2019届北师大版九年级数学下册课件：第三章《圆》单元小结与复习(共33张PPT)
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第三章 圆 复习课(共24张PPT) 北师大版九年级下册数学
想，根据已有信息，你能得到哪些结论？运用了哪些数学知识？
生:由D点的坐标(0，－4)及圆的对称性，我得到了C点的坐
标为(0，4).
预习导学
生:我可以计算出圆的半径为5.
生:数学知识:如直角三角形、等腰三角形.
师:你是怎么求的？数学依据是什么？
生:连接MD，勾股定理可以得到OM＝3，圆的半径为5.
生:除了可以得到点的坐标外，我还能计算出线段AC的长度
直径 .
(4)圆内接四边形的对角
一半 .
互补 .
预习导学
4.切线的性质和判定及切线长.
(1)圆的切线 垂直于 经过切点的半径.
(2)经过直径的一端，并且 垂直于 这条直径的直线是圆
的切线.
(3)过圆外一点所画的圆的两条切线的
长相等 .
预习导学
5.与圆有关的位置关系.
点和圆的位置关系
点到圆心的距离d与r的关系
常用的辅助线，由此可得到相等的角；
(2)当图形中有直径时，“见直径，构造直径所对的圆周角”
是常用的辅助线；
(3)当图形中有与半径垂直的线段时，常延长此线段与圆相
交，这样可利用垂径定理得到相等的线段和相等的弧.
第三章 圆
第三章 复习课
复习目标
1.会利用垂径定理及其推论进行计算和证明.
2.知道弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系，并能应用它们
之间的关系进行推理和证明.
3.知道点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，并能判断
这些位置关系，知道切线的性质和判定定理及切线长定理，并
能应用其进行推理和计算.
复习目标
4.会画三角形的外接圆和内切圆，知道三角形内心和外心的
也很有可能会考查.
合作探究
生:由D点的坐标(0，－4)及圆的对称性，我得到了C点的坐
标为(0，4).
预习导学
生:我可以计算出圆的半径为5.
生:数学知识:如直角三角形、等腰三角形.
师:你是怎么求的？数学依据是什么？
生:连接MD，勾股定理可以得到OM＝3，圆的半径为5.
生:除了可以得到点的坐标外，我还能计算出线段AC的长度
直径 .
(4)圆内接四边形的对角
一半 .
互补 .
预习导学
4.切线的性质和判定及切线长.
(1)圆的切线 垂直于 经过切点的半径.
(2)经过直径的一端，并且 垂直于 这条直径的直线是圆
的切线.
(3)过圆外一点所画的圆的两条切线的
长相等 .
预习导学
5.与圆有关的位置关系.
点和圆的位置关系
点到圆心的距离d与r的关系
常用的辅助线，由此可得到相等的角；
(2)当图形中有直径时，“见直径，构造直径所对的圆周角”
是常用的辅助线；
(3)当图形中有与半径垂直的线段时，常延长此线段与圆相
交，这样可利用垂径定理得到相等的线段和相等的弧.
第三章 圆
第三章 复习课
复习目标
1.会利用垂径定理及其推论进行计算和证明.
2.知道弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系，并能应用它们
之间的关系进行推理和证明.
3.知道点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，并能判断
这些位置关系，知道切线的性质和判定定理及切线长定理，并
能应用其进行推理和计算.
复习目标
4.会画三角形的外接圆和内切圆，知道三角形内心和外心的
也很有可能会考查.
合作探究
北师大版九年级数学下册3.1圆-(共32张)PPT课件
O
C
D
A
.
B
0
C
D
B
17
一张靶纸如图所示，靶纸上的1，3，5,7,9分别表 示投中该靶区的得分数，小明、小华、小红3人各 投了6次镖，每次镖都中了靶，最后他们是这样说 的—
小明说：“我只得了8分.” 小华说：“我共得了56分.” 小红说：“我共得了28分.” 他们可能得到这些分数 吗？如果可能，请把投 中的靶区在靶纸上表示 出来（用不同颜色的彩 笔画出来）；如果不可 能，请说明理由.
如直径CD.
我们知道，圆上任意
两点的部分叫做圆弧,
简称弧.
圆的任意一条直径的两个 端点分圆成两条弧,每一 弧都叫做半圆.
弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧叫做优弧,小于 半圆的弧叫做劣弧.
如图中，以A,D为端点的弧有两条：优弧ACD（记
作ACD），劣弧ABD（记作AD或ABD）.
.
5
能够重合的两个圆叫做等圆。 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
.
53
18
小明可能，如1+1+1+1+1+3=8（分）； 小华不可能，因为最多只能得到9×6=54（分）； 小红可能，如5+5+5+5+7+1=28（分）.
.
19
已知Rt△ABC中，AB＜BC ∠B=90°，以点B为圆心， BA为半径画圆。Rt△ABC的各个顶点与⊙B在位置上 有什么关系？ 点A在圆上、点B在圆内、点C在圆外
羊平时拴在A处，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳子
可以选用（ ）
A.3m
B.5m
C.7m
D.9m
答案:A
.
26
北师大版九年级数学下册第三章《圆》小结与复习课件
半径作⊙M，当⊙M与直线l相切时，则m的值为_2__5___2_．
考点五 切线的性质与判定
例5 如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D， 且过点D的切线DE平分边BC. 问：BC与⊙O是否相切？
解：BC与⊙O相切． 理由：连接OD，BD， ∵DE切⊙O于D，AB为直径， ∴∠EDO＝∠ADB＝90°. 又DE平分CB，∴DE＝2(1)BC＝BE. ∴∠EDB＝∠EBD. 又∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋ ∠EDB＝90°，∴∠OBD＋∠DBE＝90°， 即∠ABC＝90°. ∴BC与⊙O相切．
A
CO=24-8=16cm,
∴S扇形OCD=
2.切线长及切线长定理
切线长： 从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称
为切线长.
切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这
一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
八、三角形的内切圆及内心
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
每一条边所 对的圆心角
正多边 形的中心 正多边形的半径 正多边形的中心角
边心距
正多边形的边心距
2.计算公式
圆内接正多边 形的有 关概念及性质
①正多边形的内角
和=
(n 2) 180
n 360
②中心角= n
十、弧长及扇形的面积
（1）弧长公式： l n R 180
（2）扇形面积公式： S n R2 1 lR
A
D
F
I
┐ E
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
考点五 切线的性质与判定
例5 如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于点D， 且过点D的切线DE平分边BC. 问：BC与⊙O是否相切？
解：BC与⊙O相切． 理由：连接OD，BD， ∵DE切⊙O于D，AB为直径， ∴∠EDO＝∠ADB＝90°. 又DE平分CB，∴DE＝2(1)BC＝BE. ∴∠EDB＝∠EBD. 又∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋ ∠EDB＝90°，∴∠OBD＋∠DBE＝90°， 即∠ABC＝90°. ∴BC与⊙O相切．
A
CO=24-8=16cm,
∴S扇形OCD=
2.切线长及切线长定理
切线长： 从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称
为切线长.
切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这
一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
八、三角形的内切圆及内心
1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 3.这个三角形叫做圆的外切三角形. 4.三角形的内心就是三角形的三个内角角平分线的交点.
每一条边所 对的圆心角
正多边 形的中心 正多边形的半径 正多边形的中心角
边心距
正多边形的边心距
2.计算公式
圆内接正多边 形的有 关概念及性质
①正多边形的内角
和=
(n 2) 180
n 360
②中心角= n
十、弧长及扇形的面积
（1）弧长公式： l n R 180
（2）扇形面积公式： S n R2 1 lR
A
D
F
I
┐ E
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
北师大版九年级数学下册第三章圆复习课件(共39张PPT)
A．点P B．点Q C．点R D．点M
[解析] B 该是点Q.
圆心既在AB的中垂线上又在 BC的中垂线上，由图可以看出圆心应
方法技巧 过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂 直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分 线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．
►
考点二
垂径定理及其推论
第三章 圆 圆的复习
1．确定圆的要素
圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径， 虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没 有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确 定；只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定．
2．点与圆的位置关系
(1)点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在 圆内．
由三角形的外角求得∠C＝40°，所以∠B＝∠C＝40°.
[解析] 由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，得∠O＝2∠B＝44°， 又因为AB∥CO，所以∠A＝∠O＝44°.
方法技巧 圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实 现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化，从而为研究圆的性质提供 了有力的工具和方法．当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周 角是解决问题的重要思路．在证明有关问题中注意 90° 的圆周角的 构造．
和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并
且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，叫做
三角形的
内心
.
[注意] 对一个确定的三角形来说，其内切圆 有且只有一个，其内心也有且只有一个：内心 就是内切圆的圆心．
[注意] (1)两圆内含时，若 d 为 0，则两圆为同心圆． (2)由两圆构成的图形都是轴对称图形， 其对称轴是两圆的圆 心所在的直线． 12．弧长及扇形的面积公式 (1)弧长公式
[解析] B 该是点Q.
圆心既在AB的中垂线上又在 BC的中垂线上，由图可以看出圆心应
方法技巧 过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂 直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分 线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．
►
考点二
垂径定理及其推论
第三章 圆 圆的复习
1．确定圆的要素
圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径， 虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没 有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确 定；只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定．
2．点与圆的位置关系
(1)点与圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在 圆内．
由三角形的外角求得∠C＝40°，所以∠B＝∠C＝40°.
[解析] 由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍，得∠O＝2∠B＝44°， 又因为AB∥CO，所以∠A＝∠O＝44°.
方法技巧 圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实 现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化，从而为研究圆的性质提供 了有力的工具和方法．当图形中含有直径时，构造直径所对的圆周 角是解决问题的重要思路．在证明有关问题中注意 90° 的圆周角的 构造．
和三角形三边都相切的圆可以作出一个，并
且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心是三角形角平分线的交点，叫做
三角形的
内心
.
[注意] 对一个确定的三角形来说，其内切圆 有且只有一个，其内心也有且只有一个：内心 就是内切圆的圆心．
[注意] (1)两圆内含时，若 d 为 0，则两圆为同心圆． (2)由两圆构成的图形都是轴对称图形， 其对称轴是两圆的圆 心所在的直线． 12．弧长及扇形的面积公式 (1)弧长公式
北师大版九年级数学下册第三章圆复习课件
C．点A在⊙O外部 D．点A不在⊙O上
2、M是⊙O内一点，过点M的⊙O最长的弦为10 cm，
最短的弦长为8 cm，那么OM= _____3cm.
得到右端，也 可以从右端得
dp
点P在⊙O内
d＜到左r 端。 r
点P在⊙O上 点P在⊙O外
d=r
d
r
p
d＞r P d
r
探究与实践
1、平面上有一点A，经过A点的圆有几个？ 圆心在哪里？
●
●O
● ●A O O
●O
●
O
无数个，圆心为点A以外任意一点，半径为这 点与点A的距离
探究与实践
2、平面上有两点A、B，经过点A、B的圆 有几个？它们的圆心分布有什么特点？
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
垂径定理的推论
❖ 如图,在以下五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④A⌒C=B⌒C,
⑤A⌒D=B⌒D. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
AB的垂直平分线上. 经过A,B,C三点的圆的圆心应该这 ●B
┏ ●O
●C
两条垂直平分线的交点O的位置.
归纳结论：
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分
别是方程x －2 6x＋8＝0的两根，那么点A与⊙O的位置关系是
〔D〕
A．点A在⊙O内部 B．点A在⊙O上
❖ 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 ❖ 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任
意一个角度α，都能与原来的图形重合。
2019年九年级数学下册(北师大版)课件：第三章 《圆》单元复习 (共27张PPT)
课 堂 精 讲
【例2】如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于 点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE. （1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长； （2）求证：ED是⊙O的切线.
【分析】（1）连接CD，由直径所对的圆周角为 直角可得∠BDC=90°，即可得CD⊥AB，然后根 据AD=DB，进而可得CD是AB的垂直平分线，进而 可得 AC=BC=2OC=10；
本 章 小 结
课 堂 精 讲
【例1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°， ⊙O的半径为4，则AC的长等于（ ） A.4 B.6 C.2 D.8
【分析】首先连接OA，OC，过点O作 OD⊥AC于点D，由圆周角定理可求得 ∠AOC的度数，进而可在构造的直角三 角形中，根据勾股定理求得弦AC的一半， 由此得解.
课 堂 精 讲
【解答】解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于 点D， ∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD= ∠AOC， ∴∠COD=∠B=60°； 在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°， ∴CD= OC=2 ， ∴AC=2CD=4 . 故选A.
课 堂 精 讲 类 比 精 炼
1. 一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示 放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上， 顶点A，B恰好都落在量角器的圆弧上，且AB∥MN. 若AB=8 cm，则量角器的直径MN= cm.
∴弧AB的长为
π.
能 力 提 升
13.（长春）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四 边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为 （ C ） A.45° B.50° C.60° D.75°
能 力 提 升
14.（2016广州改编）如图，点C为△ABD外接圆上 的一动点（点C不在 上，且不与点B，D重合） ，∠ACB=∠ABD=45°． （1）求证：BD是该外接圆的直径； （2）连接CD，求证： AC=BC+CD； （3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM， 连接DM，试猜想 三者之间满足的等量关系： ．
2019春九年级数学下册第三章圆章末小结与提升课件(新版)北师大版
章末小结与提升
弦与直径 相关概念 弧、半圆、优弧、劣弧 等圆与等弧 垂径定理及推论( 轴对称性 ) 基本性质 弧、弦、圆心角之间的关系 圆周角定理及推论 圆内接四边形的性质
与圆有关的位置关系 点在圆外 点与圆的位置关系 点在圆上 点在圆内 相离 直线和圆的位置关系 相切 ( 切线的性质与判定 ) 相交
如图,△ABC 内接于☉O,AC 为☉O 的直径,PB 是☉O 的切线,B 为切 点,OP⊥BC,垂足为 E,交☉O 于点 D,连接 BD. ( 1 )求证:BD 平分∠PBC; ( 2 )若☉O 的半径为 1,PD=3DE,求 OE 及 AB 的长.
【解析】( 1 )连接 OB. ∵PB 是☉O 的切线,∴OB⊥PB,∴∠PBO=90° , ∴∠PBD+∠OBD=90° , ∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB, ∵OP⊥BC,∴∠BED=90° , ∴∠DBE+∠BDE=90° , ∴∠PBD=∠EBD,∴BD 平分∠PBC.
∴OE=2OC=6,BE=6-3=3,������������的长为=
在 Rt△OCE 中,EC= ������������ 2 -������������ 2 = 62 -32 =3 3, ∴蚂蚁爬过的路程=3+3 3+π≈11.3.
60°× π×3 =π. 180°
内部文件，请勿外传
内部文件，请勿外传
典例 1
的长为
.
【解析】作 CE⊥AB 于点 E,∠B=180° -∠BAC-∠ACB=180° -20° 130° =30° ,在 Rt△BCE 中,∵∠CEB=90° ,∠B=30° ,BC=2,∴ BE= 2 BC= 3,∵CE⊥BD,∴DE=BE,∴BD=2BE=2 3. 【答案】 2 3
弦与直径 相关概念 弧、半圆、优弧、劣弧 等圆与等弧 垂径定理及推论( 轴对称性 ) 基本性质 弧、弦、圆心角之间的关系 圆周角定理及推论 圆内接四边形的性质
与圆有关的位置关系 点在圆外 点与圆的位置关系 点在圆上 点在圆内 相离 直线和圆的位置关系 相切 ( 切线的性质与判定 ) 相交
如图,△ABC 内接于☉O,AC 为☉O 的直径,PB 是☉O 的切线,B 为切 点,OP⊥BC,垂足为 E,交☉O 于点 D,连接 BD. ( 1 )求证:BD 平分∠PBC; ( 2 )若☉O 的半径为 1,PD=3DE,求 OE 及 AB 的长.
【解析】( 1 )连接 OB. ∵PB 是☉O 的切线,∴OB⊥PB,∴∠PBO=90° , ∴∠PBD+∠OBD=90° , ∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB, ∵OP⊥BC,∴∠BED=90° , ∴∠DBE+∠BDE=90° , ∴∠PBD=∠EBD,∴BD 平分∠PBC.
∴OE=2OC=6,BE=6-3=3,������������的长为=
在 Rt△OCE 中,EC= ������������ 2 -������������ 2 = 62 -32 =3 3, ∴蚂蚁爬过的路程=3+3 3+π≈11.3.
60°× π×3 =π. 180°
内部文件，请勿外传
内部文件，请勿外传
典例 1
的长为
.
【解析】作 CE⊥AB 于点 E,∠B=180° -∠BAC-∠ACB=180° -20° 130° =30° ,在 Rt△BCE 中,∵∠CEB=90° ,∠B=30° ,BC=2,∴ BE= 2 BC= 3,∵CE⊥BD,∴DE=BE,∴BD=2BE=2 3. 【答案】 2 3
北师版九年级下册数学精品课件：第三章小结与复习
AE C
F
O 图a
B
24
2019/5/28
4.如图b,AB是⊙O的直径，且AB=2，C,D是同一半圆
（ （
上的两点，并且AC与BD的度数分别是96 °和36 °，
动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值
是
3
.
C
D
A
PO P B
D’
图b
2019/5/28
25
考点三 切线的判定与性质
例5 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直 径的☉O交AC于点D，连接BD.
r
●C
●
O
●B d ●A
点与圆的 点到圆心的距离d与圆的半 位置关系 径r之间的关系
点在圆外
d﹥r
点在圆上
d=r
点在圆内
d﹤r
2019/5/28
3
三、圆的对称性 1.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是
它的对称轴.圆有无数条对称轴. 2.圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一
个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性.
2019/5/28
针对训练
5.如图b，线段AB是直径，点D是☉O上一点， ∠CDB=20 °,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点 E,则∠E等于 50° .
C
AO
BE
D 图b
36
2019/5/28
6.如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交边AC于
点D，且过点D的切线DE平分边BC.问：BC与⊙O是
（参考数据 3 =1.732）
33
北
60°
B
A
30°
C 2019/5/28
解析：灯塔A的周围7海里都是暗礁，即表示以A为圆 心，7海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁， 关键是看渔轮与圆心A之间的距离d的大小关系.