八年级_奥数_专题_超级资料 2
初二奥数经典2
初二奥数经典讲解第一讲 因式分解的基本方法(二)例五: 分解因式:24222)1()1(2)1(y x y x y -++-+ 解:以y 为主元降幂排列，则[][][])1)(1)(1)(1()1()1()1()1()1()1()1(2)1()1()1()1)(1(2)1()12()1(2)12(2222222222222244224---+-+-+=+----+-=-++---=-+-+--=+-+--+-=x y xy x y xy x x x y x x y x x x y x y x x x y x x y x x x y x y x x 原式例六：将12345678++++++++x x x x x x x x 因式分解 解法一：分组分解)1)(1()1()1()1()1()()(362223262345678++++=++++++++=++++++++=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 原式解法二：先化为分式 (求和) ，再还原成整式利用公式))()((122321为正整数n b ab b a b a a b a b a n n n n n n n -----++⋅⋅⋅+++-=-，)1)(1(12456789+++++++-=-x x x x x x x x x ,得)1)(1(1)1)(1(11)(113623633339++++=-++-=--=--=x x x x x x x x x x x x 原式 例七： 设 n 为正整数，分解因式：n n n x x x x x -++⋅⋅⋅+++--2212)1(分析 显然应将括号去掉，但直接利用多项式的乘法展开，则计算很繁，因此，要使用乘法公式 1121)1)(1(+--=++⋅⋅⋅+++-n n n x x x x x x)1)(1()11)(11()1()1)(1()1(1)1(221)1()1()11()11()1(:12122222222221221222121212+-++++++++++-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++=----=---=---+=--+-+-=-----=---=-++⋅⋅⋅+++n n n n n n n n n n n n n n n n nn nn n x x x x x x xx x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x 解例八:分解因式：)2)(2()1(2xy y x y x xy -+-++- 分析 如果一个代数式在研究的问题中多次出现，则可将这个代数式用一个字母表示，其有关式子得到简化，相互关系更为明了，对于本题，代数式 xy y x ,+ 都在多项式中出现两次，便可将它们分别用字母 B A ， 表示解：令 ，则，xy y x =B +=A222222222)1()1()1()1()1(2)1(422)1()2)(2()1(--=--+=-+=++-+=+--+-=--+-=y x y x xy A B A B A B BAB A A B B A A B 原式更正：在第一讲中，一个公式：))()((122321为正整数n b ab b a b a a b a b a n n n n n n n -------⋅⋅⋅----=- 更正为：))()((122321为正整数n b ab b a b a a b a b a n n n n n n n -----++⋅⋅⋅+++-=-1/x(x+1)+1/(x+1)(x+2)+1/(x+2)(x+3)+……+1/(x+99)(x+100)=[1/x-1/(x+1)]+[1/(x+1)-1/(x+2)]+[1/(x+2)-1/(x+3)]+…… +[1/(x+99)-1/(x+100)]=1/x-1/(x+100) =100/x(x+100)。
八年级奥数2
目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。
注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在与中考中难以上题，奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。
本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。
另外在本次培训中，内容的编排大多大于80分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和选择内容。
由于《相似三角形》与其他知识的衔接较多，因此本讲义补充了初三的《相似三角形》，可根据实际情况进行必要的讲解。
注：有(*) 标注的为选做内容。
本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲分式的运算第二讲分式的化简求值第三讲分式方程及其应用第四讲二次根式的运算第五讲二次根式的化简求值第六讲相似三角形（基础篇）第七讲相似三角形（提高篇）第八讲平行四边形（基础篇）第九讲平行四边形（提高篇）第十讲梯形、中位线及其应用第十一讲结业考试（未装订在内，另发）第十二讲试卷讲评第一讲：分式的运算【知识梳理】一、分式的意义 形如BA （B A 、为整式），其中B 中含有字母的式子叫分式。
当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。
二、分式的性质（1）分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=（其中M 是不为零的整式）。
（2）分式的符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
（3）倒数的性质：1、()()011011>=⋅≠=⋅a aa a a a ，； 2、若11=⋅a a ，则11=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n n a a （0≠a ，n 是整数）； 3、()021>≥+a aa 。
三、分式的运算分式的运算法则有：bdbc ad d c b a c b a c b c a ±=±±=±，； n nn ba b a bc ad d c b a bd ac d c b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛=÷=⋅，，（n 是正整数）。
初二奥数专题
八年级奥数专题第一讲：勾股定理及应用第二讲：实数的性质第三讲：二次根式（1）第四讲：二次根式（2）第五讲：一次函数的图像和性质第六讲：待定系数法------李第七讲：一次函数的应用-第八讲：二元一次方程组和不定方程第九讲：三元一次方程组与不定方程组第十讲：二元一次方程组的应用第十一讲：等腰三角形与等边三角形-------张琼方第十二讲：线段的垂直平分线第十三讲：角平分线第十四讲：一元一次不等式与一元一次不等式组第十五讲：一元一次不等式与一元一次不等式组的应用（1）第十六讲：一元一次不等式与一元一次不等式组的应用（2）------方案设计------罗第十七讲：因式分解（1）第十八讲：因式分解（2）第十九讲：因式分解（3）第二十讲：因式分解（4）第二十一讲：因式分解（5）-----刘第二十二讲：分式第二十三讲：分式的运算第二十四讲：含字母系数的方程和分式方程第二十五讲：分式方程的应用第二十六讲：平行四边形性质与判定---杨洁第二十七讲：矩形第二十八讲：菱形第二十九讲：正方形第三十讲：三角形的中位线第三十一讲：梯形第三十二讲：梯形的中位线------张皓第一讲勾股定理及应用1、勾股定理及逆定理：△ABC中∠C＝Rt∠ a2＋b2=c22、勾股定理及逆定理的应用①作已知线段a的2，3，5……倍②计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题③证明线段的平方关系等。
3勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2，那么这三个正整数a,b,c 叫做一组勾股数. 4勾股数的推算公式a) 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn,m 2+n 2是一组勾股数。
b) 如果k 是大于1的奇数，那么k, 212-k ,212+k 是一组勾股数。
c) 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K ,122+⎪⎭⎫ ⎝⎛K 是一组勾股数。
奥数八年级详解完美
三角形全等－6
例8）在直角梯形ABCD中， ∠ABC=90°,AD∥BC, AB=BC,E 是AB的中点，CE⊥BD （1）求证 BE=AD; (2) 求证：MA＝ MD （3）DB=DC
证明 （1） 因为 ∠ABC=90°，所以∠ABC=90 ° 又CE ⊥ BD ∴ ∠BEC+ ∠EBC=90 ° ∠BEC+ ∠BCE=90 ° ∴ ∠EBD= ∠BCE 在△ABD与 △BCE中， AB=BC; ∠BAD= ∠ABC=90 ° ∠ABD= ∠BCE 所以△ABD ≌ △BCE（ASA） ∴BE=AD (2) 因为 AB=BE ∠ABC=90 ° 所以∠ BAC =∠BCA=45 ° ∠CAD= ∠ACB=45 °(内错角相等) ； 又因为 △EAD是等腰直角梯形， 所以∠ADE=45°= ∠CAD 所以AM=MD(等角对等边)
三角形全等－5
例6）已知△ABC中，∠ A=2∠B ; CD是 ∠ACB平分线， 求证：BC=AC+AD
解：在BC上取点E，使得 CE=AC, 因为CD是 ∠ACB平分线，所以有 ∠ACB= ∠DCE∴△ACD ≌ △CDE即DE=AD, ∠DEC= ∠A 又因为∠DEC= ∠ B+∠BDE=2 ∠B.所以有∠B= ∠BDE 即BE=ED(等角对 等边) 所以BC=EC+BE=AC+AD 求证成立。 方法二：将CA延长至E,使EA=AD 也可以。
解：因为∠ EBC=∠DCF=45° BC=DC BE=FC 所以 △BCE≌△DCF (SAS) ∴ ∠BEC= ∠DFC. 又因为 ∠ OEC=180°- ∠BEC =180 ° -∠DFC= ∠OFD ∴ ∠ OEC=∠OFD
三角形全等－3
例3）已知AD是三角形ABC的中线， BE交AC于点E，交AD于点F,且AE=EF,求 证：AC=BF.
经典的八年级奥数训练题【3篇】
经典的八年级奥数训练题【3篇】经典的八年级奥数训练题（1）1.从家里骑摩托车到火车站赶乘火车。
如果每小时行30千米，那么早到15分钟；如果每小时行20千米，则迟到5分钟。
如果打算提前5分钟到，那么摩托车的速度应是多少？2.有甲、乙两块含铜量不同的合金，甲块重6千克，乙块重4千克。
现在从甲、乙两块合金上各切下重量相等的一部分。
将甲块上切下的部分与乙块的剩余部分一起熔炼，再将乙块上切下的部分与甲块剩余部分一起熔炼，得到的两块新合金的含铜量相等。
问从每一块上切下的部分的重量是多少千克？3.某商品按每个5元利润卖出11个的价钱，与按每个11元的利润卖出10个的价钱一样多。
这个商品的成本是多少元？4.张先生向商店订购某种商品80件，每件定价100元。
张先生向商店经理说：如果你肯减价，每减价1元，我就多订购4件。
商品店经理算了一下，如果减价5%，因为张先生多订购，仍可获得与原来一样多的利润。
问这种商品的成本是多少元？5.打一份书稿，甲独打需30天，乙单独打需20天。
甲、乙合打若干天后，甲停工休息，乙继续打了5天完成。
甲打了多少天?经典的八年级奥数训练题（2）1、一件工作，甲先独做3天，然后与乙合做5天，这样才完成全工程的一半。
已知甲、乙工作效率的比是3：4。
如果由乙单独做，需要多少天才能完成?2、修一条路，甲队单独修20天能够修完，乙队单独修25天能够修完。
现在两队合修，中途甲队休息3天，乙队休息若干天，这样一共用了15天才修完。
乙队休息了几天?3、搬运一个汽车的货物，甲需12天，乙需15天，丙需20天。
有同样的装货汽车M和N，甲搬运M汽车的货物，乙同时搬运N汽车的货物。
丙开始协助甲搬运，中途又去协助乙去搬运，最后同时搬完两个汽车的货物。
丙协助甲搬运了几小时?4、一项工作，如果单独做，小张需10天完工，小李需12天完工，小王需15天完工。
现在三人合作，中途小张先休息了1天，小李再休息3天，而小王一直工作到完工为止。
初二奥数题大全(二)
初二奥数题大全（二）
1、某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。
2、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。
3、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，请用p表示d。
4、某人沿一条河顺流游泳l米，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳速度为xm/s,水流速度为nm/s,求他来回一趟所需的时间t。
（1）小芳在一条水流速度是0.01m/s的河中游泳，她在静水中游泳的速度是0.39m/s,而出发点与河边一艘固定小艇间的距离是60m,求她从出发点到小艇来回一趟所需的时间。
（2）志勇是小芳的邻居，也喜欢在该河中游泳，他记得有一次出发点与柳树间来回一趟大约用了2.5min，假设当时水流的速度是0.015m/s，而志勇在静水中的游泳速度是0.585m/s，那么出发点与柳树间的距离大约是多少？
5、某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元。
精选基础的初二奥数题三篇
精选基础的初二奥数题三篇精选基础的初二奥数题篇一(1)某机械厂8名工人4小时生产768个机器零件.照这样计算,48名工人8小时生产零件多少个?(2)某车间3名工人生产5天完成7500个零件,7个工人要完成3500个同样零件需几天完成?(3)8台织布机9小时织布1224米,照这样计算,15台织布机1小时织布多少米?(4)红旗水泥场实行全面技术革新和设备改进后,2/3小时就能够生产水泥18吨.照这样计算,生产405吨水泥只要多少小时?(5)用6台织布机每天织布1800米,增加4台同样的织布机后,每天能够织布多少米?精选基础的初二奥数题篇二1.机床厂去年四个季度分别完成全年任务的1/6、1/5、4/15、7/10，去年超额完成全年计划的几分之几?2.一个商品盒是棱长为6厘米的正方体，在这个盒的四周贴上商标，贴商标的面积是多少平方厘米?3.小明用10.2元买文具，买了6支铅笔，每支0.45元，余下的钱买圆珠笔，每支2.5元，能够买多少支?4.一段长方体钢材，长1.6米，横截面是边长4厘米的正方形。
每立方厘米刚重7.8克，这块方钢重多少?5.塑料厂计划生产1300件塑料模件，6天生产了780件。
照这样计算，剩下的还要生产多少天才能完成?6.现用70立方分米的木料生产一批桌子，每张桌子由一张桌面和四条桌腿组成，已知做一张桌面需6立方分米木料，做一条桌腿需2立方分米的木料。
问：要用多少木料来生产桌面刚好配套？7.甲乙两人在400米环形跑道上练习长跑，同时从同一点出发，然后甲的速度为6米/秒，乙的速度为4米/秒。
问当甲超过乙一圈时，乙跑了多少秒？甲跑了多少圈？精选基础的初二奥数题篇三1.一个圆的周长和直径相加的合适20.7米，这个圆的面积是多少平方米？2.小明寒假共放了45天，其中三分之一的时间在乡下姥姥家，九分之二的时间外出旅游，剩余的时间休息，学习，请你提出几个问题，并请你提出三个问题，并列式解答。
3.寒假开始，红领巾志愿者参加社区劳动。
初二数学奥数知识点总结归纳
初二数学奥数知识点总结归纳数学奥数一直以来都是学生们竞相追求的目标，其中包括了很多重要的数学知识点。
在初二的学习过程中，我们已经接触了很多数学奥数知识点，下面将对这些知识点进行总结和归纳。
一、整数与分数在初二的数学奥数学习中，我们首先学习了整数和分数的概念。
整数包括正整数、负整数和零，我们学习了整数的加减乘除运算规则以及整数之间的关系。
而分数则是用于表示一个数被分成若干等份的一种表示方法，我们学习了分数的加减乘除运算法则以及分数的化简和比较大小等知识点。
二、代数与方程代数是数学奥数中的重要部分，我们学习了代数表达式、代数式的加减乘除法则以及代数式的因式分解等内容。
在初二的数学学习中，我们也开始接触到了方程的概念，学习了一元一次方程的解的求解方法以及方程的应用问题。
三、几何在初二的数学奥数学习中，几何也是一个非常重要的知识点。
我们学习了线段的性质、角的概念和性质、三角形的基本概念和性质以及三角形的相似性质等内容。
此外，我们还学习了平行线的性质和平面图形的周长和面积计算等知识点。
四、数列与函数数列和函数也是初二数学奥数中的重要内容。
我们学习了等差数列和等比数列的概念以及数列的通项公式、求和公式等内容。
而函数则是数学奥数中更高级的概念，我们学习了函数的定义、函数的性质、函数的图像以及函数的应用问题等知识点。
五、统计与概率统计与概率也是初二数学奥数的重要内容。
我们学习了统计中的频数、频率和概率的概念，学习了用统计图表进行数据表示和分析的方法。
同时，我们还学习了概率的基本概念和概率的计算方法，了解了事件之间的关系和概率实验的应用等知识点。
综上所述，初二数学奥数知识点的总结归纳包括了整数与分数、代数与方程、几何、数列与函数以及统计与概率等内容。
通过学习这些知识点，我们可以更好地理解数学的基本概念和运算规则，提升数学解题的能力和思维能力。
希望同学们在接下来的学习中能够继续努力，不断提高自己的数学水平，为未来的奥数竞赛做好准备。
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目录本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。
注重中考与竞赛的有机结合，重点落实在中考中难以上题、奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。
本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。
另外在本次培训中，内容的编排大多大于120分钟的容量，因此在实际教学过程中可以根据学生的具体状况和层次，由任课教师适当的调整顺序和选择内容（如专题复习可以提前上）。
注：有(*) 标注的为选做内容。
本次培训具体计划如下，以供参考：第一讲如何做几何证明题第二讲平行四边形（一）第三讲平行四边形（二）第四讲梯形第五讲中位线及其应用第六讲一元二次方程的解法第七讲一元二次方程的判别式第八讲一元二次方程的根与系数的关系第九讲一元二次方程的应用第十讲专题复习一：因式分解、二次根式、分式第十一讲专题复习二：代数式的恒等变形第十二讲专题复习三：相似三角形第十三讲结业考试（未装订在内，另发）第十四讲试卷讲评第一讲：如何做几何证明题【知识梳理】1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。
几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2、掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。
【例题精讲】【专题一】证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。
证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
【例1】已知：如图所示，∆A B C 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。
求证：DE ＝DFFEDCBA【巩固】如图所示，已知∆A B C 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。
求证：EC ＝ED【例2】已知：如图所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。
求证：∠E ＝∠F【专题二】证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。
证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。
证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。
【例3】如图所示，设BP 、CQ 是∆A B C 的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。
求证：KH ∥BCACEDFBABDCEABQP HCK【例4】已知：如图所示，AB ＝AC ，∠，，A A E B F B D D C =︒==90。
求证：FD ⊥ED【专题三】证明线段和的问题（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。
（截长法） 【例5】如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是AB 上一个动点，若∠B ＝60°，AB ＝BC ， 且∠DEC ＝60°； 求证：BC ＝AD ＋AE【巩固】已知：如图，在∆A B C 中，∠=︒B 60，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。
求证：AC ＝AE ＋CDABCDEF E DCBAAOE BDC（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。
（补短法）【例6】 已知：如图7所示，正方形ABCD 中，F 在DC 上，E 在BC 上，∠=︒E A F 45。
求证：EF ＝BE ＋DF【专题四】证明几何不等式：【例7】已知：如图所示，在∆A B C 中，AD 平分∠BAC ，AB AC >。
求证：B DD C>【拓展】∆A B C 中，∠=︒⊥B A C A D B C 90，于D ，求证：()A D AB AC B C <++14FED CBAAC BDBCDA第二讲：平行四边形（一）【知识梳理】1、平行四边形：平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：（1）平行四边形对角相等；（2）平行四边形对边相等；（3）平行四边形对角线互相平分。
除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：（1）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2、特殊平行四边形：一、矩形（1）有一角是直角的平行四边形是矩形（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等。
（4）矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（5）矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形二、菱形（1）把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.（2）定理1:菱形的四条边都相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.（4）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2（5）菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形（6）菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
三、正方形（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）性质：①四个角都是直角，四条边相等②对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角（3）判定：①一组邻边相等的矩形是正方形②有一个角是直角的菱形是正方形【例题精讲】【例1】填空题：【巩固】1、下列说法中错误．．的是（ ） A .四个角相等的四边形是矩形 B .四条边相等的四边形是正方形 C .对角线相等的菱形是正方形 D .对角线互相垂直的矩形是正方形2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是 ( ) A .矩形 B .菱形 C .正方形 D .菱形、矩形或正方形3、下面结论中，正确的是（ ）A .对角线相等的四边形是矩形B .对角线互相平分的四边形是平行四边形C .对角线互相垂直的四边形是菱形D .对角线互相垂直且相等的四边形是正方形4、如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四种说法：①四边形AEDF 是平行四边形；②如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形； ③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形；④如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形. 其中，正确的有 .（只填写序号）【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，BC 的中点. 求证：四边形BFDE 是平行四边形.Ａ ＦＣＤＥ【巩固】已知，如图9，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF ＝CE ，DF ＝BE ，DF ∥BE ． 四边形ABCD 是平行四边形吗？请说明理由．【例3】如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于点E ．求证：四边形AECD 是菱形．【例4】如图，在等边△ABC 中，点D 是BC 边的中点，以AD 为边作等边△ADE ． （1）求∠CAE 的度数；（2）取AB 边的中点F ，连结CF 、CE ，试证明四边形AFCE 是矩形．【巩固】如图，O 为矩形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ． （1）试判断四边形OCED 的形状，并说明理由；AEDCFBF ED CBAABC DE（2）若AB ＝6，BC ＝8，求四边形OCED 的面积．【例5】如图所示，在△ABC 中，分别以AB 、AC 、BC 为边在BC 的同侧作等边△ABD 、等边△ACE 、等边△BCF .（1）求证：四边形DAEF 是平行四边形；（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明） ①当△ABC 满足_________________________条件时，四边形DAEF 是矩形； ②当△ABC 满足_________________________条件时，四边形DAEF 是菱形；③当△ABC 满足_________________________条件时，以D 、A 、E 、F 为顶点的四边形不存在.第三讲：平行四边形（二）C B ADFEDCBAOE【知识梳理】由平行四边形的结构知，平行四边形可以分解为一些全等的三角形，并且包含着平行线的有关性质，因此，平行四边形是全等三角形知识和平行线性质的有机结合，平行四边形包括矩形、菱形、正方形。
另一方面，平行四边形有许多很好的性质，使得构造平行四边形成为解几何题的有力工具。
【例题精讲】【例1】四边形四条边的长分别为q p n m 、、、，且满足pq mn q p n m 222222+=+++，则这个四边形是（ ）A .平行四边形B .对角线互相垂直的四边形C .平行四边形或对角线互相垂直的四边形D .对角线相等的四边形【例2】如图①，四边形ABCD 是正方形， 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F .(1) 求证：DE －BF ＝ EF ．(2) 当点G 为BC 边中点时， 试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明理由．(3) 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．【巩固】如图1，在边长为5的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的点，且AE EF ⊥，2BE =.（1）求EC ∶CF 的值；（2）延长EF 交正方形外角平分线CP P 于点（如图13－2），试判断AE EP 与的大小关系，并说明理由；（3）在图2的AB 边上是否存在一点M ，使得四边形DMEP 是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【例3】如图，在矩形ABCD 中，已知AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，求PE ＋PF 的值。