中考数学空间与图形
2006中考复习 空 间 与 图 形 练 习
一、 典型例题
1、下列图表中，不能围成正方体的是 （ D ）
A B C D
2、一组对边平行，并且对角线互相垂相等的四边形是……………………（ ）
A 、菱形或矩形
B 、正方形或等腰梯形
C 、矩形或等腰梯形
D 、菱形或直角梯形
3、如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD ，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A 点，两条直角边分别与CD 交于点F ，与CB 延长线交于点E ．则四边形AECF 的面积是 ．
A B
C
D E
F
4、 如图3，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，为了使扇子的外形美观，通常情况下α与β的比按黄金比例设计，若取黄金比为0.6，则α= 度。
5、在ΔABC 中，AC=BC=2, ∠C=90°,将一块三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处。将三角板绕P 点旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、射线CB 于D 、E 两点。图（1）、（2）、（3）是旋转三角板得到的图形中的其中三种：
（1）三角板绕P 点旋转，观察线段PD 和PE 之间有什么大小关系，并以图（2）为例，加以证明： （PD=PE ） （2）三角板绕P 点旋转， PBE 是否能成为等腰三角形？若能，指出所有的情况（即求出ΔPBE 为等腰三角形时的CE 的长）；若不能，请说明理由； （能成为等腰三角形，CE=1或CE=2+22）
（3）若将三角形直角顶点放在斜边AB 上的M 处，且AM:MB=1:3,和前面一样操作，试问线段MD 和ME 之间又有什么关系。请直接写出结论，不必证明（图（4）供操作、实验用），结论为 （MD ：ME=1：3）
6、如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF
和BE.
(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论；
(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；
(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形c(草图即可)，
(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；
(4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现.
答：(1)AF=BE.
证明：在△AFC和△BEC中，
∵△ABC和△CEF是等边三角形，∴AC=BC，CF=CE，∠ACF=∠BCE=60°.
∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE.
(2)成立.
理由：在△AFC和△BEC中，
∵△ABC和△CEF是等边三角形，
∴AC=BC，CF=CE，∠ACB=∠FCE=60°.
∴∠ACB-∠FCB=∠FCE-∠FCB.
即∠ACF=∠BCE. ∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE.
(3)评价要求：此处图形不惟一，仅举几例，只要正确，即可得分.
如图，(1)中的结论仍成立.
(4)根据以上证明、说明、画图，归纳如下：
如图a，大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C，则以点C为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE.
二、巩固练习
A组题
1、找出图中每一物品所对应的主视图．
（1）（2）（3）（4）（5）
1―（）， 2―（）， 3―（）， 4―（）， 5―（）
2、根据下列左视图和主视图，找出对应的物体．
左
视
图
主
视
图
A B C D
1—（）， 2—（）， 3—（）， 4——（）
3、水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、
上面、下面、左面、右面”表示.如右图,是一个正方体
的平面展开图,若图中的“似”表示正方体的前面,“锦”
表示右面,“程”表示下面.则“祝”、“你”、“前”分别
表示正方体的______________.
4、平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，有五个条件：①AC=BD ②∠ABC=90°
③ AB=AC ④ AB=BC ⑤ AC ⊥BD ，则下列哪个组合可判别这个四边形是正方形 （ ） A ① ② B ① ③ C ① ④ D ④ ⑤
5、某城市进行旧城区人行道的路面翻新,准备对地面密铺彩色地砖, 有人提出了4种地
砖的形状供设计选用：①正三角形，②正四边形，③正五边形，④正六边形．其中不 能进行密铺的地砖的形状是（ ）.
(A) ① (B) ② (C) ③ (D) ④
6、如图，半径为1的圆中，圆心角为120°的扇形面积为 （ ） （A ）31 （B ）21 （C ）π31 （D ） π
21
7、 已知⊙1O 和⊙2O 的半径分别为2cm 和3cm ，两圆的圆心距是5cm ， 则两圆的位置关系是（ ）
A 、相交
B 、外离
C 、内切
D 、外切
8、 如图，AB 与CD 相交于E ，AE=EB ，CE=ED ，D 为线段FB 的中点， CF 与AB 交于点G ，若CF=15cm ，求GF 之长．
9、如图，AB ⊥BC ，∠ABD 的度数比∠DBC 的度数的两倍少15°，设∠ABD 和∠DBC 的度数分别为x 、y ，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组（ ）
A ．90
15
x y x y +=??
=-? B ．90215x y x y +=??=-? C ．90152x y x y +=??
=-? D ．290215x x y =??
=-?
10、用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允
许剩余、重叠和折断，则能摆出不同的三角形的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
B 组题
1、下列正多边形的组合中，能够铺满地面（即平面镶嵌）的是
A ．正三角形和正四边形
B ．正四边形和正五边形
C ．正五边形和正六边形
D ．正六边形和正八边形
2、如图2，将一副直角三角板叠在一起，
使直角顶点重合于点O ，则 ∠AOB+∠DOC= 。
A
D
B
C
图
y
x°
3、如图，AB 是半圆的直径，O 是圆心，C 是半圆上一点， E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于D ．若AC=8cm ，DE=2cm ，则OD 的长为
.
C
B
4、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,若∠B=60°，AC ⊥AB,那么∠DAC= .
5、如图，矩形ABCD 中，M 是CD 的中点。
求证：（1）△ADM ≌△BCM ； （2）∠MAB=∠MBA 6、如图，四边形ABCD 是矩形，O 是它的中心，
E 、
F 是对角线AC 上的点。
（1）如果 ，则ΔDEC ≌Δ
BFA （请你填上能使结论成立的一个条件）
； （2）证明你的结论。
7、如图，AD 、BC 是⊙O 的两条弦，AD ∥BC ，连接AB 、CD 、AD 、BC ，仅限于图中A 、B 、C 、D 四个点，试着写出三个等量关系，并选择其中某
个结论，用对称的有关知识进行解释。
8、如图是一把绸扇,线段AD 、BC 所在的直线相交于点O ，AB 与CD 是以点O 为圆心、半径分别
为10cm 、20cm 的圆弧,且∠AOB=1500
.这把绸扇的绸布部分ADCB 的面积是多少?(不考虑绸布的折皱,结果用含π的式子表示).
9、如图，四边形ABCD 中，点E 在边CD 上，连接AE 、BE 。给出下列五个关系式：①AD ∥ BC ② DE=CE ③∠ 1= ∠ 2 ④∠ 3=∠ 4 ⑤AD+BC=AB 。将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题。 （1）用序号写出一个真命题
（书写形式如：如果×××，那么××），并给出证明； （2）用序号再写出几个真命题（不要求证明）；
O
10、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝16，DC ＝12，AD ＝21。动点P 从点D 出发，沿射线DA 的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动。设运动的时间为t （秒）。 （1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；
（2）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？
（3）当线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO ＝OB 时，求∠BQP 的正切值；
（4）是否存在时刻t ，使得PQ ⊥BD ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由。
C 组题
1、如图，有一木制圆形脸谱工艺品，H 、T 两点为脸谱的耳朵，打算在工艺品反面两耳连线中点D 处打一小孔．现在只有一块无刻度单位的直角三角板（斜边大于工艺品的直径），请你用两种不同的方法确定点D 的位置（画出图形表示），并且分别说明理由．
理由是：
2、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D 、E ，请你仔细观察后，在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程。
3、如图，圆O 的两条弦AB 、CD 垂直相交于E 点，O 到AB 、CD 的距离分别为2和4，AB 、CD 将⊙O 分成四个部分，如果相对两个部分的面积和分别记为S 1和S 2，试确定21S -S 的值。
D
4、若梯形ABCD 为等腰梯形，面积不变，请设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P ，使得△APB ≌△DPC 且S △APD =S △BPC ，并说出你的理由。
5、小明说，如图，沿着三条虚线对折可以将三角形ABC 的三个内角集中到D 处，从而可以验证三角形的内角和定理。你知道图中的E 、F 点是如何确定的，你能利用该图证明三角形内角和定理吗？试写出相应得已知、求证与证明过程。
6、现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺
(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖半径)。 请配合图形、文字说明测量方案，写出测量的步骤 (要求写出两种测量方案)
7、如图，正方形表示一张纸片，根据要求，需通过多次分割，把它分割成若干个直角三角形，操作过程如下：第一次分割，将正方形纸片分成4个全等的直角三角形；第二次分割，将上次得到的直角三角形中的一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的作法进行下去。
（1） 请你设计出两种符合题意的分割方案图（要求在图（1）、图（2）中分别画出每种
方案的第一次和第二次的分割线，只要有一条分割线段不同，就视为一种不同方案，图（3）供操作、实验用）；
（1）
（
2
（3
（2）设正方形的边长为a ，请你就其中的一种方案通过操作和观察将第二、第三次分割后所 A
D C
B
10m 20m
（3）在条件（2）下，请你猜想分割所得的最小直角三角形面积S 与分割次数n 有什么关系，并用数学表达式表示出来
8、借助没有刻度的直尺，小明按照下图的顺序作出了角A 的平分线AB ，
请写出其作图顺序，并说明他这样做的道理。
9、在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A 、B 两点间的距离。请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案。 （1）画出测量图案；
（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；
（3）计算AB 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）。
10、我们在学习勾股定理时构造了下面的模型：⊿ABC 是直角三角形，其中∠C 是直角，分别以Rt ⊿ABC 的三边为边向外作三个正方形，面积分别用S1，S2，S3表示，那么我们有：S1＝S2＋S3。
（1）如果我们分别以Rt ⊿ABC 的三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明。
（2）小明说，如果分别以Rt ⊿ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为了使S1，S2，S3之间仍然具有上述关系，所作三角形应当具有相似的关系，你认为他的说法对吗？
（3）你能构造一个模型，即以Rt ⊿ABC 三边为边向外作三个图形，使得三个图形的面积具有上述关系吗？具体做一做。
C
A
Z
A 1
S2
S3 S1