高一数学必修五基本不等式

豁
然 2、注意公式的正用、逆用、变形使用。
开 3、牢记公式特征一“正”、二“定”、三 朗 “等”，它在求最值的题型中绽放绚丽的光
彩。
小结：运用 ab a(ba0,b0)时要注意下面三条： 2
（1）一正：各项均为正数。
（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。
（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”， 否则会出现错误。
最值定理：若x、y皆为正数，则
（1）当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最 和
大值__14__S_2__；
定 积
（2）当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最 最
小值__2___P__.
大 ，
注意：①各项皆为正数；
一“正”
积
②和为定值或积为定值；二“定”
定
③注意等号成立的条件. 三“相等”
sixn
所以函数的6.最小值是
错。s因 in x为9
sin x
三相等
例 2 、若 x ,y 满 正 x 足 y 1 数 ,求 8 x的 y 最
解法 x 一 0,y： 0
xy2x即 y 2x y18
xy81
当且x仅 y当 9时取等号。
两个正数的和为定值，积有最大值。
利a 用 b2ab
你还有其他的解法吗？
例1：(3)有人出了个主意，让花圃的一面靠墙，利用墙壁作 为花圃的一边，可以省一部分材料，请发挥你的聪明才 智，用这36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园 的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 x +2 y= 36 矩形菜园的面积为S=xy m2
6.已知a 0,b 0, ab 9,则a b的最 _小__ 值为_6___;
7.已知ab 9,则a2 b2的最 _小__ 值为_1_8__;
8.已知ab 9,则a2 2b2的最 _小__ 值为1_8__2_;
9.已知a 0,b 0, ab 9,则a 2b的最 _小__ 值为_6__2_;
3x 6
5
1 9 . 已 知 x 0 ,y 0 ,且 1 9 1 ,求 x y 的 最 小 值 . xy
2 0 . 已 知 x 0 ,y 0 ,且 2 x y 1 ,求 1 1 的 最 小 值 . xy
例 题
例1、(1)当x>0时，x 1 x
2
，当且仅当
讲 x= 1 时取等号。
解 2若 x0 ， y0且 x•y9,则 xy的最6小 ， 值
此x 时 y3 .
解 x ： 0 ， y 0 xy2x•y6
当且x仅 y当 3时取等号。
两个正数积为定值P，和有最小值 2 。P
利a 用 b2ab
变式判：断以下命题是否正确
已0知 x1,求函 y数 x13x的最大值
例
3
解：∵0＜x＜1 ，∴1-3x＞0
3
构造和为定值
∴y=x（1-3x）=
1 3
•
3x（1-3x）
1(3x13x)2 1 3 2 12
凑系数
当且仅当 3x=1-3x
1
即x= 6
时 ymax=
1 12
你会了
巅
小结评价
吗？
峰
回 1、本节主要学习了基本不等式的证明与 眸 初步应用。
3 . 已 知 0 a 1 , 则 a ( 1 a ) 的 最 _ 大_ _ 值 为 _ _ 1_ _ ; 4 5 ..已 已 知 知 0 0 a a 1 2 1 3 ,,则 则 a 2 ( a 1 ( 1 2 3 a a ) 的 ) 的 最 最 _ 大_ _ 大_ _ _ 值 值 为 4为 _ _ _ _ _ 1816_ _ _ ;;
(1)因为 yx42 x
x•4 x
4,所以 ymin4.
一正 错。因 x和为 1不一定是 正数
x
( 2 ) 设 x R ,则 y x 2 8 x 中 ,当 x 2 8 x ,x 2 时 ,y m i 8 ; n
错。因 x2•为 8不是定 值
x
二定
3若0x,则ysixn 9 2 96,
15.若x
0, 则函数y
x
x x 2
的最 1
_大__
值为
1 __2__;
16.若x 1,则函数y x2 2x 3的最小___ 值为2___2_;
x 1
17.若x 1,则函数y x2 3x 3的最 _小__ 值为 _3___;
x 1
18.若x
1, 则函数y
x2
x 1
的最
大___
值为
1
____;
10.已知x
3, 则函数y
x
8 x
的最
_小__
17
值为 __3__;
练习
11.函数y 12.已知x
x 1,
2
8 x2
的最
则函数y
_小__
x
值为 _4__2_;
8 的最 小___
值为
_4__2_;
1
13.函数y
x2
8 x2
x 1
的最 小___ 值为_2___;
4
14.若x 0,则函数y x2 4的最 _小__ 值为 __4__;
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 2(x + y)= 36 , x+ y =18 矩形菜园的面积为xy m2 当x且y仅x当2xy==y1,即8/2x==9y=9时得，等xy号≤ 成81立 因此，这个矩形的长、宽都为9m时， 菜园面积最大，最大面积是81m2
结论2.两个正数和为定值，则积有最大值
和
最
注：应用此不等式关键是配凑和一定或积一定
小
例
已知x＞1，求x＋ 1 的最小值以及取得
最小值时x的值。 x 1
解：∵x＞1 ∴x－1＞0 构造积为定值
∴x＋ 1 ＝（x－1）＋ 1 ＋1
x 1
(x 1)
凑项法
2 x1 1 13
x1
当且仅当x－1＝ 1 时取“＝”号。
x 1
于是x＝2或x＝0（舍去）
公式变形：
ab
a
2
b
2
例 2 、若 x ,y 满 正 x 足 y 1 数 ,求 8 x的 y 最
解法 x 二 0,y： 0
xyxy281 2
当且x仅 y当 9时取等号。
解法三分析
令xy=z,则 Z=-x2+18x， 利用二次函数求某一区间的最值
变式 1、若x 正 ,y满 数 2 x足 y 1,求 8x的 y 最
【基础训练3】
1、 求函数 y 1 x(x3)的最小值.
x3
2、求函数f(x)=x2(4-x2) (0<x<2)的最大值是多 少？
例1：(1)用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。
最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
由 x 2 y 2 x 2 y 得 x y 1 6 2 , S x y 1 6 2
当且仅当x=2y,即x=18，y=9时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为9m时， 菜园面积最大，最大面积是,162m2
y x 1 x
① x0
② x0 ③ x0
④ x2
2,
,2
, 2 2 ,
5 2
入
2
探
当且仅当a=b时，等号成立。
究
揭 基本不等式的几何解释：
示
D
本
半径不小于半弦
质
A
aCb B
E
剖析公式应用
深
入 探
ab ab 2
究
均值不等式
揭
算术平均数 几何平均数
示 基本不等式可以叙述为:
本 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均
质 数.
注意：（1）不等式使用的条件不同；
（2）当且仅当a=b时取等号；
x y xy 2
xy2100
2 (xy) 4 0
等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10. 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆 最短最短的篱笆是40m.
结论1.两个正数积为定值，则和有最小值
例1：(2)用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？
,
一正 、二定 、三等
一不正,需变号 二不定,需变形
三不等,需单调
两个不等式：
a2 b2 2ab (a, b R)
ab
ab
(a 0, b 0)
2
得：
a2 b2 ab
ab ( a b )2
2
2
ab
a
2
b
2
a2
2
b2
(a,bR)
2
ab a2 b2
ab
,
11
2
2
ab
(a,bR，当且仅当ab时取“=”）
小结：
几种利用基本不等式求最值的技巧: 1.凑项 2.凑系数 3.分离 4.“1”的妙用
练习
1.已知a 0,b 0, a b 8,则ab的最 _大__ 值为_1_6__;
2 . 已 知 a 0 , b 0 , a 2 b 8 , 则 a b 的 最 _ 大_ _ 值 为 _ _ 8_ _ ;
3.4基本不等式:
ab a b 2
基 本 不 等 式 的 几A 何 背 景
D
a2 b2
b
G aF