2.2.2椭圆的几何性质

坐标法
代数问题
检 验 几何结论
几何解释
运 算 代数结论
2. 圆锥曲线是高中数学平面解析几何中的核心内容，也是一类重要的数学模型， 其研究方法充分体现了解析几何的基本思想，在天文、物理等其它学科技术领 域中占有重要地位，在生产或生活实际中有着大量应用.
3. 椭圆的几何性质是在学生学习了椭圆的定义和标准方程之后，第一次真正意义 上感受解析几何的基本思想——从方程出发研究椭圆的几何性质.是继必修二 第二章《平面解析几何初步》之后，进一步渗透并应用这种思想，是后续学习 双曲线、抛物线的知识铺垫、能力基础和方法指导，是数形结合的数学思想方 法的典范，也是进一步完善学生的知识结构、深化数学思想方法、提升多种数 学素养的重要载体. 在本章中起着承上启下、完善建构、形成范例的作用.
2.2.2 椭圆的几何性质
【教学内容解析】
1. 平面解析几何的基本思想是在平面上引进“坐标”概念，并借助坐标在平面上
的点和有序数对（x,y）之间建立一一对应的关系.于是，平面上的一条曲线就可
以由带两个变量的一个代数方程来表示.这样，我们就可以利用方程来研究几何
对象之间的关系和其本身的几何性质，即
几何问题
知识、椭圆的定义和标准方程；理解数形结合思想、数形转化方法的重要作用，初
步感知了解析几何的基本任务，具有一定的图形分析和代数推理能力.同时在函数
和不等式的学习过程中已经积累了利用等量关系寻找不等关系、图像的对称性等研
究函数性质的基本经验.这些都为本节课提供了充分的基础知识和思想方法准备.
（2）达成目标所需要的认知基础
1.精心设置问题系列 自然驱动 从明确解析几何的基本任务入手，精心设置问题串，引导学生操作、观察、比 较、猜想、推理，解构教材，学习知识，形成能力，发展认识. 2.充分开展学生活动 自主探究 站在学生的角度，从学生已有的认知出发，给学生提供了课堂参与的机会和自 我领悟的空间，让学生在动手操作、观察比较、类比辨析、交流合作中理解知识， 掌握研究方法. 3.适时提炼思想方法 自觉升华 在利用方程探究几何性质的过程中，教师在适当的时候对过程方法实时总结或 迁移，由形到数，再以数释形，数形结合始终贯穿其中并逐层递进，帮助学生在交 流和反思中领悟数学思想方法在数学学习中的指导作用. 【教学过程分析】 引言：美国数学教育家莫里斯·克莱茵说：解析几何彻底改变了数学的研究方法， 即通过坐标系，把几何问题代数化.而建立曲线方程，便是代数化的手段之一. 前面两节课，利用椭圆的定义（是什么？），我们画出了椭圆的形状，推导出 了椭圆的标准方程（是什么？）. 【学生活动】回忆、思考、口答. 【设计意图】通过复习回顾，激活作为本节课逻辑起点的基础知识；通过对解析几 何本质的揭示，初步明确本节课的研究内容. 一、情境引入，明确方向 问题 1 除了利用定义，你能根据椭圆方程 x2 y2 1 画出它的简图吗？
问题 3.2 你能说出两个比 x2 y2 1 更“扁”的椭圆吗？ 25 9
问题 3.3 是不是方程中的 a, b 都改变，椭圆的圆扁程度一定发生变化？
问题 3.4 你认为可以用怎样的一个关系式来定量刻画椭圆的“圆”和“扁”？ 问题 3.5 利用基本量 a,b, c 之间的关系，还有其他类似的关系式来刻画吗？
概念的核心素养. 三、引导建构 完善认知 问题 4 请你写出焦点在 y 轴上的椭圆的几何性质，并完成下列表格.
标准方程
x 2 y 2 1(a b 0) a2 b2
y
y 2 x 2 1(a b 0) a2 b2
y
图形
O
O
x
OO
x
焦点坐标
范围
对称性
顶点坐标
离心率
x2 y2
【学生活动】类比研究椭圆 a 2
【学生活动】列表描点，结合性质，精画椭圆. 【设计意图】再画椭圆，让学生体验利用性质画图的必要性和有效性，另一方面也 是离心率概念形成的自然过渡.
问题 3 观察所画椭圆 x2 y2 1 和 x2 y2 1 ，它们在形状上有什么显著不同？
25 16
25 9
问题 3.1 这两个椭圆的圆扁不同是由方程中的哪个量的变化引起的？
线方程研究几何性质的直接经验； 2.引导学生经过操作确认、思辨论证的过程初步建立 b 与椭圆圆扁程度的对应 a
关系，再利用 b 与 c 的等量关系，建立离心率的模型，并结合几何画板动态演示， aa
丰富学生的直观感悟与经历；
2
3.发动学生通过问题串进行交流、汇报，展示思维过程，相互启发. 【教学策略分析】
“数”的关系．
五、总结提升 形成体系
结合所学知识和知识的探究过程谈谈本节课你有什么收获？
（1）知识：椭圆的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率；
（2）方法： 代数方法
解决
几何问题
曲线方程
研究
曲线性质
（3）思想：数形结合、特殊到一般、类比归纳等. （4）经验：研究圆锥曲线性质的一般方法经验. 六、目标检测 及时反馈
aa 相似.
5
（Ⅱ）一致性： c 1 (b )2 ；
a
a
（Ⅲ）选择性：与椭圆定义相对应；后面研究圆锥曲线统一定义的背景.
【设计意图】明确开放的问题，使学生体会到引入离心率的目的；由 b 到 c 符合学 aa
生的认知特点；教师利用几何画板动态演示，使学生对离心率刻画椭圆的圆扁程度
的理解更为形象直观.整个探究过程体现了实物直观、数学抽象、建立模型、形成
4
例 1：椭圆 x2 y2 1 的长轴长为_______， 短轴长为_________，顶点坐标是 25 9
__________， _________.
【学生活动】准确计算，熟练回答. 【设计意图】由方程得性质，体现了本节课重要知识点和研究方法的基本应用，以 及练习的反馈和诊断功能.
探究 4 请在刚才的坐标纸上较精确地画出第二个椭圆 x2 y2 1 . 25 9
圆上会有哪些关键点？
方法提炼：分析四点的特性，形成顶点的概念.顶点是曲线与对称轴的交点，而不
是曲线与坐标轴的交点.类比迁移二次函数图像的顶点.
y 二次函数 y (x 2)2 1
O·
x
【设计意图】根据上一环节的讨论，学生自己列出探究的问题（内容）目录，然后 自主思考，相互交流，探究结论.教师适当点拨引导，深化认识.范围和对称性的探 究，经历了由直观（图形）、推理（数量）、抽象（性质）的思维过程；顶点概念的 建立，则是先直观、后类比、再建模，体现了研究问题的方法论思想.
二、问题驱动 合作探究
问题
2
一般地，以椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 为例，你准备研究它的哪些性质？如何
研究？
【学生活动】学生自主探究，感知“几何性质”研究的方向和方法，得出结论，说
明理由.
探究 1：我们能否从椭圆方程本身来探讨椭圆的范围呢？ 方法提炼：通过观察方程形式特点，由方程构造不等式，体现了研究几何问题的“代
借助几何画板演示一系列动态变化的椭圆，提供直观支持.
【学生活动】直观观察，小组讨论，合作交流，形成结论：离心率的定义、范围、
大小对圆扁程度的影响.经历了形状变化（观察）、原因剖析（推理）、数学刻画（对
应）、建立模型（抽象）的思维活动过程.
并在探究过程中阐明以下事实： （Ⅰ）可行性：用比值 c 和 b 都可以刻画椭圆“圆扁”程度；离心率形同的椭圆均
y2 x2 1. 椭圆 1的范围是_______________，顶点坐标为______________，
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离心率为___________.
2. 已知椭圆的长轴长为 4 3 ，焦距为 4 2 ，则该椭圆的标准方程为___________.
3.
x2
椭圆
y2
1与
x2
y2
1哪一个更“扁”一些？
2
（3）教学难点与突破策略 基于达成目标的认知困难，本节课的教学难点是： 1.发现和揭示椭圆方程与椭圆几何性质的关系，搭建“数”与“形”的桥梁； 2.椭圆离心率的发现与探究,突破“定性”到“定量”的转化；
突破难点的相应策略如下： 1.通过画图、辨图，不断制造认知冲突，从解决问题需要出发，建立学生通过曲
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4. 试判断曲线 x2 xy 2 y 2 2 的对称性.
7
课后作业： 1．阅读课本，完整体验利用椭圆方程研究几何性质的思想方法； 2．必做题：课本 P37 习题 2.2（2）1,2,4,5,8；
3．选做题：已知
x a
2 2
y2 b2
1(a
b 0) ，求
x2 y2 的最大值，并解释该结论的
要达成本节课的目标，这些已有的知识、能力和经验基础不可或缺，但这毕竟 是他们第一次利用代数方程研究曲线的几何性质，经验缺乏，研究目标不明确，抽 象建立离心率模型的素养不够.所以还需要具备观察、概括、抽象、推理等能力， 能运用数形结合、类比归纳等数学思想，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良 好的数学学习习惯.
数”方法，b2
1(a
b
0) ，求
x,
y 的取值范围.
探究 2：椭圆具有怎样的对称性？能否用代数法说明？
方法提炼： 图形对称的本质是点的对称：
对于曲线上任意一点 P(x, y) y轴 P(x, y) 也在曲线上 图形关于 y 轴对称.
探究 3：研究曲线上的某些关键点，可以确定曲线的位置和变化趋势.你觉得该椭
几何意义.
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四、典例剖析，深化理解 例 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1） 经过点 P(3,0) ， Q(0, 2) ；
（2）长轴长为 4，离心率为 3 ； 2
【学生活动】学生口答（1），教师板演，强调书写的逻辑性和规范性；学生板演（2），
加深对椭圆几何性质的应用和理解.
【设计意图】由性质求方程，让学生进一步体会曲线与方程之间的关系，“形”与