北师版初三数学上册秋季班讲义

【典例】
1.如图所示，在菱形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，且 DE⊥AB，AB=2a （1）求∠ABC 的度数； （2）求对角线 AC 的长； （3）求菱形 ABCD 的面积．
【方法总结】
本题主要考查了菱形的性质——四边相等且对角线互相垂直平分。第（1）问根据已知 DE 垂直平分 AB 以及 AD=AB，得出直角三角形的直角边和斜边的关系，推出了直角三角形 30° 的锐角，进而求出菱形的内角。第（2）问要求对角线的长先求对角线的一半长，通过添加 辅助线构建出等边三角形和直角三角形，用勾股定理求出结果。（3）直接套用公式即可。 2.如图，点 O 是菱形 ABCD 对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接 OE，交 BC 于 F． （1）求证：OE=CB； （2）如果 OC：OB=1：2，OE= ，求菱形 ABCD 的面积．
【方法总结】
本题是菱形的判定与三角形全等的综合题。通过两次证明三角形全等得出四边形的两组邻边 相等，两对角相等；再加上平行线的性质，证明第三组邻边相等，进而得出四边都相等。根 据菱形的判定定理得出结论。用边的关系证明四边形是菱形的时候，经常会用到三角形全等 等方法。
【随堂练习】 1．（2017 春•惠安县期末）如图，AC 是▱ABCD 的对角线，∠BAC=∠DAC． （1）求证：四边形 ABCD 是菱形； （2）若 AB=2，AC=2 ，求四边形 ABCD 的面积．
第 1 讲 特殊的平行四边形
矩形 特殊的平行四边形 菱形
正方形
知识点 1：矩形
1.矩形的性质： （1）矩形具备平行四边形的所有性质； （2）矩形的四个角都是直角； （3）矩形的对角线平分且相等 （4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；它也是中心对称图形，对称中心是两条对角线 的交点。 2.矩形的判定定理： （1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）对角线相等的平行四边形是矩形 （3）有三个角是直角的四边形是矩形
知识点 2：菱形
1.菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2.菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质；
（2）菱形的四边都相等； （3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； （4）菱形是轴对称图形，也是中心对称图形； 菱形的面积公式：菱形的面积等于对角线乘积的一半。 3.菱形的判定定理： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线垂直的平行四边形是菱形； （3）四边相等的四边形是菱形；
【方法总结】
本题主要考查了矩形的性质——四个角都是直角、对角线相等．本题要求两条对角线的 较小的夹角∠DEC，利用矩形的对角线相等以及等腰三角形的性质，先求出∠DCE 即对角 线与短边的夹角即可得出结论；求∠DCE 需要将其放到直角三角形中求出与其互余的锐角， 综合已知条件：两互余且有倍数关系．解这种类型题需要将已知与所求相结合，引入方程思 想可以将解题过程简化．
2．（2017 春•道里区校级月考）如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中 点．且∠AED=∠BEC，延长 DE 到点 F，使得 EF=BE，连接 CF． （1）求证：四边形 BCFE 是菱形； （2）若 CE=4，∠BCF=120°，求菱形 BCFE 的面积．
知识点 3：正方形
3.已知，如图，△ABC 中，CE、CF 分别是∠ACB 和它的邻补角∠ACD 的平分线，AE⊥CE 于 E，AF⊥CF 于 F，直线 EF 分别交 AB、AC 于 M、N． 求证： （1）四边形 AECF 是矩形； （2）MN 与 BC 的位置有何关系，证明你的结论．
【方法总结】
本题主要考察矩形的判定以及矩形性质的运用。第（1）问给出了 AE⊥CE、AF⊥CF，可以 得出四边形有两个直角，欲证明该四边形是矩形，可以找第三个直角。题中给出了将平角一 分为二的两个角的平分线，选取中间的两个小角恰好可以组成一个直角，利用有三个角是直 角的四边形是矩形判定得出结论。第（2）问利用矩形的性质——对角线相等且平分，得出 矩形两条对角线与一边组成的三角形是等腰三角形，结合角平分线的性质判定平行线。
【方法总结】
本题主要考查菱形的性质——对角线垂直且平分。第（1）问根据菱形的对角线互相垂直， 与对角线平行的直线也互相垂直，得出四边形 OBEC 是矩形；第（2）问先根据菱形对角线 垂直构建直角三角形，用勾股定理求出对角线的一半长，再根据对角线互相平分求出对角线 的长。 3.已知：如图，△ABC 中，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，E 是 AB 上一点，且 AE=AC，EF ∥BC 交 AD 于点 F，求证：四边形 CDEF 是菱形．
1.正方形的性质： （1）正方形的四边都相等，四个角都是 90°； （2）正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
【典例】
1.矩形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于 O，∠AOB=60°，AC=10． （1）求矩形较短边的长．（2）矩形较长边的长．（3）矩形的面积．
【方法总结】
本题主要考察矩形对角线的性质——相等且互相平分、矩形的四个角都是直角。（1）矩形对 角线与一边组成的三角形是等腰三角形，根据有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形 即可得出结论；（2）在上一问的基础上通过勾股定理即可求出长边；（3）直接对公式的应 用。 2.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 E，DF⊥AC 于 F 点，若∠ADF=3∠ FDC，则∠DEC 的度数是____
【随堂练习】
1．（2018•邗江区二模）如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，点 F 在边 CD 上，DF=BE，连接 AF，BF． （1）求证：四边形 BFDE 是矩形； （2）若 AF 平分∠DAB，CF=3，BF=4，求 DF 长．
2．（2018•滨海县一模）平行四边形 ABCD 中，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，点 F 在 CD 上，CF=AE，连接 BF，AF． （1）求ห้องสมุดไป่ตู้：四边形 BFDE 是矩形； （2）若 AF 平分∠BAD，且 AE=3，DE=4，求矩形 BFDE 的面积．