2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第26讲 平面向量的概念及线性运算
【解析】由题意知， a＝－p＋4q＝－(－1,2)＋4(1，－2)＝(5，－10)， 又 a＝－10m－5n＝10(2，－2)－5(t，s)＝(20－5t，－20－ 5s)， 所以(20－5t，－20－5s)＝(5，－10)，
20－5t＝5 t＝3 即 ，解得 . －20－5s＝－10 s＝－2
1.向量的有关概念 既有①大作0，规 定零向量的方向是任意的. ④ 长度为1 的向量叫做单位向量. 方向⑤ 相同或相反 的⑥ 非零 向量叫做平 行向量(或共线向量). ⑦ 长度相等 且⑧ 方向相同 的向量叫做相等 向量. ⑨ 长度相等 且⑩方向相反 的向量叫做相反向 量.
【解析】(1)若其中一个是零向量，则其方向不确定， 故不正确． (2)若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB 綊 CD，所 → → → → 以AB＝DC；若四边形 ABCD 中，AB＝DC，则 AB 綊 CD， 所以四边形 ABCD 是平行四边形，判断正确． (3)由实数与向量的积，可知正确．
→ → → → → → 【解析】DE＝AE－AD＝AB＋BE－AD 1 1 ＝a＋ b－b＝a－ b. 2 2 → → → → → → BF＝AF－AB＝AD＋DF－AB 1 1 ＝b＋ a－a＝b－ a. 2 2 易知 G 为△BCD 的重心， → ＝2×1CA＝1(－AB－AD)＝－1a－1b. 则CG 3 2 → 3 → → 3 3
则 AB = 24 (x2-x1,y2-y1) .
(3)若a=(x,y)则λa=
25
(λx,λy) .
8.平行与垂直的充要条件
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要 条件是 26 x1y2-x2y1=0.
(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b的充要 条件是 27 x1x2+y1y2=0. 9.向量的夹角 两个非零向量a和b,作 28 ∠AOB=θ(0°≤θ≤180°) 则 ___________________________ 叫做向量a与b的夹角,记作 29 〈a,b〉=θ . 如果夹角是 30 90° ,我们说a与b垂直,记 作 31 a⊥b .
=a， OA
OB =b，
11
1.下列结论中，正确的是(
)
A．若 a、b 都是单位向量，则 a＝b B．相等向量的模也相等 C．直角坐标平面上的 x 轴、y 轴都是向量 D．时间、路程都是向量
【解析】单位向量未必方向相同，所以 a＝b 不一定成 立，即 A 不正确；直角坐标平面上的 x 轴、y 轴的大小没有 确定，不是向量，即 C 不正确；时间、路程没有方向，都不 是向量，即 D 不正确；相等向量的模也相等，即 B 正确．故 选 B.
6.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i、j作为基底， 18 对任一向量a， 有且只有一对实数 x、y,使得 a=xi+yj,则实数对 19 (x,y)叫做向量a的直角坐标,
记作a=(x,y)，其中x、y分别叫做a在x轴、y 轴上的坐标，a=(x,y)叫做向量a的坐标表示. 相等的向量坐标 20 相同 ，坐标相同的 向量是 21 相等 的向量. 7.平面向量的坐标运算 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a±b= 22 (x1±x2,y1±y2) . (2)如果23 A(x1,y1),B(x2,y2) ,
3.若 a＝(2,3)，b＝(4，－1＋y)，且 a∥b，则 y 等于( A．5 B．6
)
C．7
D．8
【解析】 因为 a∥b，所以 2(－1＋y)－3×4＝0，解得 y＝7.
4.已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)．若 a －2b＋3c＝0，则 c 的坐标为( 8 A．(1，3) 13 4 C．( 3 ，3) )
→ AB → 【点评】(1) 表示与AB同方向的单位向量．(2)向量的基本 → |AB| 概念、几何意义常在客观题中出现，要求学生概念清晰，并 能灵活运用．
素材1
如图所示，▱ABCD 中，E、F 分别是 BC、DC 的中点， → → G 为 DE 与 BF 的交点．若AB＝a，AD＝b，试以 a，b 为基底 → → → 表示DE、BF、CG.
1.了解向量的实际背景，理解平面 向量的概念，理解两个向量相等的含义， 理解向量的几何表示.
2.掌握向量加法、减法的运算，并 理解其几何意义，掌握向量数乘的运算， 理解两个向量共线的含义，了解向量线 性运算的性质及其几何意义.
3.了解平面向量的基本定理及其意义， 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会 用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运 算.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
→ → AB AC → → (4) 与 分别表示AB与AC方向的单位向量，设它们 → → |AB| |AC| → → 分别为AB′与AC′， 设以它们为两条邻边的平行四边形是一 → → 个菱形 AB′P′C′，→ ′平分∠BAC，→ ＝λ(AB′＋AC′) AP AP → → → → 与AP′的方向相同， 也平分∠BAC.由OP＝OA＋AP知 P 的轨 迹为∠BAC 的平分线，一定通过△ABC 的内心，故正确． → → → (5)因为OA＋OB＋OC＝0，
【解析】 b 与 a＋c 共线，证明如下： 因为 a＋b 与 c 共线，所以存在唯一实数 λ， 使得 a＋b＝λc，① 又因为 b＋c 与 a 共线，所以存在唯一实数 μ， 使 b＋c＝μa，② ①－②，得 a－c＝λc－μa，即(1＋μ)a＋(－1－λ)c＝0. 因为 a 与 c 不共线，由平面向量基本定理，得
二
平面向量的坐标表示
【例 2】若 α，β 是一组基底，向量 γ＝xα＋yβ(x，
y∈R)，则称(x，y)为向量 γ 在基底 α，β 下的坐标，a 在基底 p＝(－1,2)，q＝(1，－2)下的坐标为(－1,4)，a 在另一组基底 m＝(－2,2)，n＝(t，s)下的坐标为(－10， －5)，则 t，s 的值分别为( A．－3，－2 C．3,2 ) B．－3,2 D．3，－2
2.向量的表示方法 用小写字母表示，用有向线段表示， 用坐标表示. 3.向量的运算
加法、减法运算法则：平行四边形法 则、三角形法则.
实数与向量的积：实数λ与向量a的积 是一个向量，记作λa，它的长度和方向规 定如下：
(1)|λa|=
11
|λ||a| ;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向 12 相同 当λ<0时，λa的方向与a的方向 13 相反 14 0 λ=0时，λa= .
→ → → → → → 所以OA＝－(OB＋OC)，即OB＋OC是与OA方向相反且 长度相等的向量． 如图所示，以 OB、OC 为相邻的两边作平行四边形 BOCD， → → → → → 则OD＝OB＋OC，所以OD＝－OA， → 在平行四边形 BOCD 中， BC 与 OD 相交于 E， ＝EC， 设 BE → → → 则OE＝ED. → → 所以 AE 是△ABC 的边 BC 的中线，且|OA|＝2|OE|. 所以 O 是△ABC 的重心，故正确．
2.若四边形 ABCD 为正方形， 是 CD 的中点， → ＝a，→ E 且AB AD → ＝b，则BE等于( 1 A．b＋2a 1 C．a＋2b ) 1 B．b－2a 1 D．a－2b
→ → → 【解析】因为BE＝AE－AB → → → ＝AD＋DE－AB → ＋1AB－AB ＝AD 2 → → 1 ＝b－2a， 故选 B.
→ → 【解析】由已知得，存在实数 λ，使得BC＝λBA， 1 1 即 t(a＋b)－2b＝λ(a－2b)， 1 1 所以(t－λ)a－(2－2λ－t)b＝0. 因为 a、b 是两个不共线的向量，
t－λ＝0 所以1 1 2－2λ－t＝0
1 ，解得 t＝3.
备选例题
已知向量 a、b 不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b， 如果 c∥d，那么( ) B．k＝1 且 c 与 d 反向
故选 D.
【点评】向量的坐标表示，实际上是向量的代数表示，它可以 使向量运算代数化，从而把数与形结合起来，很多几何问题就 可以转化为代数运算来解决．利用向量的坐标运算解题，主要 是根据“相等向量的坐标相同”这一原则，通过方程(组)进行 求解．由于向量 a 在不同的基底下的坐标不相同，因此解答时 要注意向量 a 的坐标与基底的对应关系．
A．k＝1 且 c 与 d 同向
C．k＝－1 且 c 与 d 同向 D．k＝－1 且 c 与 d 反向
【解析】取 a＝(1,0)，b＝(0,1)． 若 k＝1，则 c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)， 显然，a 与 b 不平行，排除 A、B. 若 k＝－1， c＝－a＋b＝(－1,1)， 则 d＝a－b＝－(－1,1)， 即 c∥d 且 c 与 d 反向，排除 C，故选 D.
13 8 B．( 3 ，3) 13 4 D．(－ 3 ，－3)
【解析】由 a－2b＋3c＝0，得 3c＝2b－a， 所以(3x,3y)＝2×(－4，－3)－(5，－2)，
x＝－13 3x＝－13 3 所以 ⇒ 4 3y＝－4 y＝－3
.故选 D.
5.如右图，向量 a－b 等于( A．－2e1－4e2 B．－4e1－2e2 C．e1－3e2 D．－e1＋3e2
(4)O 是平面内一定点，A、B、C 是平面内不共线的三个 → → AB AC → → 点，动点 P 满足OP＝OA＋λ( ＋ )，λ∈[0，＋∞)，则点 → → |AB| |AC| P 的轨迹一定通过△ABC 的内心； (5)已知 A、B、C 是不共线的三点，O 是△ABC 内的一点， → → → 若OA＋OB＋OC＝0，则 O 是△ABC 的重心．
1＋μ＝0 ，解得 μ＝λ＝－1， －1－λ＝0
所以 a＋b＝－c，即 a＋c＝－b，故 b 与 a＋c 共线．
【点评】解决共线条件下的向量问题，根据共线定理，通过设 元建立方程，再利用平面向量的基本定理，比较系数，得到新 的方程组，从而可使问题得到解决．
高考理科数学一轮总复习课标课件第章平面向量
05
结合律：(λa)·b = λ(a·b) = a·(λb)，其中λ为实数
06
零向量与任何向量的数量积为0。
模长计算公式及应用举例
模长计算公式：对于向量 a，其模长|a|定义为 √(a·a)。
计算向量的长度。
应用举例
判断两个向量是否垂直： 若a·b = 0，则向量a和b 垂直。
夹角公式及其在几何中应用
XX
PART 05
高考真题回顾与模拟题训 练
REPORTING
历年高考真题回顾及解析
（2019年全国卷I）题目
已知向量 a，b 满足 |a| = 1，|b| = 2，且 (a + b) ⊥ a，则 a 与 b 的夹角为 _______．
（2020年全国卷II）题目
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)．若 →AP = →AB + λ→AC (λ ∈ R)，则
在计算中应用
计算一个向量在另一个向 量上的投影长度。
利用投影和数量积解决几 何问题，如计算点到直线 的距离、判断点是否在三 角形内部等。
利用投影长度计算两个向 量的数量积。
XX
PART 03
平面向量在几何中应用举 例
REPORTING
利用平面向量证明几何定理
向量共线定理
若两向量共线，则它们的分量成比例 。此定理可用于证明直线上的点共线 、三点共线等问题。
01
根据自己的实际情况，制定切实可行的学习计划，明确每天的
学习任务和时间安排。
查漏补缺
02
对照教材和考试大纲，梳理自己的知识漏洞和薄弱环节，有针
对性地进行强化训练。
多做模拟题
03
2013届高考数学(文)一轮复习课件4.4平面向量应用举例(广东专版)
【思路点拨】 要证 AD⊥CE，只需证A→D·C→E＝0. 【尝试解答】 A→D·C→E＝(A→C＋12C→B)·(C→A＋23A→B) ＝－|A→C|2＋12C→B·C→A＋23A→B·A→C＋13A→B·C→B
图4－4－1
＝－|A→C|2＋12|C→B||C→A|cos 90°＋2 3 2|A→C|2cos 45°＋ 32|A→C|2cos 45° ＝－|A→C|2＋|A→C|2＝0， ∴A→D⊥C→E，即 AD⊥CE.,
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－3＋8k42k2，x1x2＝43k＋2－4k122.
................................8 分
∴y1y2＝k2(x1x2＋x1＋x2＋1)＝－3＋9k42k2.
∴O→A·O→B＝x1x2＋y1y2＝－54kk22＋＋132
平方后化简得 cos β(cos β－1)＝0.
解得 cos β＝0 或 cos β＝1，
经检验 cos β＝0 或 cos β＝1 满足题设要求．
故 cos β 的值是 1 或 0.
已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝(－cos x，cos x)，c＝(－1,0)． (1)若 x＝π6，求向量 a，c 的夹角； (2)当 x∈[π2，98π]时，求函数 f(x)＝2a·b＋1 的最大值．
2.向量在物理中的应用 (1)向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用． (2)向量在速度的分解与合成中的应用． (3)向量的数量积在合力做功问题中的应用：W＝f·s. 3．向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通 过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．
高考数学专题复习《平面向量的概念及线性运算》PPT课件
向量
模等于 1
的向量
a
向量为±|a|
名称
相等的
向量
定 义
备 注
大小 相等 、方向 相同
的向量
两个向 如果两个 非零 向量的方向 相同或相反 ,则
量平行 称这两个向量平行.两个向量平行也称为两个向
两向量只有相等或不相
等,不能比较大小
规定零向量与任一向量
平行(共线)
(共线)
量共线
相反
给定一个向量,把与这个向量方向 相反 、大 零向量的相反向量仍是
.
,而且λa的方向如下:
,
(ⅱ)当λ=0或a=0时,λa= 0
.
实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.
(2)数乘向量的定义说明
如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a.
(3)数乘向量的几何意义
数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.特别地,
一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积,即-a=(-1)a.
D.
3.(多选)(2020山东郓城第一中学高三模拟)若点G是△ABC的重心,BC边的
中点为D,则下列结论正确的是(
A.G 是△ABC 的三条中线的交点
B. + + =0
C. =2
D. =
)
答案 ABC
解析 对于 A,△ABC 三条中线的交点就是重心,故 A 正确;对于 B,根据平行四
(4)数乘向量的运算律
设λ,μ为实数,则λ(μa)=(λμ)a;
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a).
5.向量的运算律
一般地,对于实数λ与μ,以及向量a,有
(1)λ(μa)= (λμ)a ;(2)λa+μa= (λ+μ)a
2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件第1讲集合的概念及运算
【解析】 由 x2－3x＋2＝0，得 x1＝1，x2＝2， 即 A＝{1,2}． 由 x2－(a＋3)x＋3a＝0，得(x－3)(x－a)＝0， 则 x1＝3，x2＝a，从而 3∈B，a∈B.
(1)若 A∪B＝{1,2,3}，则 B⊆{1,2,3}． 又 3∈B，则 a＝1 或 a＝2 或 a＝3. (2)A∩(∁UB)＝A，得 A⊆∁UB， 所以 A∩B＝∅， 则 3∉A 且 a∉A，故 a≠1 且 a≠2. 故 a 的取值范围为{a∈R|a≠1 且 a≠2}．
【解析】 (1)由 M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}， 可知 a1∈M，a2∈M，且 a3∉M. 又 M⊆{a1，a2，a3，a4}，从而 M＝{a1，a2} 或 M＝{a1，a2，a4}，共 2 个．
(2)由 x2＋x－6＝0 得 x＝2 或 x＝－3，所以 M＝{2，－3}． N∩M＝N⇔N⊆M. (ⅰ)当 a＝0 时，N＝∅，此时 N⊆M； (ⅱ)当 a≠0 时，N＝{1a}． 由 N⊆M 得1a＝2 或1a＝－3， 即 a＝12或 a＝－13. 故所求实数 a 的值为 0 或12或－13.
【点评】(1)读懂集合语言，化简集合，才能找到解 题的突破口．
(2)解决集合问题，常用韦恩图或数轴直观地表示． (3)理解补集的意义：∁UA 指在全集 U 中但不在集合 A 中的元素组成的集合．
素材1
设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－(a ＋3)x＋3a＝0}．
(1)若A∪B＝{1,2,3}，求实数a的值；
且S1 U S2＝I，则下面论断正确的是
A．ðI S1 I S2＝
B．S1 ðI S2
C．痧I S1 I I S2
2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第27讲平面向量的数量积
1.下列命题中真命题的个数是( )
①|a·b|＝|a||b|；
②|a·b|＝0⇔a＝0 或 b＝0；
③|λa|＝|λ||a|；
④λa＝0⇔λ＝0 或 a＝0.
A．1
B．2
C．3
D．4
【解析】①②错，③④对．
2.已知A→B＝(12，21)，A→C＝(－2，y)，若A→B⊥A→C，则 y 的值为
()
A．－21
B．－2
1 C.2
D．2
【解析】由A→B·A→C＝0，得－1＋12y＝0， 所以 y＝2.
3.已知向量|a|＝10，|b|＝8，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则
向量 a 在 b 方向上的投影为( )
A．4
B．－4
C．5
D．5
【 解 析 】 向 量 a 在 b 方 向 上 的 投 影 为 |a|cosθ ＝ 10×cos120°＝－5.
(1)(a＋2b)(2a－b)； (2)|a－b|.
【解析】 由已知|a|＝1，|b|＝1， a·b＝|a||b|·cos60°＝21. (1)(a＋2b)(2a－b)＝2a2＋3a·b－2b2 ＝2×12＋3×21－2×12＝32. (2)|a－b|＝ a－b2 ＝ a2＋b2－2a·b ＝ 1＋1－2×12 ＝1.
(2)当O→X＝(4,2)，即 y(1，－1)，
所以|X→A|＝ 34，|X→B|＝ 2，
所以
cos∠AXB＝|X→X→AA|··X|→X→BB|＝－4
17 17 .
三 平面向量数量积的综合应用
【例 3】已知向量 a，b 是两个非零向量，夹角为 α， 当 a＋tb(t∈R)的模取最小值，
1e a ⑦_a__×__e___ ⑧___|_a_|___(e是与a同方 向的单 2位 a向 2 量⑨_)； __a _2____；
2013届高考一轮数学文湖南版复习方案课件第26讲平面向量的应用
第26讲 │ 问题思考
►
问题 6 某人先位移向量 a： “向东走 3 km”， 接着再位 )
移向量 b： “向北走 3 km”， 则 a＋b 表示向东南走 3 2 km.(
第26讲 │ 问题思考
[答案]错 [解析] a＋b 表示向东北走了 3 2 km.
第26讲 │ 要点探究 要点探究
► 探究点1
第26讲 │ 问题思考 问题思考
► 问题 1 物理学中的功是一个标量，是力 F 与位移 s 的 )
数量积，即 W＝F· s＝|F||s|cosθ(θ 为 F s 的夹角)．(
[答案]对
第26讲 │ 问题思考
►
→ ＝a，AC → ＝b， 问题 2 已知△ ABC 中，BC 边最长，AB )
且 a· b>0，则△ ABC 的形状为钝角三角形．(
第26讲 │ 要点探究
6 3 2 → → → 同理，B D · AC＝y|A C | ＝ × 1× cos45° ＝ ， 2 2 3 故可得 y＝ . 2
第26讲 │ 要点探究
→ ，AC → 分别为 x 轴和 y 轴， 方法二：以 A 为坐标原点，AB 建立平面直角坐标系， 6 → 设|A B |＝1，则 BC＝ 2，BD＝DE· sin60° ＝ . 2 又 BD 的倾斜角是 45° ，所以 D 点的横坐标是 x＝ 1＋ 3 BD· cos45° ＝ 1＋ ， 2 3 D 点的纵坐标是 y＝BD· sin45° ＝ . 2
第26讲 │ 问题思考
[答案]错 [解析] ∵a· b＝
a
|b|cos∠BAC>0，∴cos∠BAC>0，
∴0° <∠BAC<90° ，又∵BC边最长，则∠BAC为△ABC中最大的 角，故△ABC为锐角三角形．
高三数学高考第一轮复习课件：平面向量
第33讲 │ 知识要点
第33讲 │ 双基固化 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第33讲 │ 双基固化
第31讲 │ 双基固化
第31讲 │ 双基固化
第31讲 │ 双基固化
第31讲 │ 能力提升 能力提升
第31讲 │ 能力提升
第31讲 │ 能力提升
第31讲 │ 规律总结 规律总结
第32讲 │ 解斜三角形及应用举例
第32讲 解斜三角形及应用举例
第32讲 │ 编读互动 编读互动
第32讲 │ 知识要点 知识要点
第五单元 │ 考点解读
（６）掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点 和中点坐标公式，并且能熟练运用，掌握平移公式．
（７）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解 斜三角形．
第五单元 │ 复习策略
复习策略
１．向量具有的几何形式和代数形式的“双重身份”，使 它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介．本 单元内容为新增知识点，在近几年的考试中所占分值比例正逐 年加大，分值在１６～１７分，较多情况是２小１大（一选择 一填空，解答题中一部分）或１小２大（选择或填空，解答题 以向量为背景或叙述形式）． ２．本单元主要命题方式及考点： （１）主要考查向量的性质和运算法则以及基本运算技 能．要求掌握和、差、数乘和向量的数量积的运算法则，理解 其直观的几何意义．
第28讲 │ 双基固化
第28讲 │ 双基固化
2013年高考一轮复习教案数学(理)新课标第五篇平面向量1平面向量的概念及线性运算
第1讲平面向量的概念及线性运算【2013年高考会这样考】1．考查平面向量的线性运算．2．考查平面向量的几何意义及其共线条件．【复习指导】本讲的复习，一是要重视基础知识，对平面向量的基本概念，加减运算等要熟练掌握，二是要掌握好向量的线性运算，搞清这些运算法则和实数的运算法则的区别．基础梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算平行四边形法则(1)定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ①|λa |＝|λ||a |；②当λ＞0时，λa 与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.(2)运算律：设λ，μ是两个实数，则①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③ λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 4．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .一条规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 两个防范(1)向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →等于( )． A ．－BC→＋12BA → B ．－BC→－12BA → C.BC→－12BA →D.BC→＋12BA → 解析 如图，CD→＝CB →＋BD → ＝CB→＋12BA →＝－BC →＋12BA →. 答案 A2．判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b|.正确的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析 只有④正确． 答案 A3．若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )． A.EF→＝OF →＋OE → B.EF →＝OF →－OE →C.EF→＝－OF →＋OE → D.EF →＝－OF →－OE → 解析 EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →.答案 B4．(2011·四川)如图，正六边形ABCDEF 中，BA→＋CD →＋EF →＝( )．A ．0 B.BE → C.AD→D.CF→ 解析 BA →＋CD →＋EF →＝DE →＋CD →＋EF →＝CE →＋EF →＝CF →.答案 D5．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________.解析 由题意知：a ＋λb ＝k (2a －b )，则有：⎩⎨⎧1＝2k ，λ＝－k ，∴k ＝12，λ＝－12. 答案 －12考向一 平面向量的概念【例1】►下列命题中正确的是( )． A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行[审题视点] 以概念为判断依据，或通过举反例说明其正确与否．解析 由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B 不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D 不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假设a 与b 不都是非零向量，即a 与b 中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a 与b 共线，符合已知条件，所以有向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量，故选C. 答案 C解决这类与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：(1)模相等；(2)方向相同． 【训练1】 给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a 与b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中正确命题的序号是________． 解析 ①②正确，③④错误． 答案 ①②考向二 平面向量的线性运算【例2】►如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )． A.AD→＋BE →＋CF →＝0 B.BD→－CF →＋DF →＝0 C.AD→＋CE →－CF →＝0 D.BD→－BE →－FC →＝0 [审题视点] 利用平面向量的线性运算并结合图形可求． 解析 ∵AB →＋BC →＋CA →＝0，∴2AD →＋2BE →＋2CF →＝0，即AD →＋BE →＋CF →＝0. 答案 A三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量，和用平行四边形法则，差用三角形法则．【训练2】 在△ABC 中，AB→＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( )．A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，∴3AD→＝2AC →＋AB →∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c . 答案 A考向三 共线向量定理及其应用【例3】►设两个非零向量a 与b 不共线． (1)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )． 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．[审题视点] (1)先证明AB →，BD →共线，再说明它们有一个公共点；(2)利用共线向量定理列出方程组求k .(1)证明 ∵AB→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．∴BD→＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB→，BD →共线，又它们有公共点，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.∴k 2－1＝0.∴k ＝±1.平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点． 【训练3】 (2011·兰州模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件是( )． A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1 D ．λμ＝1解析 由AB→＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A ，B ，C 三点共线得：AB →＝t AC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎨⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1.故选D.答案 D难点突破11——有关平面向量中新定义问题解题策略从近两年课改区高考试题可以看出高考以选择题形式考查平面向量中新定义的问题，一般难度较大．这类问题的特点是背景新颖，信息量大，通过它可考查学生获取信息、分析并解决问题的能力．解答这类问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义信息题难点的关键所在．【示例1】► (2012·泰安十校联考)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ，下面说法错误的是( )． A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0 B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2【示例2】► (2011·山东)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下列说法正确的是( )． A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上 D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上。
2013届新课标高中总复习课件(第1轮)(人教A版文科数学)广东专版第27讲平面向量的数量积
1.向量的数量积
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为 ，我们
把数量① ____________叫做a与b的数量积(或内积)， 记作② _______________________ . 规定：零向量与任一向量的数量积为③ ______ . 向量的数量积满足的运算律：
【解析】由向量 2te1＋7e2 与 e1＋te2 的夹角为钝角， 得|22ttee11＋＋77ee22|··|ee11＋＋ttee22|＜0， 即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0， 即 2te21＋7te22＋(7＋2t2)e1·e2＜0，
亦即 2t·4＋7t＋(7＋2t2)×2×1×21＜0， 化简即得 2t2＋15t＋7＜0， 解得－7＜t＜－21， 当夹角为 π 时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，应排除， 但此时夹角不是钝角，2te1＋7e2 与 e1＋te2 反向．
1＋2k>0
51＋1＋2kk2≠1
，
解得 k>－21且 k≠2.
三 两向量垂直问题
【例 3】(1)(2012·邳州市宿羊山)已知向量 a＝(3,1)， b＝(－1，12)，若向量 a＋λb 与向量 a 垂直，则实数 λ 的 值为__________．
(2)(2012·银川一中)已知向量 a 与向量 b 的夹角为
(2)由 a⊥c⇒a·c＝0⇒a(a＋b)＝0⇒a2＋a·b＝0，
即|a|2＋|a|·|b|cos120°＝0⇒|a|2＝21|b|·|a|， 即||ab||＝12.
【点评】已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b
⇔a·b＝0⇔|a＋b|＝|a－b|⇔x1x2＋y1y2＝0.
2013届高考理科数学第一轮总复习课件27
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• 【点评】:等比数列有着许多同构性质，如 ①{an}是等比数列，则{a2n}也是等比数列， {akn+b}也是等比数列；②Sn是等比数列{an} 的前n项的和，若Sm≠0，则数列Sm，S2mSm，S3m-S2m，…成等比数列.
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• 由已知 即 q， q， an a n · n 1 a • 所以数列a1，a3，a5，…，a2n-1，…和a2， a4，a6，…，a2n，…都是公比为q的等比 数列. • 当q≠1时， • Sn=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)
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• 设正项等比数列{an}的首项 前n项 1 10S -(210+1)S +S =0， a1 ， 和为Sn，且2 30 20 102 • 求数列{an}的通项公式.
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• 两式相减，得Sn+2-Sn+1=4(an+1-an)， • 即an+2=4an+1-4an. • (根据bn 的构造，如何把该式表示成bn+1 与 bn的关系是证明的关键，注意加强恒等变 形能力的训练.) • 所以an+2-2an+1=2(an+1-2an).
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