江苏中考数学 §4.1 基本图形、相交线与平行线

A组 2015—2019年江苏中考题组
考点1 线段与角
1.(2019常州,12,2分)如果∠α=35°,那么∠α的余角等于
°.
答案 55 解析 90°-35°=55°.
2.(2016南通,12,3分)已知:如图,直线AB与CD相交于点O,OE⊥AB,∠COE=60°,则∠BOD等于
度.
答案 30
2
6.(2018北京,9,2分)如图所示的网格是正方形网格,∠BAC ∠DAE.(填“>”“=”或“<”)
答案 >
解析 如图.设网格小正方形的边长为1,可得AC=BC=2, MN=AN= 5 ,AM= 10 ,∵∠ACB=90°,∴∠BAC=45°,∵AM2=AN2+MN2,∴∠MNA=90°,∴∠MAD=45°.显然,∠ DAE<∠MAD,∴∠BAC>∠DAE.
3.(2016北京,1,3分)如图所示,用量角器度量∠AOB,可以读出∠AOB的度数为 ( )
A.45° B.55° C.125° D.135° 答案 B 由题图可知,∠AOB=55°.
4.(2018云南昆明,3,3分)如图,过直线AB上一点O作射线OC,∠BOC=29°18',则∠AOC的度数为
.
答案 140°
解析 如图,延长AE交l2于点B,
∵l1∥l2, ∴∠3=∠1=40°, ∵∠α=∠β, ∴AB∥CD, ∴∠2+∠3=180°, ∴∠2=180°-∠3=180°-40°=140°.
考点3 角平分线和线段的垂直平分线
1.(2018南通,9,3分)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,按下列步骤作图:
7.(2015苏州,24,8分)如图,在△ABC中,AB=AC.分别以B、C为圆心,BC长为半径在BC下方画弧,设两弧交于
点D,与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD、BD、CD.
(1)求证:AD平分∠BAC;
︵
︵
(2)若BC=6,∠BAC=50°,求 DE 、 DF 的长度之和(结果保留π).
4.(2017宿迁,7,3分)如图,直线a,b被直线c,d所截,若∠1=80°,∠2=100°,∠3=85°,则∠4的度数是 ( )
A.80° C.95°
B.85° D.100°
答案 B ∵∠1=80°,∠2=100°, ∴∠1+∠2=180°,∴a∥b. ∵∠3=85°, ∴∠4=∠3=85°.故选B. 解题关键 本题考查的是平行线的判定与性质,熟知平行线的判定定理是解答此题的关键.
6.(2019南京,11,2分)结合下图,用符号语言表达定理“同旁内角互补,两直线平行”的推理形式:∵ ,∴a∥b.
答案 ∠1+∠3=180° 解析 ∵∠1+∠3=180°, ∴a∥b(同旁内角互补,两直线平行).
7.(2017淮安,18,3分)如图,直线a∥b,∠BAC的顶点A在直线a上,且∠BAC=100°.若∠1=34°,则∠2=
∴∠DBE=∠DCF=55°,
∵BC=6,∴BD=CD=6.
︵
∴ DE
︵
的长度= DF
的长度= 55
6
= 11
.
180
6
︵
∴ DE
︵
、 DF
的长度之和为 11
+ 11
= 11
.
663
解题关键 本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、弧长的计算,角平分线的判
定.熟练掌握全等三角形和等边三角形的判定与性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.
cm.
答案 5
解析 由作图知,D、E分别是AB、AC的中点, ∴DE是△ABC的中位线,
∴DE= 1 BC=5 cm.
2
解题关键 此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质,正确得出DE是△ABC的中位线是解题 关键.
4.(2018淮安,15,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分别以点A、B为圆心,大于 1 AB的长为半径 2
2.(2019南京,15,2分)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分∠ACB.若AD=2,BD=3,则AC
的长为
.
答案 10
解析 作AE⊥BC于E,如图所示,
∵CD平分∠ACB,
∴ AC = AD = 2 ,
BC BD 3
设AC=2x(x>0), 则BC=3x, ∵直线MN是BC的垂直平分线,
.
答案 150°42'(或150.7°) 解析 ∠AOC=180°-∠BOC=180°-29°18'=150°42'(150°42'=150.7°).
5.(2017江西,8,3分)图1是一把园林剪刀,把它抽象为图2,其中OA=OB,若剪刀张开的角为30°,则∠A= 度.
答案 75
解析 由对顶角相等可得∠AOB=30°,∵OA=OB,∴∠A= 180 30 =75°.
.
答案 46°
解析 ∵a∥b, ∴∠1+∠BAC+∠2=180°, ∵∠1=34°,∠BAC=100°, ∴∠2=46°.
8.(2017苏州,12,3分)如图,点D在∠AOB的平分线OC上,点E在OA上,ED∥OB,∠1=25°,则∠AED的度数为 °.
答案 50 解析 ∵OC平分∠AOB,∠1=25°, ∴∠AOB=2∠1=50°, ∵DE∥OB, ∴∠AED=∠AOB=50°.
B.平行于同一条直线的两条直线平行 D.两点确定一条直线
答案 A 由题意可知,曲桥增加的长度是相对于两点之间直接连线而言的,因为两点之间线段最短,所以 曲桥增加了桥的长度.故选A.
2.(2019河北,3,3分)如图,从点C观测点D的仰角是 ( )
A.∠DAB B.∠DCE C.∠DCA D.∠ADC 答案 B 点C观测点D的仰角是视线与过点C的水平线的夹角,故选B.
步骤1:分别以点C和点D为圆心,大于 1 CD的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;
2
步骤2:作直线MN,分别交AC,BC于点E,F; 步骤3:连接DE,DF. 若AC=4,BC=2,则线段DE的长为 ( )
A. 5 B. 3 C. 2
3
2
D. 4
3
答案 D 由作图可知,四边形ECFD是正方形,
画弧,两弧交点分别为点P、Q,过P、Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是
.
答案 8 5
解析 连接AD.
∵PQ垂直平分线段AB,
∴DA=DB,设DA=DB=x,
在Rt△ACD中,∠C=90°,AD2=AC2+CD2,
∴x2=32+(5-x)2,解得x=1 7 ,∴CD=BC-DB=5- 17 = 8 .
5
55
思路分析 连接AD,由PQ垂直平分线段AB,推出DA=DB,设DA=DB=x,在Rt△ACD中,∠C=90°,根据AD2=AC2
+CD2构建方程即可解决问题. 解题关键 本题考查基本作图,线段的垂直平分线的性质,勾股定理等知识,解题的关键是添加辅助线AD,
构造直角三角形解决问题.
5.(2019泰州,20,8分)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=8. (1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线;(保留作图痕迹,不要求写作法) (2)若(1)中所作的垂直平分线交BC于点D,求BD的长.
B组 2015—2019年全国中考题组 考点1 线段与角
1.(2019吉林,6,2分)曲桥是我国古代经典建筑之一,它的修建增加了游人在桥上行走的路程,有利于游人更 好地观赏风光.如图,A,B两地间修建曲桥与修建直的桥相比,增加了桥的长度,其中蕴含的数学道理是 ( )
A.两点之间,线段最短 C.垂线段最短
,
解得x= 10 , 2
∴AC=2x= 10 .
解后反思 本题考查了线段垂直平分线的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识,运用勾股定 理列出方程是解决问题的关键.
3.(2018南京,14,2分)如图,在△ABC中,用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线,分别交AB、AC于点E=
∴MN⊥BC,BN=CN= 3 x,
2
∴MN∥AE,
∴ EN = AD = 2 ,
BN BD 3
∴NE=x,
∴BE=BN+EN= 5 x,CE=CN-EN= 1 x,
2
2
由勾股定理得AE2=AB2-BE2=AC2-CE2,
即52-

5 2
x
2
=(2x)2-

1 2
x
2
9.(2016连云港,12,3分)如图,直线AB∥CD,BC平分∠ABD.若∠1=54°,则∠2=
°.
答案 72
解析 如图.
∵CD∥AB, ∴∠CBA=∠1=54°. ∵BC平分∠ABD, ∴∠ABD=2∠CBA=108°. ∵CD∥AB, ∴∠2=∠DBE=180°-108°=72°.
10.(2015泰州,10,3分)如图,直线l1∥l2,∠α=∠β,∠1=40°,则∠2=
∴DE=DF=CE=CF,∠DEC=∠DFC=90°,
∵S△ACB=S△ADC+S△CDB,
∴ 1 AC·BC= 1 AC·DE+ 1 BC·DF,∴DE=4 2 =4 .故选D.
2
2
2
63
解题关键 本题考查线段的垂直平分线的性质、正方形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是学
会利用面积法构建方程解决问题.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系,并说明理由; (2)求证:过点A、F的直线垂直平分线段BC.
解析 (1)∠ABE=∠ACD.理由如下: 在△ABE和△ACD中,