尔崧中学2015-2016第一学期第一次月考试题+答案

尔崧中学2015-2016学年度高二第一学期第一次月考数学试题时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集{}123456U =，，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，则()U A C B = ( )A ．{}1256，，，B ．{}1C ．{}2D ．{}1234，，， 1.B 解析：∵{}6,5,1=B C U ∴()U A C B = {}1 ∴选B 2. 下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+D ．||2x y -=2.答案B 3．若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-3.D 解析：由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则12cos 13α==，则sin tan cos ααα=512=-，故选D ．4．设α，β为不重合的平面，m ，n 为不重合的直线，则下列命题正确的是( )A ．若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥αB ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥βC ．若m ∥α，n ∥β，m ⊥n ，则α⊥βD ．若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥β，则m ⊥α 4.答案：D解析：选项A 的已知条件中加上m ⊂β，那么命题就是正确的，也就是面面垂直的性质定理．选项B 错误，容易知道两个平面内分别有一条直线平行，那么这两个平面可能相交也可能平行．选项C 错误，因为两个平面各有一条与其平行的直线，如果这两条直线垂直，并不能保证这两个平面垂直．选项D 正确，由n ⊥α，n ⊥β可得α∥β，又因为m ⊥β，所以m ⊥α.5.如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2，AD ＝1，E ，F ，G 分别是DD 1，AB ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°6． 执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .158D . 72 6：C 【解析】：输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===；2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===；4n =时：输出158M =7．已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z=-2x+y 的最大值是( )A ．-5B ．-2C ．-1D ．1 【答案】C 【解析】试题分析：根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：令y x z +-=2⇒z x y --=2，可知在图中)1,1(A 处，y x z +-=2取到最大值-1,故选C. 考点：简单的线性规划.8. 为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度9．设图１是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．9182π+B ．3618π+C ．9122π+ D ．942π+正视图侧视图9.答案：A解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积3439+332=18322V ππ=⨯⨯+（）。

9．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是A ．32B ．C ．48D ．. 选D.10．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角C 1－AB －C 的平面角等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案：B11．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( )A ．120°B ．150°C ．180°D ．240° 11．C [S 底＋S 侧＝3S 底，2S 底＝S 侧，即：2πr 2＝πrl ，得2r ＝l ．设侧面展开图的圆心角为θ， 则θπl 180°＝2πr ， ∴θ＝180°．] 12：在R 上定义的函数()f x 是偶函数，且()f x (2)f x =-.若()f x 在区间[1,2]上是减函数，则()f x ( ) A.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是增函数 B.在区间[2,1]--上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是增函数D.在区间[2,1]--上是减函数，在区间[3,4]上是减函数12.选B 分析：由()(2)f x f x =-可知()f x 图象关于x 1=对称，即推论1的应用.又因为()f x 为偶函数图象关于0x =对称，可得到()f x 为周期函数且最小正周期为2，结合()f x 在区间[1,2]上是减函数，可得如右()f x 草图.故选B本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．某三角形的直观图是斜边为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三角形的面积是________．13.解析：原三角形是两直角边长分别为2与22的直角三角形，∴S ＝12×2×22＝2 2.答案：2 214.在ABC ∆中，6=AB ， 75=∠A ，45=∠B ，则=AC 。

14答案：2解析：由正弦定理可知：45sin )]4575(180sin[AC AB =+-245sin 60sin 6=⇒=⇒AC AC15.已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 。

15答案：27考点：1.等差数列的定义；2.等差数列的前n 项和.16. 已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．16.解析：设正四棱锥的高为h ，则13×(3)2h ＝322，解得高h ＝322，则底面正方形的对角线长为2×3＝6，所以OA ＝⎝⎛⎭⎫3222＋⎝⎛⎭⎫622＝6，所以球的表面积为4π(6)2＝24π. 答案：24π三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本题满分10分）如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的长方形，边长分别是4 cm 与2 cm ，如图所示，俯视图是一个边长为4 cm 的正方形．18．（本题满分12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50],[50,60],,[80,90],[90,100]（1）求频率分布图中a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40,60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50]的概率.18：（1）0.006（2）25 （3）110（Ⅲ）由频率分布直方图可知：在[40,50)内的人数为0.004×40×50＝2（人） 在[50,60)内的人数为0.006×10×50＝3（人） ………………… 8分设[40,50)内的两人分别为21,a a ；[50,60)内的三人为32,1,A A A ,则从[40,60)的受伤职工中随机抽取2人，基本事件有（21,a a ），（11,A a ），（21,A a ），（31,A a ），（12,A a ），（22,A a ），（32,A a ），（21,A A ），（31,A A ），（32,A A ）共10种；………………… 10分其中2人评分都在[40,50)内的有（21,a a ）1种，………………… 11分 所以2人评分都在[40,50]的概率为101.………………… 12分 考点：1.频率分布直方图；2.古典概型.20．(12分)如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC ＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．解(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ⊄平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB ∥DC ，所以EB ⊥平面ABC ，因此CQ ⊥EB . 故CQ ⊥平面ABE .由(1)有PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ， 所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ .因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角， 在Rt △DP A 中，AD ＝5，DP ＝1， sin ∠DAP ＝55，因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55.20．（本题满分12分）（15年福建文科）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a nb n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101． 解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，………………… 3分解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+．………………… 5分考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．21．(12分)已知四棱锥P－ABCD(图1)的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，P A ⊥平面ABCD，俯视图是直角梯形．(1)求正视图的面积；(2)求证：AC⊥平面P AB.解(1)过A作AE∥CD，根据三视图可知，E是BC的中点，且BE＝CE＝1，AE＝CD ＝1.又∵△PBC为正三角形，∴BC ＝PB ＝PC ＝2，且PE ⊥BC ，∴PE 2＝PC 2－CE 2＝3.∵P A ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AE .∴P A 2＝PE 2－AE 2＝2，即P A ＝ 2.正视图的面积为S ＝12×2×2＝ 2. (2)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AC .∵在直角三角形ABE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2＝2，在直角三角形ADC 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝2，∴BC 2＝AA 2＋AC 2＝4，∴△BAC 是直角三角形．∴AC ⊥AB .又∵AB ∩P A ＝A ，∴AC ⊥平面P AB .22．(12分)如图所示，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，底面边长为a ，E 是PC 的中点．(1)求证：PA ∥面BDE ；(2)求证：平面PAC ⊥平面BDE ；(3)若二面角E －BD －C 为30°，求四棱锥P －ABCD 的体积．22．(1)证明连接OE ，如图所示．∵O 、E 分别为AC 、PC 中点，∴OE ∥PA ．∵OE ⊂面BDE ，PA ⊄面BDE ，∴PA ∥面BDE ． ………………… 3分(2) 证明 ∵PO ⊥面ABCD ，∴PO ⊥BD ．在正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，又∵PO∩AC ＝O ，∴BD ⊥面PAC ．又∵BD ⊂面BDE ，∴面PAC ⊥面BDE ． ………………… 7分(3)解：取OC 中点F ，连接EF ．∵E 为PC 中点，∴EF 为△POC 的中位线，∴EF ∥PO ．又∵PO ⊥面ABCD ，∴EF ⊥面ABCD∵OF ⊥BD ，∴OE ⊥BD ．∴∠EOF 为二面角E －BD －C 的平面角，………………… 10分 ∴∠EOF ＝30°．在Rt △OEF 中，OF ＝12OC ＝14AC ＝24a ， ∴EF ＝OF·tan 30°＝612a ，∴OP ＝2EF ＝66a ． ∴VP －ABCD ＝13×a 2×66a ＝618a 3 ………………… 12分。