2020版新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.1不等式及其性质课件新人教B版必修1
【素养·探】
利用不等式的性质判断命题真假，突出考查了逻辑推
理与数学运算的核心素养.
对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是 ( )
A.若a>b，则ac2>bc2 C.若a<b<0，则
ba ab
B.若a>b>0，则 D.若a>|b|，则a12>b12
ab
【解析】选D.当c=0时，有ac2=bc2，故A为假命题；
(2)推论1类似于解方程中的什么法则？ 提示：移项法则. (3)使用推论3，4，5时，要注意什么条件？ 提示：各个数均为正数.
5.证明问题的常用方法 (1)综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经 过逐步推导最后得到结论的方法. (2)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立 的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等) 为止.
当a>b>0，有 1 1 ，故B为假命题；
a<b<0⇒-a>-ba>0⇒b
⇒
，故C为假命题1b ；
1 a
0
若aab>|bab|≥0，则a2>b2，故D为真命题.
【类题·通】 1.运用不等式的性质判断命题真假的技巧 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条 件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质.
类型一 作差法比较大小 【典例】比较下列各式的大小： (1)当x≤1时，比较3x3与3x2-x+1的大小. (2)当x，y，z∈R时，比较5x2+y2+z2与2xy+4x+2z-2的 大小.
【思维·引】利用作差法比较，先作差、化简，再判 断差的符号.
【解析】(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1) =3x2(x-1)+(x-1) =(3x2+1)(x-1). 因为x≤1，所以x-1≤0，而3x2+1>0. 所以(3x2+1)(x-1)≤0，所以3x3≤3x2-x+1.
2.比较两个实数大小的方法 (1)画数轴比较法
①实数与数轴上的点一一对应 依据 ②如果点P对应的数为x，则x为点P的坐标，并记作
P(x)
结论
数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实 数会变大.
(2)作差比较法
依据
如果a-b>0，那么a>b 如果a-b<0，那么a<b 如果a-b=0，那么a=b
4.不等式性质的推论 推论1 a+b>c⇒a>c-b 推论2 a>b，c>d⇒a+c>b+d 推论3 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 推论4 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n>1) 推论5 a>b>0 ⇒ >___
ab
【思考】 (1)性质2，3可以概括为在不等式的两边同乘以一个不 为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？ 提示：不对.要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数， 不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不 等号的方向.
14 18
即14≥18，显然不成立，所以假设错误.
所以
.
7－ 3 6－ 2
方法三：运用 7 3 4 ，6 变形2 后 4
7 3
6 2
再证.
【类题·通】 1.利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点 (1)实质：就是根据性质把不等式变形. (2)注意点：①记准、记熟不等式的性质并注意在解题 中灵活准确地加以应用；
2.2 不 等 式 2.2.1 不等式及其性质
1.不等式与不等关系 不等式的定义所含的两个要点. (1)不等符号<， >，≤，≥或≠. (2)所表示的关系是不等关系.
【思考】 (1)不等号“≤，≥”的读法分别是什么？ 提示：“≤”读作小于或者等于，“≥”读作大于或者 等于.
(2)不等式“a≤b”的含义是什么？只有当“a<b”与 “a=b”同时成立时，该不等式才成立，是吗？ 提示：不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含 ;b与a=b之中有一个正确，则a≤b正确.
(4)×.取a=4，c=5，b=6，d=2，满足a+c>b+d， 但不满足a>b，故此说法错误.
2.设b<a，d<c，则下列不等式中一定成立的是 ( )
A.a-c>b-d
B.ac>bd
C.a+c>b+d
D.a+d>b+c
【解析】选C.因为b<a，d<c，所以b+d<a+c.
3.已知x<1，则x2+2与3x的大小关系为________. 【解析】x2+2-3x=(x-2)(x-1)，而x<1，所以x-2<0， x-1<0，所以x2+2-3x>0，所以x2+2>3x. 答案：x2+2>3x
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)不等式x≥2的含义是指x不小于2. ( ) (2)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a=b，a<b三种 关系中的一种. ( ) (3)若a>b，则ac2>bc2. ( )
(4)若a+c>b+d，则a>b，c>d. ( )
提示：(1)√.不等式x≥2表示x>2或x=2，即x不小于2. (2)√.任意两数之间，有且只有a>b，a=b，a<b三种关 系中的一种，没有其他大小关系. (3)×. 由不等式的性质，ac2>bc2⇒a>b；反之，c=0 时，a>b ac2>bc2.
A. C.aa－c1>cb＞cb－1 c
B. 1＜1
D.aa－c<cbc b－c
【解析】选B.因为a>b>c，所以a-c>b-c>0.
所以
.
1＜1 a－c b－c
【加练·固】
设a>1>b>-1，则下列不等式中恒成立的是 ( )
A. C.a12>21bb
B. D.1aa>b1b2
【解析】选D.A错，例如a=2，b=- 1 时，1＝1 ，1 =-2，
因为a>b>0，所以a-c>b-d>0，
所以(a-c)2>(b-d)2>0，
所以0<
，又e<0，
所以
(a
1c)2.
(b
1 d)2
(a
e c)2
(b
e d)2
角度2 分析法与反证法
【典例】证明：
. 世纪金榜导学号
7－ 3 6－ 2
【思维·引】根据问题特点可选用分析法证明，也可
用反证法证明.
【证明】方法一：分析法：要证 7－ 3 ，6－ 2
所以 1 1 >0，即 b a >0， 又a>ba，所b 以b-a<0，ab所以ab<0，所以a>0，b<0；
对于B项，当a>0，b<0时，有 <0<1，故B项错； a
对于C项，当a=10，b=3时，虽b有10+1>3+2，但1<2，故
C项错；
对于D项，当a=-1，b=-2时，有(-1)×(-1)>(-2)×7， 但-1<7，故D项错.
b-a<0，c-d<0，又e<0，所e以[(b a) (c d>)]0，所以
e .e ac bd
(a c)(b d)
【素养·探】
本题主要考查不等式的基本性质，同时考查了逻辑推
理的核心素养.
本例条件不变，结论改为求证
，请证
e
e
明.
(a c)2 (b d)2
【证明】因为c<d<0，所以-c>-d>0，
②应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式 的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更 不能随意构造性质与法则.
2.证明不等式常选用综合法，对于不方便用综合法证 明的不等式可以灵活选择分析法与反证法.
【习练·破】
1.将下面用分析法证明 a2＋b2 ≥ab的步骤补充完整：
要证
≥ab，只需证a22+b2≥2ab，也就是证
只需证
，只需证
7＋ 2 3＋ 6
展开得
，只需证
， ( 7＋ 2)2 ( 3＋ 6)2 ，
即证14<9 128，14显 9然成2 立18，所以
14 18 .
7－ 3 6－ 2
方法二：反证法：假设 7－ 3 ，6－则2
7＋ 2 3
， ＋6 两边平方得
，所以 ，
9 2 14 9 2 18
(2)解有关不等式选择题时，也可采用特殊值法进行排 除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条 件；二是取值要简单，便于验证计算.
2.倒数性质：
(1)若a>b>0，则 1 1 .
(2)若0>a>b，则 a b .
即a>b，ab>0⇒
1 a
1 b.
11 ab
【习练·破】
若a>b>c，则下列不等式成立的是 ( )
求证：
.
ee ac bd
【思维·引】本题可利用不等式的性质进行证明，也 可以作差进行证明.
【证明】方法一：因为c<d<0，所以-c>-d>0，
因为a>b>0，所以a-c>b-d>0，
所以0< 1
方法二：a
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2020学年新教材高中数学第2章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质课件新人教A版必修第一册
【知识导学】
知识点一 等式的性质
(1)如果 a＝b，那么 a＋c＝b＋c. (2)如果 a＝b，那么 ac＝bc 或ac＝bc(c≠0)． (3)如果 a＝b，b＝c，那么 a＝c. 知识点二 作差比较法
(1)理论依据： □01 a－b>0⇔a>b ； □02 a－b＝0⇔a＝b； □03 a－b<0⇔a<b . (2)方法步骤：① □04 作差 ；② □05 整理 ；③ □06 判断符号 ；④ □07 下结论．
答案
(2)x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1 ＝(x3－x2)－(x2－2－1)x－122＋34. ∵x<1，∴x－1<0.又x－122＋34>0， ∴(x－1)x－122＋34<0，∴x3－1<2x2－2x.
答案 (1)C (2)C (3)x2＋2>3x
)
答案
核心素养形成
题型一 作差法比较大小 例 1 比较下列各组中两数的大小： (1)已知 a，b 为正数，且 a≠b，比较 a3＋b3 与 a2b＋ab2； (2)已知 x<1，比较 x3－1 与 2x2－2x； (3)已知 x，y 均为正数，设 m＝1x＋1y，n＝x＋4 y，比较 m 与 n 的大小．
4．利用不等式求范围应注意的问题 求指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等 式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步 有据，避免改变代数式的取值范围．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 x2＝0，则 x≥0.( √ ) (2)两个实数 a，b 之间，有且只有 a>b，a＝b，a<b 三种关系中的一种．( √ ) (3)若 a>b，则 ac2>bc2.( × ) (4)若 a>b>0，则1a>1b.( × ) (5)若 x>1，则 x3＋2x 与 x2＋2 的大小关系为 x3＋2x>x2＋2.( √ )
新教材高中数学第2章等式与不等式2.2.1不等式及其性质(第1课时)不等关系与不等式课件新人教B版必修第一册
第二章 等式与不等式
2.2 不等式 2.2.1 不等式及其性质 第1课时 不等关系与不等式
学习目标
核心素养
1.会用不等式(组)表示实际问题中 1. 借助实际问题表示不等式，提
的不等关系．(难点)
升数学建模素养．
2．会用比较法比较两实数的大 2. 通过大小比较，培养逻辑推理
小．(重点)
素养.
自主预习 探新知
【例1】 京沪线上，复兴号列车跑出了350 过民航飞机的最低时速，可这个速 度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速 度关系．
[解] 设复兴号列车速度为v1， 民航飞机速度为v2， 普通客车速度为v3. v1，v2的关系：2v1＋100≤v2， v1，v3的关系：v1＞3v3.
1．不等关系 不等关系常用_不__等__式___来表示． 2．实数 a，b 的大小比较
文字语言 数学语言 等价条件 a－b 是正数 a－b＞0 a＞b a－b 等于零 a－b＝0 a＝b a－b 是负数 a－b＜0 a＜b
3.重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有(a－b)2≥0，当且仅当__a_＝__b__时，等号 成立．
(2)正确．不等式 a≤b 表示 a<b 或 a＝b.故若 a<b 或 a＝b 中有一 个正确，则 a≤b 一定正确．
(3)错误．ac－bc＝(a－b)c，这与 c 的符号有关．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．下面表示“a 与 b 的差是非负数”的不等关系的是(
)
A．a－b＞0
B．a－b＜0
A．v≤120 km/h 且 d≥10 m B．v≤120 km/h 或 d≥10 m C．v≤120 km/h D．d≥10 m A [v 的最大值为 120 km/h，即 v≤120 km/h，车间距 d 不得小 于 10 m，即 d≥10 m，故选 A.]
2.2 不等式 2.2.1 不等式及其性质 第1课时 不等关系与不等式
学习目标
核心素养
1.会用不等式(组)表示实际问题中 1. 借助实际问题表示不等式，提
的不等关系．(难点)
升数学建模素养．
2．会用比较法比较两实数的大 2. 通过大小比较，培养逻辑推理
小．(重点)
素养.
自主预习 探新知
【例1】 京沪线上，复兴号列车跑出了350 过民航飞机的最低时速，可这个速 度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速 度关系．
[解] 设复兴号列车速度为v1， 民航飞机速度为v2， 普通客车速度为v3. v1，v2的关系：2v1＋100≤v2， v1，v3的关系：v1＞3v3.
1．不等关系 不等关系常用_不__等__式___来表示． 2．实数 a，b 的大小比较
文字语言 数学语言 等价条件 a－b 是正数 a－b＞0 a＞b a－b 等于零 a－b＝0 a＝b a－b 是负数 a－b＜0 a＜b
3.重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有(a－b)2≥0，当且仅当__a_＝__b__时，等号 成立．
(2)正确．不等式 a≤b 表示 a<b 或 a＝b.故若 a<b 或 a＝b 中有一 个正确，则 a≤b 一定正确．
(3)错误．ac－bc＝(a－b)c，这与 c 的符号有关．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．下面表示“a 与 b 的差是非负数”的不等关系的是(
)
A．a－b＞0
B．a－b＜0
A．v≤120 km/h 且 d≥10 m B．v≤120 km/h 或 d≥10 m C．v≤120 km/h D．d≥10 m A [v 的最大值为 120 km/h，即 v≤120 km/h，车间距 d 不得小 于 10 m，即 d≥10 m，故选 A.]
2019_2020学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2不等式2.2.2不等式的解集课件新人教B版必修第一册
5x<4.系数化为
1，得
4 x<5.
所以不等式组的解集为∅.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
答案
金版点睛 解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些 解集的公共部分，最后写出不等式组的解集.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
[跟踪训练1] x 取哪些整数值时，不等式 5x＋2＞3(x－1)与12x－1≤7－32x 都成立？
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
答案
3Байду номын сангаасx≤－1，
则 y＝－2x＋1，－1＜x＜3， －5，x≥3.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
答案
作出函数的图像，如图．函数图像与 x 轴的交点是12，0. 由图像可知，当 x>12时，有 y<0， 即|x－3|－|x＋1|－1<0， 所以原不等式的解集为12，＋∞.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
答案
解得①的解集为∅，②的解集为x12＜x＜3
，③的解集为{x|x≥3}．
综上可知，原不等式的解集为12，＋∞.
解法三：将原不等式转化为|x－3|－|x＋1|－1<0，构造函数 y＝|x－3|－|x
＋1|－1，
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
(2)令每个绝对值符号里的一次式为 0，求出相应的根，把这些根由小到 大排序，它们把数轴分为若干个区间，然后利用区间分段讨论法去绝对值符 号求解，这种方法体现了分类讨论的思想，是解绝对值不等式最常用的方法．
2021_2022学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.1不等式及其性质课件新人教B版必修第一
2021
第二章
2.2.1 不等式及其性质
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.了解日常生活中的不等关系.(数学抽象)
2.掌握不等式的性质.(数学抽象)
3.能利用不等式的性质对数或式进行大小比较,解不等式(组)和不等式证
明.(逻辑推理)
思维脉络
课前篇 自主预习
【激趣诱思】
(1)不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”,其含义是指“或者a>b,或者a=b”,
等价于“a不小于b”,即若a>b与a=b之中有一个正确,则a≥b正确.
(2)不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“或者a<b,或者a=b”,
等价于“a不大于b”,即若a<b与a=b之中有一个正确,则a≤b正确.
系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合
法.
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论,
则综合法可用框图表示为:
P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q
(2)分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直
至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、
(-)(-)
-
(-)(-)
=
(-)
.
(-)(-)
∵c>a>b>0,∴a-b>0,c-a>0,c-b>0.
(-)
∴(-)(-)>0,-
∴-
>
.
-
−
>0.
第二章
2.2.1 不等式及其性质
内
容
索
引
01
课前篇 自主预习
02
课堂篇 探究学习
课标阐释
1.了解日常生活中的不等关系.(数学抽象)
2.掌握不等式的性质.(数学抽象)
3.能利用不等式的性质对数或式进行大小比较,解不等式(组)和不等式证
明.(逻辑推理)
思维脉络
课前篇 自主预习
【激趣诱思】
(1)不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”,其含义是指“或者a>b,或者a=b”,
等价于“a不小于b”,即若a>b与a=b之中有一个正确,则a≥b正确.
(2)不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“或者a<b,或者a=b”,
等价于“a不大于b”,即若a<b与a=b之中有一个正确,则a≤b正确.
系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合
法.
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论,
则综合法可用框图表示为:
P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q
(2)分析法:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直
至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、
(-)(-)
-
(-)(-)
=
(-)
.
(-)(-)
∵c>a>b>0,∴a-b>0,c-a>0,c-b>0.
(-)
∴(-)(-)>0,-
∴-
>
.
-
−
>0.
新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.1不等式及其性质课件新人教B版必修16
【习练·破】
已知x，y∈R，P=2x2-xy+1，Q=2x- y2 ，试比较P，Q的
4
大小.
【解析】因为P-Q=2x2-xy+1(2-x y2 )
4
=x2-xy+y2 +x2-2x+1(=x y)2 +(x-1)2≥0，
4
2
所以P≥Q.
【加练·固】 比较下列各组中两个代数式的大小：
(1)x2+3与2x； (2)已知a，b为正数，且a≠b，比较a3+b3与a2b+ab2的 大小.
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)不等式x≥2的含义是指x不小于2. ( ) (2)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a=b，a<b三种 关系中的一种. ( ) (3)若a>b，则ac2>bc2. ( )
(4)若a+c>b+d，则a>b，c>d. ( )
提示：(1)√.不等式x≥2表示x>2或x=2，即x不小于2. (2)√.任意两数之间，有且只有a>b，a=b，a<b三种关 系中的一种，没有其他大小关系. (3)×. 由不等式的性质，ac2>bc2⇒a>b；反之，c=0 时，a>b ac2>bc2.
ac bd
【思维·引】本题可利用不等式的性质进行证明，也 可以作差进行证明.
【证明】方法一：因为c<d<0，所以-c>-d>0，
因为a>b>0，所以a-c>b-d>0，
所以0< 1 ，1 又因为e<0，所以
ac bd
e . e
ac bd
新教材高中数学等式与不等式2.2不等式2.2.1第1课时不等式及其性质课件新人教B版必修第一册ppt
D [法一：∵c2≥0，∴c＝0 时，有 ac2＝bc2，故 A 为假命题； 由 a＞b＞0，有 ab＞0⇒aab＞abb⇒1b＞1a，故 B 为假命题； a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－1b＞－1a＞0⇒ab＞ba， 故 C 为假命题；
a＞b⇒b－a＜0，
1a＞1b⇒1a－1b＞0⇒ba－ba＞0⇒ab＜0.
∵a＞b，∴a＞0 且 b＜0，故 D 为真命题．
法二：特殊值排除法． 取 c＝0，则 ac2＝bc2，故 A 错； 取 a＝2，b＝1，则1a＝12，1b＝1．有1a＜1b，故 B 错； 取 a＝－2，b＝－1，则ba＝12，ab＝2，有ba＜ab，故 C 错．故选 D．]
()
(4)已知 a＞b，e＞f，c＞0，则 f－ac＜e－bc.
()
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
[提示] (1)因为 c＜d，所以－c＞－d，又 a＞b. 所以 a－c＞b－d. (2)因为 a＞b，若 a＞0，b＜0，则1a＞1b，故1a＜1b错误． (3)因为 c＞d＞0，所以1d＞1c＞0，又因为 a＞b＞0，所以ad＞bc.
人，下半身长 x 与全身长 y 的比值xy在 0.57～0.6 之间．设人的脚尖立 起提高了 m，则下半身长与全身长度的比由xy变成了yx＋＋mm，这个比值 非常接近黄金分割值 0.618.这便是不等式在实际生活中的应用，不等 式还有哪些重要的性质呢？
知识点一 不等关系与不等式 1．不等式的定义 我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数 或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些 不等号 的式子， 称为不等式．
些性质解决有关问题.
NO.1 情境导学·探新知
清丽、优美的芭蕾舞剧《睡美人》序曲奏响了， 一名女演员双手抚摸着舞裙，眼里闪烁着倔强和自 信的目光．只见她踮起脚尖，一个优雅的旋转，轻 盈地提着舞裙，飘然来到台上，在追光灯下飘起舞 裙，那飘洒翩跹的舞姿，把整个舞台化成一片梦境 ……她为什么要踮起脚尖呢？因为一般的
2020版新教材高中数学第二章等式与不等式2.1.1等式的性质与方程的解集课件新人教B版必修1
第二章 等式与不等式 2.1 等 式
2.1.1 等式的性质与方程的解集
1.常用乘法公式 (1)平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，两个数的和与这 两个数的差的积等于这两个数的平方差. (2)完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，两数和(或差) 的平方，等于这两数的平方和，加上(或减去)这两数 积的2倍.
即(a-b)2=49，则a-b=±7.
2.已知a2+b2+2a-4b+5=0，则2a2+4b-3的值为 ________. 【解析】a2+b2+2a-4b+5=(a2+2a+1)+(b2-4b+4) =(a+1)2+(b-2)2=0，所以a=-1，b=2， 所以2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3=7. 答案：7
类型二 十字相乘法分解因式 【典例】把下列各式因式分解. (1)x2+3x+2 (2)6x2-7x-5 (3)5x2+6xy-8y2
【思维·引】 (1)x2+3x+2的二次项的系数是1，常数项2=1×2，一 次项系数3=1+2，这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.
(2)6x2-7x-5的二次项系数是6=2×3，常数项-5 =1×(-5)，一次项系数-7=2×(-5)+3×1，这是一个 acx2+(ad+bc)x+bd型式子，因此可用公式 acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)分解因式.
【发散·拓】对于二次三项式，采用十字相乘法分解 因式时，要注意把二次项系数和常数项分解，交叉相 乘，两个因式的和正好等于一次项系数.注意，交叉相 乘横着写.
2.1.1 等式的性质与方程的解集
1.常用乘法公式 (1)平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，两个数的和与这 两个数的差的积等于这两个数的平方差. (2)完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，两数和(或差) 的平方，等于这两数的平方和，加上(或减去)这两数 积的2倍.
即(a-b)2=49，则a-b=±7.
2.已知a2+b2+2a-4b+5=0，则2a2+4b-3的值为 ________. 【解析】a2+b2+2a-4b+5=(a2+2a+1)+(b2-4b+4) =(a+1)2+(b-2)2=0，所以a=-1，b=2， 所以2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3=7. 答案：7
类型二 十字相乘法分解因式 【典例】把下列各式因式分解. (1)x2+3x+2 (2)6x2-7x-5 (3)5x2+6xy-8y2
【思维·引】 (1)x2+3x+2的二次项的系数是1，常数项2=1×2，一 次项系数3=1+2，这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.
(2)6x2-7x-5的二次项系数是6=2×3，常数项-5 =1×(-5)，一次项系数-7=2×(-5)+3×1，这是一个 acx2+(ad+bc)x+bd型式子，因此可用公式 acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)分解因式.
【发散·拓】对于二次三项式，采用十字相乘法分解 因式时，要注意把二次项系数和常数项分解，交叉相 乘，两个因式的和正好等于一次项系数.注意，交叉相 乘横着写.
2019_2020学年新教材高中数学第2章等式与不等式2.1.1等式的性质与方程的解集课件新人教B版必修第一册
2．恒等式 (1)一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等 式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．恒等式是进行代 数变形的依据之一． (2)一个经常会用到的恒等式：对任意的 x，a，b，都有(x＋a)(x ＋b)＝x2＋_(_a_＋__b_)_x_＋_a_b_.
(3)用“十字相乘法”分解因式：①直接利用公式 x2＋(a＋b)x＋ ab＝(x＋a)(x＋b)进行分解；
在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同 乘以或除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐 含的条件.
1．设x，y，c是实数，下列正确的是( ) A．若x＝y，则x＋c＝y－c B．若x＝y，则xc＝yc C．若x＝y，则xc＝yc D．若2xc＝3yc，则2x＝3y
B [A.两边加不同的数，故A不符合题意； B．两边都乘以c，故B符合题意； C．c＝0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意； D．两边乘6c，得到3x＝2y，故D不符合题意．故选B.]
第二章 等式与不等式
2.1 等式 2.1.1 等式的性质与方程的解集
学习目标
核心素养
1.理解且会运用等式的性质．(重 1.借助等式的性质，培养逻辑推理
点) 的素养．
2．理解恒等式的概念，会进行恒 2．通过求方程的解集，提升数据
等变形．(难点) 分析、数学运算的核心素养.
3．会求方程的解集．(重点)
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
A [(1)(4)不是同类项，不能合并；(2)5y2－2y2＝3y2；(3)7a＋a ＝8a.所以 4 个算式都错误．故选 A.]
3．已知 A＝x3＋6x－9，B＝－x3－2x2＋4x－6，则 2A－3B 等于
2020版新教材高中数学第二章等式与不等式2.2.4.2均值不等式的应用课件新人教B版必修1
a
b
c
类型三 均值不等式的实际应用
【典例】玩具所需成本费用为P元，且P与生产套数x的
关系为P=1 000+5x+ 1 x2，而每套售出的价格为Q元，
10
其中Q(x)=a+ x (a，b∈R)， 世纪金榜导学号
b
(1) 问：该玩具厂生产多少套时，使得每套所需成本
费用最少？
(2)若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时 利润最大，此时每套价格为30元，求a，b的值.(利润= 销售收入-成本)
ab
c＋≥a 2(当且仅当a=c时取“=”)；
ac
c ＋≥b2(当且仅当b=c时取“=”).
bc
从而 ( b＋a )＋( c＋a≥)＋6((c当＋且b)仅当a=b=c时取等号).
ab ac bc
所以( b＋a )＋( c＋a-)＋3≥( c3＋，b)
ab ac bc
即 b＋c－a＋c＋a－≥b＋3.a＋b－c
采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式.假 设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的 水费 C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面 积x(单位：平方米)之间的函数关系是C(x)= k
50x 250
(x≥0，k为常数).记y(单位：万元)为该企业安装这种 净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和.
第2课时 均值不等式的应用
类型一 “常数代换法” 求最值 【典例】若点A(1，1)在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则
1 ＋1 的最小值为________. 世纪金榜导学号
mn
【思维·引】由已知条件得到m，n的关系，构造均值 不等式求最值.
【解析】因为A(1，1)在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，
2020新教材人教B版高中数学必修第一册课件：第二章 2.2 2.2.1 不等式及其性质
(1)a>b⇔ □01 a－b>0 . (2)a＝b⇔a－b □02 ＝ 0. (3) □03 a<b ⇔a－b<0.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
知识点二 不等式的性质
(1)如果 a>b，那么 b<a；如果 b<a，那么 □01 a>b ，即 □02 a>b⇔b<a . (2)如果 a>b，且 b>c，那么 □03 a>c ，即 a>b，b>c⇒ □04 a>c . (3)如果 a>b，那么 a＋c □05 > b＋c. (4)如果 a>b，c>0，那么 ac □06 > bc；如果 a>b，c<0，那么 ac □07 <
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
(3)已知 x<1，则 x2＋2 与 3x 的大小关系是________． 答案 (1)C (2)C (3)x2＋2>3x
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
答案
核心素养形成
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
题型一 作差法比较大小 例 1 比较下列各组中两数的大小： (1)已知 a，b 为正数，且 a≠b，比较 a3＋b3 与 a2b＋ab2 的大小； (2)已知 x<1，比较 x3－1 与 2x2－2x 的大小； (3)已知 x，y 均为正数，设 m＝1x＋1y，n＝x＋4 y，比较 m 和 n 的大小．
bc.
(5)如果 a>b，c>d，那么 a＋c c□08 >
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
知识点二 不等式的性质
(1)如果 a>b，那么 b<a；如果 b<a，那么 □01 a>b ，即 □02 a>b⇔b<a . (2)如果 a>b，且 b>c，那么 □03 a>c ，即 a>b，b>c⇒ □04 a>c . (3)如果 a>b，那么 a＋c □05 > b＋c. (4)如果 a>b，c>0，那么 ac □06 > bc；如果 a>b，c<0，那么 ac □07 <
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
(3)已知 x<1，则 x2＋2 与 3x 的大小关系是________． 答案 (1)C (2)C (3)x2＋2>3x
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
答案
核心素养形成
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
题型一 作差法比较大小 例 1 比较下列各组中两数的大小： (1)已知 a，b 为正数，且 a≠b，比较 a3＋b3 与 a2b＋ab2 的大小； (2)已知 x<1，比较 x3－1 与 2x2－2x 的大小； (3)已知 x，y 均为正数，设 m＝1x＋1y，n＝x＋4 y，比较 m 和 n 的大小．
bc.
(5)如果 a>b，c>d，那么 a＋c c□08 >