奥数电梯问题

电梯问题在日常生活中，我们去商场的时候，一般都会有电梯乘坐，近年来，在行测数算中常出现关于电梯的问题，在小学奥数中，电梯问题也作为一个专题来讨论研究，我们在复习中应当努力探究其奥秘。

有人说电梯问题就是“牛吃草”的变形，也有人说就是船在顺水逆水中的问题，其实在我看来应该与一般行程中的相遇与追及问题类似，只是比一般的行程问题理解起来有点难而已。

大体上可以分2类：1.人沿着扶梯运动的方向行走，当然也可以不动，不管动与不动，此时扶梯都是帮助人在行走，共同走过了扶梯的总级数：（V人+V梯）*时间=扶梯级数2.人与扶梯运动方向相反，此时人必须要走，而且速度要大于电梯的速度才能走到电梯的另一端。

这种情况人走过的级数大于电梯的总级数，电梯帮倒忙，抵消掉一部分人走的级数，（V人—V梯）*时间=扶梯总级数解决此类问题，既可以列方程，也可以通过比例法来求解，我个人觉得比例法比较好，建议大家优先选择比例法，当然在一些复杂的题目中，也许列方程较比例法简单。

下面我们通过一些例题来一起讨论此类题目的解法。

例1．自动扶梯以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯向上走，男孩的速度是女孩的2倍，已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部，问扶梯露在外面的部分有多少级分析：男女与电梯均同向，属于相遇类问题，设女孩速度为X，电梯速度为V，那么男孩速度为2X，根据电梯级数不变得：27+27/（2X）*V=18+18V/X解得V=2X，即V电梯=V男孩所以电梯级数=27+27=54 或18*2+18=54另外一种方法：找出时间比，联立级数的等式男女速度比=2：1男女路程比=27：18=3：2 那么时间比=：2设梯速度=V那么有27+=18+2V解得V=18故S=27+*18=54还可以利用合速度比等于时间的反比（因为都共同走过了电梯级数，而此级数是恒定的）男女速度比=2：1男女路程比=3：2时间比=：2=3：4和速度比等于时间的反比=4：3（2+2）：(1+2)=4:3所以电梯速度为2份，与男孩速度一致，S=27*2=54例2. 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着,已知男孩的速度是女孩的两倍，结果男孩用了24秒到达楼下，女孩用了16秒到达楼上．问：男孩乘电梯上楼需要用多少时间(男孩不动)解析：1.男女速度比=2：1设电梯速度为V（2-V）*24=(1+V)*16解得V=4/5那么S=6*24/5所求时间T=(6*24/5)/(4/5)=36秒3.男女时间比=24：16=3：2合速度比=2：3（2-V电）：（1+V电）=2：3解得V电=S=16*（1+）所求时间T=16*=36秒例3. 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上．问：该扶梯共有多少级解析：就不列方程了，直接用比例法了，时间比=5：6合速度比=6：5男女速度比=20：15=4：3（4+2）：（3+2）=6：5V电梯=2份，4份为20，2份就为10，V电=10电梯级数=（20+10）*5=150或（15+10）*6=150例4. 两个孩子逆着自动扶梯的方向行走。

20 秒内男孩走27 级，女孩走了24 级，按此速度男孩2 分钟到达另一端，而女孩需要3 分钟才能到达。

则该扶梯静止时共有多少级解析：先转化速度：V男=27*3=81级/分V女=24*3=72级/分时间比=2：3合速度比=3：2速度比=81：72设电梯速度V(81-V)：（72-V）=3：2解得V=54所以电梯级数=（81-54）*2=54级例5. 商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。

如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级解析：男女速度比=2：1 男女路程比=80：40=2：1那么男女所用时间比=1：1合速度比=1：1设电梯速度V有（40+V）*1=（80-V）*1解得V=20所以扶梯级数=40+20=60级以上问题均比较简单，我觉得很好理解的。

下面我们来看一道比较麻烦点的电梯题目：例6.甲在商场中乘自动扶梯从一层到二层，并在顺扶梯运行方向向上走，同时乙站在速度相等的并排扶梯从二层到一层（乙不动，由电梯运载），当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他走了60级到达一层，如果他到了顶端再从上行扶梯返回，则要往下走80级。

那么，自动扶梯禁止时露在外面的有多少级分析.这个题目既不知道时间，也比知道速度，看来我们只有通过例方程了，根据两个已知的数据60与80联立方程，设电梯速度=V，甲速度=V1，电梯级数=S，那么由题意可知乙速度=电梯速度=V 由于甲乙同时出发，两梯速度一致，当他们处于同一高度时候，所用的时间也一样此时的高度H=（V+V1）*S/(V+V+V1)此时甲开始转身往下走，走下底端用时为T，T=(V+V1)*S/(V+V+V1)/(V1-V)所以60= (1)80=V1*S/(V1-V) (2)由1/2 得(V+V1)/(V+V+V1)=3/4得到V1=2V带入2可得80=2S所以电梯级数=40级到这里我们可以看到，其实电梯类题目是比较简单的，所谓万变不离其中，只要抓住了路程，速度与时间三者的关系，此类题目均可一网打尽，优选比例法解答，实在不行再用方程法。

【例】（国2005一类-47）商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒钟向上走3个梯级。

结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。

则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级（）A. 80级B. 100级C. 120级级［答案］B［解析］设电梯每秒钟上升x级，电梯共有N级，根据顺水行船问题：N=40*(x+2)得到N=100N=50*(x+【例】（国2005二类-47）商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。

如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍。

则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级（）级级级级［答案］C［解析］因为男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，所以男孩走80级的时间和女孩走40级的时间相等，由此可知他们两个乘电梯的时间相同，则电梯运行距离也相等，所以有：男孩：电梯实际长度＝80-电梯运行距离女孩：电梯实际长度＝40+电梯运行距离得：电梯实际长度＝60例4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。

已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。

问：该扶梯共有多少级分析：与例3比较，“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题。

上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。

男孩5分钟走了20×5＝100（级），女孩6分钟走了15×6＝90（级），女孩比男孩少走了100－90＝10（级），多用了6－5＝1（分），说明电梯1分钟走10级。

由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。

解：自动扶梯每分钟走（20×5－15×6）÷（6—5）＝10（级），自动扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。

答：扶梯共有150级。

商场电梯问题商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒钟向上走3个梯级。

结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。

则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有（）。

A．80级B．100级C．120级D．140级关于电梯问题实际上也是一种行程问题，而不是我们所理解的“牛吃草”问题：但跟行程问题却又很大的不同！下面就来说说其不同之处！我们先分析2种模型：（1）：人的方向跟电梯方向同向当人在扶梯的底端开始往上走，而扶梯也是自动往上走（人的速度＋扶梯的速度）×时间＝扶梯级数，这就好比行程问题里面的相遇问题。

（2）：人的方向跟电梯方向反向，人本来是向上走的，但是扶梯的速度是向下的。

（人的速度－扶梯的速度）×时间＝扶梯级数。

这就好比行程问题里面的追击问题。

我们再来分析例题：首先确定是同向。

确定为相遇问题对于男生：（2＋V电梯）×40对于女生：（＋V电梯）×50建立等式关系：（2＋V电梯）×40＝（＋V电梯）×50解得V电梯＝则电梯级数＝×40＝100或者2×50＝100解法二：其实只要知道电梯的长度是固定的就行了设电梯的速度为x，则(2+x)*40=(3/2+x)*50 x= 再带回算出电梯的长度为100级男孩女孩解法三：速度合成男孩速度=2，女孩=3/2=s/(x+2)=40 (1) s/(x+=50 (2)(2)/(1) 得(x+2)/(x+=x+2=+ x=s=+2)*40=100奥数中电梯问题的解题方法电梯问题其实是复杂行程问题中的一类。

有两点需要注意，一是“总行程＝电梯可见部分级数±电梯运行级数”，二是在同一个人上下往返的情况下，符合流水行程的速度关系，（注意，其总行程仍然是电梯可见部分级数±电梯运行级数）例如：商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。

如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级分析：因为男孩的速度是女孩的2倍，所以男孩走80级到达楼下与女孩走40级到达楼上所用时间相同，在这段时间中，自动扶梯向上运行了（80-40）÷2＝20（级）所以扶梯可见部分有80-20＝60（级）。