命题逻辑复习题
命题逻辑-习题参考解答
命题逻辑参考答案及提示1.（1）是命题，真值为1（2）不是命题（3）是命题，真值视具体情况而定（4）不是命题（5）是命题，真值为1（6）是命题，真值为1（7）是命题，真值为0（8）不是命题（9）是命题，真值视具体情况而定（10）不是命题2.（1）不是命题（2）不是命题（3）不是命题（4）是命题。
令P：所有的人都是要死的；Q：所有的人都怕死，则命题可符号化为：可表示为P∧⌝Q（5）是命题。
令P：我明天去苏州；Q：我后天去苏州，则命题可符号化为：P∨Q（6）是命题。
令P：我明天去苏州；Q：我后天去苏州，则命题可符号化为：⌝(P∨Q)（7）是命题。
令P：我明天去北京；Q：我明天去天津；R：我后天去北京；S：我后天去天津，则命题可符号化为：P∨Q∨R∨S（8）是命题。
令P：我买到飞机票；Q：我出去，则命题可符号化为：⌝P→⌝Q（9）是命题。
令P：他余款多；Q：他出门；R：他买书，则命题可符号化为：(P∧Q→R) ∧(⌝P∧Q→R)（10）是命题。
令P：你陪伴我；Q：你代我雇车；R：我去，则命题可符号化为：R↔ (P∨Q)（11）是命题。
令P：你充分考虑了一切论证；Q：你得到了可靠见解，则命题可符号化为：(P→Q)∧(Q→P)或P↔Q（12）是命题。
令P：我懂得希腊文；Q：我了解柏拉图，则命题可符号化为：(Q→P)→⌝Q （13）是命题。
令P：你去；Q：他去；R：我去，则命题可符号化为：(P→R)∧(Q→R) ∧(⌝P→R)∧(⌝Q→R)（14）是命题。
令P：上午下雨；Q：我去看电影；R：我在家里看书；S：我在家里看报，则命题可符号化为：(⌝P→Q)∧(P→(R∨S))（15）是命题。
令P：我今天进城；Q：下雨，则命题可符号化为：P→⌝Q（16）是命题。
令P：你走；Q：我留下，则命题可符号化为：P↔Q（17）是命题。
令P：某一个数是素数；Q：某一个数能被1整除；R：某一个数能被它自身整除；则命题可符号化为：P↔Q∧R3.（1）不是命题公式。
命题逻辑习题及其参考答案
1．某地发生一起刑事案件，经过公安人员的努力侦破，作案嫌疑人锁定在Ａ、B、Ｃ三人中，并且摸清了以下情况：①只有０１号案件成功告破，才能确认Ａ、Ｂ、Ｃ三人都是作案人。
②目前，０１号案件还是一起悬案。
③如果Ａ不是作案人，那么Ａ的供词是真的，但Ａ说自己与Ｂ都不是作案人。
④如果Ｂ不是作案人，那么Ｂ的供词也是真的，但Ｂ说自己与Ｃ是好朋友。
⑤现已查明Ｃ根本不认识Ｂ。
根据上述线索，问：Ａ、Ｂ、Ｃ三人中谁是作案人？解：令p：０１号案件成功告破；q、r、s分别表示A、B、C作案；t：B与Ｃ是好朋友。
据题意有：1. {1} ┐p→┐（q∧r∧s）P2. {2} ┐p P3. {3} ┐q→（┐q∧┐r）P4. {4} ┐r→t P5. {5} ┐t P6. {4.5} r T4.5否定后件7. {1.2} ┐（q∧r∧s）T1.2肯定前件8. {1.2} ┐q∨┐r∨┐s T7德摩根9. {1.2.3} q T3.6否定后件10. {1.2.3.4.5} q∧r P6.9组合式答：AB作案，至于C尚待侦查。
2．综合分析题（要求写出推导过程）：某班有学生61人，下面有三句话：①该班有些学生会使用计算机。
②该班有些学生不会使用计算机。
③该班班长不会使用计算机。
已知上述三句话中，只有一句话是真的，试问：哪一句话是真话？该班有多少学生会使用计算机？解：①②分别为I命题和O命题，二者是下反对关系，必有一真，或许都真；但据题设只有一句真话，可知③为假，真实情况是班长会使用计算机。
既然这样第一句话“该班有些学生会使用计算机”就是真的，而第二句话就是假的。
O命题假，根据矛盾关系可知，A命题即“该班所有学生都会使用计算机”就真，所以，全班61个学生都会计算机。
3．下面有三句话：①如果甲是篮球队员，则乙就是足球队员。
②如果乙是足球队员，则甲就是篮球队员。
③甲不是篮球队员。
已知上述三句话中只有一句话是真话，问：甲是不是篮球队员？乙是不是足球队员？哪一句话是真话？（要求写出推导过程）解：令p表示“甲是篮球队员”，q表示“乙是足球队员”，再令③即“┐p”真，据题设有：①{1} ┐（p→q）P②{2} ┐（q→p）P③{3} ┐p P④{1} p∧┐q T①等值关系⑤{1} p T④合取分解⑥{1.3} p∧┐p T③⑤合取组合⑦{1} p T归谬③⑥⑧{2} q∧┐p T②等值关系⑨{2} ┐p T⑧合取分解⑩{1.2} p∧┐p T⑦⑨合取组合⑾{1} （q→p）归谬②⑩可见：第二句话为真，一三两句为假。
命题逻辑习题
数理逻辑习题命题逻辑（一）1.指出下列语句中哪些是命题a) 离散数学的研究对象是自然数。
b) 请勿喧哗。
c) 夸夸其谈可以创造财富。
d) “飞碟”来自于银河系之外。
e) 今天很冷。
f) 你明天还来吗[解] a) 是命题。
因为它是假的陈述句。
b) 不是命题。
因为它是祈使句。
c) 是命题。
因为它是假的陈述句。
d) 是命题。
因为它是可确定真假的陈述句，虽然其真假性现时还无法确定，但随着人类认识的发展终将得到证实。
e) 是命题。
因为它是可确定真假的陈述句，其真假取决于说话人的主观判断和外部环境的客观温度。
f) 不是命题。
因为它是疑问句。
2.用符号形式写下面命题，其中P表示命题“明天下雪”；Q表示命题“我们明天上课”；R表示命题“我们明天上公园”。
a) 如果明天下雪且我们停课，那么我们去公园。
b) 只有明天不下雪，我们才去公园。
c) 除非明天不下雪且我们上公园，否则我们将上课。
d)无论明天下雪与否，我们照常上课。
[解] a) P Q→R；b) P→R（或R→P）；c) (P R)Q （或P R Q）；d) P P→Q（或Q）。
3.用上题的命题P，Q，R解释下面的形式命题。
a) P Q→Rb) P Rc) P→Q Rd) Q R[解] a) 只有明天下雪且不上课，我们才去公园；b) 明天下雪，明天我们去公园；c) 如果明天不下雪，那么我们上课或去公园；d) 除非明天不停课(上课)，否则我们去公园。
4.将下述命题符号化a) 不是小王就是老李来找过你。
b) 尽管小张与小赵是同学，但他们很少在一起。
c) 如果程序能正常结束，那么就不会有语法错误。
d) 既然你今天不去开会，就该在家好好休息一下。
e) 只有博览群书，知识才能丰富。
f) 只要懂得法律，就能够成为一名律师。
g) 学好数、理、化，走扁天下都不怕。
h) 并非由于学校是重点，毕业生才是一流的，而是由于毕业生是一流的，学校才能成为重点。
i) 他能考上交大，除了由于他有一个较好的环境之外，还在于他平时的刻苦精神。
命题逻辑习题课
一、命题符号化1、设p：天下雪。
q：我将去镇上。
r：我有时间。
(1)如果天不下雪且我有时间，那么我将去镇上。
(2)我将去镇上，仅当我有时间。
(3)天下雪，那么我不去镇上。
2、令p：你给我写信。
q：信在途中丢失了。
或者你没有给我写信，或者它在途中丢失了。
3、令p：我们划船。
q：我们跑步。
我们不能既划船又跑步4、令p：你来了。
q：你为他伴奏。
r：他唱歌。
如果你来了，那么他唱不唱歌将看你是否为他伴奏而定。
5、令p：上午下雨。
q：我去看电影。
r：我在家里读书。
s：我在家里看报。
假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
6、令p：我今天进城。
q：今天下雨。
我今天进城，除非下雨。
7、令p：你走。
q：我留下。
仅当你走我将留下。
二、证明：(p→q)→(p→(p∧q))是永真式。
三、证明((A∧B)→C)∧(B→(D∨C))=(B∧(D→A))→C四、化简(A∧B∧C)∨(⌝A∧B∧C）五、A,B,C,D四个人中要派两个人出差，按下述三个条件有几种派法？①若A去则C和D中要去一个人。
②B和C不能都去。
③C去则D要留下。
六、用逻辑演绎推理法证明七、逻辑推理：请根据下面事实，找出凶手。
1. 清洁工或者秘书谋害了经理。
2. 如果清洁工谋害了经理，则谋害不会发生在午夜前。
3.如果秘书的证词是正确的，则谋害发生在午夜前。
4.如果秘书的证词不正确，则午夜时屋里灯光未灭。
5. 如果清洁工富裕，则他不会谋害经理。
6.经理有钱且清洁工不富裕。
7.午夜时屋里灯灭了。
令p: 清洁工谋害了经理。
q: 秘书谋害了经理。
r: 谋害发生在午夜前。
s: 秘书的证词是正确的。
t: 午夜时屋里灯光灭了。
u: 清洁工富裕。
v: 经理有钱。
命题逻辑复习题及答案
命题逻辑一、选择题（每题3分）1、下列句子中哪个是命题 ( C )A 、你的离散数学考试通过了吗B 、请系好安全带！C 、 π是有理数D 、 本命题是假的 2、下列句子中哪个不是命题 ( C )A 、你通过了离散数学考试B 、我俩五百年前是一家C 、 我说的是真话D 、 淮海工学院是一座工厂 3、下列联接词运算不可交换的是( C )A 、∧B 、∨C 、 →D 、 ↔ 4、命题公式P Q ⌝→不能表述为( B )A 、P 或QB 、非P 每当QC 、非P 仅当QD 、除非P ，否则Q 5、永真式的否定是 ( B )A 、 永真式B 、永假式C 、可满足式D 、 以上答案均有可能 6、下列哪组赋值使命题公式()P P Q →∧的真值为假( D )A 、P 假Q 真B 、P 假Q 假C 、P 真Q 真D 、P 真Q 假 7、下列为命题公式()P Q R ∧∨⌝成假指派的是( B )A 、100B 、101C 、110D 、111 8、 下列公式中为永真式的是 ( C )A 、()P P Q →∧B 、()P P Q ⌝→∧C 、()P Q Q ∧→D 、()P Q Q ∨→ 9、 下列公式中为非永真式的是( B )A 、 ()P P Q ∧⌝→B 、()P P Q ∨⌝→C 、()P P Q ∧⌝→D 、()P P Q ∨⌝→ 10、下列表达式错误的是( D )A 、()P P Q P ∨∧⇔B 、()P P Q P ∧∨⇔C 、()P P Q P Q ∨⌝∧⇔∨D 、()P P Q P Q ∧⌝∨⇔∨ 11、下列表达式正确的是( D )A 、P P Q ⇒∧B 、P Q P ⇒∨C 、()Q P Q ⌝⇒⌝→D 、Q Q P ⌝⇒→⌝)( 12、下列四个命题中真值为真的命题为( B )（1）224+=当且仅当3是奇数 （2）224+=当且仅当3不是奇数； （3）224+≠当且仅当3是奇数 （4）224+≠当且仅当3不是奇数 A 、（1）与（2） B 、（1）与（4） C 、（2）与（4） D 、（3）与（4）13、设P ：龙凤呈祥是成语，Q ：雪是黑的，R ：太阳从东方升起，则下列假命题为( A ) A 、R Q P ∧→ B 、Q P S →∧ C 、P Q R →∨ D 、 Q P S →∨14、设P ：我累，Q ：我去打球，则命题：“除非我累，否则我去打球”的符号化为（ B ） A 、P Q → B 、Q P ⌝→ C 、 Q P →⌝ D 、P Q ⌝→⌝15、设P ：我听课，Q ：我睡觉，则命题 “我不能一边听课，一边睡觉”的符号化为( B ) A 、P Q → B 、Q P ⌝→ C 、 Q P →⌝ D 、P Q ⌝→⌝ 提示：()P Q P Q ⌝∧⇔→⌝16、设P ：停机；Q ：语法错误；R ：程序错误，则命题 “停机的原因在于语法错误或程序错误” 的符号化为（ D ）A 、R Q P ∧→B 、P Q R →∨C 、Q R P ∧→D 、Q R P ∨→ 17、设P ：你来了；Q ：他唱歌；R ：你伴奏则命题 “如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定” 的符号化为（ D ） A 、()P Q R →∧ B 、()P Q R →→ C 、()P R Q →→ D 、()P Q R →↔ 18、在命运题逻辑中，任何非永真命题公式的主合取范式都是（ A ）A 、 存在并且唯一B 、存在但不唯一C 、 不存在D 、 不能够确定 19、在命题逻辑中，任何非永假命题公式的主析取范式都是（ A ）A 、 存在并且唯一B 、存在但不唯一C 、 不存在D 、 不能够确定 20、n 个命题变元所产生互不等价的极小项项数为（ D ）A 、nB 、2nC 、2n D 、2n 21、n 个命题变元所产生互不等价的极大项项数为（ D ）A 、nB 、2nC 、2n D 、2n二、填充题（每题4分）1、设P ：你努力，Q ：你失败，则 “虽然你努力了，但还是失败了” 符号化为Q P ∧.2、设P ：它占据空间，Q ：它有质量，R ：它不断运动，S ：它叫做物质， 则 “占据空间的，有质量的而且不断运动的叫做物质”符号化为R Q P S ∧∧↔.3、一个命题含有n 个原子命题，则对其所有可能赋值有2n 种.4、推理规则()A A B B ∧→→的名称为假言推理.5、推理规则()B A B A ⌝∧→→⌝的名称为拒取式.6、推理规则()A A B B ⌝∧∨⇒的名称为析取三段论.7、推理规则()()A B B C A C →∧→⇒→的名称为前提三段论.8、当赋予极小项足标相同的指派时，该极小项的真值为1，当赋予极大项足标相同的指派时，该极大项的真值为0.9、任意两个不同极小项的合取式的真值为0，而全体极小项的析取式的真值为1. 10、任意两个不同极大项的析取式的真值为1，而全体极大项的合取式的真值为0. 11、n 个命题变元可构造包括F 的不同的主析取范式类别为22n.12、n 个命题变元可构造包括T 的不同的主合取范式类别为22n.三、问答题（每题6分）1、设A 、B 是任意命题公式，请问,A B A B →⇒分别表示什么其有何关系 答：A B →表示A 蕴含B ，A B ⇒表示A 永真蕴含B ； 其关系表现为：若A B →为永真式，则有A B ⇒.2、设A 、B 是任意命题公式，请问,A B A B ↔⇔分别表示什么其有何关系 答：A B ↔表示A 等值于B ，A B ⇔表示A 与B 逻辑等价； 其关系表现为：若A B ↔为永真式，则有A B ⇔.3、设A 、B 、C 是任意命题公式，若A C B C ∨⇔∨ ，则A B ⇔成立吗为什么 答：不一定有A B ⇔；若A 为真，B 为假，C 为真，则A C B C ∨⇔∨成立，但A B ⇔不成立.4、设A 、B 、C 是任意命题公式，若A C B C ∧⇔∧ ，则A B ⇔成立吗为什么 答：不一定有A B ⇔；若A 为真，B 为假，C 为假，则A C B C ∧⇔∧成立，但A B ⇔不成立. 5、设A 、B 是任意命题公式，()A A B B ∧→→一定为真吗为什么答：一定为真；因()()()()A A B B A A B B A A A B B ∧→→⇔∧⌝∨→⇔∧⌝∨∧→()F A B B A B B T ⇔∨∧→⇔∧→⇔.（用真值表也可证明）6、设A 、B 是任意命题公式，()()A B A B A →∧→⌝↔⌝一定为真吗为什么答：一定为真；因()()()()()A B A B A B A B A B B →∧→⌝⇔⌝∨∧⌝∨⌝⇔⌝∨∧⌝ A F A ⇔⌝∨⇔⌝.（用真值表也可证明）四、填表计算题（每题10分）1、对命题公式 ()()A p q p q =⌝→∧∨，要求（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解：p q p q → ()p q ⌝→p q ∨A0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1111主析取范式(2)A ⇔∑ ；主合取范式(0,1,3)A ⇔∏.2、对命题公式 ()A p q r =→↔，要求（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解：p q rp q → A 0 0 01 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 11111主析取范式(1,3,4,7)A ⇔∑ ；主合取范式(0,2,5,6)A ⇔∏.3、对命题公式 ()()A p q p r =∧∨∧，要求（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解：p q rp q ∧ p r ∧ A0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 111111主析取范式(5,6,7)A ⇔∑ ；主合取范式(0,1,2,3,4)A ⇔∏.4、对命题公式()()A p q p r =⌝→∧→，要求（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解：主析取范式(2,3,5,7)A ⇔∑ ；主合取范式(0,1,4,6)A ⇔∏.5、对命题公式()A p q r =⌝∨⌝→，要求（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解：主析取范式(1,3,5,6,7)A ⇔∑ ；主合取范式(0,2,4)A ⇔∏.五、证明题（每题10分）1、证明下列逻辑恒等式：()()()P Q R Q P R Q →∧→⇔∨→. 证明 ： 左()()()P Q R Q P R Q ⇔⌝∨∧⌝∨⇔⌝∧⌝∨()P R Q P R Q ⇔⌝∨∨⇔∨→⇔右.（用真值表也可证明） 2、证明下列逻辑恒等式： P Q R R Q P ⌝∧⌝→⌝⇔→∨. 证明：左()P Q R P Q R ⇔⌝⌝∧⌝∨⌝⇔∨∨⌝()R Q P R Q P ⇔⌝∨∨⇔→∨⇔右.（用真值表也可证明）3、证明下列逻辑恒等式：()()()P Q P Q P Q ⌝↔⇔∨∧⌝∧. 证明：左()()()()()P Q P Q P Q P Q ⇔⌝∨⌝∧⌝∨⇔⌝∨⌝∨⌝⌝∨()()()()()()Q Q P Q Q P P P Q P Q P ⌝∨∧∨∧⌝∧⌝∧⌝∨⇔⌝∧∨∧⌝⇔()()⇔⌝∨⌝∧∨⇔Q P Q P ()()P Q P Q ∨∧⌝∧右⇔.（用真值表也可证明）4、用逻辑推理规则证明： ()a b c ∧→ ，d ⌝ ，c d ⌝∨ ⇒ a b ⌝∨⌝ . 证明:(1) c d ⌝∨ P(2) d ⌝ P(3)c ⌝ T (1),(2) (析取三段论) (4) ()a b c ∧→ P (5)()a b ⌝∧ T (3)，(4) (拒取式) (6) a b ⌝∨⌝ T (5) (德.摩根律) .5、用逻辑推理规则证明： , ,p q p s s r r q ∨→→⇒⌝→. 证明: (1) p s →P (2) s r → P(3) p r →T (1),(2) (前提三段论)(4)r p ⌝→⌝ T (3) (逆反律) (5)p q ∨ P (6)p q ⌝→ T (5) (蕴含表达式) (7)r q ⌝→ T (4)，(6) (前提三段论) .6、用逻辑推理规则证明：p q →，p r ∧， q r ⌝∨，r ⌝，s p s ⌝∨⇒⌝. 证明: (1) r ⌝ P(2) q r ⌝∨ P(3) q ⌝ T (1),(2) (析取三段论) (4)p q → P(5) p ⌝ T (3)，(4) (拒取式) (6) s p ⌝∨ P (7) s ⌝ T (5)，(6) (析取三段论) .7、用逻辑推理规则证明：()()p q r s ⌝→→⌝∨，()q p r →∨⌝， r p q ⇒↔. 证明: (1) r P(2) ()q p r →∨⌝ P(3) q p → T (1),(2) (析取三段论) (4) r s ∨ T (1) (加法式)(5) ()()p q r s ⌝→→⌝∨ P (6) p q → T (4)，(5) (拒取式) (7) ()()p q q p →∧→T (3)，(6) (合取式)(8) p q ↔ T (7) (等值表达式) .8、用逻辑推理规则证明： , ,s p p r q r s q ⌝∨→∧⇒→.证明: (1) s P(2) s p ⌝∨ P(3) p T (1),(2) (析取三段论) (4) p r q →∧ P(5) r q ∧ T (3)，(4) (假言推理) (6) q T (5)（简化式） (7) s q → CP .9、用逻辑推理规则证明：()()p q r p q r ∨→⇒∧→ 证明：(1) p q ∧ P (附加前提)(2) p T (1)（简化式）(3) p q ∨ T (2)（加法式） (4) ()p q r ∨→ P(5) r T (3),(4)（假言推理） (6) ()()p q r p q r ∨→⇒∧→ CP .10、用逻辑推理规则证明：,,p q q r r s p s ⌝∨⌝∨→⇒→. 证明：（1）p P (附加前提)(2) p q ⌝∨ P(3) q T (1)，(2) (析取三段论) （4）q r ⌝∨ P(5) r T (3)，(4) (析取三段论) (6) r s → P(7) s T (5)，(6) （假言推理） (8) p s → CP .11、用逻辑推理规则证明：()()p q r s ∨→∧，()r s t p t ∨→⇒→ . 证明：（1）p P (附加前提) (2)p q ∨ T (1)（加法式） (3)()()p q r s ∨→∧ P(4)r s ∧ T (2)，(3)（假言推理） (5)r T (4)（简化式） (6)r s ∨ T (5)（加法式）(7)()r s t ∨→ P (8)t T (6)，(7)（假言推理）(9)p t → CP . 12、用逻辑推理规则证明：(),,t w s q s t s q t →⌝→⌝⌝∨→⌝⇒→ 证明：（1）q P (附加前提)(2) q s ⌝∨ P(3) s T (1)，(2) (析取三段论) (4) ()t w s →⌝→⌝ P(5)()t w ⌝→⌝ T (3)，(4) (拒取式)(6)()t w ⌝⌝∨⌝ T (5) (蕴含表达式) (7) t w ∧ T (6) (德.摩根律) (8) t T (7) (简化式)(9)q t → CP .13、用逻辑推理规则证明：a b c →∧，()e f c →⌝→⌝，()b a s →∧⌝⇒b e →. 证明：（1） b P (附加前提) （2）()b a s →∧⌝ P(3) a s ∧⌝ T (1)，(2) （假言推理） (4) a T (3) (简化式) (5) a b c →∧ P(6) b c ∧ T (4)，(5) （假言推理）(7) c T (6) (简化式) (8)()e f c →⌝→⌝ P(9) ()e f ⌝→⌝ T (7)，(8) (拒取式) (10)()e f ⌝⌝∨⌝ T (9) (蕴含表达式) (11) e f ∧ T (10) (德.摩根律) (12) e T (11) (简化式) (13) b e → CP .14、用逻辑推理规则证明：p q →，p q q ⌝→⇒. 证明：(1) q ⌝ P (附加前提) (2) p q → P(3) p ⌝ T (1),(2) (拒取式) (4) p q ⌝→ P(5) q T (3),(4) (假言推理) (6) q q ⌝∧ T (1),(5) (合取式)由（6）得出矛盾式，故原命题有效.15、用逻辑推理规则证明： p q ∧ ，()()p q t s ↔→∨ ⇒ t s ∨ . 证明:（1）()t s ⌝∨ P (附加前提)(2) ()()p q t s ↔→∨ P(3)()p q ⌝↔ T (1),(2) (拒取式)(4) (()())p q p q ⌝⌝∨∧∨⌝ T (3)（等值与蕴含表达式） (5) ()()p q p q ∧⌝∨⌝∧ T (4) (德.摩根律)(6) ()()p q p q ⌝∨⌝∧∨ T (5) (结合律或范式等价) . (7) p q ⌝∨⌝ T (7) (简化式) (8) ()p q ⌝∧ T (4) (德.摩根律) (9) p q ∧ P(10) ()()p q p q ⌝∧∧∧ T (9),(10) (合取式) 由（10）得出矛盾式，故原命题有效.16、用逻辑推理规则证明：p q →，p r ∧， ()q r ⌝∨不能同时为真. 证明：(1) p r ∧ P(2) p T (1) (简化式) (3) p q → P(4) q T (2),(3) (假言推理) (5) ()q r ⌝∨ P(6) q r ⌝∧⌝ T (5) (德.摩根律) (7) q ⌝ T (6) (简化式)(8) q q ⌝∧ T (4),(7) (合取式)由（8）得出矛盾式，故原命题有效.17、证明下列命题推得的结论有效：或者逻辑难学，或者有少数学生不喜欢它；如果数学容易学，那么逻辑并不难学.因此，如果许多学生喜欢逻辑，那么数学并不难学. 证明：设p ：逻辑难学；q ：有少数学生不喜欢逻辑学；r ：数学容易学.该推理就是要证明：, p q r p q r ∨→⌝⇒⌝→⌝. (1) p q ∨ P(2) p q ⌝→ T (1) (蕴含表达式) (3) r p →⌝ P(4) r q → T (2),(3) (前提三段论)(5) q r ⌝→⌝ T (4) (逆反律) .18、证明下列命题推得的结论有效：如果今天是星期三，那么我有一次离散数学或数字逻辑测验；如果离散数学课老师有事，那么没有离散数学测验；今天是星期三且离散数学老师有事.所以，我有一次数字逻辑测验.证明：设p ：今天是星期三；q ：我有一次离散数学测验；r ：我有一次数字逻辑测验；s ：离散数学课老师有事. 该推理就是要证明：(), , p q r s q p s r →∨→⌝∧⇒. (1) p s ∧ P(2) p T (1) (简化式) (3) s T (1) (简化式) (4) s q →⌝ P(5) q ⌝ T (3) ，(4) （假言推理）(6) ()p q r →∨ P(7) q r ∨ T (2) ，(6) （假言推理） (8) r T (5) ，(7) (析取三段论) .19、证明下列命题推得的结论有效：如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟；如果母鸡是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑；烤熟的鸭子不会跑.所以，羊不吃草。
(完整版)命题逻辑复习题及答案
命题逻辑一、选择题（每题3分）1、下列句子中哪个是命题？ ( C )A 、你的离散数学考试通过了吗？B 、请系好安全带！C 、 π是有理数D 、 本命题是假的 2、下列句子中哪个不是命题？ ( C )A 、你通过了离散数学考试B 、我俩五百年前是一家C 、 我说的是真话D 、 淮海工学院是一座工厂 3、下列联接词运算不可交换的是( C )A 、∧B 、∨C 、 →D 、 ↔ 4、命题公式P Q ⌝→不能表述为( B )A 、P 或QB 、非P 每当QC 、非P 仅当QD 、除非P ，否则Q 5、永真式的否定是 ( B )A 、 永真式B 、永假式C 、可满足式D 、 以上答案均有可能 6、下列哪组赋值使命题公式()P P Q →∧的真值为假( D )A 、P 假Q 真B 、P 假Q 假C 、P 真Q 真D 、P 真Q 假 7、下列为命题公式()P Q R ∧∨⌝成假指派的是( B )A 、100B 、101C 、110D 、111 8、 下列公式中为永真式的是 ( C )A 、()P P Q →∧B 、()P P Q ⌝→∧C 、()P Q Q ∧→D 、()P Q Q ∨→ 9、 下列公式中为非永真式的是( B )A 、 ()P P Q ∧⌝→B 、()P P Q ∨⌝→C 、()P P Q ∧⌝→D 、()P P Q ∨⌝→ 10、下列表达式错误的是( D )A 、()P P Q P ∨∧⇔B 、()P P Q P ∧∨⇔C 、()P P Q P Q ∨⌝∧⇔∨D 、()P P Q P Q ∧⌝∨⇔∨ 11、下列表达式正确的是( D )A 、P P Q ⇒∧B 、P Q P ⇒∨C 、()Q P Q ⌝⇒⌝→D 、Q Q P ⌝⇒→⌝)( 12、下列四个命题中真值为真的命题为( B )（1）224+=当且仅当3是奇数 （2）224+=当且仅当3不是奇数； （3）224+≠当且仅当3是奇数 （4）224+≠当且仅当3不是奇数 A 、（1）与（2） B 、（1）与（4） C 、（2）与（4） D 、（3）与（4）13、设P ：龙凤呈祥是成语，Q ：雪是黑的，R ：太阳从东方升起，则下列假命题为( A ) A 、R Q P ∧→ B 、Q P S →∧ C 、P Q R →∨ D 、 Q P S →∨14、设P ：我累，Q ：我去打球，则命题：“除非我累，否则我去打球”的符号化为（ B ） A 、P Q → B 、Q P ⌝→ C 、 Q P →⌝ D 、P Q ⌝→⌝15、设P ：我听课，Q ：我睡觉，则命题 “我不能一边听课，一边睡觉”的符号化为( B ) A 、P Q → B 、Q P ⌝→ C 、 Q P →⌝ D 、P Q ⌝→⌝ 提示：()P Q P Q ⌝∧⇔→⌝16、设P ：停机；Q ：语法错误；R ：程序错误，则命题 “停机的原因在于语法错误或程序错误” 的符号化为（ D ）A 、R Q P ∧→B 、P Q R →∨C 、Q R P ∧→D 、Q R P ∨→ 17、设P ：你来了；Q ：他唱歌；R ：你伴奏则命题 “如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定” 的符号化为（ D ） A 、()P Q R →∧ B 、()P Q R →→ C 、()P R Q →→ D 、()P Q R →↔ 18、在命运题逻辑中，任何非永真命题公式的主合取范式都是（ A ）A 、 存在并且唯一B 、存在但不唯一C 、 不存在D 、 不能够确定19、在命题逻辑中，任何非永假命题公式的主析取范式都是（ A ）A 、 存在并且唯一B 、存在但不唯一C 、 不存在D 、 不能够确定 20、n 个命题变元所产生互不等价的极小项项数为（ D ）A 、nB 、2nC 、2n D 、2n 21、n 个命题变元所产生互不等价的极大项项数为（ D ）A 、nB 、2nC 、2n D 、2n二、填充题（每题4分）1、设P ：你努力，Q ：你失败，则 “虽然你努力了，但还是失败了” 符号化为Q P ∧.2、设P ：它占据空间，Q ：它有质量，R ：它不断运动，S ：它叫做物质， 则 “占据空间的，有质量的而且不断运动的叫做物质”符号化为R Q P S ∧∧↔.3、一个命题含有n 个原子命题，则对其所有可能赋值有2n 种.4、推理规则()A A B B ∧→→的名称为假言推理.5、推理规则()B A B A ⌝∧→→⌝的名称为拒取式.6、推理规则()A A B B ⌝∧∨⇒的名称为析取三段论.7、推理规则()()A B B C A C →∧→⇒→的名称为前提三段论.8、当赋予极小项足标相同的指派时，该极小项的真值为1，当赋予极大项足标相同的指派时，该极大项的真值为0.9、任意两个不同极小项的合取式的真值为0，而全体极小项的析取式的真值为1. 10、任意两个不同极大项的析取式的真值为1，而全体极大项的合取式的真值为0. 11、n 个命题变元可构造包括F 的不同的主析取范式类别为22n. 12、n 个命题变元可构造包括T 的不同的主合取范式类别为22n .三、问答题（每题6分）1、设A 、B 是任意命题公式，请问,A B A B →⇒分别表示什么？其有何关系？ 答：A B →表示A 蕴含B ，A B ⇒表示A 永真蕴含B ； 其关系表现为：若A B →为永真式，则有A B ⇒.2、设A 、B 是任意命题公式，请问,A B A B ↔⇔分别表示什么？其有何关系？ 答：A B ↔表示A 等值于B ，A B ⇔表示A 与B 逻辑等价； 其关系表现为：若A B ↔为永真式，则有A B ⇔.3、设A 、B 、C 是任意命题公式，若A C B C ∨⇔∨ ，则A B ⇔成立吗？为什么？ 答：不一定有A B ⇔；若A 为真，B 为假，C 为真，则A C B C ∨⇔∨成立，但A B ⇔不成立.4、设A 、B 、C 是任意命题公式，若A C B C ∧⇔∧ ，则A B ⇔成立吗？为什么？ 答：不一定有A B ⇔；若A 为真，B 为假，C 为假，则A C B C ∧⇔∧成立，但A B ⇔不成立. 5、设A 、B 是任意命题公式，()A A B B ∧→→一定为真吗？为什么？答：一定为真；因()()()()A A B B A A B B A A A B B ∧→→⇔∧⌝∨→⇔∧⌝∨∧→()F A B B A B B T ⇔∨∧→⇔∧→⇔.（用真值表也可证明）6、设A 、B 是任意命题公式，()()A B A B A →∧→⌝↔⌝一定为真吗？为什么？ 答：一定为真；因()()()()()A B A B A B A B A B B →∧→⌝⇔⌝∨∧⌝∨⌝⇔⌝∨∧⌝ A F A ⇔⌝∨⇔⌝.（用真值表也可证明）四、填表计算题（每题10分）1、对命题公式 ()()A p q p q =⌝→∧∨，要求（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解：p q p q → ()p q ⌝→p q ∨A 00 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 111 0 1主析取范式(2)A ⇔∑ ；主合取范式(0,1,3)A ⇔∏.2、对命题公式 ()A p q r =→↔，要求（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解：p q r p q → A 00 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 11111主析取范式(1,3,4,7)A ⇔∑ ；主合取范式(0,2,5,6)A ⇔∏.3、对命题公式 ()()A p q p r =∧∨∧，要求（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解：p q r p q ∧ p r ∧ A 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 111111主析取范式(5,6,7)A ⇔∑ ；主合取范式(0,1,2,3,4)A ⇔∏.4、对命题公式()()A p q p r =⌝→∧→，要求（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解：主析取范式(2,3,5,7)A ⇔∑ ；主合取范式(0,1,4,6)A ⇔∏.5、对命题公式()A p q r =⌝∨⌝→，要求（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解：主析取范式(1,3,5,6,7)A ⇔∑ ；主合取范式(0,2,4)A ⇔∏.五、证明题（每题10分）1、证明下列逻辑恒等式：()()()P Q R Q P R Q →∧→⇔∨→. 证明 ： 左()()()P Q R Q P R Q ⇔⌝∨∧⌝∨⇔⌝∧⌝∨()P R Q P R Q ⇔⌝∨∨⇔∨→⇔右.（用真值表也可证明） 2、证明下列逻辑恒等式： P Q R R Q P ⌝∧⌝→⌝⇔→∨. 证明：左()P Q R P Q R ⇔⌝⌝∧⌝∨⌝⇔∨∨⌝()R Q P R Q P ⇔⌝∨∨⇔→∨⇔右.（用真值表也可证明）3、证明下列逻辑恒等式：()()()P Q P Q P Q ⌝↔⇔∨∧⌝∧. 证明：左()()()()()P Q P Q P Q P Q ⇔⌝∨⌝∧⌝∨⇔⌝∨⌝∨⌝⌝∨()()()()()()Q Q P Q Q P P P Q P Q P ⌝∨∧∨∧⌝∧⌝∧⌝∨⇔⌝∧∨∧⌝⇔()()⇔⌝∨⌝∧∨⇔Q P Q P ()()P Q P Q ∨∧⌝∧右⇔.（用真值表也可证明）4、用逻辑推理规则证明： ()a b c ∧→ ，d ⌝ ，c d ⌝∨ ⇒ a b ⌝∨⌝ . 证明:(1) c d ⌝∨ P(2) d ⌝ P(3)c ⌝ T (1),(2) (析取三段论) (4) ()a b c ∧→ P(5)()a b ⌝∧ T (3)，(4) (拒取式) (6) a b ⌝∨⌝ T (5) (德.摩根律) . 5、用逻辑推理规则证明： , ,p q p s s r r q ∨→→⇒⌝→. 证明: (1) p s → P(2) s r → P (3) p r → T (1),(2) (前提三段论) (4)r p ⌝→⌝ T (3) (逆反律) (5)p q ∨ P (6)p q ⌝→ T (5) (蕴含表达式)(7)r q ⌝→ T (4)，(6) (前提三段论) .6、用逻辑推理规则证明：p q →，p r ∧， q r ⌝∨，r ⌝，s p s ⌝∨⇒⌝. 证明: (1) r ⌝ P(2) q r ⌝∨ P(3) q ⌝ T (1),(2) (析取三段论) (4)p q → P(5) p ⌝ T (3)，(4) (拒取式) (6) s p ⌝∨ P(7) s ⌝T (5)，(6) (析取三段论) .7、用逻辑推理规则证明：()()p q r s ⌝→→⌝∨，()q p r →∨⌝， r p q ⇒↔. 证明: (1) r P(2) ()q p r →∨⌝ P(3) q p → T (1),(2) (析取三段论) (4) r s ∨ T (1) (加法式)(5) ()()p q r s ⌝→→⌝∨ P (6) p q → T (4)，(5) (拒取式) (7) ()()p q q p →∧→ T (3)，(6) (合取式) (8) p q ↔ T (7) (等值表达式) .8、用逻辑推理规则证明： , ,s p p r q r s q ⌝∨→∧⇒→.证明: (1) s P(2) s p ⌝∨ P(3) p T (1),(2) (析取三段论)(4) p r q →∧ P(5) r q ∧ T (3)，(4) (假言推理) (6) q T (5)（简化式） (7) s q → CP . 9、用逻辑推理规则证明：()()p q r p q r ∨→⇒∧→ 证明：(1) p q ∧ P (附加前提)(2) p T (1)（简化式）(3) p q ∨ T (2)（加法式） (4) ()p q r ∨→ P(5) r T (3),(4)（假言推理） (6) ()()p q r p q r ∨→⇒∧→ CP .10、用逻辑推理规则证明：,,p q q r r s p s ⌝∨⌝∨→⇒→. 证明：（1）p P (附加前提)(2) p q ⌝∨ P(3) q T (1)，(2) (析取三段论) （4）q r ⌝∨ P(5) r T (3)，(4) (析取三段论) (6) r s → P(7) s T (5)，(6) （假言推理） (8) p s → CP .11、用逻辑推理规则证明：()()p q r s ∨→∧，()r s t p t ∨→⇒→ . 证明：（1）p P (附加前提) (2)p q ∨ T (1)（加法式） (3)()()p q r s ∨→∧ P(4)r s ∧ T (2)，(3)（假言推理） (5)r T (4)（简化式） (6)r s ∨ T (5)（加法式）(7)()r s t ∨→ P (8)t T (6)，(7)（假言推理）(9)p t → CP . 12、用逻辑推理规则证明：(),,t w s q s t s q t →⌝→⌝⌝∨→⌝⇒→ 证明：（1）q P (附加前提)(2) q s ⌝∨ P(3) s T (1)，(2) (析取三段论)(4) ()t w s →⌝→⌝ P(5)()t w ⌝→⌝ T (3)，(4) (拒取式) (6)()t w ⌝⌝∨⌝ T (5) (蕴含表达式) (7) t w ∧ T (6) (德.摩根律) (8) t T (7) (简化式)(9)q t → CP .13、用逻辑推理规则证明：a b c →∧，()e f c →⌝→⌝，()b a s →∧⌝⇒b e →. 证明：（1） b P (附加前提) （2）()b a s →∧⌝ P(3) a s ∧⌝ T (1)，(2) （假言推理） (4) a T (3) (简化式) (5) a b c →∧ P(6) b c ∧ T (4)，(5) （假言推理）(7) c T (6) (简化式) (8)()e f c →⌝→⌝ P(9) ()e f ⌝→⌝ T (7)，(8) (拒取式) (10)()e f ⌝⌝∨⌝ T (9) (蕴含表达式) (11) e f ∧ T (10) (德.摩根律) (12) e T (11) (简化式) (13) b e → CP .14、用逻辑推理规则证明：p q →，p q q ⌝→⇒. 证明：(1) q ⌝ P (附加前提) (2) p q → P(3) p ⌝ T (1),(2) (拒取式) (4) p q ⌝→ P(5) q T (3),(4) (假言推理)(6) q q ⌝∧ T (1),(5) (合取式)由（6）得出矛盾式，故原命题有效.15、用逻辑推理规则证明： p q ∧ ，()()p q t s ↔→∨ ⇒ t s ∨ . 证明:（1）()t s ⌝∨ P (附加前提)(2) ()()p q t s ↔→∨ P(3)()p q ⌝↔ T (1),(2) (拒取式) (4) (()())p q p q ⌝⌝∨∧∨⌝ T (3)（等值与蕴含表达式） (5) ()()p q p q ∧⌝∨⌝∧ T (4) (德.摩根律)(6) ()()p q p q ⌝∨⌝∧∨ T (5) (结合律或范式等价) . (7) p q ⌝∨⌝ T (7) (简化式) (8) ()p q ⌝∧ T (4) (德.摩根律) (9) p q ∧ P(10) ()()p q p q ⌝∧∧∧ T (9),(10) (合取式) 由（10）得出矛盾式，故原命题有效.16、用逻辑推理规则证明：p q →，p r ∧， ()q r ⌝∨不能同时为真. 证明：(1) p r ∧ P(2) p T (1) (简化式) (3) p q → P(4) q T (2),(3) (假言推理) (5) ()q r ⌝∨ P(6) q r ⌝∧⌝ T (5) (德.摩根律) (7) q ⌝ T (6) (简化式) (8) q q ⌝∧ T (4),(7) (合取式)由（8）得出矛盾式，故原命题有效.17、证明下列命题推得的结论有效：或者逻辑难学，或者有少数学生不喜欢它；如果数学容易学，那么逻辑并不难学.因此，如果许多学生喜欢逻辑，那么数学并不难学. 证明：设p ：逻辑难学；q ：有少数学生不喜欢逻辑学；r ：数学容易学.该推理就是要证明：, p q r p q r ∨→⌝⇒⌝→⌝. (1) p q ∨ P(2) p q ⌝→ T (1) (蕴含表达式) (3) r p →⌝ P(4) r q → T (2),(3) (前提三段论)(5) q r ⌝→⌝ T (4) (逆反律) .18、证明下列命题推得的结论有效：如果今天是星期三，那么我有一次离散数学或数字逻辑测验；如果离散数学课老师有事，那么没有离散数学测验；今天是星期三且离散数学老师有事.所以，我有一次数字逻辑测验.证明：设p ：今天是星期三；q ：我有一次离散数学测验；r ：我有一次数字逻辑测验；s ：离散数学课老师有事. 该推理就是要证明：(), , p q r s q p s r →∨→⌝∧⇒. (1) p s ∧ P(2) p T (1) (简化式) (3) s T (1) (简化式) (4) s q →⌝ P(5) q ⌝ T (3) ，(4) （假言推理）(6) ()p q r →∨ P(7) q r ∨ T (2) ，(6) （假言推理）(8) r T (5) ，(7) (析取三段论) .19、证明下列命题推得的结论有效：如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟；如果母鸡是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑；烤熟的鸭子不会跑.所以，羊不吃草。
命题逻辑练习题
1．已知命题p ：R x ∈∀，0312>+x ，命题q ：20<<x 是1log 2<x 的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p ⌝B ．q p ∧C ．)(q p ⌝∧D ．q p ∨⌝2．已知命题R x p ∈∃0:，使25sin 0=x ，命题x x x q sin ),2,0(:>∈∀π，则下列判断正确的是（ ）A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．q p ∧为真D ．q p ∨为假3．“21<-x 成立”是“0)3(<-x x 成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为（ ）A ．200,10x R x ∃∈+≤B ．200,10x R x ∃∈+>C ．200,10x R x ∀∈+<D ．200,10x R x ∀∈+≤5．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”．D ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．6．m ＜n ＜0是＞成立的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．原命题“若3x ≤-，则0x <”的逆否命题．．．．是（ ） A ．若3x <-，则0x ≤ B ．若3x >-，则0x ≥C ．若0x <，则3x ≤-D ．若0x ≥，则3x >-8．已知命题:,2p x R x ∀∈≥，那么命题p ⌝为（ ）A ．,2x R x ∀∈≤B ．2,00<∈∃x R xC ．2,-≤∈∀x R xD ．00,2x R x ∃∈<-9．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为：“若x 2=1，则x≠1”B ．若p ∨q 为真命题，则p ，q 均为真命题C ．命题“存在x ∈R ，使得x 2+x+1＜0”的否定是：“对任意x ∈R ，均有x 2+x+1＜0”D ．命题“若x=y ，则sinx=siny”的逆否命题为真命题10．已知p ：“a，b ，c 成等比数列”，q ：“”，那么p 成立是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又非必要条件11．下列命题中正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．“0a >，0b >”是“2b a a b+≥”的充分必要条件 C ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的逆否命题为“若1x ≠或2x ≠，则2320x x -+≠”D ．命题:p 0R x ∃∈，使得20010x x +-<，则:p ⌝R x ∀∈，使得210x x +-≥12．“12m =”是“直线(2)310m x my +++=与直线(2)(2)30m x m y -++-=垂直”的（ ）A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件13．“cos α＝”是“cos 2α＝”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知命题1:,2p x R x x ∀∈+≥；命题:[0,]2q x π∃∈，使sin cos 2x x +=，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ⌝∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧⌝D ．p q ∧15．已知命题:p 存在a R ∈，曲线221x ay +=为双曲线；命题1:02x q x -≤-的解集是{}12x x <<.给出下列结论中正确的有（ ）①命题“p 且q ”是真命题； ②命题“p 且()q ⌝”是真命题； ③命题“()p ⌝或q ”为真命题； ④命题“()p ⌝或()q ⌝”是真命题.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．已知q p ,是两个命题，那么“q p ∧是真命题”是“p ⌝是假命题”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17．已知命题:p 函数2()24f x x mx =-+在[2)+∞，上单调递增；命题:q 关于x 的不等式22(2)10mx m x +-+>对任意x ∈R 恒成立．若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则实数m 的取值范围为A ．(14)，B ．[24]-，C ．(1](24)-∞，， D ．(1)(24)-∞，， 18．设m n ，是空间两条不同的直线，αβ，是空间两个不同的平面．下列选项中不正确．．．的是A ．当n α⊥时，“n β⊥”是“αβ∥”的充要条件B ．当m α⊂时，“m β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件C ．当m α⊂时，“n α⊥”是“m n ⊥”的充分不必要条件D ．当m α⊂时，“n α∥”是“m n ∥”的必要不充分条件19．已知条件q a a x x q x p ⌝-<+-≤-且条件,:,114:22的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是（ ）A. []2,1-B. 1,22⎛⎫⎪⎝⎭ C. 12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D. [)12,2,2⎛⎫--⋃+∞ ⎪⎝⎭ 20．不等式121x x +>-成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．12x << B ．13x << C ．03x << D ．14x <<21．“x ＞a ”是“x ＞-1”成立的充分不必要条件（ ）A ．a 的值可以是21- B ．a 的值可以是-1C ．a 的值可以是-2D ．a 的值可以是-322．若条件:p 2x ≤，条件:q x a ≤，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．2a ≥B ．2a ≤C ．2a ≥-D ．2a ≤-23．设x x x f 4)(2-=，)(R x ∈，则0)(>x f 的一个必要而不充分条件是（ ） A ．0<x B ．0<x 或4>x C ．11>-x D ．32>-x 24．已知1a >，22()+=x x f x a ，则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是（ ）A.10x -<<B.21x -<<C.20x -<<D.01x <<25．已知直线l ⊥平面α,直线m ∥平面β,则“α∥β”是“l ⊥m”的（ ）(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件26．在下列命题中，真命题的个数是（ ）①若直线a ，b 和平面α满足a ∥α，b ∥α，则a ∥b ．②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α．③若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则平面α∥平面γ．④如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β．A ．0B ．1C ．2D ．327．下列命题中正确的是 （ ）（1）已知命题p ：x R ∃∈，21x =，则p ⌝：x R ∃∈，21x ≠；（2）设l ，m 表示不同的直线，α表示平面，若//l m ，且//m α，则//l α；（3）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“310a ->”发生的概率为23； （4）“0a >，0b >”是“2b a a b+≥”的充分不必要条件． A ．（1）（4） B ．（2）（3） C ．（1）（3） D ．（3）（4）。
命题逻辑推理例题
命题逻辑推理例题
题目：All A are B. All B are C. Therefore, all A are C.
符号表示：
A: A是某一物体的特性
B: B是某一物体的特性
C: C是某一物体的特性
解答：
根据题目，我们可以通过两个前提得出结论。
前提1告诉我们A是B的特性，前提2告诉我们B是C的特性。
根据这些信息，我们可以得出结论A是C的特性。
这可以通过以下推理步骤来证明：
1. 前提1：所有A都是B。
2. 前提2：所有B都是C。
3. 根据前提1，我们得知某一物体(X)是A的特性。
4. 根据前提2，我们得知某一物体(X)是B的特性。
5. 由3和4得知，某一物体(X)既是A的特性又是B的特性。
6. 由5得知，某一物体(X)也是C的特性。
7. 由6得知，所有A都是C。
所以，结论是所有A都是C的。
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命题逻辑
一、选择题（每题3分）
1、下列句子中哪个是命题？ ( )
A 、你的离散数学考试通过了吗？
B 、请系好安全带！
C 、 π是有理数
D 、 本命题是假的 2、下列句子中哪个不是命题？ ( )
A 、你通过了离散数学考试
B 、我俩五百年前是一家
C 、 我说的是真话
D 、 淮海工学院是一座工厂 3、下列联接词运算不可交换的是( )
A 、∧
B 、∨
C 、 →
D 、 ↔ 4、命题公式P Q ⌝→不能表述为( )
A 、P 或Q
B 、非P 每当Q
C 、非P 仅当Q
D 、除非P ，否则Q 5、永真式的否定是 ( )
A 、 永真式
B 、永假式
C 、可满足式
D 、 以上答案均有可能 6、下列哪组赋值使命题公式()P P Q →∧的真值为假( )
A 、P 假Q 真
B 、P 假Q 假
C 、P 真Q 真
D 、P 真Q 假 7、下列为命题公式()P Q R ∧∨⌝成假指派的是( )
A 、100
B 、101
C 、110
D 、111 8、 下列公式中为永真式的是 ( )
A 、()P P Q →∧
B 、()P P Q ⌝→∧
C 、()P Q Q ∧→
D 、()P Q Q ∨→ 9、 下列公式中为非永真式的是( )
A 、 ()P P Q ∧⌝→
B 、()P P Q ∨⌝→
C 、()P P Q ∧⌝→
D 、()P P Q ∨⌝→ 10、下列表达式错误的是( )
A 、()P P Q P ∨∧⇔
B 、()P P Q P ∧∨⇔
C 、()P P Q P Q ∨⌝∧⇔∨
D 、()P P Q P Q ∧⌝∨⇔∨ 11、下列表达式正确的是( )
A 、P P Q ⇒∧
B 、P Q P ⇒∨
C 、()Q P Q ⌝⇒⌝→
D 、Q Q P ⌝⇒→⌝)( 12、下列四个命题中真值为真的命题为( )
（1）224+=当且仅当3是奇数 （2）224+=当且仅当3不是奇数； （3）224+≠当且仅当3是奇数 （4）224+≠当且仅当3不是奇数 A 、（1）与（2） B 、（1）与（4） C 、（2）与（4） D 、（3）与（4）
13、设P ：龙凤呈祥是成语，Q ：雪是黑的，R ：太阳从东方升起，则下列假命题为( ) A 、R Q P ∧→ B 、Q P S →∧ C 、P Q R →∨ D 、 Q P S →∨
14、设P ：我累，Q ：我去打球，则命题：“除非我累，否则我去打球”的符号化为（ ） A 、P Q → B 、Q P ⌝→ C 、 Q P →⌝ D 、P Q ⌝→⌝
15、设P ：我听课，Q ：我睡觉，则命题 “我不能一边听课，一边睡觉”的符号化为( ) A 、P Q → B 、Q P ⌝→ C 、 Q P →⌝ D 、P Q ⌝→⌝ 提示：()P Q P Q ⌝∧⇔→⌝
16、设P ：停机；Q ：语法错误；R ：程序错误，
则命题 “停机的原因在于语法错误或程序错误” 的符号化为（ ）
A 、R Q P ∧→
B 、P Q R →∨
C 、Q R P ∧→
D 、Q R P ∨→ 17、设P ：你来了；Q ：他唱歌；R ：你伴奏
则命题 “如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定” 的符号化为（ ） A 、()P Q R →∧ B 、()P Q R →→ C 、()P R Q →→ D 、()P Q R →↔ 18、在命运题逻辑中，任何非永真命题公式的主合取范式都是（ ）
A 、 存在并且唯一
B 、存在但不唯一
C 、 不存在
D 、 不能够确定
19、在命题逻辑中，任何非永假命题公式的主析取范式都是（ ）
A 、 存在并且唯一
B 、存在但不唯一
C 、 不存在
D 、 不能够确定 20、n 个命题变元所产生互不等价的极小项项数为（ ）
A 、n
B 、2n
C 、2
n D 、2n 21、n 个命题变元所产生互不等价的极大项项数为（ ）
A 、n
B 、2n
C 、2
n D 、2n
二、填充题（每题4分）
1、设P ：你努力，Q ：你失败，则 “虽然你努力了，但还是失败了” 符号化为.
2、设P ：它占据空间，Q ：它有质量，R ：它不断运动，S ：它叫做物质， 则 “占据空间的，有质量的而且不断运动的叫做物质”符号化为.
3、一个命题含有n 个原子命题，则对其所有可能赋值有 种.
4、推理规则()A A B B ∧→→的名称为假言推理.
5、推理规则()B A B A ⌝∧→→⌝的名称为拒取式.
6、推理规则()A A B B ⌝∧∨⇒的名称为析取三段论.
7、推理规则()()A B B C A C →∧→⇒→的名称为前提三段论.
8、当赋予极小项足标相同的指派时，该极小项的真值为1，当赋予极大项足标相同的指派时，该极大项的真值为0.
9、任意两个不同极小项的合取式的真值为0，而全体极小项的析取式的真值为1. 10、任意两个不同极大项的析取式的真值为1，而全体极大项的合取式的真值为0. 11、n 个命题变元可构造包括F 的不同的主析取范式类别为. 12、n 个命题变元可构造包括T 的不同的主合取范式类别为
.
三、问答题（每题6分）
1、设A 、B 是任意命题公式，请问,A B A B →⇒分别表示什么？其有何关系？
2、设A 、B 是任意命题公式，请问,A B A B ↔⇔分别表示什么？其有何关系？
3、设A 、B 、C 是任意命题公式，若A C B C ∨⇔∨ ，则A B ⇔成立吗？为什么？
4、设A 、B 、C 是任意命题公式，若A C B C ∧⇔∧ ，则A B ⇔成立吗？为什么？
5、设A 、B 是任意命题公式，()A A B B ∧→→一定为真吗？为什么？
6、设A 、B 是任意命题公式，()()A B A B A →∧→⌝↔⌝一定为真吗？为什么？
四、填表计算题（每题10分）
1、对命题公式 ()()A p q p q =⌝→∧∨，要求
（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解：
p q p q → ()p q ⌝→
p q ∨
A 0
0 0 1 1 0 1
1
（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解：
p q
r p q → A 0 0
0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1
1
3、对命题公式 ()()A p q p r =∧∨∧，要求
（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式.
解：
p q r
p q ∧ p r ∧ A 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1
4、对命题公式()()A p q p r =⌝→∧→，要求
（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解：
（1）用0或1填补其真值表的空格处；（2）求该命题公式的主析取范式与主合取范式. 解：
五、证明题（每题10分）
1、证明下列逻辑恒等式：()()()P Q R Q P R Q →∧→⇔∨→.
2、证明下列逻辑恒等式： P Q R R Q P ⌝∧⌝→⌝⇔→∨.
3、证明下列逻辑恒等式：()()()P Q P Q P Q ⌝↔⇔∨∧⌝∧.
4、用逻辑推理规则证明： ()a b c ∧→ ，d ⌝ ，c d ⌝∨ ⇒ a b ⌝∨⌝ .
5、用逻辑推理规则证明： , ,p q p s s r r q ∨→→⇒⌝→.
6、用逻辑推理规则证明：p q →，p r ∧， q r ⌝∨，r ⌝，s p s ⌝∨⇒⌝.
7、用逻辑推理规则证明：()()p q r s ⌝→→⌝∨，()q p r →∨⌝， r p q ⇒↔.
8、用逻辑推理规则证明： , ,s p p r q r s q ⌝∨→∧⇒→.
9、用逻辑推理规则证明：()()p q r p q r ∨→⇒∧→
10、用逻辑推理规则证明：,,p q q r r s p s ⌝∨⌝∨→⇒→.
11、用逻辑推理规则证明：()()p q r s ∨→∧，()r s t p t ∨→⇒→ . 12、用逻辑推理规则证明：(),,t w s q s t s q t →⌝→⌝⌝∨→⌝⇒→
13、用逻辑推理规则证明：a b c →∧，()e f c →⌝→⌝，()b a s →∧⌝⇒b e →. 14、用逻辑推理规则证明：p q →，p q q ⌝→⇒.
15、用逻辑推理规则证明： p q ∧ ，()()p q t s ↔→∨ ⇒ t s ∨ . 16、用逻辑推理规则证明：p q →，p r ∧， ()q r ⌝∨不能同时为真.
17、证明下列命题推得的结论有效：或者逻辑难学，或者有少数学生不喜欢它；如果数学容易学，那么逻辑并不难学.因此，如果许多学生喜欢逻辑，那么数学并不难学.
18、证明下列命题推得的结论有效：如果今天是星期三，那么我有一次离散数学或数字逻辑测验；如果离散数学课老师有事，那么没有离散数学测验；今天是星期三且离散数学老师有事.所以，我有一次数字逻辑测验.
19、证明下列命题推得的结论有效：如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟；如果母鸡是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑；烤熟的鸭子不会跑.所以，羊不吃草。
20、证明下列命题推得的结论有效：若A 队第一，则B 队或C 队获亚军；若C 队获亚军，则A 队不能获冠军；若D 队亚军，则B 队不能获亚军；A 队获第一.所以，D 队不是亚军.。