微分方程全解
常系数微分方程解的形式
B1 cos(ωt ) + B2 sin(ωt )
( B1t p + B2t p−1 + L + B pt + B p+1 )eαt cos(ωt )
+ ( D1t p + D2t p −1 + L + D p t + D p+1 )eαt sin(ωt )
2） ）
不同特征根对应的齐次解
特征根 λ 单实根
1） ）
几种典型激励函数对应的特解
激励函数 e(t )
E （常数） 常数） tp eαt
响应函数 r (t ) 的特解
B （常数） 常数）
B1t p + B2t p−1 + L + B p t + B p+1
Beαt
cos(ωt ) sin(ωt )
t p eαt cos(ωt ) t p eαt sin(ωt )
r 重实根
齐次解 y h (t )
Ce λt
Cr −1t r −1e λt + Cr −2t r −2 e λt + L + C1te λt + C0e λt eαt [C cos( βt ) + D sin( βt )]
一对共轭复根
λ1, 2 = α ± jβ
r 重共轭复根
或 Aeαt cos( β t − θ ) ，其中 Ae jθ = C + jD
Ar −1t r −1eαt cos( βt + θ r −1 ) + Ar −2t r −2eαt cos( β t + θ r −2 )
内蒙古工业大学 博学躬行，尚志明德。
3.2微分方程的经典求解方法讲解
时间常数 T：使e的指数部分等于–1的时间值。因此有，
1 aT 1 及 T a
1.0 Im [s]平面 Re
e at
0.368
m=-a
0
t
T
2T
图3.3 指数项 e –at 的图形及极点 在 S 平面中的位置
22
时间常数定义
时间常数定义
从几何上看，Ae-at曲线在 t=0 处的切线与时间轴的相交点的值等于 时间常数 T 在一个时间常数所对应的时间区间内，指数函数 e-at 的值将从 1 下降至 0.368 例： T 的图解测定 A 1, a 1
2
Aet
• n 越大，则系统暂态衰减越快
问题： 1) 当 =0 时，暂态响应将是如何的？当 >0 或 <0 时呢？
2) 分别当 >0 和 <0 时，暂态相应有什么区别？
20
暂态响应
阻尼比 和无阻尼振荡频率 n
当 >0 时，系统暂态随时间衰减，响应曲线 c(t) 将趋向于稳态值，这
第二节 微分方程的经典求法
稳态响应
正弦输入
多项式输入
稳态响应：正弦输入
输入量 r 假设为：
待解的微分方程具有如下形式
Av Dv c Av 1Dv 1c A0 D0c A1D 1c Aw D wc r
cos t 1 (e 2
j t
r B cos( t )
（过阻尼）
Aet
只有当 是负数时，系统才是 稳定的；如果 是正数，则系 统不稳定，这是我们要避免的 情况。
（欠阻尼）
Aet
17
暂态响应
阻尼比 和无阻尼振荡频率 n
微分方程求通解
微分方程求通解
1、微分方程的通解公式：y=y1+y* = 1/2 + ae^(-x) +be^(-2x)，其中：a、b由初始条件确定，例：y''+3y'+2y = 1 ，其对应的齐次方程的特征方程为s^2+3s+2=0 ，因式分(s+1)(s+2)=0，两个根为：s1=-1 s2=-2。
2、y''+py'+qy=0，等式右边为零，为二阶常系数齐次线性方程；y''+py'+qy=f（x），等式右边为一个函数式，
为二阶常系数非齐次线性方程。
可见，后一个方程可以看为前一个方程添加了一个约束条件。
对于第一个微分方程，目标为求出y的表达式。
求解过程在课本中分门别类写得很清楚，由此得到的解，称为【通解】，
3、通解代表着这是解的集合。
我们中学就知道，M个变量，需要M个个约束条件才能全部解出。
例如，解三元一次方程组，需要三个方程。
由此，在变量相同的条件下，多一个约束条件f（y），就可以多确定一个解，此解就称为【特解】。
微分方程通解总结
微分方程通解总结微分方程通解总结微分方程是数学中的一个重要分支，其应用广泛，涉及到物理、化学、工程等多个领域。
微分方程通解是解决微分方程问题的关键，本文将对微分方程通解进行全面详细的总结。
一、概念及分类1. 概念：微分方程通解是指能够满足给定微分方程所有初值条件的函数族。
2. 分类：（1）一阶常系数线性微分方程：dy/dx+ay=f(x)（2）一阶非齐次线性微分方程：dy/dx+p(x)y=q(x)（3）二阶常系数线性齐次微分方程：d²y/dx²+ay=0（4）二阶常系数线性非齐次微分方程：d²y/dx²+ay=f(x)二、求解方法1. 一阶常系数线性微分方程：（1）特征根法：先求出对应的齐次线性微分方程的通解，然后采用待定系数法求出非齐次线性微分方程的特殊解。
（2）常数变易法：将未知常数看作变量，将原式变为一元函数，然后求导再代入原式得到一个关于未知常数的一阶常微分方程，解出后再代入原式得到通解。
2. 一阶非齐次线性微分方程：（1）常数变易法：同上。
（2）待定系数法：根据非齐次项的形式，猜测一个特殊解的形式，然后代入原式求出待定系数。
3. 二阶常系数线性齐次微分方程：（1）特征根法：先求出对应的齐次线性微分方程的通解，然后根据初始条件求出未知常数得到特定解，最终得到通解。
4. 二阶常系数线性非齐次微分方程：（1）待定系数法：根据非齐次项的形式猜测一个特殊解的形式，然后代入原式求出待定系数。
（2）常数变易法：将未知常数看作变量，将原式变为一元函数，然后求导再代入原式得到一个关于未知常数的二阶常微分方程，解出后再代入原式得到通解。
三、注意事项1. 求解过程中需要注意初始条件和边界条件的使用。
2. 待定系数法需要根据非齐次项猜测特殊解的形式，并且需要保证猜测的特殊解不在齐次方程的通解中。
3. 特征根法需要求出齐次微分方程的特征根和对应的特征向量，然后根据初始条件求出未知常数得到特定解。
微分方程的通解包含方程的全部解
微分方程的通解包含方程的全部解微分方程是数学中的一个重要分支，主要研究变量之间的关系以及方程的解。
通解是微分方程的解的一般形式，包含了方程的全部解。
下面将从微分方程的基本概念、求解方法以及通解的含义等方面进行介绍，希望能够对你有所帮助。
一、微分方程的基本概念微分方程是包含未知函数及其导数的方程，通常用符号表示。
例如，一阶线性常微分方程可以写成形式如下的方程：dy/dx + P(x)y = Q(x)其中，dy/dx是y关于x的导数，P(x)和Q(x)是给定的已知函数。
二、微分方程的求解方法1. 变量分离法：将微分方程中的变量分离到方程的两边，然后对两边进行积分，最后得到方程的通解。
2. 齐次方程法：当方程等号右边为零时，可以使用齐次方程法求解。
首先将方程转化为dy/dx = f(x)/g(y)的形式，然后通过变量代换将其变为分离变量的方程，最后进行积分求解。
3. 一阶线性常微分方程法：对于一阶线性常微分方程，可以使用积分因子法求解。
首先将方程转化为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式，然后求出方程的积分因子μ(x)，并将方程两边同时乘以积分因子，最后进行积分求解。
4. 变量替换法：当微分方程具有特殊形式时，可以通过变量替换将其转化为一种更简单的形式，然后使用已知的求解方法求解。
三、微分方程的通解的含义微分方程的通解是指包含方程的全部解的一般形式，它可以通过求解微分方程得到。
对于一些简单的微分方程，可以直接通过积分求得通解。
但是对于一些复杂的微分方程，通解往往比较难以求得，需要使用一些特殊的方法或者定理。
需要注意的是，通解中包含任意常数，这些常数的取值可以通过附加条件或者边界条件来确定。
通过给定特定的条件，可以从通解中确定出方程的特解。
四、相关参考内容1. 《高等数学》（下册）（同济大学数学系编著）：这本教材详细介绍了微分方程的基本概念、求解方法以及通解的相关知识，适合初学者学习。
2. 《数学分析》（任继愈著）：这本教材全面系统地介绍了微分方程的相关理论和方法，内容较为深入，适合深入学习微分方程的人士参考。
第五讲：全微分方程
显然，若μ (x,y)≠ 0,则（1）与（2）同解。
问题: 如何求方程的积分因子?
10
我们用反推的办法来求积分因子
( M ) ( N ) , （2）为全微分方程 y x M N M N y y x x
A 用公式:
u( x , y) ( x x y)dx dy,
2 3 0 0
y
B 凑微分法:
dy ( xdy ydx) x dx x dx 0, x3 x4 dy d ( xy ) d d 0， 3 4 x3 x4 d ( y xy ) 0. 3 4
9
2
前面我们讨论了全微分方程的求解问题，而对 于给定微分方程（１）未必都是全微分方程，但其 中有些则可利用积分因子化为全微分方程。
3、积分因子法
定义:
( x, y ) 0连续可微函数，使方程
( x, y)M ( x, y)dx ( x, y) N ( x, y)dy 0 (2)
f ( x ) dx ( x) e .
d , 0, b. 当只与y有关时; y dy x d ln 1 N M ( ) g( y ) dy M x y
g ( y ) dy ( y) e .
12
注： 事实上，我们有 1 M N 只与x有关 ( )只是x的函数。 N y x 因此，对于方程（1）虽不是全微分方程， 1 M N 但 ( )只是x的函数（设为f ( x)），则方程 N y x
M N 解 6 xy , 是全微分方程, y x
u( x , y ) 0 ( x 3 xy )d x 0 y 3dy
常微分方程解法大全
常微分方程解法大全在数学中，常微分方程是研究微积分的一个重要分支，常微分方程解法是数学中常见的问题之一。
通过对常微分方程解法的研究，可以帮助我们更好地理解数学中的微分方程。
在本文中，我们将探讨一些常见的常微分方程解法方法，帮助读者更好地理解和掌握这一领域。
常微分方程的定义在开始讨论常微分方程的解法之前，我们首先来了解一下常微分方程的定义。
常微分方程是指包含未知函数及其导数的方程，其中未知函数是一个变量，其导数是这个变量的函数。
通常常微分方程的一般形式可以表示为：F(x,y,y′,y″,...,y(n))=0其中，y是未知函数，y′是y的一阶导数，y″是y的二阶导数，n是常微分方程的阶数。
常微分方程的解法方法常微分方程的解法方法包括但不限于以下几种常见方法：1. 分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程的常用方法之一。
当常微分方程可以写成形式dy/dx=f(x)g(y)时，就可以使用分离变量法。
2. 含参微分法含参微分法是求解一阶常微分方程的一种方法。
当常微分方程可以写成形式dy/dx+P(x)y=Q(x)时，就可以使用含参微分法。
3. 齐次方程法齐次方程法是求解一阶常微分方程的一种方法。
当常微分方程可以写成形式dy/dx=f(y/x)时，就可以使用齐次方程法。
4. 一阶线性微分方程法一阶线性微分方程法是求解一阶常微分方程的一种方法。
当常微分方程可以写成形式dy/dx+P(x)y=Q(x)时，可以使用一阶线性微分方程法。
5. 求解高阶微分方程除了以上几种方法外，还有很多其他方法可以用来求解高阶常微分方程，例如特征方程法、常数变易法等。
结语通过本文的介绍，相信读者对常微分方程的解法有了更深入的了解。
常微分方程解法作为数学中一个重要的研究领域，有着广泛的应用。
希望读者通过学习本文，可以更好地掌握常微分方程的解法方法，提升自己在数学领域的能力。
如果读者对常微分方程解法还有其他疑问或想要了解更多相关知识，可以继续深入学习或咨询数学相关的专业人士。
(整理)微分方程详解
第二章 微分方程本章学习目的：本章的主要目的在于：学习微分方程模型的建立、求解方法、分析结果及解决实际问题的全过程。
1．知道求解微分方程的解析法、数值解法以及图形表示解的方法；2．理解求微分方程数值解的欧拉方法，了解龙格——库塔方法的思想；3．熟练掌握使用MATLAB 软件的函数求微分方程的解析解、数值解和图形解；4．通过范例学习怎样建立微分方程模型和分析问题的思想。
§2.1 引例 在《大学物理》中，我们曾学习过简谐振动（如：弹簧振子、单摆）0222=+x dtx d ω，那就是一个典型的二阶常微分方程的模型。
这里我们讨论“倒葫芦形状容 器壁上的刻度问题”。
对于圆柱形状容器壁上的容积刻度，可以利用圆柱体体积公式：4/2H D V π=，其中容器的直径D 为常数，体积V 与相对于容器底部的任意高度H 成正比，因此在容器壁上可以方便地标出容积刻度。
而对于几何形状不规则的容器，比如“倒葫芦形状”的容器壁上如何标出容积刻度呢？如图所示，建立坐标系，由微元法分析可知：dx x D dV 2)(41π=，其中x 表示高度，直径是高度的函数，记为D （x ）。
可得微分方程：0)0()(412==V x D dx dV π如果该方程中的函数D(x)无解析表达式，只给出D(x)的部分测试数据，如何求解此微分方程呢？h=0.2;d=[0.04,0.11,0.26,0.56,1.04,1.17];x(1)=0;v(1)=0;for k=1:5x(k+1)=x(k)+h;v(k+1)=v(k)+(h/2)*(pi/4)*(d(k)^2+d(k+1)^2);endx=x(1:6),v=v(1:6),plot(x,v)x =Columns 1 through 50 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 Column 61.0000v =Columns 1 through 50 0.0011 0.0073 0.0373 0.1469 Column 60.3393§2.2 微分方程模型的建立在工程实际问题中，“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化，关键词“速率”、“增长”、“衰变”、“边际的”等常涉及到导数。
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当n 0,1时，方程为线性微分方程. 当n 0,1时，方程为非线性微分方程.
解法: 经过变量代换化为线性微分方程.
即令 z y1n ,则上式化为 1 dz P( x) z Q( x) 1 n dx
从而化为一阶线性方程
dz (1 n) P( x) z (1 n)Q( x) dx
例题
例 求微分方程 ( y 2 6x) y 2 y 0 满足初始条件 y
x 2
1的特解．
解 这个方程不是未知函数 y 与 y 的线性方程， 但是可以将它变形为
dx 6 x y 2 dy 2y
dx 3 y x dy y 2
dx
若将 x 视为 y 的函数， 则对于 x( y ) 及其导数 dy 而言， 方 程(11)是一个线性方程， 由通解公式(10)得
回主视图
dy y P ( x )dx ,
(使用分离变量法)
dy P ( x )dx , y
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx
.
回主视图
线性非齐次方程
dy P ( x ) y Q( x ). dx
f ( x) e
Q( x ) dx f ( x)
e
p( x )dx
, ( x)
,
非齐方程通解形式 y f ( x ) c( x ) e
p( x )dx
回主视图
常数变易法
把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.
a 2 xy [ C (ln x ) ] 1. 所以， 原方程通解为 2 回主视图
通解
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
ye
P ( x )dx
P ( x ) dx
( Q( x )e
e
P ( x )dx
dx C )
Ce
P ( x ) dx
对应齐次 方程通解 所以
ln(1 x )(1 y ） ln(Cx )
2 2 2
2 2 2 (1 x )(1 y ) Cx 因此， 通解为
CR
于是， 所求特解为
(1 x )(1 y ) 10x
2 2
2
例题
例 衰变问题 : 衰变速度与未衰变原子含量 M 成 正比,已知 M
t 0
M0 , 求 衰 变 过 程 中 铀 含 量
一阶线性非齐次方程解法
讨论: 设y=f(x)是解, 则
df ( x) P( x) f ( x) Q( x) dx
df ( x ) Q( x ) 变形 P ( x ) dx , f ( x) f ( x)
Q( x ) dx P ( x )dx , 积分 ln f ( x ) f ( x)
分离变量法
设函数G ( y ) 和 F ( x ) 是依次为g( y ) 和 f ( x ) 的原函 数, G( y ) F ( x ) C 为微分方程的通解.
例题
dy 2 xy 的通解. 例 求解微分方程 dx
dy 解 分离变量 2 xdx , y
两端积分得 dy y 2 xdx , 故:
当Q( x ) 0, 上方程称为一阶线性非齐次方程.
例如 dy y x 2 , dx x sin t t 2 , 线性的;
dx
dt
yy 2 xy 3, y cos y 1,
非线性的.
回主视图
一阶线性齐次微分方程解法
线性齐次方程
dy P ( x ) y 0. dx
M M 0 e t
解题步骤
利用微分方程解决实际问题的步骤：
一、利用问题的性质建立微分方程， 并写出初始条件； 二、利用数学方法求出方程的通解； 三、利用初始条件确定任意常数的值， 求出特解．
回主视图
齐次微分方程
dy y 1.定义 形如 f ( ) 的微分方程称为齐次方程. dx x y dy du 2.解法 作变量代换 u , 即 y xu, u x , x dx dx
3 y y dy 3 1 y C xe e dy C 2 2y 3 以条件 C x 2, y 1 代入， 得 2 3 dy y
因此， 所求特解为
3 y2 x y 2 2
回主视图
第二讲 一阶微分方程的解法
教学目的：掌握常见一阶微分方程的求解 方法 难 点：一阶线性非齐次微分方程的 通解 重 点：可分离变量的微分方程、齐 次方程和一阶线 性微分方程
主视图
一阶微分方程 解法
可分离变量法 齐次微分方程 一阶线性 微分方程 伯努利方程
解题步骤
一阶齐次 微分方程
一阶非齐次 微分方程 通解
du 1 1 1 dx u
du 1 dx u
分离变量， 并两边积分
u 2 x C
2
微分方程的通解为
( x y) 2 2x C
回主视图
一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0, 上方程称为一阶线性齐次方程.
设解为
y c( x )e
P ( x )dx
C c( x )
y c( x )e P ( x )dx c( x )[ P ( x )]e P ( x )dx ,
dy P ( x ) y Q( x )得 将y和y代入原方程 dx
P ( x )dx c ( x )e Q( x ),
例题
例 求解微分方程
dy y a(ln x) y 2 . dx x
解 原方程不是线性方程， 但通过适当的变换, 可将它化为线性方程． 将原方程改写为
y
2
dy 1 1 y a ln x. dx x
a 2 z x [ C (ln x ) ]. 由通解公式， 得通解 2
dy 1 1 1 y a ln x. dx x 令z y 1 , 则有 dz 1 z a ln x. dx x
解
原方程可化为
dx du 则 u y , dy dy
x 1 3 2 2 y dx y 3x x dy 2 xy 2 y
2
y 令u , x
du 1 5u 2 y dy 2u
2u 1 1 5u 2 du y dy
1 1 2 ln(1 5u ) ln y ln C 5 5
ln y x 2 C1
x2
y ce 为所求通解.
例题
2 2 ( 1 y ) dx xy ( 1 x )dy 0 满足初始条件 例 求微分方程 y(1) 2 的特解．
解
分离变量， 得
y 1 y x 1 dy dx dy dx 2 2 1 y2 x(1 x 2 ) 1 y x 1 x 1 1 1 2 2 两边积分 ln(1 y ) ln x ln(1 x ) ln C 2 2 2
M ( t )随时间 t 变化的规律.
解 衰变速度 , 由题设条件 dt dM M ( 0衰变系数) dt
dM M dt ,
dM
dM dt M
ln M t ln c , 即M ce t ,
衰变规律 回主视图
代入M t 0 M0 得 M 0 ce 0 C ,
积分得 c( x ) Q( x )e 非齐方程通解 y e
P ( x )dx
dx C ,
P ( x )dx
P ( x )dx
( Q( x )e
dx C )
例
求解微分方程
y y cot x 2 x sin x.
y y cot x 0
1 dy cot xdx y
微分方程的通解为 y 5 5x 2 y 3 C 将初始条件 y x0 1 代入通解中， 得到 C 1 所求特解为
y 5x y 1
5 2 3
例
求解微分方程
dy 1 1 dx x y
例题
dy du 1 解 令 x y u, 则 y x u, dx dx
故所求通解为
y ( x C)sin x
2
公式法例题
P( x) cot x,
Q( x) 2 x sin x.
根据公式有:
cot xdx cot xdx ye ( 2 x sin xe dx C )
e ln sin x ( 2 x sin x e ln sin x dx C ) 1 sin x ( 2 x sin x dx C ) sin x sin x ( 2 xdx C ) sin x ( x 2 C ).
常数变异法
可分离变量法
如果一阶微分方程能化为
g( y )dy f ( x )dx 则称为可分离变量的微分方程. 4 4 dy 例如 2 x 2 y 5 y 5 dy 2 x 2dx , dx 解法 设函数 g ( y )和 f ( x ) 是连续的,两边积分得
g( y )dy f ( x )dx
2 tan u
x
2
.
ln sin u 2 ln x ln c ln cx .
2
sin u cx . 把变量代回得微分方程的解为
y sin cx 2 . x
例题
例
2 2 ( y 3 x ）dy 2 xydx 0 求解微分方程 满足初始条件 y x0 1 的特解．