4.2.2圆与圆的位置关系

422 圆与圆的位置关系

(一)教学目标

1 .知识与技能

(1)理解圆与圆的位置的种类;

(2)禾U用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长;

(3)会用连心线长判断两圆的位置关系

2.过程与方法

设两圆的连心线长为I，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点:

当I > r i+r2时，圆C i与圆C2相离;

当I = r什「2时，圆C i与圆C2外切;

当『1 -r2|v I < r i+r2时，圆C i与圆C2相交; 当I = 1「1 -「2|时，圆C i与圆C2内(4)

切；当I< 1「1 -「2|时，圆C1与圆C2内含.

3.情态与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想

(二)教学重点、难点

重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系

两个方程所表示的圆吗？你从中发现了什么? 生应该给矛表扬.同时强调，解析几何是一门数与形结合的学

师：启发学生利用图形的特

应用举例

方法

拓展

延伸

合”的意识.

进一步

培养学生解

4 •根据你所画出的图形,

可以直观判断两个圆的位置

关系.如何把这些直观的事

实转化为数学语言呢?

5.从上面你所画出的图

形，你能发现解决两个圆的位

置的其它方法吗?

6.如何判断两个圆的位

置关系呢?

7 .阅读例3的两种解法,

解决第137页的练习题.

8•若将两个圆的方程相

减，你发现了什么?

征，用代数的方法来解决几何问

生：观察图形，并通过思考,

指出两圆的交点，可以转化为两

个圆的方程联立方程组后是否有

实数根，进而利用判别式求解

师：指导学生利用两个圆的

圆心坐标、半径长、连心线长的

关系来判别两个圆的位置

生：互相探讨、交流，寻找

解决问题的方法，并能通过图形

的直观性，利用平面直角坐标系

的两点间距离公式寻找解题的途

师：对于两个圆的方程，我

们应当如何判断它们的位置关系

呢

？

引导学生讨论、交流，说出

各自的想法，并进行分析、评价,

补充完善判断两个圆的位置关系

的方法.

师：指导学生完成练习题

生：阅读教科书的例3,

完成第137页的练习题.

师：引导并启发学生相交弦

所在直线的方程的求法.

生：通过判断、分析，得出

相交弦所在直线的方程.

决问题、分

析问题的能

别式来探求

两圆的位置

进一步

激发学生探

求新知的精

神，培养学

从具体

到一般总结

判断两个圆

的位置关系

的一般方法.

巩固方

法，并培养

学生解决问

题的能力.

得出两

个圆的相交

弦所在直线

的方程.

所以当m = -5或m = 2时，C 1与C 2外切； 当乞< m < -1时，G 与C 2内含.

例2 求过直线x + y + 4 = 0与圆x 2

+ y 2

+ 4x -2y 程.

备选例题

例 1 已知圆 C i ： x 2

+ y 2

-2mx + 4y + m 2

-5 = 0,圆 C 2： x 2

+ y 2

+ 2x -2my + m 2

-3 = 0,

m 为何值时，(1)圆C i 与圆C 2相外切；

(2)圆C i 与圆C 2内含.

【解析】对于圆 C 1，圆C 2的方程，经配方后

2 2 2 2

C 1: (x -m) + (y + 2) = 9, C 2： (x + 1) + (y -m) = 4. (1)

(2) 如果 C 1与C 2外切，则有 J (m +1)2 +(m +2)2

2

m + 3m -10 = 0，解得 m = 2 或 -5.

如果C 1与C 2内含，则有 J (m +1)2 +(m + 2)2 m + 3m =3+2 V3_2 ,

-4 = 0的交点且与y = x 相切的圆的方

【解析】设所求的圆的方程为x2 + y2 + 4x -2y -4 + Z (x + y + 4) = 0.

i v =x

联立方程组

$ +y + 4x-2y-4 +Z(x+y+ 4)=0

得：X2+(1+Q x+2(扎一1) =0 .

因为圆与y = x相切，所以A=0.

即(1 + 耳2+8仏一1) =0,则Z=3

故所求圆的方程为x2 + y2 + 7x + y + 8 = 0.

例3 求过两圆x + y + 6x -4 = 0求x + y + 6y -28 = 0的交点，且圆心在直线x -y -4 =0上的圆的方程.

【解析】依题意所求的圆的圆心，在已知圆的圆心的连心线上，又两已知圆的圆心分别为(43, 0)和(0, -}.

则连心线的方程是x + y + 3 = 0.

由J x+y+3=0

X -y —4 =0 解得

所以所求圆的圆心坐标是

2

y 由三个圆有同一条公共弦得设所求圆的方程是X2 +

故所求方程是X2 + y2 -X + _1

~2

7 =~—

2

GJ

2 2

-X + 7y + m = 0

m = -

32.

7y -32 =

0.