归纳法
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖集合的归纳定义(inductive definition)
一个集合的归纳定义由三部分组成：
1、基础条款： 指出某些元素属于欲定义之集合；
━ 奠基，确定集合的基本成员，其他成员可以此为基础逐
完 备
步确定。一般来讲要求基础集合尽可能的小。
性 条
集合的归纳定义
集合的归纳定义方法 集合定义的自然数
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖集合族的概念
定义1.7：称每个元素都是集合的集合为集合族 （collection）。 若集合族C可表示为C = { Sd | dD }，则称D为 集合族C的标志集（index set）。
C = {{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, …} C = {Nd | dI+}
列举法 描述法 试定义算术表达式的集合S
S = {123, 55, 1+2, －100， (99×3)／10, …} ? S = {x | x是一算术表达式} ? (1) 如果x是整数，则xS（是算术表达式） (2) 如果x, y S ，则(+ x) 、(– x) 、(x + y) 、(x – y) 、(x y) 、(x／y) 均S （均是算术表达式） (3)只有有限次应用条款1、2所得的符号序列S
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖集合的广义并和广义交
定义1.8：设C为非空集合族
（1）∪C = {x | 存在某个S，满足SC并且xS} ∪C称为C的广义并 (C中所有集合的并)
（2）∩C = {x | 对任意的S，如果SC则一定有xS} ∩C称为C的广义交(C中所有集合的交)
例如
C = {{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, …}
定理1.17：对任意序偶<a,b>, <c, d>， <a,b>=<c, d>当且仅当a=c且b=d。
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖n元有序组
定义1.10： n元有序组<a1, a2, …, an>可以从二元 有序组（序偶）出发，递归地定义如下
<a1, a2> = {{a1}, {a1, a2}} <a1, a2 , a3 > = <<a1, a2>, a3 > … <a1, a2, …, an> = <<a1, a2, …, an–1>, an> 其中ai称为n元有序组的第i分量
字：指有限数目的符号所组成的串，若每一符号均取自字 母表之上，则称为字母表之上的一个字，用表示空字 01，100，101， a, aa, bike, iwefhweoi, ….
例1.11 归纳定义偶数集合E+
基础条款：0E+ 归纳条款：如果xE+，那么x+2E+
如果xE+，那么x-2E+ 终极条款：只有有限次应用条款1、2所得元素才是E+ 的元素
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖与形式语言有关的一些概念
字母表：指有限非空的符号的集合，一般用表示 二进制基数的集合 ={0，1} 26个英文字母定义的集合 ={a, b, c, …, x, y, z}
定理1.21 对任意有限集合A1, A2, …, An，有：|A1 A2… An| = |A1|·|A2|·…·|An|
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖PowerPoint Template_Sub
1.1 集合的概念与表示 1.2 集合运算 1.3 集合的归纳定义
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖集合的表示方法
∪C = N, ∩C = {0}
C
=
{Nd
|
dI+}，∪C
=
dI
Nd
Nd, ∩C =
d1
dI
Nd
Nd
d1
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖广义并、交运算实例
∪{A, B} = AB ∩{A, B} = AB ∪{A, B, C} = ABC ∩{A, B, C} = ABC ∪{} = ∩{} = ∪{, {}} = {} ∩{, {}} = ∪{, A} =A ∩{, A} =
本质上，n元有序组依然是序偶 定理1.18：对任意对象a1, a2, …, an，b1, b2, …, bn， < a1, a2, …, an > = < b1, b2, …, bn >当且仅当a1=b1，
a2=b2，…，an=bn
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖集合的笛卡尔积
定义1.11：对任意集合A1, A2，A1A2叫做A1, A2的 笛卡尔积，定义如下：
计算机专业基础课程 授课人：梁妍
❖PowerPoint Template_Sub
1.1 集合的概念与表示 1.2 集合运算 1.3 集合的归纳定义
第2讲 集合的运算与归纳定义
《离散数学》第2讲 ❖集合运算与归纳定义 Page 7 to 13
❖内容提要
集合的运算
广义并、广义交运算 序偶和n元有序组 笛卡尔积
2、归纳条款： 指出由已确定元素构造新元素的规则；
款
━ 从基本元素出发，反复运用这些规则，可得到欲定义之
集合的所有成员。
纯 3、终极条款： 断定只有有限次应用条款1、2所得元素
粹 性
才是欲定义之集合的元素。
条 款
━ 保证整个定义过程所规定的集合只包括满足要求的那些
对象。
第2讲 集合的运算与归纳定义
❖归纳定义举例