经典中考数学几何题总汇

(经典)中考数学几何题总汇

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三角形

知识考点：

理解三角形三边的关系及三角形的主要线段（中线、高线、角平分线）和三角形的内角和定理。关键是正确理解有关概念，学会概念和定理的运用。应用方程知识求解几何题是这部分知识常用的方法。

精典例题：

【例1】已知一个三角形中两条边的长分别是a 、b ，且b a >，那么这个三角形的周长L 的取值范围是（ ） A 、b L a 33>> B 、a L b a 2)(2>>+

C 、a b L b a +>>+262

D 、b a L b a 23+>>-

分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑第三边大于两边之差且小于两边之和。 答案：B

变式与思考：在△ABC 中，AC ＝5，中线AD ＝7，则AB 边的取值范围是（ ）

A 、1＜A

B ＜29 B 、4＜AB ＜24

C 、5＜AB ＜19

D 、9＜AB ＜19

评注：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解，则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是一种常见的作辅助线的方法。

【例2】如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝450，∠ACB ＝610，延长BC 至E ，使CE ＝AC ，延长CB 至D ，使DB ＝AB ，求∠DAE 的度数。

分析：用三角形内角和定理和外角定理，等腰三角形性质，求出∠D ＋∠E 的度数，即可求得∠DAE 的度数。 略解：∵AB ＝DB ，AC ＝CE

∴∠D ＝

21∠ABC ，∠E ＝2

1

∠ACB ∴∠D ＋∠E ＝2

1

（∠ABC ＋∠ACB ）＝530

∴∠DAE ＝1800－（∠D ＋∠E ）＝1270

探索与创新：

【问题一】如图，已知点A 在直线l 外，点B 、C 在直线l 上。 （1）点P 是△ABC 内任一点，求证：∠P ＞∠A ；

（2）试判断在△ABC 外，又和点A 在直线l 的同侧，是否存在一点Q ，使∠BQC ＞∠A ，并证明你的结论。

n

m

?

l

l

问题一图

C

B

A

C

B

A

分析与结论：

（1）连结AP ，易证明∠P ＞∠A ；

（2）存在，怎样的角与∠A 相等呢？利用同弧上的圆周角相等，可考虑构造△ABC 的外接⊙O ，易知弦BC 所对且顶点在弧A m B ，和弧A n C 上的圆周角都与∠A 相等，因此点Q 应在弓形A m B 和A n C 内，利用圆的有关性质易证明（证明略）。

【问题二】如图，已知P 是等边△ABC 的BC 边上任意一点，过P 点分别作AB 、AC 的垂线PE 、PD ，垂足为E 、D 。问：△AED 的周长与四边形EBCD 的周长之间的关系？

分析与结论：

（1）DE 是△AED 与四边形EBCD 的公共边，只须证明AD ＋AE ＝BE ＋BC ＋CD

（2）既有等边三角形的条件，就有600的角可以利用；又有垂线，可造成含300角的直角三角形，故本题可借

例2图

E

D C B A

助特殊三角形的边角关系来证明。

略解：在等边△ABC 中，∠B ＝∠C ＝600 又∵PE ⊥AB 于E ，PD ⊥AC 于D ∴∠BPE ＝∠CPD ＝300

不妨设等边△ABC 的边长为1，BE ＝x ，CD ＝y ，那么：BP ＝x 2，PC

＝

y 2，2

1

=

+y x ，而AE ＝x -1，AD ＝y -1 ∴AE ＋AD ＝2

3

)(2=+-y x

又∵BE ＋CD ＋BC ＝23

1)(=++y x

∴AD ＋AE ＝BE ＋BC ＋CD

从而AD ＋AE ＋DE ＝BE ＋BC ＋CD ＋DE

即△AED 的周长等于四边形EBCD 的周长。

评注：本题若不认真分析三角形的边角关系，而想走“全等三角形”的道路是很难奏效的。

跟踪训练：

一、填空题：

1、三角形的三边为1，a -1，9，则a 的取值范围是 。

2、已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整数，那么第三边的长为 。

3、在△ABC 中，若∠C ＝2（∠A ＋∠B ），则∠C ＝ 度。

4、如果△ABC 的一个外角等于1500，且∠B ＝∠C ，则∠A ＝ 。

5、如果△ABC 中，∠ACB ＝900，CD 是AB 边上的高，则与∠A 相等的角是 。

6、如图，在△ABC 中，∠A ＝800，∠ABC 和∠ACB 的外角平分线相交于点D ，那么∠BDC ＝ 。

7、如图，CE 平分∠ACB ，且CE ⊥DB ，∠DAB ＝∠DBA ，AC ＝18cm ，△CBD 的周长为28 cm ，则DB ＝ 。 8、纸片△ABC 中，∠A ＝650，∠B ＝750，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内（如图），若∠1＝200，则∠2的度数为 。

9、在△ABC 中，∠A ＝500，高BE 、CF 交于点O ，则∠BOC ＝ 。 10、若△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，要使整式0)

)((>--+-m

c b a c b a ，则整数m 应为 。

第6题图

F

E

D

C B

A

第7题图

E

D

C

B

A

第8题图

2

1

C

B

A

二、选择题：

1、若△ABC 的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有（ ）

A 、6个

B 、7个

C 、8个

D 、9个 2、在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 的度数为（ ）

A 、300

B 、360

C 、450

D 、720

3、等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分，则此三角形底边之长为（ ）

A 、7

B 、11

C 、7或11

D 、不能确定 4、在△ABC 中，∠B ＝500，AB ＞AC ，则∠A 的取值范围是（ ）

问题二图

E

D

P

C

B

A

A 、00＜∠A ＜1800

B 、00＜∠A ＜800

C 、500＜∠A ＜1300

D 、800＜∠A ＜1300

5、若α、β、γ是三角形的三个内角，而βα+=x ，γβ+=y ，αγ+=z ，那么x 、y 、z 中，锐角的个数的错误判断是（ ）

A 、可能没有锐角

B 、可能有一个锐角

C 、可能有两个锐角

D 、最多一个锐角

6、如果三角形的一个外角等于它相邻内角的2倍，且等于它不相邻内角的4倍，那么这个三角形一定是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、正三角形 三、解答题：

1、有5根木条，其长度分别为4，8，8，10，12，用其中三根可以组成几种不同形状的三角形？

2、长为2，3，5的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否组成三角形？若能，它能构成直角三角形吗？为什么？

3、如图，在△ABC 中，∠A ＝960，延长BC 到D ，∠ABC 与∠ACD 的平分线相交于1A ，∠1A BC 与∠1A CD 的平分线相交于2A ，依此类推，∠4A BC 与∠4A CD 的平分线相交于5A ，则∠5A 的大小是多少？

4、如图，已知OA ＝a ，P 是射线ON 上一动点（即P 可在射线ON 上运动），∠AON ＝600，填空： （1）当OP ＝ 时，△AOP 为等边三角形； （2）当OP ＝ 时，△AOP 为直角三角形； （3）当OP 满足 时，△AOP 为锐角三角形； （4）当OP 满足 时，△AOP 为钝角三角形。

2

A 1

A 第3题图

D C B A

a

60第4题图

N

P O A

一、填空题：

1、79-<<-a ；

2、2；

3、1200；

4、300或1200；

5、∠DCB ；

6、500；

7、8cm ；

8、600；

9、1300；10、偶数。 二、选择题：CBCBCB 三、解答题：

1、6种（4、8、8；4、8、10；8、8、10；8、8、12；8、10、1

2、4、10、12）

2、可以，设延伸部分为a ，则长为a +2，a +3，a +5的三条线段中，a +5最长， ∵0)5()3()2(>=+-+++a a a a

∴只要0>a ，长为a +2，a +3，a +5的三条线段可以组成三角形 设长为a +5的线段所对的角为α，则α为△ABC 的最大角 又由12)5()3()2(2

222-=+-+++a a a a

当0122

=-a ，即32=a 时，△ABC 为直角三角形。

3、30

4、（1）a ；（2）a 2或

2a ；（3）2a ＜OP ＜a 2；（4）0＜OP ＜2

a

或OP ＞a 2 2.全等三角形

知识考点：

掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题，灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角

形全等。

精典例题：

【例1】如图，已知AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 在BC 上，AE ＝AD ，AB ＝BC 。求证：CE ＝CD 。 分析：作AF ⊥CD 的延长线（证明略）

评注：寻求全等的条件，在证明两条线段（或两个角）相等时，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形，常见辅助线有：①连结某两个已知点；②过已知点作某已知直线的平行线；③延长某已知线段到某个点，或与已知直线相交；④作一角等于已知角。

例1图

F E D

C

B A

例2图

2

1E

D

C B

A

问题一图

P

E 4321C

B

A

【例2】如图，已知在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2，求证：AB ＝AC ＋CD 。

分析：采用截长补短法，延长AC 至 E ，使AE ＝AB ，连结DE ；也可在AB 上截取AE ＝AC ，再证明EB ＝CD （证明略）。

探索与创新：

【问题一】阅读下题：如图，P 是△ABC 中BC 边上一点，E 是AP 上的一点，若EB ＝EC ，∠1＝∠2，求证：AP ⊥BC 。

证明：在△ABE 和△ACE 中，EB ＝EC ，AE ＝AE ，∠1＝∠2 ∴△ABE ≌△ACE （第一步）

∴AB ＝AC ，∠3＝∠4（第二步） ∴AP ⊥BC （等腰三角形三线合一）

上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步的推理依据；若不正确，请指出关键错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程。

略解：不正确，错在第一步。 正确证法为： ∵BE ＝CE

∴∠EBC ＝∠ECB 又∵∠1＝∠2

∴∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝AC ∴△ABE ≌△ACE （SAS ） ∴∠3＝∠4 又∵AB ＝AC

∴AP ⊥BC 评注：本题是以考查学生练习中常见错误为阅读材料设计而成的阅读性试题，其目的是考查学生阅读理解能力，证明过程中逻辑推理的严密性。阅读理解题是近几年各地都有的新题型，应引起重视。

【问题二】众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办法安排和外理这三个条件，

使这两个三角形全等吗？

请同学们参照下面的方案（1）导出方案（2）（3）（4）。 解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案（1）：若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等。方案（2）：若这个角是直角，则这两个三角形全等。方案（3）：若此角为已知两边的夹角，则这两个三角形全等。

评注：这是一道典型的开放性试题，答案不是唯一的。如方案（4）：若此角为钝角，则这两个三角形全等。（5）：若这两个三角形都是锐解（钝角）三角形，则这两个三角形全等。能有效考查学生对三角形全等概念的掌握情况，这类题目要求学生依据问题提供的题设条件，寻找多种途径解决问题。本题要求学生着眼于弱化题设条件，设计让命题在一般情况不成立，而特殊情况下成立的思路。

跟踪训练：

一、填空题：

1、若△ABC ≌△EFG ，且∠B ＝600，∠FGE －∠E ＝560，则∠A ＝ 度。

2、如图，AB ∥EF ∥DC ，∠ABC ＝900，AB ＝DC ，那么图中有全等三角形 对。

3、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 。

第2题图

F E

D

C

B

A

第3题图

D C B

A

第4题图

H E

D

C

B

A

4、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，请你添加一个适当的条件： ，使△AEH ≌△CEB 。

5、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O ，写出一组相等的线段 （不包括AB ＝CD 和AD ＝BC ）。

6、如图，∠E ＝∠F ＝900，∠B ＝∠C ，AE ＝AF 。给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ；③△ACN ≌△ABM ；④CD ＝DN 。其中正确的结论是 （填序号）。 二、选择题：

1、如图，AD ⊥AB ，EA ⊥AC ，AE ＝AD ，AB ＝AC ，则下列结论中正确的是（ ） A 、△ADF ≌△AEG B 、△ABE ≌△ACD

C 、△BMF ≌△CNG

D 、△ADC ≌△ABE

填空第5题图

O

E

D

C

B

A

填空第6题图

2

1F

N M

E

D

C B

A

选择第1题图 M

G

F E

D

C

B

A

2、如图，AE ＝AF ，AB ＝AC ，EC 与BF 交于点O ，∠A ＝600，∠B ＝250，则∠EOB 的度数为（ ） A 、600 B 、700 C 、750 D 、850

3、如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（ ） A 、相等 B 、不相等 C 、互余 D 、互补或相等