《线性代数》逆矩阵
线性代数课件2.3
∧=1 0
n
0 , ∧ =1 01 2 0 20 2
0 =1 0 , , ∧ =1 0 , n 0 22 0 2n 2
1 21 0 1 4 2 = 11 2n+1 4 2 A = n 1 40 2 21 1上页
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铃
A 可逆|A|≠0; 若 A 可逆, 则A1 = 1 A*. 矩阵 | A|
推论 若AB=E(BA=E), 则B=A1. 逆矩阵的性质 (1)若A可逆, 则A1也可逆, 且(A1)1=A; (2)若A可逆, 数λ≠0, 则λA可逆, 且(λA)1=λ1A1; (3)若A,B为同型可逆矩阵, 则AB可逆, 且(AB)1=B1A1. (4)若A可逆, 则AT也可逆, 且(AT )1=(A1)T . 这是因为 AT(A1)T =(A1A)T=ET=E.
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逆矩阵的定义 对于n阶矩阵A, 如果存在n阶矩阵B, 使得 AB=BA=E, 则称矩阵A是可逆的, 并称B为A的逆矩阵, 简称逆阵. 逆阵的唯一性 如果矩阵A是可逆的, 那么A的逆阵是唯一的. 定理1 若矩阵A可逆, 则|A|≠0. (若矩阵A可逆, 则A是奇异矩阵.) 定理2 若|A|≠0, 则矩阵A可逆, 且
142n+1 2n+1 2 = 22n 2n 1 = 42n+1 2n+1 2 22n+1 2n+1 1 . 2
补充例题 首页 上页 返回 下页 结束 铃
矩阵的多项式的计算 设(x)=a0+a1x+ +amxm为x的m次多项式, A为n阶矩阵, 记 (A)=a0E+a1A+ +amAm, (A)称为矩阵A的m次多项式. (1)如果A=P∧P1, 则(A)=P(∧)P1. 这是因为如果A=P∧P1, 则Ak=P∧kP1, 从而 (A)=a0E+a1A+ +amAm = Pa0EP1+Pa1∧P1+ +Pam∧mP1 =P(∧)P1.
求逆矩阵的四种方法
求逆矩阵的四种方法逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵，也是线性代数中的重要概念之一。
但是，在实际应用中，需要对矩阵求逆的情况并不多，因为矩阵求逆的时间复杂度很高。
下面介绍四种求逆矩阵的方法：1. 初等变换法：采用列主元消去法（高斯-约旦消元法）进行初等变换，即将一个矩阵通过行变换，转化为一个行阶梯矩阵，其中行阶梯矩阵的左下方的元素均为零。
而这样一个变换后得到的矩阵实际上就是原矩阵的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法：如果一个矩阵 A 可逆，则求它的逆矩阵等价于求它的伴随矩阵 AT 的结果除以 A 的行列式。
伴随矩阵的计算式为：adj(A)= COF(A)T，其中 COF(A) 为 A 的代数余子式组成的矩阵，它的每个元素满足 COF(A)ij = (-1)^(i+j) det(Aij)，其中 det(Aij) 表示将第 i 行和第 j 列去掉后得到的子矩阵的行列式。
3. LU 分解法：LU 分解法是将矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，即 A = LU，其中 L 的对角线元素均为 1。
当矩阵 A 可逆时，可用 LU 分解求解其逆矩阵。
假设 L 和 U 都是方阵，则A 的逆矩阵为：A^(-1) = (LU)^(-1) = U^(-1)L^(-1)。
4. 奇异值分解（SVD）方法：当矩阵 A 是非方阵时可以采用奇异值分解法，将矩阵 A 分解为A = UΣV^T，其中 U 为一个m×m 的正交矩阵，V 为一个n×n 的正交矩阵，Σ 为一个m×n 的矩形对角矩阵，若r 是 A 的秩，则Σ左上角的 r 个元素不为 0，其余元素为 0，即Σ有 r 个非零奇异值。
当A 可逆时，Σ 中的非零元素都存在逆元，逆矩阵为：A^(-1) = VΣ^(-1)U^T。
综上所述，求逆矩阵的四种方法各有特点，应根据实际情况选择合适的方法进行求解。
初等变换法适合较小规模的矩阵，伴随矩阵法适用于计算代数余子式较容易的矩阵，LU 分解法适合较大规模的矩阵，而SVD 方法则适用于非方阵或奇异矩阵的情况。
线性代数2_6初等变换与逆矩阵的初等变换求法 - 副本
a22
a23
a24
0
0 1 a31
a32
a33
a34
a31
a32
a33
a34
1 0 0 0
AE(1,3(2))=
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
0 2 0
10 0
0 0
1001
A E 行变换 E A-1
即若 Pm Pm-1 P2P1 A = E ,则 Pm Pm-1 L P2 P1 = A-1, 而 Pm Pm-1 P2 P1 = A-1 ,即 Pm Pm-1 L P2 P1E = A-1,
就是说，当通过初等行变换将矩阵A变成E时，经过同样的变换把E变成
《线性代数》
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推论 方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为有限个初等 矩阵的乘积.
证 （必要性）假设A可逆，由定理2，A经有限次初等行变换 可化为单位阵E , 即存在初等矩阵 F1 ,F2 , ,Fs 使 E = Fs F2F1A
A = F1-1F2-1 L
Fs--11Fs-1E = F1-1F2-1 L
0 1 02003 1 2 3 0 0 1 2004 4 5 6
1
0
0
4
5
6
0
1
0
=
1
2
3
0 0 1 7 8 9 1 0 0
7 8 9
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大学线性代数：矩阵的逆
−1
例
⎛ 1 1 − 1⎞ ⎜ ⎟ 求 A = ⎜ 1 2 − 3 ⎟ 的逆矩阵. ⎜0 1 1 ⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1
解
| A |=
1 2 −3 0 1 1
= 3 ≠ 0.
1 −3 1+ 2 1+1 = −1, A = ( − 1 ) = 5 , A11= ( −1) 1 1 12 0 1 1 −1 1+ 3 1 2 2 +1 = 1, A13 = ( −1) A21= ( −1) 1 1 = −2, 0 1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ L 1 / an ⎟ ⎠ L L L 0 0 L
试验证 A =
−1
0 ⎛ 1 / a1 ⎜ 1 / a2 ⎜ 0 ⎜ L L ⎜ ⎜ 0 0 ⎝
证Q
⎛ a1 0 ⎜ ⎜ 0 a2 ⎜L L ⎜ ⎜0 0 ⎝
L 0 ⎞⎛ 1 / a1 0 ⎟⎜ L 0 ⎟⎜ 0 1 / a2 L L ⎟⎜ L L ⎜ ⎟ ⎟ L a n ⎠⎜ 0 ⎝ 0
⎛ −2 1 ⎞ ⎟ ⎜ = ⎜ 10 − 4⎟. ⎜ − 10 4 ⎟ ⎝ ⎠
例 设A是n阶可逆矩阵，B是n × m矩阵，则矩阵方程 AX = B有惟一解。
−1 可 令 矩 阵 X = A B 解：由于A可逆，A 存在， 0
-1
则 AX 0 = A( A B) = ( AA )B =
设X 1也是方程的解，则 有 A X 1 = B
L 0 ⎞ ⎛1 0 L 0⎞ ⎟ ⎟ ⎜ L 0 ⎟ ⎜0 1 L 0⎟ =⎜ ⎟ L L L L L L⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ L 1 / an ⎠ ⎝ 0 0 L 1 ⎟ ⎠
逆矩阵的计算方法
逆矩阵的计算方法逆矩阵在线性代数中扮演着重要的角色，它在解线性方程组、求解线性变换的逆变换等方面具有重要的应用价值。
本文将介绍逆矩阵的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们需要明确什么是逆矩阵。
对于一个n阶方阵A，如果存在另一个n 阶方阵B，使得AB=BA=In（其中In为n阶单位矩阵），那么我们称B是A的逆矩阵，记作A^-1。
逆矩阵的存在与否对于方阵的可逆性有着重要的意义。
接下来，我们将介绍逆矩阵的计算方法。
在实际应用中，我们通常采用以下两种方法来计算逆矩阵。
一、初等行变换法。
初等行变换法是一种常用的计算逆矩阵的方法。
我们可以通过对原矩阵进行一系列的初等行变换，将原矩阵变换成单位矩阵，此时原矩阵经过的一系列变换即为逆矩阵。
具体步骤如下：1. 将原矩阵A与单位矩阵In拼接在一起，即构成一个2n阶的矩阵[A | In]。
2. 通过一系列的初等行变换，将矩阵[A | In]变换成[In | B]，此时B即为原矩阵A的逆矩阵。
需要注意的是，初等行变换包括三种操作，互换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍。
在进行初等行变换的过程中，需要保证每一步的变换都是可逆的，以确保得到的逆矩阵是正确的。
二、伴随矩阵法。
另一种常用的计算逆矩阵的方法是伴随矩阵法。
对于一个n阶方阵A，其逆矩阵可以通过以下公式计算得到：A^-1 = (1/|A|)·adj(A)。
其中|A|为A的行列式，adj(A)为A的伴随矩阵。
伴随矩阵的计算过程较为复杂，需要先求出原矩阵A的代数余子式矩阵，然后将其转置得到伴随矩阵。
需要注意的是，以上两种方法都要求原矩阵是可逆的，即其行列式不为0。
如果原矩阵不可逆，则不存在逆矩阵。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择合适的计算方法。
初等行变换法适用于一般的矩阵求逆问题，而伴随矩阵法则在理论推导和证明中有着重要的作用。
总之，逆矩阵的计算方法是线性代数中的重要内容，它在解决线性方程组、求解线性变换的逆变换等问题中具有广泛的应用。
线性代数初步：矩阵的逆及其求法
逆矩阵的概念
定义2
由 n 阶方阵 A的行列式各个元素 aij 的代数余子式 Aij 所构成的矩阵
显然，
A11 A21 An1
矩阵的
A*
A12
A22
An
2
，称为矩阶阵子个式A。共的有伴随矩阵.
2 1 1
解 A 0 1 2 -9 0 , 故 A-1 存在.
1 2 2
又因为
A11
(1)2
1 2
2
6 2
;
A12
(1)3
0 1
2 2
2
;
A13
(1)4
0 1
1
2 -1 ;
A21
(1)3
1 2
-1 0
-2
;
A22
(1)4
2 1
-1 -3
-2
;
A23
(1)5
2 1
1 -3
2;
A31
(1)4
线性代数初步
矩阵的逆及其求法
知识点讲解
1.逆矩阵的定义 2.逆矩阵的求法
问题导入
在数的运算中，数 a 0 ，存在唯一的一个数 a1 ，使 a1 a 1
一元或函a数，a但1在自1然.科对学于和工矩程阵两 A ，是否也存在类似的计算？
逆矩阵的概念
定义1
对于n 阶方阵 A ，若存在一个n 阶显矩方然阵，的阵 B,使得AB BA E，则称 A
（2）对 ( AE) 进行行初等变换，初等变换将A化为单位矩阵 E 时， 若两个矩阵(的行数相等，列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵。 E 就变成了 A，1 即 ( A E) 行初等变换（E A1）.
逆矩阵课程思政教学设计(一)
逆矩阵课程思政教学设计(一)逆矩阵课程思政教学设计一、课程简介•课程名称：逆矩阵课程思政•课程类型：专业思政课•教学对象：高等教育阶段的学生•课程目标：通过学习逆矩阵的概念、性质和求解方法，培养学生思考问题的能力、分析问题的能力和解决实际问题的能力，同时引导学生树立正确的思想观念和价值观念。
二、教学内容1. 逆矩阵的概念•逆矩阵的定义•逆矩阵的性质2. 逆矩阵的求解方法2.1 行列式法•行列式法的原理•行列式法的步骤•示例演练2.2 公式法•公式法的原理•公式法的步骤•示例演练3. 逆矩阵的应用•逆矩阵与线性方程组的关系•逆矩阵在线性变换中的应用•逆矩阵在工程问题中的应用三、教学方法•理论授课：通过讲解和示例演练，介绍逆矩阵的相关概念、性质和求解方法。
•实践操作：组织学生进行逆矩阵的计算实践，加深对知识的理解和掌握。
•小组讨论：引导学生进行小组讨论，探讨逆矩阵在实际问题中的应用。
四、教学评估1. 平时表现评估•课堂参与度•作业完成情况•实践操作能力2. 学习成果评估•期中考试•期末考试•实践项目报告五、教学资源•教材：《线性代数》（第三版），作者：Howard Anton•参考书：《线性代数及其应用》（第四版），作者：Gilbert Strang•多媒体资源：幻灯片、课件、学习视频等六、教学安排•总课时：36学时•上课方式：理论授课+实践操作+小组讨论•教学进度安排：课时 | 内容 | 教学方法 ||——||| | 1-2 | 逆矩阵的概念和性质 | 理论授课 | | 3-4 | 逆矩阵的求解方法（行列式法） | 理论授课+实践操作 | | 5-6 | 逆矩阵的求解方法（公式法） | 理论授课+实践操作 | | 7-8 | 逆矩阵的应用 | 理论授课 | | 9-10 | 学生小组讨论 | 小组讨论 | | 11-12| 复习 | 课堂练习 | | 13-14| 期中考试 | 考试 | | 15-16| 逆矩阵的应用续 | 理论授课 | | 17-18| 学生小组讨论 | 小组讨论 || 19-20| 实践操作 | 实践操作 | | 21-22| 逆矩阵的应用案例分析| 理论授课+小组讨论 | | 23-24| 复习 | 课堂练习 | | 25-26| 期末考试 | 考试 | | 27-36| 学生论文报告及总结 | 实践项目报告 |七、参考资料1.Howard Anton. (2005). 线性代数. 清华大学出版社.2.Gilbert Strang. (2005). 线性代数及其应用. 机械工业出版社.八、教学实施1. 教学准备•准备相应的教材、课件和多媒体资源•设计教学讲义和实践操作指南•准备实践操作所需的计算工具和软件2. 理论授课•在第一二课时，向学生介绍逆矩阵的概念和性质，引导学生理解逆矩阵在代数运算和线性方程组求解中的重要作用。
线性代数2-3逆矩阵
b ( ax b x a )
A可逆 Y AX 可逆
求 出 A-1, 则 X = A-1Y
( ii ) A可逆 A 1可逆， ( A 1 ) 1 A; 由定义和条件 1 ( iii ) AB E (or BA E ) B A ; T 1 1 T T (iv ) A可逆时, A 也可逆, 且 ( A ) ( A ) ;
若有 从 y1, y2 ,…, yn 到 x1, x2 ,…, xn 的线性变换
② X BY , 其中 X , Y 同上,
② ①
B (bij )
① ② 使得 Y AX ABY Y AB E
X BY BAX X BA E 变换①与变换②互为逆变换 它们的系数矩阵 A, B 互为逆矩阵 应用:
（性质3，4对可逆矩阵成立） 证1. “” A可逆 A 0,
由伴随阵重要公式
A ( A) 1 1 A; AA A E A E A 可逆且 A A “” A可逆，且 AA A E A 0 .
否 则, 若 A 0 AA O A O ？ A O, 这与A可逆矛盾. A可 逆. ？ 1 1 1 1) 1 A 1) 又A ( A ) A E ( A (A ( A)1 A
A
1
A
A
1
A
n 1
3. (kA) k n1 A ; (kA) kA kA E k n A E; （A可逆，k非零）
( kA) ( kA) kA kA k n A E kA k n1 A A1 k n1 A ;
2) 设 A 2 2 1 , 3 4 3
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,
ann
x1
X
x2
,
xn
b1
b
b2
,
bn
当|A|≠0时，A-1存在， AX=b两边左乘A-1，得 X=A-1b
这就是线性方程组解的矩阵表达式.
例5. 利用逆矩阵求解方程组
2x1 x1
2 x2 x2
3x3
2 2
.
x1 2x2 x3 4
解: 将方程组写成矩阵形式 AX b
又因c0，故有 c1(aA2 bA)E， 即c1(aAbE )AE，
因此A可逆，且A1c1aAc1bE .
3. 可逆矩阵的性质
(1) 若A可逆，则A1也可逆，且(A1)1A.
(2) 若A可逆，数l0，则lA 可逆，且(lA )1l1A1.
(3) 若A、B为同阶可逆矩阵，则AB亦可逆，且(AB )1B 1A1. 因为 (AB)(B1A1) A(BB1)A1AEA1AA1 E
于是 B BE B(AB1) ( BA)B1 EB1 B1 .
1. 可逆矩阵的定义
定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 ABBAE，
那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.
定理1 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
A的逆矩阵记为A1 . 即若ABBAE ，则BA1 .
由于A，B位置对称，故A，B互逆，即BA1， AB1. 如
2、设A,B,C均n为阶方阵，且ABC=E，则( )．
①ACB=E； ②CBA=E ； ③BAC=E ； ④BCA=E ．
解: 1. 由A2-A-2E=O，得
1 A(A E) E, 2
所以A-E可逆，正确选项为③ ．
2. 由ABC＝E, 可得BC为A的逆阵， 所以BCA＝E,正确选项为④ ．
作业：83页 8 ；16(1)；30
称为矩阵A的伴随矩阵，记为A* .即
A11 A21 An1
A* =
A12 A22 A2n
A1n A2n Ann
例1.
求
1 A 1
1 2
1 3
的伴随矩阵A*.
0 1 1
A11 A21 A31
解: 三阶矩阵A的伴随矩阵A*为 A12 A22 A32
A13 A23 A33
2 A11 (1)11 1
1 1 3 A 2 1 4
1 2 4
可以验证，AB BA E
4 2 1 B 4 1 2
3 1 1
2. 方阵可逆的充分必要条件
a11 a12 a1n 定义2 由矩阵 A a21 a22 a2n 的代数余子式构成的矩阵
an1 an2 ann
A11 A21 An1 A12 A22 A2n A1n A2n Ann
2.3 逆矩阵
逆矩阵概念的引入
解方程组
x1 x2 x1 x2
3 1
解：将其写成矩阵方程
11
11
x1 x2
31
两边都左乘矩阵F得
(
F
11//
2 2
1/ 1/
22
)
11//
2 2
1/ 1/
2211
11
x1 x2
11
/ /
2 2
1/ 1/
22
31
10
x1 x2
12
. 从而得方程组的解: x1 1 , x2 2
3 2 5
101 解: 因为 |A| 2 1 0 20，所以A可逆.
3 2 5
又因为 A*
A11 A21 A31 A12 A22 A32
5 10
2 2
1 2
，
A13 A23 A33
7 2 1
所以 A1 —1 A* —1
5 10
2 1 2 2
5/2 1 1/2 5 1 1 .
|A|
2 7 2 1
7/2 1 1/2
2. 方阵可逆的充分必要条件
定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|0，而且 A1 —1 A*，其中A*为方阵A的伴随矩阵. |A|
证： 必要性. 设A可逆，即有A1， 使AA1E , 故|A|·|A1||E|1，所以|A|0，即A为非奇异.
定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|0，而且
那么,F 矩阵 是怎么得到 的呢？
01
x1 x2
12
1. 可逆矩阵的定义
定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得 ABBAE，
那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.
逆矩阵的唯一性
如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 这是因为，如果B和B1都是A的逆矩阵，则有
ABBAE， AB1B1AE
AA* a21 a22 a2n
A12 A22
An2
0
|A| 0
|A|E
an1 an2 ann A1n A2n Ann 0 0 |A|
同理可证BAE . 因此A可逆， 且A1 —1 A* . |A|
矩阵 A 可逆 |A|0； A1 —1 A* . |A|
101 例2．求矩阵 A 2 1 0 的逆矩阵.
推论 设A是n阶方阵，若存在同阶方阵B，使得ABE (或BAE)，则A可逆，且A-1 =B.
这一结论说明，如果要验证矩阵B是矩阵A的逆矩阵，只要 验证一个等式ABE或BAE即可.
例3．设n阶矩阵A满足aA2bAcEO，证明A为可逆矩阵， 并求A1(a, b, c为常数，且c0) .
解: 由aA2bAcEO，有 aA2bAcE，
所以(AB )1B 1A1. (4) 若A可逆，则AT也可逆，且(AT )1(A1)T .
因为 AT(A1)T (A1A)T ETE， 所以 (AT )1(A1)T . (5) |A1|=|A|1 .
例4. 设三阶矩阵A,B满足关系式 A1BA 0
A
A1 —1 A*， 其中A*为方阵A的伴随矩阵. |A|
证：充分性. 设A非奇异， 取 B —1 A* |A|
则有 AB A( —1 A* ) —1 AA* —1 |A| E=E . (即 AB = E.)
|A|
|A|
|A|
注意：
a11 a12 a1n A11 A21 An1 |A| 0 0
4. 用逆矩阵求解线性方程组
线性方程组
a11x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
a1n xn b1, a2n xn b2 ,
ann xn bn.
的矩阵形式为 AX b
a11 a12
其中
A
a21
a22
an1 an2
a1n
a2
n
0
14
0
0 0 1 7
解: 由于A可逆，将等式 A1BA BA 6A 两端右乘 A1
有 A1B B 6E ，整理得 (A1 E)B 6E ,于是
B
1 6
(
A1
E)
1
6( A1
E)1
，
2
A 1
E
0
0
0 3 0
0 0 6
3 0 0
故
B
6( A1
E )1
0
2
0
0
0
1
.
5. 伴随矩阵的常用性质
1. AA＊＝A＊A＝|A|E ; 2. 若|A|≠0, 则A＊＝|A|A-1 ; 3. 若|A|≠0, 则|A*|=|A|n-1 .
练习
1、设 n 阶矩阵A满足A2-A-2E＝O，则必有( )． ① A=2E； ② A= - E； ③ A - E可逆； ④ A不可逆．
例6． 设A
1 2 3
2 2 4
3 1 3
， B
2 5
1 3
， C
13 20 31
.
求矩阵X 使AXBC .
解: XA1CB1
为什么？
1 3 2
A1 3/2 3 5/2 1 1 1
，
B1
3 5
1 2
，
1 3 2 X 3/2 3 5/2
1 1 1
13 20 31
2 1 3 1 10 4 5 2 10 4
3 1
5 ， A12 (1)12
1 0
3 1
1
同理 A13=1， A21=-2， A22=1， A23=-1， A31=-1， A32=2， A33=1
5 2 1
因此A的伴随矩阵
A* 1
1
2
1 1 1
定义3 对于n阶矩阵A，若行列式|A|0，则称A是奇异的 (或降秩的或退化的)，否则称A为非奇异的(或满秩的或非退 化的) .
2 2 3 A 1 1 0,
1 2 1
x1 X x2 ,
x3
2 b 2.
4
计算得 A 1 0 ，故A可逆. 因而有 X A1b ，即
x1 2
2
3
1
2
1
4 3 2 18
x2 1 1 0 2 1 5 3 2 20 .
x3 1 2 1 4 1 6 4 4 26