第学而思初三数学暑假班3讲.二次函数实际应用.提高班.学生版
沪教版 九年级数学 暑假同步讲义 第19讲 二次函数图像性质的应用培优(学生版)
二次函数的应用内容分析二次函数在实际生活中的应用主要包括以下几个方面：（1）二次函数与经济问题，主要用于求解利润最大化；（2）二次函数与面积问题，涉及到实际图形面积关系式的表达、面积最值的求解等；（3）二次函数与拱桥问题，二次函数的图像与拱桥横截面的形状都是抛物线状，所以利用二次函数求解拱桥问题在实际生活中很常见；（4）二次函数与物体的运动轨迹：在实际生活中，由于只受重力的作用，掷出的铅球、踢出的足球、投出的篮球等物体的运动轨迹一定是抛物线形状，则可以利用二次函数的图像性质求解相关的问题．当然二次函数也会与其他的知识点相结合，例如二次函数与一次函数、二次函数与一元二次方程、二次函数与不等式等的代数综合，以及二次函数与相似三角形、二次函数与圆、二次函数与动点等的几何综合，这些内容我们会在秋季班的课程中深入地学习．知识结构步同级年九模块一：二次函数与利润最大化知识精讲1、知识点名称求解二次函数与利润最大化的问题，主要是根据题意列出相关的二次函数解析式，再通过配方的方式求解最大值．这是一种实际应用的题型，需根据自变量的实际意义确定函数的定义域，在求解最大值时，也需注意自变量的取值范围．例题解析【例1】某商品进价为90元/个，按100一个出售，能售出500个，如果这种商品每涨价1 元，其销售量就减少10个，为了获得最大利润，单价应定为__________．【例2】某商店以120元每件的成本购进一批新产品，在试销阶段，每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（台）之间的关系如下表所示：x 130 150 165y 70 50 35（1）若日销售量y是销售价x的一次函数，求这个一次函数；（2）每件产品的销售价定为多少元时，日销售利润最大，最大利润为多少元？2/ 15【例3】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y = kx + b，且x = 65时，y = 55；x =75时，y = 45．（1）求一次函数y = kx + b的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．【例4】某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润y元，请写出y与x之间的函数关系式；（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？【例5】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg ，购进价格为30元/kg ，物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg ，也不得低于30元/kg ，市场调查发现：单价定于 70元时，日均销售60kg ，单价每降低1元，日均多售出2kg ，在销售过程每天还要支 出其它费用500元（不足一天时，按整天计算），设销售单价为x 元，日均获利为y 元． （1）求y 关于x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围；（2）将（1）中所求出的二次函数配方成22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭的形式，指出单价定为 多少时日均获利最多，是多少？（3）将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高，这两种销售方式，哪 一种获总利最多，多多少？【例6】某商场要经营一种文具，进价为20元，当售价为25元时，每天的销售量为250件， 售价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函 数关系式；（2）商场提出了A 、B 两种营销方案．方案A ：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B ：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元． 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．例题解析1、知识点名称求解二次函数与面积结合的问题时，基本方法上与利润最大化是相同的，也是通过配方的方式求解相关面积的最值，当然也需要注意自变量的取值范围．而与利润最大化问题不同的是，面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形，也可能会出现动点与面积相结合的类型，变化较多．【例9】如图，正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 上的一动点，若QP AP ⊥，交DC 于Q ， 设PB = x ，ADQ ∆的面积为y ，y 与x 的函数关系式为_________________．【例10】小智用总长为8厘米的铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（ ）平方厘米A ．4B ．8C ．16D ．32知识精讲ABC DPQAB CD 【例11】如图所示，矩形花圃ABCD的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆围成．设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．【例12】如图，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AC = 40 cm，BC = 30 cm，在Rt ABC∆内部作一个矩形DEFG，其中点D和点G分别在AC、BC上，点E、F在AB上．设矩形的一边EF = x cm，设矩形的面积为y cm2．（1）写出y关于x的函数关系式及定义域；（2）求当x = 25 cm时，矩形DEFG的面积．【例13】抛物线的对称轴是直线x = 1，它与x轴交于点A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（1-，0）、（0，32）．（1）求此抛物线对应的函数的解析式；（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求ABP∆面积的最大值．ABCDEFGAB C DEFNM GH【例14】如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，CE = 1，CF =43，直线EF 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H 作HM ⊥AG ，HN ⊥AD ，垂足分别为M 、N ，设HM = x ，矩形AMHN 的面积为y ．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积为多少？【例15】如图，矩形ABCD 中，AB = 6厘米，BC = 12厘米．点M 从点A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度向点B 移动，点N 从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点 C 移动．若点M 、N 分别从A 、B 两点同时出发，设移动时间为t （06t <<），DMN ∆ 的面积为S ．（1）求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最小值； （2）当DMN ∆为直角三角形时，求DMN ∆的面积．A BCDNM步同级年九8 / 15例题解析1、知识点名称二次函数与拱桥问题的解题，依赖于合理的平面直角坐标系的建立，继而在平面直角坐标系中，利用二次函数的图像性质解答相关的问题．【例16】如图，河上有一座抛物线形状的桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部4米时，水面 宽AB 为12米，如图建立直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式；（2）当水位上升1米时，水面宽为多少米？（答案保留整数，其中3 1.7 ）【例17】有一个横截面为抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m ，跨度为10 m ， 则把它的横截面的图形放在如图所示的直角坐标系中时：（1）抛物线的顶点坐标为________，这条抛物线所对应的函数解析式为________________； （2）如图，在对称轴右边3 m 处，桥洞离水面的高度为______ m ．模块三：二次函数与拱桥问题知识精讲【例18】某农业合作社的蔬菜大棚的横截面为抛物线，尺寸如图所示：（1）根据图中的平面直角坐标系求该抛物线的解析式；（2）若菜农身高为1.6米，则在他不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围有几米？（精确到0.01米）Array【例19】一条隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长OC为8米，宽OA为2米，隧道最高点P位于AB的中央且距地面6米，建立如图所示的坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4米，宽2米，能否从该隧道内通过？请说明理由；（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过？请说明理由．【例20】某工厂要赶制一批蒙古包．如图，蒙古包横截面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成的，矩形长为12 m，抛物线拱高为5.6 m．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式；（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5 m，高1.6 m，相邻窗户之间的间距均为0.8 m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8 m．请计算最多可安装几扇这样的窗户？【例21】如图有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面AB的宽为20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽是10米．（1）建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280千米（桥长忽略不计）．货车正以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶1小时后，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25米的速度持续上涨（货车接到通知时，水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行），试问：如果货车按原来速度行驶，能否完全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？【例22】如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米，现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求这条抛物线的解析式；（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD—DC—CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？1、知识点名称与拱桥问题相同，也需要借助建立平面直角坐标系，利用二次函数的图像性质解答二次函数与运行轨迹的问题．【例25】在距离地面2米高的某处把一物体以初速度v 0（米/秒）竖直向上抛出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度h （米）与抛出的时间t （秒）满足2012h v t gt =-（其中g是常数，取g = 10 米/秒2）．若v 0 = 10 米/秒，则该物体在运动过程中，最高点距离地 面______米．【例26】顽皮的小明，从10米高的窗口A 用水枪向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直）．如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面403米，则水流落地点B 离墙的距离OB 是（ ） A ．2米B ．3米C ．4米D ．5米模块四：二次函数与运行轨迹知识精讲例题解析步同级年九12 / 15【例27】如图所示，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线213.55y x =-+运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的距离为3.05米． （1）球在空中运行的最大高度为多少米？（2）如果该运动员跳投时球出手离地面的高度为2.25米，请问他距离篮筐中心的水平距离 是多少米？【例28】足球比赛中，某足球运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图1中的抛物线是足球的飞行高度y （m ）关于飞行时间x （s ）的函数图像（不考虑空气的阻力），已知足 球飞出1 s 时，足球的飞行高度是2.44 m ，足球从飞出到落地共用3 s ． （1）求y 关于x 的函数关系式；（2）足球的飞行高度能否达到4.88 m ？请说明理由；（3）假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为2.44 m （如图2所示， 足球的大小忽略不计）．为了能及时将足球扑出，那么足球踢出时，距离球门左门柱 12 m 处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左门柱？随堂检测Oyxxy O 1 2.44 3A BC【习题1】如图，点C 是线段AB 上的一个动点，AB = 1，分别以AC 、CB 为边作正方形， 用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（ ） A ．当C 是AB 的中点时，S 最小 B ．当C 是AB 的中点时，S 最大 C ．当C 为AB 的三等分点时，S 最小 D ．当C 为AB 的三等分点时，S 最大【习题2】某民俗旅游村为了接待游客的需要开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可以全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应地减少了10 张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高， 那么每张床位每天最合适的收费是多少？【习题3】如图所示，有长24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为10米），围成中间 隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的边AB 的长为x ，花圃的面积为S 平方米． （1）请求出S 与x 的函数关系式．（2）按照题中要求，所围的花圃面积能否是48 m 2．若能，求出的x 值；若不能，请说明理 由．【习题4】已知一隧道的截面是抛物线，且抛物线的解析式为211584y x =-+，一辆卡车高3米，宽4米，该车__________（选填“能”或“不能”）通过隧道．【习题5】一男生在校运会的比赛中推铅球，铅球的行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系用如图所示的二次函数图象表示．（铅球从A 点被推出，实线部分表示铅球所 经过的路线）．（1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）求出铅球被推出的距离；（3）若铅球到达的最大高度的位置为点B ，落地点为C ，求四边形OABC 的面积．【习题6】如图，一座拱桥的轮廓是抛物线形，拱高6 m ，跨度20 m ，相邻两支柱间的距离 均为5 m ．（1）将抛物线放在如图的平面直角坐标系中，求抛物线的解析式； （2）求支柱EF 的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2 m 的隔离带），其中的一条行车道能否 并排行驶宽2 m 、高3 m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明理由．【作业1】某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客 居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于 340元．设每个房间的房价每天增加x 元（x 为10的正整数倍）．（1）设一天订出的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为W 元，求W 与x 的函数关系式； （3）一天订出多少个房间，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？【作业2】小智参加一次高尔夫球集训，一次练习中，他在某处击球，球的飞行路线满足抛物线21855y x x =-+，其中y （m ）代表球的飞行高度，x （m ）代表球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2 m ．（1）写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； （2）求出球飞行的最大水平距离；（3）若小强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路 线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．。
初三暑假班二期doc
学期讲次标题详细内容说明初三暑期第1讲二次函数图象及基本性质⑴二次函数的定义：判断、求参数值⑵二次函数图象的特征：抛物线，轴对称性，对称轴，顶点，开口，增减性，最值，单纯的a、b、c与图象的关系⑶特殊抛物线的特征：y=ax2，y=ax2+c，y=ax2+bx，y=a(x-h)2了解二次函数定义，掌握其图象特征。
初三暑期第2讲二次函数基本解析式与图象变换⑴三种表达形式及基本解析式的确定⑵“对称型”条件解析式的确定⑶二次函数图象的平移与轴对称掌握二次函数图象变换，并确定其解析式。
初三暑期第3讲二次函数实际应用实际应用问题，建系解决实际问题打球、卖花、种树、桥洞…个个击破生活中二次函数的应用。
初三暑期第4讲相似三角形的性质与判定⑴成比例线段；⑵相似的相关知识点；⑶相似三角形判定相似的基础.学习相似的性质和判定。
初三暑期第5讲相似三角形的简单模型⑴位似；⑵相似三角形的两种基本模型；重点掌握相似的常考模型。
初三暑期第6讲锐角三角函数⑴锐角三角函数的定义⑵特殊角三角函数：特殊直角三角形计算⑶锐角三角函数的性质：同角三角函数关系，互余角三角函数关系⑷解直角三角形：公式变形，直角三角形中知二推三⑸解直角三角形的简单应用：简单的实际问题了解锐角三角函数的定义，掌握直角三角形的边角关系。
初三暑期第7讲圆的概念及性质概念、垂径、弧弦圆心角圆周角感受曲线型和直线型的差异，领略圆的对称性和旋转不变性。
初三暑期第8讲与圆有关的位置关系⑴点与圆的位置关系及判定，确定圆的条件，三角形外接圆；⑵直线与圆的位置关系及判定，切线的性质和判定；⑶圆与圆的位置关系及判定掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的关系。
初三暑期第9讲正多边形和圆与圆中的计算⑴正多边形的相关概念和计算；⑵三个常用公式熟练掌握圆中的相关计算，求弧长，求面积。
初三暑期第10讲综合检测暑期基础功底测试巩固学期内容，检测学习效果，祝你突破高分关卡。
第9讲 二次函数的应用- 2021年新九年级数学暑假精品课程(沪科版)(解析版)
第9讲二次函数的应用【学习目标】1.能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．2.经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．【基础知识】一、列二次函数解应用题列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．(6)写出答案．要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.二、建立二次函数模型求解实际问题一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．要点诠释：(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： ①首先必须了解二次函数的基本性质； ②学会从实际问题中建立二次函数的模型； ③借助二次函数的性质来解决实际问题.【考点剖析】考点一：实际问题与二次函数--其他问题例1．1．某市某塑料玩具生产公司，为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，它一年中每月获得的利润y （万元）和月份n 之间满足函数关系式21424y n n =-+-，则企业停产的月份为（ ）A ．2月和12月B ．2月至12月C ．1月D ．1月、2月和12月【答案】D 【分析】求出0y ≤时n 的所有的整数值即可得． 【详解】由题意，，且n 为整数 企业停产时，利润0y ≤ 令0y ≤得214240n n -+-≤ 解得2n ≤或12n ≥结合得，当12n ≤≤或12n =时，企业利润0y ≤ 因n 为整数则企业停产的月份为1月、2月和12月 故选：D ．考点二：实际问题与二次函数--图形问题例2．2．用一根长为12 cm 的细铁丝围成一个矩形，则围成的矩形面积最大为( )A ．7 cm 2B ．8 cm 2C ．9 cm 2D ．10 cm 2【答案】C【解析】 【分析】设矩形的长为x ,表示出矩形的宽，根据二次函数的性质求出最大值即可. 【详解】设矩形的长为x ,则宽为1226,2xx -=- 矩形的面积()22(6)639,x x x x x =-=-+=--+故矩形的最大面积是9 cm 2 故选：C.考点三：实际问题与二次函数--增长率问题例3．3．小红把班级勤工助学挣得的班费500元按一年期存入银行，已知年利率为x ，一年到期后银行将本金和利息自动按一年定期转存，设两年到期后，本、利和为y 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A ．y=500(x+1)2 B ．y=x 2+500C ．y=x 2+500xD ．y=x 2+5x【答案】A 【详解】一年后的本息和为500(1+x )，这也是第二年的本金， 所以两年后的本息和y =500(1+x )2. 故选A.【真题演练】1．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度()h m 与水流时间()t s 之间的解析式为2305h t t =-，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（ ） A ．8s B ．6sC ．4sD ．2s【答案】B 【分析】求出解析中h ＝0时t 的值即可得． 【详解】在h ＝30t−5t 2中，令h ＝0可得30t−5t 2＝0，解得：t ＝0或t ＝6，所以水流从抛出至落到地面所需要的时间是6s ， 故选：B ．2．向空中发射一枚炮弹，经过x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为2y ax bx c =++（0a ≠），若此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ） A ．第8秒 B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒【答案】B 【分析】本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x 的值． 【详解】解：∵此炮弹在第7秒与第13秒时的高度相等， ∵抛物线的对称轴是：， ∵炮弹所在高度最高时： 时间是第10秒． 故选：B ．3．已知某种礼炮的升空高度h (m )与飞行时间t (s )的关系式是h =﹣(t ﹣4)2+20．若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为( ) A ．3s B ．4sC ．5sD ．6s【答案】B 【分析】根据顶点式就可以直接求出结论； 【详解】 解：∵﹣1＜0，∵当t =4s 时，函数有最大值．即礼炮从升空到引爆需要的时间为4s ， 故选：B ．4．一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y (m )与水平距离x (m )之间的函数表达式为：y 150=-(x ﹣25)2+12，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为( )m ． A ．12 B ．25C ．13D ．14【答案】A 【分析】直接根据二次函数的图象及性质即可得出答案． 【详解】 解：∵y 150=-(x ﹣25)2+12， 顶点坐标为(25，12)， ∵150-＜0， ∵当x ＝25时，y 有最大值，最大值为12． 故选：A ．5．某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，如果设绿化面积平均每年的增长率为x ，关于代数式300（1+x ）2下列说法正确的是（ ） A ．2007年已有的绿化面积 B ．2008年增加的绿化面积C ．2008年已有的绿化面积D ．2007、2008年共增加的绿化面积【答案】C 【分析】利用“增长后的量=增长前的量⨯（1+增长率）”，如果设绿化面积平均每年的增长率为x ，写出代数式2300(1)x +的实际意义即可.【详解】2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年的绿化，绿化面积逐年增加，如果设绿化面积平均每年的增长率为x ，代数式2300(1)x +表示增长两年后的绿化面积，即：2008年已有的绿化面积 故选：C.6．在学校运动会上，一位运动员掷铅球，铅球的高()ym 与水平距离()x m 之间的函数关系式为20.2 1.6 1.8y x x =-++，则此运动员的成绩是（ ）A ．10mB ．4mC ．5mD ．9m【答案】D 【分析】根据铅球落地时，高度y ＝0，把实际问题可理解为当y ＝0时，即20.2 1.6 1.80y x x =-++=，求x 的值即可．在实际问题中，注意负值舍去． 【详解】解：由题意知，当y ＝0时，20.2 1.6 1.80x x -++=， 整理，得：2890x x --=，解得：1219x x =-=，， 由于负值不符合题意，故该运动员的成绩是9m ， 故答案选：D ．7．己知二次函数243y x x =-+的图象与x 轴交于点(1,0)A ，(3,0)B ，则当0y <时，x 的取值范围是（ ）A ．1x >B ．3x <C ．1x <或3x >D ．13x <<【答案】D 【分析】根据题意确定函数的开口方向，画出函数的大致图，即可确定x 的取值范围. 【详解】 ∵a=1∵函数的开口向上∵图象与x 轴交于点(1,0)A ，(3,0)B ∵函数的图象如下：通过图象可知，当13x <<时0y <，故选D.8．一个跳水运动员从10m 高台上跳水，他每一时刻所在高度（单位：m ）与所用时间（单位：s ）的关系是：h ＝﹣5（t ﹣2）（t +1），则运动员起跳到入水所用的时间是（ ） A ．﹣5s B ．2sC ．﹣1sD ．1s【答案】B 【分析】根据每一时刻所在高度（单位：m ）与所用时间（单位：s ）的关系是：h ＝−5（t−2）（t ＋1），把h ＝0代入列出一元二次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设运动员起跳到入水所用的时间是xs ， 根据题意可知：﹣5（x ﹣2）（x+1）＝0， 解得：x 1＝﹣1（不合题意舍去），x 2＝2，那么运动员起跳到入水所用的时间是2s ． 故选：B ．【过关检测】1．已知下列函数：(1)y=3﹣2x 2；(2)y=3x 2+1；(3)y=3x （2x ﹣1）；(4)y=﹣2√5x 2；(5)y=x 2﹣（3+x ）2；(6)y=mx 2+nx+p （其中m 、n 、p 为常数）．其中一定是二次函数的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义求解． 【详解】解：(1)y=3﹣2x 2；(3)y=3x （2x ﹣1）=6x 2﹣3x ；(4)y=﹣2√5x 2符合二次函数的定义，属于二次函数； (2)y=3x 2+1的右边不是整式，则它不是二次函数； (5)y=x 2﹣（3+x ）2=﹣6x ﹣9，属于一次函数；(6)y=mx 2+nx+p （其中m 、n 、p 为常数），当m=0时，该函数不是二次函数． 综上所述，其中一定是二次函数的有3个． 故选：B ．2．向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为2y ax bx =+．若此炮弹在第秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的（ ） A ．第9.5秒 B ．第10秒 C ．第10.5秒 D ．第11秒【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，x=7时和x=14时y 值相等，因此得到关于a ，b 的关系式，代入到x=-2ba中求x 的值． 【详解】当x=7时，y=49a+7b ；当x=14时，y=196a+14b ． 根据题意得49a+7b=196a+14b ， ∵b=-21a ，根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下， 当x=-2ba=10.5时，y 最大即高度最高． 因为10最接近10.5． 故选：C ．3．一位篮球运动员跳起投篮，篮球运行的高度y （米）关于篮球运动的水平距离x （米）的函数解析式是y=﹣15（x ﹣2.5）2+3.5．已知篮圈中心到地面的距离3.05米，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么篮球运行的水平距离为（ ） A ．1米 B ．2米C ．4米D ．5米【答案】C 【解析】试题分析：令y=3.05得：﹣15（x ﹣2.5）2+3.5=3.05，解得：x=4或x=1.5（舍去）． 所以运行的水平距离为4米．故选C ． 4．下列函数中，属于二次函数的是（ ）A ．182+=x y B ．18+=x y C ．2y=ax -4x 2 D ．182+=x y 【答案】A 【解析】试题分析：根据二次函数的定义可以判断出281yx，故选A.5．烟花厂某种礼炮的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是h ＝﹣2t 2+20t +1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ） A ．3s B ．4sC ．5sD ．10s【答案】C 【分析】将h 关于t 的函数关系式变形为顶点式，即可得出升到最高点的时间，从而得出结论． 【详解】解：∵h ＝﹣2t 2+20t +1＝﹣2（t ﹣5）2+51，∵当t＝5时，礼炮升到最高点．故选：C．6．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y＝6t﹣32t2．在飞机着陆滑行中，滑行最后的150m所用的时间是（）s．A．10B．20C．30D．10或30【答案】A【分析】由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当y取得最大值时，t也取得最大值，求得t的取值范围，然后解方程即可得到结论．【详解】解：当y取得最大值时，飞机停下来，则y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，此时t＝20，飞机着陆后滑行600米才能停下来．因此t的取值范围是0≤t≤20；即当y＝600﹣150＝450时，即60t﹣32t2＝450，解得：t＝10，t＝30（不合题意舍去），∵滑行最后的150m所用的时间是20﹣10＝10，故选：A．7．若二次函数y＝x2+mx的对称轴是x＝3，则抛物线y＝x2+mx与x轴的交点坐标为（）A．（0，0）B．（0，6）C．（0，0）和（0，6）D．（0，0）和（6，0）【答案】D【分析】由对称轴为x＝3，可求出m的值，进而得到抛物线的解析式，再令y＝0，解方程即可求出抛物线y＝x2+mx 与x轴的交点坐标．【详解】解：∵二次函数y＝x2+mx的对称轴是x＝3，∵x ＝﹣m2＝3， ∵m ＝﹣6， ∵y ＝x 2﹣6x ，令y ＝0，则x 2﹣6x ＝0， 解得：x ＝0或6，∵抛物线y ＝x 2+mx 与x 轴的交点坐标为（0，0）和（6，0）， 故选：D ．8．抛物线y ＝x 2－2x ＋1与坐标轴的交点个数是 A ．0． B ．1． C ．2． D ．3．【答案】C 【分析】当0x =时，求出与y 轴的纵坐标；当0y =时，求出关于x 的一元二次方程2210x x -+=的根的判别式的符号，从而确定该方程的根的个数，即抛物线221y x x =-+与x 轴的交点个数． 【详解】解：当0x =时，1y =， 则与y 轴的交点坐标为， 当0y =时，2210x x -+=， ∵()224110=--⨯⨯=，所以，该方程有两个相等的解，即抛物线221y x x =-+与x 轴有1个点． 综上所述，抛物线221y x x =-+与坐标轴的交点个数是2个． 故选：C ．9．某产品进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为( ) A ．5000元 B ．8000元C ．9000元D ．10000元【答案】C 【解析】设单价定为x ，总利润为W ，则可得销量为：500-10（x-100），单件利润为：（x-90），由题意得，W=（x-90）[500-10（x-100）]=-10x2+2400x-135000=-10（x-120）2+9000，故可得当x=120时，W取得最大，为9000元，故选C．10．将函数y=x2+6x+7进行配方正确的结果应为（）A．y=（x+3）2+2B．y=（x-3）2+2C．y=（x+3）2-2D．y=（x-3）2-2【答案】C【解析】试题分析：利用配方法把一般式转化成顶点式即可．试题解析：y=x2+6x+7=（x2+6x+9）-9+7=（x+3）2-2故选C．。
第06讲 二次函数-2022年暑假初升高数学衔接课程(原卷版)
【初升高衔接课程】第06讲二次函数【回忆初中那一点点】1.形如)0(2≠++=a c bx ax y 的函数叫做二次函数，其图象是一条抛物线。
2.二次函数的解析式的三种形式：体验1已知某二次函数的顶点坐标是（1，2），并且图象经过点（3，－1），则此二次函数的表达式为_____________．体验2已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且函数的最大值为2，则此二次函数的表达式为_______________．体验3已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，则此二次函数的表达式为_______________．3.二次函数的性质()k h x a y +-=22y ax bx c =++()()21x x x x a y --=开口方向0a >⇔⇔⇔开口向上函数有最小值顶点为最低点0a <⇔⇔⇔开口向下函数有最大值顶点为最高点对称轴直线x h =直线2bx a =-直线122x xx +=顶点坐标()h k ，24()24b ac b a a --，(2-()121224x xa x x+-，)增减性当0a >时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；当0a <时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少；最值当x h =时，y k =最值当2bx a =-时，当122x xx +=时，①一般式)0(2≠++=a c bx ax y ②顶点式y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．③交点式y＝a(x－x 1)(x－x 2)(a≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．244ac b y a -=最值y 最值=2-()124a x x -体验1．抛物线2(1)y x m x m =-+-+与y 轴交于（0，3）点．（1）求出m 的值并画出这条抛物线；（2）求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x 取什么值时，抛物线在x 轴上方？（4）x 取什么值时，y 的值随x 值的增大而减小？体验2．把二次函数y＝x 2＋bx＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x 2的图像，求b，c 的值．三、二次函数的最值体验1.已知352--=x x y ，则y 的最小值为.体验2.已知a x x y ---=52，若y 的最大值为2，则=a .【初中初级秘籍练级区】1．函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）无法确定2．把y=3x 2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y=3（x+3）2－2B．y=3（x+2）2+2C．y=3（x－3）2－2D．y=3（x－3）2+2[来3．二次函数y＝2x 2－mx＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝，n＝．4．已知二次函数y＝x 2+(m－2)x－2m，当m＝时，函数图象的顶点在y 轴上；当m＝时，函数图象的顶点在x 轴上；当m＝时，函数图象经过原点．【高中先行这一步】1.给定自变量取值范围求二次函数的最值①如果给定的范围在对称轴的一侧，只需要计算两个端点的函数值，两个值中最大的为最大值，最小的为最小值。
学而思初三数学暑假班第8讲.与圆有关的位置关系.提高班.学生版
88初三暑期·第8讲·提高班·学生版困惑？？漫画释义满分晋级8与圆有关的位置关系圆1级 圆的 概念及性质圆2级 与圆有关 的位置关系 圆3级 正多边形和圆 与圆中的计算暑期班 第七讲暑期班 第八讲暑期班 第九讲中考内容中考要求A B C圆的有关概念理解圆及其有关概念会过不在同一直线上的三点作圆；能利用圆的有关概念解决简单问题圆的性质知道圆的对称性，了解弧、弦、圆心角的关系能用弧、弦、圆心角的关系解决简单问题能运用圆的性质解决有关问题圆周角了解圆周角与圆心角的关系；知道直径所对的圆周角是直角会求圆周角的度数，能用圆周角的知识解决与角有关的简单问题能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题垂径定理会在相应的图形中确定垂径定理的条件和结论能用垂径定理解决有关问题点与圆的位置关系了解点与圆的位置关系直线与圆的位置关系了解直线与圆的位置关系；了解切线的概念，理解切线与过切点的半径之间的关系；会过圆上一点画圆的切线；了解切线长的概念能判定直线和圆的位置关系；会根据切线长的知识解决简单的问题；能利用直线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问题圆与圆的位置关系了解圆与圆的位置关系能利用圆与圆的位置关系解决简单问题弧长会计算弧长能利用弧长解决有关问题扇形会计算扇形面积能利用扇形面积解决有关问题中考内容与要求89初三暑期·第8讲·提高班·学生版圆锥的侧面积和全面积会求圆锥的侧面积和全面积能解决与圆锥有关的简单实际问题圆是北京中考的必考内容，主要考查圆的有关性质与圆的有关计算，每年的第20题都会考查，第1小题一般是切线的证明，第2小题运用圆与三角形相似、解直角三角形等知识求线段长度问题，有时也以阅读理解、条件开放、结论开放探索题作为新的题型。
要求同学们重点掌握圆的有关性质，掌握求线段、角的方法，理解概念之间的相互联系和知识之间的相互转化，理解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的性质和判定方法，会根据条件解决圆中的动态问题。
2023暑假初三A第9讲二次函数与实际问题
4
4
E．
（1）求直线 BC 的解析式．
y
C E N
AM O
Bx
例2
（2）若点 M 在线段 AB 上以每秒1个单位长度的速度从 A 向 B 运动 （不与 A ， B 重合），同时，点 N 在射线 BC 上以每秒 2 个单位长 度的速度从 B 向 C 运动．设运动时间为 t 秒，请写出 MNB 的面积 S 与 t 的函数关系式，并求出点 M 运动多少时间时， MNB 的面积 最大，最大面积是多少？
y
AO B
x
C
附加题
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(4，0) ， B(0， 4) ， C(2，0) 三点． （1）求抛物线的解析式；
附加题
（2）若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y x 上的动点， 判断有几个位置能够使得点 P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为 平行四边形，请求出相应的点 Q 的坐标．
例7
如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位 AB 时，宽 20m ，水位上升 3m 就达到警戒线 CD ，这时水面宽度为10m ． （2）若洪水到来时，水位以每小时 0.2m 的速度上升，从警戒线开 始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？
附加题
如图，直线 y x 1与抛物线 y＝ax2＋bx－4 都经过点 A(-1，0) 、 C(3， 4) ． （1）求抛物线的解析式；
y
AO P
E
Bx C
附加题
（2）动点 P 在线段 AC 上，过点 P 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 E，求线段 PE 长度的最大值；
y
AO P
E
Bx C
附加题
（3）当线段 PE 的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点 Q， 使 PCQ 是以 PC 为直角边的直角三角形？若存在，请求出 Q 点的坐
2024–2025学年九年级数学暑假提升精品讲义(北师大版)用因式分解法求解一元二次方程(解析版)
第12讲用因式分解法求解一元二次方程模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；2．因式分解法解一元二次方方程的应用；知识点一.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.知识点二.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.考点一：用因式分解法（除十字相乘法）求解一元二次方程例1．（23-24九年级·江苏·假期作业）解关于x 的方程（因式分解方法）：(1)2350x -=；(2)7(3)39x x x -=-．【答案】(1)12503x x ，==(2)12337x x ，==【分析】（1）用提公因式法进行因式分解，再解方程即可；（2）移项后，用提公因式法进行因式分解，再解方程即可．【详解】（1）解：(35)0x x -=①0x =②350x -=∴12503x x ，==．（2）解：7(3)3(3)x x x -=-7(3)3(3)0x x x ---=(3)(73)0x x --=①30x -=②730x -=∴12337x x ，==．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程．其中找到合适的公因式是解题的关键．【变式1-1】（2023八年级下·浙江·专题练习）用因式分解解方程：585x x x -=-．【答案】18x =-，25x =【分析】采用因式分解法即可求解．【详解】()()585x x x -=-移项得，()()5850x x x ---=，提取公因式得，()()850x x +-=．故80+=x 或50x -=，解得18x =-，25x =．【点睛】本题重点是利用因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解求解的方法是解题的关键．【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）解方程：()3263x x x -=-．【答案】x x 1212=-=，【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】解：∵()3263x x x -=-，∴()()32320x x x -+-=，∴()()3210x x -+=，∴20x -=或10x +=，解得x x 1212=-=，．【变式1-3】（23-24八年级下·广西崇左·期中）解方程：(1)22350x x --=；(2)()2326x x +=+．【答案】(1)17x =，25x =-(2)13x =-，21x =-【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等．（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】（1）解：22350x x --=，因式分解得()()750x x -+=，即70x -=或50x +=，解得17x =，25x =-．（2）解：()2326x x +=+，移项得()()23230x x +-+=，因式分解得()()3320x x ++-=，即30x +=或320x +-=，解得13x =-，21x =-．考点二：用十字相乘法求解一元二次方程例2.（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）阅读材料：解方程22350x x +-=，我们可以按下面的方法解答：（1）分解因式2235x x +-①竖分二次项与常数项：()()2,3557x x x =⋅-=-⨯+②交叉相乘，验中项：（2）根据乘法原理，若0ab =，则0a =或0b =，则方程2235x x +-可以这样求解：方程左边因式分解得(5)(7)0x x -+=50x ∴-=或70x +=③横向写出两因式：2235(5)(7)x x x x +-=-+125,7x x ∴==-试用上述这种十字相乘法解下列方程(1)2540x x ++=；(2)2680x x -+=；(3)23100x x +-=；(4)2670x x --=．【答案】(1)14x =-，21x =-(2)12x =，24x =(3)12x =，25x =-(4)17x =，21x =-【分析】（1）利用十字相乘法解方程即可；（2）利用十字相乘法解方程即可；（3）利用十字相乘法解方程即可；（4）利用十字相乘法解方程即可．【详解】（1）解：2540x x ++=()()410x x ++=40x +=或10x +=∴14x =-，21x =-；（2）解：2680x x -+=()()240x x --=20x -=或40x -=∴12x =，24x =；（3）23100x x +-=()()520x x +-=50x +=或20x -=∴12x =，25x =-；（4）2670x x --=()()170x x +-=10x +=或70x -=【点睛】本题考查十字相乘法解方程，掌握十字相乘法是解题的关键．【变式2-1】（2024·广东广州·二模）解方程：22350x x --=．【答案】17x =，25x =-．【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．【详解】解：22350x x --=，()()750x x -+=，70x -=或50x +=，∴17x =，25x =-．【变式2-2】（23-24八年级下·山东烟台·期中）阅读材料：解方程22350x x +-=，我们可以按下面的方法解答：（1）分解因式2235x x +-①竖分二次项与常数项：2x x x =⋅，()()3557-=-⨯+②交叉相乘，验中项：③横向写出两因式：2235(5)(7)x x x x +-=-+（2）若0ab =，则0a =或0b =，所以方程2235x x +-可以这样求解：方程左边分解因式得()()570x x -+=∴50x -=或70x +=∴15=x ，27x =-上述这种解一元二次方程的方法叫做十字相乘法．请参考以上方法解下列方程：(1)2540x x ++=；(2)22100x x +-=．【答案】(1)14x =-，21x =-；(2)12x =，252x =-【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，进一步求解可得答案；（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，进一步求解可得答案．【详解】（1）解：2540x x ++=()()410x x ++=40x +=或10x +=（2）解：22100x x +-=()()2520x x +-=250x +=或20x -=∴12x =，252x =-．进行因式分解，我们可以按下面的方法解答：解：①坚分二次项与常数项：()222,221x x x =⋅-=-⨯．②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）：③横向写出两因式：()()2232221x x x x --=-+．我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法．（2）根据乘法原理：若0ab =，则0a =或0b =．试用上述方法和原理解下列方程：①2320x x -+=；②260x x --=；③22360x x -+=；④2260x x +-=．【答案】①11x =，22x =②13x =，22x =-③13x =，22x =④132x =，22x =-【分析】根据题中十字相乘法的解法步骤求解即可．【详解】解：①由题知，2x x x =⋅，()()212=-⨯-，∴原方程2320x x -+=可化为()()120x x --=，∴10x -=或20x -=，∴11x =，22x =；②由题知，2x x x =⋅，()632-=-⨯，∴原方程260x x --=可化为()()320x x -+=，∴30x -=或20x +=，∴13x =，22x =-；③由题知，2x x x =⋅，()()632=-⨯-，∴原方程()22360x x -++=可化为()()320x x --=，∴30x -=或20x -=，∴13x =，22x =；④由题知，22x x x =⋅，()623-=⨯-，∴原方程2260x x +-=可化为()()2230x x +-=，∴20x +=或230x -=，∴132x =，22x =-．【点睛】本题考查十字相乘法解一元二次方程，理解题干中的十字相乘法的解法是解答的关键．考点三：用因式分解法解一元二次方程中的错解复原问题例3.（22-23九年级上·陕西榆林·阶段练习）以下是某同学解方程2326x x x -=-+的过程：解：方程两边因式分解，得()()323-=--x x x ，①方程两边同除以()3x -，得2x =-，②∴原方程的解为2x =-．③(1)上面的运算过程第______步出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．【答案】(1)②(2)过程见解析【分析】（1）根据等式的性质作答即可；（2）先移项，然后用因式分解法求解．【详解】（1）解：∵()3x -可能为0，∴不能除以()3x -，∴第②步出现了错误故答案为②．（2）解：方程两边因式分解，得()()323-=--x x x ，移项，得()()3230-+-=x x x ，∴()()320x x -+=，∴13x =，22x =-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．【变式3-1】（2024·浙江舟山·一模）解一元二次方程2230x x --=时，两位同学的解法如下：解法一：223x x -=(2)3x x -=1x =或23x -=∴11x =或25x =解法二：1a =，2b =-，3c =-244128b ac -=-=- 240b ac -<∴此方程无实数根．(1)判断：两位同学的解题过程是否正确，若正确，请在框内打“√”；若错误，请在框内打“×”．(2)请选择合适的方法求解此方程．【答案】(1)两位同学均错(2)13x =，21x =-【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程．（1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据根的判别式的计算可判断解法二进行判断；（2）利用因式分解法把方程转化为30x -=或10x +=，然后解两个一次方程．【详解】（1）两位同学的解题过程都不正确．（2）2230x x --=，(3)(1)0x x -+=，30x -=或10x +=，所以13x =，21x =-．【变式3-2】（23-24八年级下·浙江·期中）甲、乙两位同学解方程22(2)(2)x x -=-的过程如下框：甲：22(2)(2)x x -=-两边同除以(2)x -得：22x =-则4x =（）乙：移项得22(2)(2)0x x ---=提公因式(2)(22)0x x ---=则20x -=或220x --=122,0x x ∴==（）你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”，若错误打“×”，并写出你的解答过程．【答案】×；×，见解析【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．根据因式分解法解一元二次方程．【详解】解：根据题意得：甲：22(2)(2)x x -=-两边同除以(2)x -得：22x =-则4x =（×）乙：移项得22(2)(2)0x x ---=提公因式(2)(22)0x x ---=则20x -=或220x --=122,0x x ∴==（×）解：22(2)(2)0x x ---=(2)(22)0x x --+=12x =或24x =．【变式3-3】（23-24八年级下·广西百色·期中）小涵与小彤两位同学解方程366x x x -=-的过程如下：小涵的解题过程：第1步：两边同时除以()6x -得36x x =-，第2步：移项，得36x x =-，第3步：解得2x =-．小彤的解题过程：第1步：移项，得()()23660x x x ---=，第2步：提取公因式，得()()6360x x x ---=．第3步：则60x -=或360x x --=，第4步：解得16x =，22x =．(1)小涵和小彤的解法都不正确，小涵第一次出错在第_____步，小彤第一次出错在第_____步；(2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项．【答案】(1)1，2(2)正确的解法见解析，16x =，23x =-．注意事项：移项时要注意改变符号，或(除数不能为0)【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．（1）根据等式的性质和因式分解法则即可得出答案；（2）利用因式分解法解答即可．【详解】（1）解：小涵的解法中，因为()6x -可能为0，所以不能两边同时除以()6x -，即第一次出错错在第1步；小彤的解法中，第1步移项没错，第2步提取公因式后有一项忘记变号，即第一次出错错在第2步；故答案为：1；2；（2）解：正确的解法是：()()2366x x x -=-，移项，得()()23660x x x ---=，提取公因式，得()()6360x x x --+=，则60x -=或360x x -+=，解得1263x x ==-，，注意事项：在利用因式分解法解一元二次方程时，注意把方程一边的多项式正确因式分解．考点四：用因式分解法解一元二次方程与几何的结合的问题例4.（2024·山东济宁·一模）三角形两边长分别为3和6，第三边长是方程2680 x x -+=的解，则这个三角形的周长是（）A ．1B ．11和13C ．11或8D ．13【答案】D【分析】本题考查一元二次方程的解法，三角形三边的关系，先解方程求出方程的解，然后利用三角形的三边关系判断解得情况，并计算三角形的周长即可．【详解】解方程2680 x x -+=得2x =或4x =，当2x =时，236+<，不能构成三角形；当4x =时，这个三角形的周长是34613++=，故选D ．【变式4-1】（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在ABCD Y 中，AE BC ⊥于点E ，BE a =，2AE CE a ==，且a 是一元二次方程2340x x +-=的根，则ABCD Y 的周长为（）A ．625+B ．85C ．10D ．445+【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，以及用因式分解法解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握．先解方程求得a ，再根据勾股定理求得AB ，从而计算出ABCD Y 的周长即可．【详解】解：a 是一元二次方程2340x x +-=的根，2340a a ∴+-=，即()()140a a -+=，解得，1a =或4a =-（不合题意，舍去）．∴1BE =，2AE CE ==，在Rt ABE △中，2222125AB AE BE =+=+=，3BC EB EC ∴=+=，ABCD ∴ 的周长()()5223652AB BC =+=+=+．故选：A ．2的解，第三边是方程215560x x -+=的解，则这个直角三角形的周长是（）A ．23或24B ．23C ．24D ．24或25【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理的逆定理，先解方程，勾股定理的逆定理得出第三边为8，即可求解．【详解】解：216600x x -+=∴()()6100x x --=解得：126,10x x ==由215560x x -+=∴()()780x x --=，解得：7x =或8x =依题意，这个直角三角形的三边分别为6,10,8，∴这个直角三角形的周长为610824++=，故选：C ．【变式4-3】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，以点B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交线段AB 于点D ，以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连接CD ．设3BC =，4AC =，则方程26160x x +-=的一个根是线段（）的长度A ．AD 或AE 或CEB ．BD 或BC C ．CED ．AC【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，勾股定理的应用，先求解2AD AE CE ===，再解方程26160x x +-=，从而可得答案．【详解】解：∵3BC =，4AC =，90ACB ∠=︒，∴225AB AC BC =+=，532AD ∴=-=，∴2AD AE ==，∴422CE AC AE =-=-=，∵26160x x +-=，∴()()280x x -+=，解得：12x =，28x =-，∴线段AD ，AE ，CE 的长是方程26160x x +-=的一个根；故选A考点五：新定义型用因式分解法解一元二次方程问题例5.（2024·浙江杭州·一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为()35b a b a b a =+-※．根据这个规则，方程()11x x +=-※的解是（）A ．45x =B ．1x =C ．45x =-或1x =D ．45x =或1x =【答案】C 【分析】根据新定义，列出常规式的方程，解答即可．本题考查了新定义的应用、解一元二次方程，正确理解定义，建立方程是解题的关键．【详解】∵()35a b a b ab =+-※，()11x x +=-※，∴()()31511x x x x ++-+=-，整理，得2540x x --=，解得45x =-或1x =，故选C ．m n ※2232232=-⨯=-※．若50x x =※，则方程的根为（）A ．都为10B ．都为0C ．0或10D ．5或5-【答案】C 【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意．现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可．【详解】解：根据定义运算22m n m n =-※可得，50x x =※即为25·20x x -=，即()100x x -=，10x ∴=，210x =，则方程的根为0或10．故选：C ．【变式5-2】（2024·安徽阜阳·三模）定义新运算a b ab a ⊗=-，如()()212124⊗-=⨯--=-，则方程()26x x x ⊗+=⊗的解是（）A ．10x =，24x =B ．12x =，23x =C ．12x =-，23x =-D ．126x =226x =【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤．根据题意，将原方程化为()266x x x x +-=-，再将方程化为一般式，最后用因式分解法求解即可．【详解】解：根据题意可得：()()22x x x x x ⊗+=+-，666x x ⊗=-，∵()26x x x ⊗+=⊗，∴()266x x x x +-=-，整理得：2560x x -+=，解得：12x =，23x =，故选：B ．【变式5-3】（2024·甘肃天水·一模）在正数范围内定义一种运算：()22,2M a b a ab b =-+，如()21,3121334M =-⨯⨯+=，若()2,9M m =，则m 的值为（）A ．1B ．1-C ．5或1-D ．5【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用题中的新定义，得到22249m m -+=，解出即可求解．【详解】解：由题意得：22249m m -+=，即2450m m --=解得：1m =-或5m =，故选：C ．考点六：换元法解一元二次方程例6.（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：解方程42540x x -+=，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设2x y =，那么42x y =，于是原方程可变为2540y y -+=①，解得11y =，24y =．当1y =时，21x =，1x ∴=±；当4y =时，24x =，2x ∴=±；∴原方程有四个根：11x =，21x =-，32x =，42x =-．这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想．(1)方程4260x x --=的解为________．(2)仿照材料中的方法，尝试解方程()()2224120x x x x +-+-=．【答案】(1)13x =，23x =-(2)13x =-，22x =；【分析】本题考查了根的判别式，换元法解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．（1）结合材料，利用2x m =，再换元，求出m 的值，再代入求出x 即可；（2）结合材料，利用2x x n +=，再换元，求出n 的值，再代入求出x 即可．【详解】（1）解：设2x m =，则原方程变为260m m --=，解得：13m =，22m =-，当3m =时，23x =，解得3x =±；当2m =-时，22x =-，方程无解；故原方程的解为：13x =，23x =-，故答案为：13x =，23x =-．（2）解：设2x x n +=，则原方程变为24120--=n n ，解得：16n =，22n =-，当6n =时，26x x +=，解得：13x =-，22x =；当2n =-时，22x x +=-，即220x x ++=，2141270∆=⨯⨯=-<-，∴方程无解；故原方程的解为：13x =-，22x =．()22260x x --=然后设2x t =，则()222x t =，原方程化为260t t --=①，解①得122,3t t =-=．当12t =-时，22x =-无意义，舍去；当23t =时，23x =，解得3;x =∴原方程的解为123,3x x ==-；上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．(1)利用换元法解方程()()2224120x x x x ----=时，新字母设为t ，则t =___________，原方程化为___________，解得t =___________．(2)求方程()()2224120x x x x ----=的解．【答案】(1)2x x -，24120t t --=；6,2-(2)123,2x x ==-【分析】本题考查了换元法解方程，正确换元是解题的关键；（1）根据题意，可设2t x x =-，于是原方程变形为24120t t --=，利用因式分解法求解即可．（2）根据6,2t t ==-，转化为方程26x x -=，22x x -=-，解方程即可．【详解】（1）解：根据题意，可设2t x x =-，于是原方程变形为24120t t --=，解得6,2t t ==-，故答案为：2x x -，24120t t --=；6,2-．（2）解：根据题意，得6,2t t ==-，方程转化为26x x -=，22x x -=-，故260x x --=，解得123,2x x ==-；当220x x -+=时，此时()2Δ14120=--⨯⨯<，方程无解，故原方程的解为123,2x x ==-．【变式6-2】（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程42280x x +-=时，可设2y x =，则原方程可化为2280y y +-=，先解出y ，将y 的值再代入2y x =中解x 的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将2x 看作一个整体，得()222280x x +-=，解出2x 的值，再进一步求解即可．根据上述方法，完成下列问题：(1)若()()22222232237x y x y +-++=，则22x y +的值为___________；(2)解方程：()22234120y yy y --+=．【答案】(1)2(2)1y =-或4y =或0y =或3y =【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，注意，解方程时要解完整．（1）根据题意，设22+=x y k ，然后解关于k 的一元二次方程，再根据220≥+x y 取值即可；（2）设23y y t -=，然后解关于t 的一元二次方程，然后再来求关于y 的一元二次方程．【详解】（1）解：设22+=x y k ，原方程为：()()222223237x y x y ⎡⎤⎡⎤+-++=⎣⎦⎣⎦，即()()23237k k -+=，2497k -=，24k =，2k ∴=或2k =-，220≥+x y ，2k ∴=，∴222x y +=，故答案为：2；（2）解：设23y y t -=，原方程为：()()2223430y y y y ---=，即240t t -=，()40t t -=，0t ∴=或4t =，当0=t 时，230y y -=，()30y y -=，0y ∴=或3y =；当4t =时，234y y -=，()()140y y +-=，1y \=-或4y =；综上，1y =-或4y =或0y =或3y =．【变式6-3】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）解方程222(1)5(1)40x x ---+=时，我们可以将21x -视为一个整体，设21y x =-，则222(1)y x =-，原方程化为2540y y -+=，解此方程，得11y =，24y =，当1y =时，211x -=，22x =，∴2x =当4y =时，214x -=，25x =，∴5x =±．∴原方程的解为12x =-22x =35x =-45x =．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．运用上述方法解答下列问题：(1)42340x x --=；(2)222(2)(2)60x x x x +-+-=．【答案】(1)12x =，22x =-(2)13x =，21x =-【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根的判别式等知识，利用换元法解一元二次方程是解题关键．（1）先把要求的式子变形为2340y y --=，再进行因式分解，求出符合条件的的值，从而得出的值；（2）根据已知条件设求出22x x y +=的值，即可获得答案．【详解】（1）解：42340x x --=，设20y x =≥，则原方程化为2340y y --=，∴(4)(1)0y y -+=，∴4y =或1y =-（舍去），即24x =，∴12x =，22x =-；（2）解：222(2)(2)60x x x x +-+-=，设22y x x =+，则原方程化为260y y --=，∴(3)(2)0y y -+=，∴3y =或=2y -，当3y =时，可有2230x x +-=，解得13x =，21x =-，当=2y -时，可有2220x x ++=，∵2241240∆=-⨯⨯=-<，∴该方程无解，∴原方程的解为13x =，21x =-．一、单选题1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解方程()()2575x x -=-，选择相对合适的方法是（）A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．先移项变形，再提取公因式()5x -即可求解．【详解】解：()()2575x x -=-，()()20575x x +--=，()()0557x x +=⎡-⎤⎦-⎣，即()()0512x x --=，∴最合适的方法是因式分解法，故选：D ．2．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）方程(3)6(3)x x x -=-的根是（）A ．3x =B ．6x =C ．123,6x x ==D ．123,6x x =-=-【答案】C【分析】本题考查了因式分解法方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．【详解】∵(3)6(3)x x x -=-，∴()()630x x --=，解得123,6x x ==．故选C ．3．（2023·贵州贵阳·模拟预测）若菱形两条对角线AC 和BD 的长度是方程()()240x x --=的两根，则该菱形的边长为（）A 5B ．4C ．25D ．5【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质．先求出方程的解，即可得出2AC =，4BD =，根据菱形的性质求出AO 和OD ，根据勾股定理求出AD 即可．【详解】解：解方程(2)(4)0x x --=得：12x =，24x =．即2AC =，4BD =，四边形ABCD 是菱形，90AOD ∴∠=︒，1AO OC ==，2BO DO ==，由勾股定理得：22125AD =+=，故选：A ．()()A ．它是一元二次方程B ．解方程时，方程两边先同时除以()32x +C ．它有两个不相等的实数根D ．用因式分解法解此方程最适宜【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的定义、解法及根的判别式，根据一元二次方程的定义、解法及根的判别式逐一判断即可求解，掌握一元二次方程的定义、解法及根的判别式是解题的关键．【详解】解：A 、方程()()32632x x x +=+整理得为2316120x x --=，故方程是一元二次方程，该说法正确，不合题意；B 、解方程时，方程两边先同时除以()32x +，会漏解，故该说法错误，符合题意；C 、由2316120x x --=得：()()21643124120∆=--⨯⨯-=>，故方程有两个不相等的实数根，该说法正确，不合题意；D 、用因式分解法解此方程最适宜，该说法正确，不合题意；故选：B ．5．（23-24六年级上·河南南阳·阶段练习）定义新运算：对于两个不相等的实数,a b ，我们规定符号{},max a b 表示,a b 中的较大值，如：{}2,44max =，{2,4}2max --=-．按照这个规定，若2{,}57max x x x x -=--，则x 的值是（）A ．211+1-B ．2117C ．1-或7D ．211+211-【答案】B 【分析】本题考查新定义运算解方程，理解新运算，根据新定义的运算，分两种情况：①2{,}57max x x x x x -=--=；②2{,}57max x x x x x -=--=-，解一元二次方程即可得到答案．【详解】解：由题意得：分两种情况：①2{,}57max x x x x x -=--=，257x x x --=∴，即2670x x --=，()()710x x ∴-+=，解得：121,7x x =-=，当7x =时，7x -=-，即{7,7}7max -=，符合题意；当=1x -时，1x -=，即{1,1}1max -=，不符合题意；∴7x =；②2{,}57max x x x x x -=--=-，257x x x --=-∴，即2470x x --=，()2211x ∴-=，解得：12211,211x x =+=-，当211x =+时，()211x -=-+，即(){211,211}211max +-+=+，不符合题意；当211x =-时，112x -=-，即{211,112}112max --=-，符合题意；∴211x =-；综上，x 的值是211-或7，故选：B ．二、填空题6．（2024八年级下·浙江·专题练习）一元二次方程22x x =的根是．【答案】10x =，22x =【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．【详解】解：移项，得220x x -=，提公因式得，(2)0x x -=，0x =或20x -=，10x ∴=，22x =．故答案为：10x =，22x =．7．（2023·山东潍坊·模拟预测）等腰三角形的底边长为6，腰长是方程28150x x -+=的一个根，则该等腰三角形的周长为．【答案】16【分析】本题主要考查等腰三角形的概念、三角形三边的关系、解一元二次方程的能力，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用因式分解法解方程求出x 的值，再根据等腰三角形的概念和三角形三边关系确定出三角形三边长度，继而得出答案．【详解】解：∵28150x x -+=，∴()()350x x --=，则30x -=或50x -=，解得1235x x ==，，①若腰长为3，此时三角形三边长度为3、3、6，显然不能构成三角形，舍去；②若腰长为5，此时三角形三边长度为5、5、6，可以构成三角形，所以该等腰三角形的周长为55616++=，故答案为：16．8．（2024·浙江·三模）若方程()()37x x m --=有一个解为1x =，则方程()()37x x m ++=的解为．【答案】121,9x x =-=-【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根据题意得出12m =，进而解方程()()3712x x ++=，即可求解．【详解】解：∵方程()()37x x m --=有一个解为1x =，∴()()131712m =--=∴()()3712x x ++=即21090x x ++=∴()()190x x ++=解得：121,9x x =-=-故答案为：121,9x x =-=-．9．（2024八年级下·浙江·专题练习）已知()()2222135x y x y +++-=，则22x y +的值等于．【答案】4【分析】本题考查解一元二次方程，首先把22x y +当作一个整体，设22+=x y k ，方程即可变形为关于k 的一元二次方程，解方程即可求得k 即22x y +的值．此题注意把22x y +看作一个整体，然后运用因式分解法解方程，最后注意根据式子的形式分析值的取舍．【详解】解：设22+=x y k ，∴()()135k k +-=，∴2235k k --=，即2280k k --=，∴4k =或2k =-，∵22x y +的值一定是非负数，∴224x y +=．故答案为：410．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）定义：如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根为αβ，，且满足2αβ=，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）方程29180x x -+=(选填“是”或“不是”)“倍根方程”．（2）若()()50x x a --=是“倍根方程”，则=a 【答案】是10或52【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义：（1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可；（2）先解方程得到125x a x ==，，再根据“倍根方程”的定义求解即可．【详解】解：（1）∵29180x x -+=，∴()()360x x --=，解得1236x x ==，，∴212x x =，∴方程29180x x -+=是“倍根方程”．故答案为：是；（2）解方程()()50x x a --=得125x a x ==，，∵()()50x x a --=是“倍根方程”，∴2510a =⨯=或15522a =⨯=，故答案为：10或52．三、解答题11．（23-24八年级下·江苏南通·期中）解下列方程：(1)267x x -=；(2)23520x x -+=．【答案】(1)127,1x x ==-(2)1221,3x x ==【分析】本题考查了解一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．（1）运用因式分解法解方程即可；（2）运用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：267x x -=2670x x --=()()710x x -+=70x -=或10x +=∴127,1x x ==-；（2）解：23520x x -+=()()1320x x --=10x -=或320x -=∴1221,3x x ==．12．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程：(1)2430x x ++=；(2)()()()21332x x x --+=．【答案】(1)1213x x =-=-，(2)12121x x =-=，【分析】本题考查了解一元二次方法，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：∵2430x x ++=，()()130x x ∴++=，∴10x +=或30x +=，∴1213x x =-=-，；（2）()()()23=213x x x --+，整理得：211120x x +-=，∴()()1210x x +-=，120x ∴+=或10x -=，12121x x =-∴=，．13．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程：(1)()()628x x x -=-(2)()()221230x x +--=【答案】(1)124x x ==；(2)12243x x ==，．【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法．（1）整理成一般式，再利用公式法将方程的左边因式分解后求解可得；（2）利用公式法将方程的左边因式分解后求解可得．【详解】（1）解：()()628x x x -=- ，26216x x x ∴-=-，则28160x x -+=，即2(4)0x -=，124x x ∴==；（2）解：∵()()221230x x +--=．∴()()1231230x x x x ++-+-+=，∴1230x x ++-=或1230x x +-+=∴12243x x ==，．14．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．解方程：2(31)2(31)x x -=-解：方程两边除以(31)x -，得312x -=第一步移项，合并同类项，得33x =第二步系数化为1，得1x =第三步任务：(1)小明的解法从第__________步开始出现错误；(2)此题的正确结果是__________；(3)用因式分解法解方程：3(2)24x x x +=+．【答案】(1)一(2)113x =，21x =(3)12x =-，223x =【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；（1）根据题意可直接进行求解；（2）利用因式分解法求解方程即可得出答案；（3）根据因式分解法求解方程即可．【详解】（1）解：由题意可知小明的解法从第一步开始出现错误；故答案为一；（2）解：2(31)2(31)x x -=-2(31)2(31)0x x ---=(31)(33)0x x --=310x -=或330x -=∴121,13x x ==；故答案为121,13x x ==；（3）解：3(2)24x x x +=+()3(2)220x x x +-+=()()2320x x +-=解得：122,23x x ==-．15．（23-24八年级下·广西贺州·阶段练习）阅读下列材料：为解方程可将方程变形为()22260x x --=然后设2x y =，则()222x y =．例：4260x x --=，解：令2x y =，原方程化为260y y --=，解得12y =-，23y =，当12y =-时，22x =-（无意义，舍去）当23y =时，23x =，解得3x =±∴原方程的解为13x =23x =-．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即：换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．利用以上学习到的方法解下列方程：(1)()()22225260x x x x ----=；(2)()22351511x x x x ++-++=．【答案】(1)171x =+，271x =-+，341x x ==(2)10x =、25x =-【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；（1）令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，进而得出226x x -=，221x x -=-，解方程，即可求解；（2）令251x x y ++=，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =，进而分别解一元二次方程，即可求解．【详解】（1）解：令22x x y -=，原方程化为2560y y --=，解得16y =，21y =-．当16y =时，226x x -=，解得71x =±+．当21y =-时，221x x -=-，解得1x =．∴原方程的解为：171x =+，271x =-+，341x x ==（2）令251x x y ++=，原方程化为2321y y -=，解得113y =-，21y =当113y =-时，21513x x ++=-（无意义舍去）当21y =时，2511x x ++=，解得10x =、25x =-．∴原方程的解为10x =、25x =-．。
2024–2025学年九年级数学暑假提升讲义(北师大版)第14讲 应用一元二次方程(解析版)
第14讲应用一元二次方程模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；2．通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力；知识点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).要点：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.知识点二、一元二次方程应用题的主要类型1.平均变化率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(1)na xb +=(a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为(1)n a x b -=(a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)2.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.3.利息问题(1)概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金.利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金×利率×期数利息税=利息×税率本金×(1+利率×期数)=本息和本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)4.利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数5.形积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.考点一：用一元二次方程解决增长率问题例1．（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2020年利润为2亿元，2022年利润为2.88亿元．(1)求该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率；(2)若2023年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2023年的利润能否超过3.4亿元？为什么？【答案】(1)该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为20%(2)能，该企业2023年的利润能超过3.4亿元，理由见详解【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，增长率的问题．以及实数的混合运算．（1）设该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为x ，根据题意列方程，解方程即可．（2）由（1）得出平均增长率，然后计算2023年的利润，然后比较一下即可得出结论．【详解】（1）解：解：设该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为x ，根据题意列方程：()221 2.88x +=解得：10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）20%x ∴=答：该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率为20%（2）能，理由：若2023年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2023年的利润为：()2.88120% 3.456 3.4⨯+=>∴该企业2023年的利润能超过3.4亿元【变式1-1】（2023上·广东肇庆·九年级统考期末）新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，我国新能源汽车近几年出口量逐年增加，2021年出口量为20万台，2023年出口量增加到45万台．(1)求2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是多少？(2)按照这个增长速度，预计2024年我国新能源汽车出口量为多少？【答案】(1)2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是50%；(2)预计2024年我国新能源汽车出口量为67.5万辆．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）根据2021年某款新能源车销售量为20万辆，到2023年销售量为45万辆，若年增长率x 不变，可得关于x 的一元二次方程；（2）利用（1）中所求，进而利用2024年出口量2023=年出口量(1⨯+增长率），即可得出答案．【详解】（1）解：设年平均增长率为x ，根据题意可列方程：220(1)45x +=，解得：10.5x =，2 2.5x =-（不合题意舍去），答：2021年到2023年新能源汽车出口量的年平均增长率是50%；（2）依题意，得()24001576x +=，解得：10.2x =，2 2.2x =-（不符合题意，舍去）．答：九、十两个月的销售量月平均增长率为20%．考点二：用一元二次方程解决传播问题例过两轮传染后将有由题意，得()1149+++=x x x 解得16x =，28x =-．经检验，6x =符合题意．答：每轮传染中平均一个人传染了6个人．（2）设售出95N 医用口罩的盒数是a 盒，则售出普通医用口罩的盒数是()180a -盒．总销售额为y 元．由题意，得5180a a ≤-，解得30a ≤．()1041806720y a a а=+-=+．∵60>，∴y 随a 的增大而增大．∴当30a =时，y 有最大值，此时18030150-=．答：售出95N 医用口罩和普通医用口罩各30盒和150盒时，总销售额最多．考点三：用一元二次方程解决数字问题例而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位同学算得快，多少年华属周考点四：用一元二次方程解决营销问题例4.（2023下·八年级课时练习）今年大德福超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长率．(2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？【答案】(1)四、五这两个月销售量的月平均增长率为25%(2)当商品降价5元时，商场月获利4250元【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键．（1）设四、五这两个月销售量的月平均增长率为x ，则四月份的销售量为()2561x +件，五月份的销售量为()22561x +件，再根据五月份的销售量为400件列出方程求解即可；（2）设商品降价m 元时，商场月获利4250元，则月销售量为()4005x +件，每件的利润为()4025x --，再根据总利润=每件利润⨯销售量列出方程求解即可．【详解】（1）解：设四、五这两个月销售量的月平均增长率为x ，由题意得()22561400x +=，解得0.2525%x ==或 2.25x =-（舍去），∴四、五这两个月销售量的月平均增长率为25%；（2）解：设商品降价m 元时，商场月获利4250元，由题意得，()()402540054250x x --+=，整理得：2653500x x +-=，解得5x =或70x =-，∴当商品降价5元时，商场月获利4250元．【点睛】，【变式4-1】（2023上·河南商丘·九年级校联考阶段练习）2023河南省消费帮扶“土特产”产销对接专项行动在漯河市隆重开幕，此次活动以“打造‘土特产’名优品牌，赋能乡村产业振业”为主题，吸纳全省各地市的商户前来参展．某商场从展销会签订合同购进某种特产商品，每件进价为100元．经调查发现，若每件售价为150元，平均每天售出60件；当特产商品售价每降低1元时，商品平均每天可多售出3件．(1)当特产商品售价降低5元时，每天销售量可达到______件，每天盈利______元．(2)为了减少库存，当每件特产商品降价多少元时，商场通过销售这种特产商品每天可盈利3600元？【答案】(1)75；3375(2)当每件特产商品降价20元时，商场通过销售这种特产商品每天可盈利3600元【分析】本题考查应用一元二次方程解决实际问题．（1）根据每件的利润×件数＝总利润求解即可；（2）设每件特产商品降价x 元，则每件特产商品的销售利润为()150100x --元，每天可售出()603x +件．根据“每天可盈利3600元”即可列出方程，求解即可．【详解】（1）当特产商品售价降低5元时，销售量为：603575+⨯=（件），每天盈利：()1501005753375--⨯=（元）．故答案为：75，3375（2）设每件特产商品降价x 元，则每件特产商品的销售利润为()150100x --元，每天可售出()603x +件．根据题意，得()()1501006033600x x --+=，整理，得2302000x x -+=，解得1210,20x x ==．为了减少库存，则20x =．答：当每件特产商品降价20元时，商场通过销售这种特产商品每天可盈利3600元．【变式4-2】（2023上·广东东莞·九年级校联考期中）海战博物馆在2021年共接待游客达10万人次，预计在2023年将接待游客达12.1万人次．(1)求海战博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率．(2)海战博物馆销售一款水果茶，每杯成本价为6元，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，设每杯降价a 元，为了每天利润达到6300元，又能让顾客获得最大优惠，求每杯水果茶的定价．【答案】(1)博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率是10%(2)当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款水果茶实现平均每天6300元的利润额【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元二次方程；（1）设博物馆2021至2023年期间接待游客人次的平均增长率是%x ，可得：210(1%)12.1x +=，即可解得博物馆2021至2023年期间接待游客人次的平均增长率是10%；（2）设每杯降价为a 元，可得：()()256300306300a a --+=，解得5a =或4a =，又让顾客获得最大优惠，即知当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款水果茶实现平均每天6300元的利润额．【详解】（1）解：设博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率是x ，根据题意得：()210112.1x +=，解得10%x =， 2.1x =-（舍去），答：博物馆2021至2023年接待游客人次的平均增长率是10%；（2）设每杯降价为a 元，考点五：用一元二次方程解决动态几何问题例动点P、(1)P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形(2)P、Q两点从出发开始到几秒时，点【答案】(1)P、Q两点从出发开始到(2)从出发到1.6秒或【分析】此题考查了图形与动点问题，勾股定理，解一元一次方程，解一元二次方程：（1）设P、Q两点从出发开始到答：（1）P 、Q 两点从出发开始到（2）从出发到1.6【变式5-1】（2023点P 从点A 开始沿AB 果点P ，Q 分别从点【答案】2【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，设出发后方程()(252x x -+【详解】解：设出发后()()22525x x -+=整理得，22x x -=解得0x =（不符合题意，舍去），(1)经过几秒后PBQ 的面积等于(2)PBQ 的面积能否等于【答案】(1)2t =；(2)不能，理由见解析．∵点P 以1cm/s 从A 点出发，点Q 以2cm/s 从B 点出发，过点Q 作AB 的垂线QH 又∵30ABC ∠︒＝，(1)运动几秒时，CPQ(2)t为何值时，CPQ(3)在运动过程中，PQ4考点六：用一元二次方程解决与图形有关的问题例6.（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，在长40m 、宽22m 的矩形地块，修筑两条等宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积是2760m ，道路的宽应为多少？【答案】2m【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，通过平移，四块草坪可以拼成一个矩形，设道路的宽为m x ，则拼成矩形的长和宽分别为(40)m x -，(22)m x -，根据草坪的面积是2760m 列一元二次方程，解方程即可．【详解】解：设道路的宽为m x ，由题意得(40)(22)760x x --=，整理，得2621200x x -+=，解得12x =，260x =（不符合题意，舍去）．答：道路的宽为2m ．【变式6-1】（2023下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）如图，为美化庭院，某小区要利用一面墙（墙足够长），用30米长的篱笆围成一个矩形绿地，设矩形的两邻边长分别为x 米和y 米，且y x>(1)请直接写出y 与x 之间的函数关系式(2)根据小区的规划要求，所修建的矩形绿地面积必须是100平方米，求矩形的两条边长各为多少米？【答案】(1)302y x=-(2)矩形两边长为5米和20米【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式的运用，一元二次方程的运用．（1）根据矩形的周长公式建立等量关系，然后将y 表示出来就可以了．（2）根据矩形的面积公式建立方程()302100x x -=，再解答这个方程求出符合题意的x 的值，根据第（1）问的结论即可得出y 的值．【详解】（1）解：由题意得：230x y +=，∴302y x =-；（2）解：100xy = ，(302)100x x ∴-=，即215500x x -+=，∴15=x ，210x =，y x > 即302x x ->，10x ∴<，5x ∴=，30220x -=，答：矩形两边长为5米和20米．【变式6-2】（2023上·黑龙江鸡西·九年级统考阶段练习）社区利用一块矩形空地ABCD 建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知52m AD =，28m AB =，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x 米的道路．已知铺花砖的面积为2640m ．(1)求道路的宽是多少米？(1)该实验田的长AB 为多少米（用含x 的式子表示）？(2)若实验田的面积为72平方米（栅栏的占地面积忽略不计），则该实验田的宽是多少米？【答案】(1)实验田的长AB 为()303x -米(2)当围成的实验田面积为72平方米时，该实验田的宽为6米【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式．（1）根据各边之间的关系，可得出长AB 为()303x -米；（2）根据围成的实验田的面积为72平方米，可得出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】（1）解：∵栅栏的总长为28米，实验田的前端各设计了两个宽1米的小门，且实验田的宽BC 为x 米，∴长AB 为()2823303x x +-=-米，答：实验田的长AB 为()303x -米；（2）解：根据题意得：()30372x x -=，解得：124,6x x ==．当4x =时，30330341816x -=-⨯=>，不符合题意，舍去；当6x =时，30330361216x -=-⨯=<，符合题意．答：当围成的实验田面积为72平方米时，该实验田的宽为6米．考点七：用一元二次方程解决工程问题例7.（2023·重庆开州·校联考一模）某工程队采用A ，B 两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A 型设备每小时铺设路面比B 型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务．(1)求A 型设备每小时铺设的路面长度；(2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B 型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了()25m +小时，同时，A 型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m 米，而使用时间增加了m 小时，求m 的值．【答案】(1)A 型设备每小时铺设的路面长度为90米(2)m 的值为10【分析】（1）设B 型设备每小时铺设路面x 米，则A 型设备每小时铺设路面()230x +米，根据题意列出方程求解即可；（2）根据“A 型设备铺设的路面长度B +型设备铺设的路面长度3600750=+”列出方程，求解即可．【详解】（1）解：设B 型设备每小时铺设路面x 米，则A 型设备每小时铺设路面()230x +米，根据题意得，()30302303600x x ++=，解得：30x =，则23090x +=，答：A 型设备每小时铺设的路面长度为90米；（2）根据题意得，()()()303025903303600750m m m +++-+=+，整理得，2100m m -=，解得：110m =，20m =（舍去），∴m 的值为10．【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程．【变式7-1】（2023上·重庆合川·九年级统考期末）2022年暑期，我区遭遇连续高温和干旱，一居民小区的部分绿化树枯死．小区物业管理公司决定补种绿化树，计划购买小叶榕和香樟共50棵进行栽种．其中小叶榕每棵680元，香樟每棵1000元，经测算，购买两种树共需38800元．(1)原计划购买小叶榕、香樟各多少棵？(2)实际购买时，经物业管理公司与商家协商，每棵小叶榕和香樟的售价均下降10m 元（10)m ≤），且两种树的售价每降低10元，物业管理公司将在原计划的基础上多购买小叶榕2棵，香樟1棵．物业管理公司实际购买的费用比原计划多3600元，求物业管理公司实际购买两种树共多少棵？【答案】(1)原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵(2)物业管理公司实际购买两种树共56棵【分析】（1）设原计划购买小叶榕x 棵，则购买香樟50x -棵，根据题意列出方程()68010005038800x x +-=即可得出答案．（2）根据给出的条件先列出小叶榕与香樟的单价表达式分别为(68010)m -元每棵，(100010)m -元每棵，再列出实际购买棵树的表达式，得到(68010)(352)(100010)(15)m m m m -⨯++-⨯+42400=方程式求出满足条件m 的值，即可得出答案．【详解】（1）设原计划购买小叶榕x 棵，则购买香樟50x -棵，根据题意，可得()68010005038800x x +-=，解得，35x =．答：原计划购买小叶榕35棵、香樟15棵．（2）根据题意，可得(68010)(352)(100010)(15)m m m m -⨯++-⨯+42400=，整理得，230186036000m m -+=，解得：12m =，260m =，∵≤10m ，∴2m =，∴购买了39棵小叶榕，17棵香樟，考点八：用一元二次方程解决行程问题例甲、乙两点分别从直径的两端点(1)甲运动4s后的路程是多少？(2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？【答案】(1)14cm(2)它们运动了10秒(1)求v 与t 之间的函数关系式；(2)已知汽车在该运动状态下，下的平均速度v =122v v +，1v 表示这段时间起始时刻的速度，车后t 秒内向前滑行了378米，求【答案】(1)460v t =-+一、单选题1．（2024·云南昭通·二模）两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x ，则可列方程为（）A ．(2)783x x +=B ．(21)(21)783x x +-=C ．(1)783x x +=D ．(2)783x x -=【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程若设较小的奇数为x ，则与它相邻奇数且比它大的为2x +，根据这两个数的积是783即可列出方程．【详解】解：若设较小的奇数为x ，则与它相邻奇数且比它大的为2x +，根据题意有：()2783x x +=，故选：A ．2．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）《2024年春节联欢晚会》节目统计，截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量4.2亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x ，则可列出关于x 的方程为（）A ．()24.21142x +=B ．()221 4.2x +=C ．4(2122).x +=D ．()24.212x -=【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x ，根据题意列出一元二次方程，即可求解．【详解】解：设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x ，根据题意得，()221 4.2x +=．故选：B ．3．（2024·浙江温州·三模）某品牌店销售一款进价为每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可销售200件．值此父亲节来临之际，该店实行降价促销．经调查发现，这款男士短袖的售价每下降1元，其销售数量就增加20件．当每件男士短袖降价多少元时，该店销售这款男士短袖的利润为8000元？设每件男士短袖降价x 元，可列出方程为（）A ．()()80200208000x x --=B ．()()80200208000x x -+=C ．()()8050200208000x x ---=D ．()()8050200208000x x --+=世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形ABCD 是黄金矩形．()AB BC <，点P 是边AD 上一点，则满足PB PC ⊥的点P 的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0设AB a =，BC b =，假设存在点P ，且在Rt ABP 中，2222BP AB AP a =+=在Rt PDC 中，222(PC PD CD b =+= PB PC ⊥，∴222BC BP PC =+，即222b a x =+整理得220x bx a +=-，22244b ac b a ∆=-=-，又AB a BC b=∴2222(444b ac b a b ∆=-=-=-⨯ 2550-<，20b >，∴2224(255)0b a b ∆=-=-<，∴方程无解，即点P 不存在．故选：D ．二、填空题5．（2024八年级下·浙江·专题练习）某数学竞赛组，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，共照相片45张，则该组的人数是．【答案】10【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．设该组的人数是x 人，则每个人需要照共照相片45张”列出一元二次方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设该组的人数是x 人，则每个人需要照故答案为：10．6．（23-24八年级下·山东烟台·期中）将一些棋子按如图所示的规律摆放，若在某个图中棋子的个数恰好为160个，则这个图的序号是．【答案】12【分析】此题主要考查了图形的规律以及解一元二次方程，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．根据前4个图形中棋子的个数找出一般规律，然后利用规律求解即可．【详解】解：∵第1个图形中棋子的个数为6412=+⨯；第2个图形中棋子的个数为10423=+⨯；第3个图形中棋子的个数为16434=+⨯；第4个图形中棋子的个数为24445=+⨯；…∴第n 个图形中棋子的个数为()41n n ++．∴()41160n n ++=，解得112n =，213n =-（舍去），故答案为：12．7．（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是小正方形（图1）．在此图形中连结四条线段得到图2，记阴影部分的面积为1S ，空白部分的面积为2S ，大正方形的边长为m ，小正方形的边长为n ，若12S S =，则m n 的值为．图1图2依题意得，212S =∵12S S =，12S S +=∴21212S S m ==，∴22122a m =，解得，12a m =或a ∵21142S a n n =创+∴2212mn n m +=，即解得，3m n n =+∴31m n=+，故答案为：31+．8．（23-24九年级下称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a 、b ，斜边长为c ，若2b a -=，10c =，则每个直角三角形的面积为．【答案】24【分析】本题考查了勾股定理，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．根据勾股定理以及2b a -=可列一元二次方程，求解即可．【详解】解：由勾股定理得222+=a b c ，而2b a -=三、解答题9．（23-24八年级下·浙江金华·期中）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．(1)若每件衬衫降价5元，则商场平均每天可售出衬衫______件，每天获得的利润为______元．(2)若商场每天要获得利润1200元，请计算出每件衬衫应降价多少元？(3)商场每天要获得利润有可能达到1400元吗？若能，请求出此时每件衬衫的利润；若不能，请说明理由．【答案】(1)30，1050(2)每件衬衫应降价20元(3)无法达到，理由见解析【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键．（1）根据题意得到每天的销售量，然后由销售量×每件盈利进行解答．（2）设每件衬衫应降价x 元，利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可．（3）同样列出方程，若方程有实数根则可以，否则不可以．【详解】（1）根据题意可得：商场平均每天可售出衬衫202530+⨯=（件），每天获得的利润为()405301050-⨯=（元）．故答案为：30，1050；（2）设每件衬衫应降价x 元，根据题意，得()()402021200x x -+=，解得110x =，220x =，∵要尽快减少库存，∴20x =，答：每件衬衫应降价20元；（3）设每件衬衫应降价x 元()()402021400x x -+=，化简得2303000x x -+=，()22430413003000b ac -=--⨯⨯=-<，∴方程无实根，∴1400元的利润无法达到10．（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售1500个，6月份销售2160个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)按照这个增长率，预计7月份该品牌头盔销售量是多少？【答案】(1)20%(2)2592【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，根据题意列出一元二次方程求解即可；（2）根据题意列式计算即可．【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，依题意，得：()2150012160x +=，解得：10.220%x ==，2 2.2x =-（不合题意，舍去）．∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%；（2）()2160120%2592⨯+=（个）．∴预计7月份该品牌头盔销售量是2592个．11．（22-23八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务．(1)求甲工程队每小时修的路面长度；(2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了(25m +)小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了3m 米，而修路时间比原计划增加m 小时，求m 的值．【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米(2)m 的值为18【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x 米，则甲工程队每小时铺设路面()230x +米，根据题意列出方程求解即可；（2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可．。
人教版-数学-九年级下册-第二十六章 二次函数全章总结提升
第26章二次函数全章总结提升◆本章总结归纳（一）知识框架（二）重点难点突破1．函数图象的理解与应用易错点：函数图象的意义认识不表，它的性质、特征与函数图象联系不上，不能达到数形互助；突破点：加强对函数图象中点的坐标的意义认识，分析各点的坐标，理解y随x的变化情况，从而达到能直接根据图象说出二次函数的有关性质。
（如：增减性、极值、对称轴等）理解,,a b c的值对抛物线2y ax bx c=++的影响，提高解题效率2.抛物线2y ax bx c=++的特征与,,a b c符号：,,a b c决定开口方向0,0,aa>⎧⎨<⎩开口向上;开口向下.,,a b c与b决定对称轴位置,,a ba b⎧⎨⎩同号,在轴左侧;异号,在轴右侧.c决定抛物线与y轴交点的位置0,0,0,ccc>⎧⎪=⎨⎪<⎩交点在y轴的正半轴上;交点在原点;交点在y轴的负半轴上.易错点：以上关系不清楚，导致做题盲目，出错。
突破点：数形结合，变式训练，特别是,,a b c 与b 一走决定对称轴位置的理解与判定。
3．解析式之间的转化与解析式的求法。
易错点：①将2y ax bx c =++化成顶点式224()24b ac b y a x a a -=++ ②用待定系数法求解时，不能根据不同条件恰当地选取解析式。
突破点：①强调配方的步骤、配方的规律，注意恒等变形与检验。
②比较不同形式的解析式的优劣，应用的环境，加强对顶点式、交点式的理解，并能正确运用。
4．抛物线的平移规律，表达式的变化。
易错点：抛物线的移动，对解析式变化理解不透，不同方向的移动，到底是加还是减判断不清。
突破点：抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律，左加右减，上加下减。
5．抛物线与x 轴交点情况。
易错点：此类题综合性较大，对应关系不很明确，隐含条件较多，极易出错。
突破点：抛物线与x 轴交点横坐标就是相应一元二次方程的两根，把交点的个数转化为方程。
根的个数，把交点位置转化为方程根的正负，多加练习，方可过关。
第22章 二次函数 核心素养整合与提升-2022-2023学年九年级全一册初三数学(人教版)
第22章二次函数核心素养整合与提升-2022-2023学年九年级全一册初三数学(人教版)一、知识点概述本章主要学习二次函数的相关内容，包括二次函数的定义、性质、图像与图像的性质、二次函数的应用等。
二、核心素养整合在学习二次函数的过程中，我们将综合运用多个核心素养，包括数学思维能力、空间想象能力、模型构建能力等。
通过学习和应用二次函数的知识，我们可以提升这些核心素养，培养我们的数学思维能力和创新意识。
1. 数学思维能力在学习二次函数的过程中，我们需要通过分析问题、建立数学模型、运用数学知识等方式来解决实际问题。
这要求我们具备良好的数学思维能力，包括观察力、分析能力、抽象思维能力等。
通过学习二次函数的相关知识，我们可以提升这些数学思维能力，更好地应用数学知识解决实际问题。
2. 空间想象能力二次函数的图像是一个抛物线，对于抛物线的形状和位置，我们需要具备较好的空间想象能力。
通过观察和研究二次函数的图像，我们可以培养和提升空间想象能力，更好地理解和应用二次函数。
3. 模型构建能力二次函数可以用来描述很多实际问题，比如物体的运动轨迹、经济问题中的成本与利润等。
在应用二次函数解决问题时，我们需要将问题抽象为数学模型，并进行求解。
这要求我们具备良好的模型构建能力，能够将实际问题转化为数学问题，并运用数学方法解决。
通过学习和应用二次函数的知识，我们可以提升这一核心素养，培养问题解决能力和创新意识。
三、核心素养提升实例实例：抛物线的运动轨迹某物体从地面上垂直向上抛出，其高度与时间的关系可以用二次函数描述。
假设物体在抛出后 t 秒的高度为 h 米，则有关系式 h = -5t² + 10t + 1。
现在我们来分析这个关系式的含义，并利用它回答以下问题：1.物体的初速度是多少？物体的初速度可以通过关系式 h = -5t² + 10t + 1 推导得出。
假设物体在t = 0 时的高度为 h0 米，则有 h0 = -5 × 0² + 10 × 0 + 1，解得 h0 = 1。
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23初三暑期·第3讲·提高班·学生版卖花进行中漫画释义满分晋级3函数13级 二次函数的基本解析式与图象变换函数14级 二次函数 实际应用 函数15级 二次函数 图象综合应用暑期班 第二讲暑期班 第三讲秋季班第三讲二次函数实际应用中考内容中考要求A B C二次函数了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的解析式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综合的有关问题二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。
这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。
年份2010年2011年2012年题号24 7，8，23 8，23分值8分11分11分考点确定抛物线的解析式，二次函数与等腰直角三角形综合抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围中考考点分析中考内容与要求知识互联网24 初三暑期·第3讲·提高班·学生版25初三暑期·第3讲·提高班·学生版实际应用问题主要考查涨降价、面积等问题，讲解时要明确等量关系．【例1】 如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，则求DE 长的最小值．EDBC A【例2】 某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。
如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。
设每件商品的售 价上涨x 元（x 为整数），每个月的销售利润为y 元， (1) 求y 与x 的函数关系式，并直接写出x 的取值范围；(2) 每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？能力提升夯实基础模块一 实际应用问题知识导航26初三暑期·第3讲·提高班·学生版【例3】 某种产品的年产量不超过1 000 t ，该产品的年产量与费用之间的函数图象是顶点在原点的抛物线的一部分（如图甲）；该产品的年销量与销售单价之间的函数图象是线段（如 图乙），若生产的产品都能在当年销售完，问该产品年产量为多少吨时，所获得的毛利 润最大．（毛利润=销售额-费用）xy 1图甲费用(万元)年产量(t )10001000Oxy 220图乙销售单价(万元/t )年销售量(t )301000O建系解决实际问题主要考查足球、篮球、羽毛球等运动轨迹，拱桥、桥洞等形状类似于抛物线的实际问题，解题时，要合理建系，充分利用图象上的点坐标解题．【例4】 如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球夯实基础知识导航模块二 建系解决实际问题27初三暑期·第3讲·提高班·学生版看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x (m )满足关系式()h x a y +-=26.已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离 为18m 。
(1) 当62.h =时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围） (2) 当62.h =时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3) 若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围。
18962OxyA 边界球网【例5】 图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？l4228初三暑期·第3讲·提高班·学生版【例6】 如图，小明在一次高尔夫球训练中，从山坡下P 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气 阻力，当球达到最大高度BD 为12米时，球移动的水平距离 PD 为9米 ．已知山坡P A与水平方向PC 的夹角为30o ， AC ⊥PC 于点C ， P 、A 两点相距83米．请你建立适当的 平面直角坐标系解决下列问题. （1）求水平距离PC 的长； （2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从P 点直接打入球洞A ．为迎接第四届世界太阳能大会，德州市把主要路段的路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80%销售．现购买太阳能路灯x 个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为1y 元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为2y 元.分别求出1y 、2y 与x 之间的函数关系式..思维拓展训练(选讲)能力提升AB29初三暑期·第3讲·提高班·学生版学案1. 如图，八一广场要设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为200m 、120m ，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为3m x 、2m x ．⑴ 用代数式表示三条通道的总面积S ；当通道总面积为花坛总面积的11125时，求横、纵通道的宽度分别是多少？ ⑵ 如果花坛绿化造价为每平方米3元，通道总造价为3168x 元，那么横、纵通道的宽度分别为多少米时，花坛总造价最低？并求出最 低造价．（以下数据可供参考：2857225=，2867396=，2877569=）学案2. 凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再 提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去． ⑴ 设每间包房收费提高x （元），则每间包房的收入为1y （元），但会减少2y 间包房租出， 请分别写出1y 、2y 与x 之间的函数关系式．⑵ 为了投资少而利润大，每间包房提高x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出y 与x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最 大包房费收入，并说明理由． 学案3. 如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上） 运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自 己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球第一次落地C 点后又一次弹起．据OD CMB A 124yx实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,并且最大高度减少到原来最大高度的一半．⑴求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的解析式．⑵运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米?（取437，265≈）30 初三暑期·第3讲·提高班·学生版31初三暑期·第3讲·提高班·学生版知识模块一 实际应用问题 课后演练【演练1】 飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）与滑行的时间t （单位：s ）的函数关系式是260 1.5s t t =-．飞机着陆后滑行多远才能停下来？【演练2】 某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润y 甲（万元）与进货量x （吨）近似满足函数关系0.3y x =甲；乙种水果的销售利润y 乙（万元）与进货量x （吨）近似满足函数关系2y ax bx =+乙（其 中0a ≠，a b ，为常数），且进货量x 为1吨时，销售利润y 乙为1.4万元；进货量x 为2 吨时，销售利润y 乙为2.6万元．⑴ 求y 乙（万元）与x （吨）之间的函数关系式．⑵ 如果市场准备进甲、乙两种水果共10吨，设乙种水果的进货量为t 吨，请你写出这两种水果所获得的销售利润之和W （万元）与t （吨）之间的函数关系式．并 求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？【演练3】 某宾馆有客房90间，当每间客房的定价为每天140元时，客房会全部住满．当每间客房每天的定价每涨10元时，就会有5间客房空闲．如果旅客居住客房，宾馆需对每间 客房每天支出60元的各种费用．⑴请写出该宾馆每天的利润y （元）与每间客房涨价x （元）之间的函数关系式； ⑵设某天的利润为8000元，8000元的利润是否为该天的最大利润？如果是，请说明 理由；如果不是，请求出最大利润，并指出此时客房定价应为多少元？ 知识模块二 建系解决实际问题 课后演练实战演练0.5米1米2米2.5米【演练4】如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米．【演练5】如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽10mAB ，如果水位上升2m，就将达到警戒线CD，这时水面的宽为8m．若洪水到来时，水位以每小时0.1m的速度上升，经过多少小时会达到拱顶?C DA B32 初三暑期·第3讲·提高班·学生版第十七种品格：成就朝着目标努力，成功会到手一个叫泰莉的空中小姐，很喜欢环游世界。
另一个空中小姐宝玲也一样，但她还希望有自己的事业，最好与旅游有关。
宝玲每到一个地方，就不停地记下她经历到的一切，尤其是当地的旅馆及餐厅状况，并不时把自己的经验提供给乘客。
终于，她被调到旅游行程安排的部门，因为她就像一本活页百科全书，掌握的旅游知识非常丰富。
她在那个部门如鱼得水，更掌握了世界各大城市的旅游动态。
几年之后，她已拥有了一家自己的旅行社。
而泰莉呢？她还是一个空中小姐，尽管还是努力工作，但显然并没有什么升迁机会，唯一能改变现状的，大概只有结婚。
事实上，泰莉和宝玲一样卖力工作，但泰莉没有目标，只是随兴地到世界各地玩，不把旅游行看作发展潜力的活动。
没有特定目标的人，往往终生在原地打转。
如果你知道自己的目标，并且能完全投入，所有的机会都会蜂拥而来。