概率论第七章5-7
§5 正态总体均值与方差的区间估计
一、复习正态总体的样本均值与样本方差的分布 1、(对一个正态总体)
设X 1,…,X n 是来自总体2~(,)X N μσ的样本, 则
(1) ~(0,1)X N μ−
~(1)X t n μ−−
(3)
2
2
2
(1)~(1)n S
n σ
χ−−
2、(对两个正态总体) 设
,,,n X X X 112L 是来自总体211~(,)X N μσ的样本, ,,,n Y Y Y 212L 是来自总体222
~(,)Y N μσ的样本,
且两个样本相互独立, 则有
()()
~(0,1)X Y N μμ−−−
(2) 当222
1
2
σσσ==时
12()()~(2)X Y t n n μμ−−+−−
(3)
221222
1221
~(1,1)S
S
F n n σσ
−−
二、正态总体均值、方差的置信区间 (置信水平为α−1)
一个正态总体均值与方差的置信区间
例1-2(P164) 有一大批糖果. 现从中随机取16袋, 称得重量(以克计)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496
设袋装糖果的重量近似服从正态分布, 试求总体均值μ与总体标准差σ的置信水平为0.95的置信区间.
两个正态总体均值差与方差比的置信区间
例3(P 166) 为比较I, II 两种型号步枪子弹的枪口速度, 随机地取I 型子弹10发, 得到枪口速度的平均值1500(/)x m s =, 标准差s 1=1.10(m/s), 随机地取II 型子弹20发, 得到枪口速度的平均值2496(/)x m s =, 标准差s 2=1.20(m/s). 假设两总体都可认为近似地服从正态分布, 且由生产过程可认为方差相等. 求两总体均值差12μμ−的一个置信水平为0.95的置信区间.
例4(P 166) 为提高某一化学生产过程的得率, 试图采用一种新的催化剂. 为慎重起见, 在实验工厂先进行试验. 设采用原来的催化剂进行了
n 1=8次试验, 得到得率的平均值191.73x =, 样本方差21 3.89s =; 又采用新的催化剂进行了n 2=8次试验, 得到得率的均值293.75x =, 样本方差
22
4.02s =. 假设两总体都可认为服从正态分布, 且方差相等, 两样本
独立. 试求两总体均值差的置信水平为0.95的置信区间.
例5(P 167) 研究由机器A 和机器B 生产的钢管的内径, 随机抽取机器A 生产的管子18只, 测得样本方差22
1
0.34()s mm =; 抽取机器B 生产的管
子13只, 测得样本方差22
2
0.29()s mm =. 设两样本相互独立, 且设由机
器A, 机器B 生产的管子内径分别服从211
(,)N μσ, 222
(,)N μσ, 这里
2,(1,2)i i
i μσ=均未知. 试求方差比σσ221
2
的置信水平为0.90的置信区间.
§7 单侧置信区间
一、定义: 设总体~(;)X F x θ, θ∈Θ是未知参数, 对给定的()αα<<01, 若统计量(,,,)n X X X θθ=L 12满足: 对任意θ∈Θ有
α−1——为置信水平;
随机区间(,)θ+∞——θ的置信水平为α−1的单侧置信区间;
θ——置信水平为α−1的单侧置信下限.
同理定义单侧置信区间(,)θ−∞与单侧置信上限θ. 二、单侧置信区间的求法:
1、寻找枢轴量(,,,;)n W W X X X θ=L 12:
W 的分布不依赖于θ以及其它未知参数. 2、确定a 或b , 使{}P W a α>≥−1或{}P W b α<≥−1:
对置信水平α−1, 由W 的分布确定出常数a 或b , 使{}P W a α>≥−1 或{}P W b α<≥−1成立.
3、反解求θθ或, 使{}P θθα>≥−1或{}P θθα<≥−1成立.
例(P 169) 若正态总体~(,)X N μσ2
且μ与σ2
未知, 设X 1, X 2,…,X n 是一个
样本, 分别求:
(1) 均值μ的置信水平为α−1的单侧置信下限; (2) 方差σ2
的置信水平为α−1的单侧置信上限.
例(P 170) 从一批灯泡中随机取5只作寿命试验, 测得寿命(以小时计)为
1050 1100 1120 1250 1280
设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均值的置信水平0.95的单侧置信下限.
小结:
课堂练习:
(P175－176) 19(1)
第七章 参数估计
§5 正态总体均值与方差的区间估计 §7 单侧置信区间
作业:
(P175－176) 16(2)、18、22、23
11。
概率论第七章讲解
7.1
一.点估计
设总体X的分布函数为 F(x; Ө )， 其中Ө为未知参数 (Ө可以是向量) . 现从该总体抽样，得到样本X1,X2,…,Xn
从样本出发构造适当的统计量
T T (X1,, Xn )
作为参数 Ө的估计量，即点估计。 将x1,…,xn 代入估计量，得到Ө的估计值
T (x1,, xn )
2 i
i 1
例6. 设总体X的概率密度如下，其中θ>0 为未知参数,试求θ的矩估计量。
f (x; )
1
x
e , x
2
解：
E(X )
x
1
x
e dx 0
2
E(X 2)
x2
1
x
e
dx
1
x2
x
e
dx
2
2
2
0
2 2
1 n
n i 1
X
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 i
ˆ
1 2n
n i 1
X
2 i
例1. 设总体X的分布律如下，其中θ为 未知参数,试求θ的矩估计量。
X1
2
3
P 2 2 (1 ) (1 )2
解：E(X ) 1 2 2 2 (1 ) 3(1 )2 3 2
E(X ) 3 2
1 n
n i 1
Xi
X
ˆ 3 X
2
例2. 设总体X~B(n,p)，其中n已知。 试求p的矩估计量。
（假定身高服从正态分布 N (,0.12 ) ）
现从该总体选取容量为5的样本，我们 的任务是要根据选出的样本（5个数）求出
总体均值 的估计. 而全部信息就由这5个数
概率论与数理统计 第7章.ppt
即 S 2是 2 的无偏估计,故通常取S 2作 2的估计量.
例3 设总体 X 服从参数为 的指数分布, 概率密度
x 1 e , f ( x; ) 0,
x 0, 其他.
其中参数 0, 又设 X 1 , X 2 ,, X n 是来自总体 X 的 样本, 试证 X 和 nZ n[min( X 1 , X 2 ,, X n )] 都是 的无偏估计.
行到其中有15只失效时结束试验, 测得失效时 间(小时)为115, 119, 131, 138, 142, 147, 148, 155,
158, 159, 163, 166, 167, 170, 172.
试求电池的平均寿命 的最大似然估计值 .
解
n 50, m 15,
s( t15 ) 115 119 170 172 (50 15) 172
总体 X 的 k 阶矩 k E ( X k )的相合估计量, 进而若待估参数 g( 1 , 2 ,, n ), 其中g 为连续 ˆ g( 函数, 则 的矩估计量 ˆ1 , ˆ 2 , , ˆ n ) g( A1 , A2 ,
, An ) 是 的相合估计量.
第三节
估计量的评选标准
一、问题的提出
二、无偏性 三、有效性 四、相合性 五、小结
一、问题的提出
从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不 同的估计方法求出的估计量可能不相同. 而且, 很明显, 原则上任何统计量都可以作为未知参数 的估计量. 问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2)评价估计量的标准是什么? 下面介绍几个常用标准.
如果不能得到完全样本, 就考虑截尾寿命试验.
3. 两种常见的截尾寿命试验
概率论与数理统计第7章参数估计PPT课件
a1(1, ,k )=v1
1 f1(v1, ,vk )
假定方程组a2(1, ,k ) v2 ,则可求出2 f2(v1, ,vk )
ak (1, ,k ) vk
k fk (v1, ,vk )
则x1 xn为X的样本值时，可用样本值的j阶原点矩Aj估计vj，其中
Aj
1 n
n i1
xij ( j
L(x1, ,xn;ˆ)maxL(x1, ,xn;)，则称ˆ(x1, ,xn)为
的一种参数估计方法 .
它首先是由德国数学家
高斯在1821年提出的 ,然而， 这个方法常归功于英国统
Gauss
计学家费歇（Fisher） . 费歇在1922年重新发现了
这一方法，并首先研究了这
种方法的一些性质 .
Fisher
10
极大似然估计是在已知总体分布形式的情形下的 点估计。
极大似然估计的基本思路：根据样本的具体情况
注：估计量为样本的函数，样本不同，估计量不 同。
常用估计量构造法：矩估计法、极大似然估计法。
4
7.1.1 矩估计法
矩估计法是通过参数与总体矩的关系，解出参数， 并用样本矩替代总体矩而得到的参数估计方法。 （由大数定理可知样本矩依概率收敛于总体矩， 且许多分布所含参数都是矩的函数）
下面我们考虑总体为连续型随机变量的情况：
n
它是的函数，记为L(x1, , xn; ) f (xi , ), i 1
并称其为似然函数，记为L( )。
注：似然函数的概念并不仅限于连续随机变量 ，
对于离散型随机变量，用 P {Xx}p(x,)
替代f ( x, )
即可。
14
设总体X的分布形式已知，且只含一个未知参数，
概率论与数理统计-第七章
但是参数 参数估计
， 未知。希望通过抽样估计之。
点估计 —— 给出参数的估计值。
区间估计 —— 给出参数的估计范围
3
§1 参数的点估计
用样本( X1, X2, …, Xn )，对每个未知参数 θi , ( i = 1, 2, …, k) 构造出一个统计量，
作为对参数 θi 的估计。该统计量称为 θi 的估计量。
抽出样本(X1, X2, …, Xn )。求证：对任何总体分布，
证明：X1, X2, …, Xn 独立，且与X同分布
28
例10：对服从均匀分布U(0, b)的总体X，讨论参数 b 的矩估计和极大似然估计的无偏性。 解： 由前面U(a, b)分布的a和b的估计量： (1) 矩估计
令 a=0
是
无偏估计！
xi , 故的取值范围最大不超过x min x1 , x2 ,
另一方面，L , 1n e
1
, xn
xi i 1
n
n
是的增函数，取到最大值时，L达到最大。
故 X 1 min X1 , X 2 ,
dlnL 令 n 12 d
29
(2) 极大似然估计
令 a=0
不是无偏估计
30
纠偏方法
如果 满足 ,则新的估计量 ， 是无偏估计！
例9中：对服从均匀分布U(0, b)的总体X，参数 b 极大似然估计 不是无偏估计。
由于
是一个修正的极大似然估计，是无偏估计。
31
2.有效性 在没有系统误差的前题下，还希望估计量的 随机误差尽量小（对给定的样本容量n）！
推荐三本概率论和数理统计的参考书： （1）《数理统计学简史》， 陈希孺 （2）《概率论札记》， 梁昌洪
概率论与数理统计第七章
13
二、最大似然估计法
是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法 . 它首先是由德国数学家高斯在 1821年提出的 ,
然而，这个方法常归功于英国 统计学家费歇 . 费歇在1922年重新发现了这一 方法，并首先研究了这种方法 的一些性质 .
Gauss
Fisher
信息管理学院 徐晔
选择适当的 i , i 1,2,, m
使得样本 ( X 1, X 2 ,, X n ) 作为一个随机变量，得 到观察值 ( x1, x2 ,, xn ) 的可能性最大。
信息管理学院 徐晔
17
当总体 X 为离散型随机变量时，样本 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是一个 n 维离散型随机变量，所谓得到样本观察值 ( x1 , x2 ,, xn ) 实际上就是联合概率事件
14
最大似然估计法的基本思想
先看一个简单例子：
某位同学与一位猎人一起外出打猎 .
一只野兔从前方窜过 .
只听一声枪响，野兔应声倒下 .
如果要你推测， 是谁打中的呢？ 你会如何想呢?
信息管理学院 徐晔
15
你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的概率 一般大于这位同学命中的概率. 看来这一枪是猎人 射中的 . 这个例子所作的推断已经体现了最大似然估计 法的基本思想 .
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18
n
当总体 X 为连续型随机变量时，样本 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是一个 n 维连续型随机变量，所谓得到样本观察值 ( x1 , x2 ,, xn ) 实际上就是值对于一个极小的 ，联合 概率事件
A ( x1 X 1 x1 , x2 X 2 x2 ,, xn X n xn )
概率论第七章
例 8．求例 2、3 中 X 与 Y 的协方差。
相关系数定义
定义 5 设 ( X , Y ) 是一个随机向量，当 DX > 0 ，
DY > 0 时，称
X − EX Y − EY ρ ( X ,Y ) = E DX DY
为 X 与 Y 的相关系数。
注： （1） ρ ( X , Y ) = E ( X Y
∗
∗
)
。
（2）
D ( X ± Y ) = D ( X ) + D (Y ) ±2 ρ ( X , Y ) DXDY
例 9．求例 2、3 中 X 与 Y 的相关系数。
相关系数的性质） 定理 5 （相关系数的性质 相关系数的性质 当 DX > 0 ， DY > 0 时， （1） ρ ( X , Y ) = ρ (Y , X ) ； （2） ρ ( X , Y ) ≤ 1 ；
例 18．设 X ∼ N ( 0,1) ， 1）求 P ( X < 2 ) ； （ （2）估计 P ( X < 2 ) 的下界。
定理 9
柯西-许瓦兹不等式：设 ( X , Y )
是任意一个二维随机变量，则
( E ( XY ) )
2
≤ E(X
2
) E (Y ) 。
2
五、中心极限定理
• 大数定律 • 中心极限定理
(b − a ) DX =
12
1
2
5．指数分布 E ( λ ) ： DX =
6．正态分布 N ( µ , σ 2 ) ： DX = σ 2
λ2
方差性质
定理 3 设 k 与 c 都是常数。 （1） D ( c ) = 0 ；反之，如果某个随机变量 X 的方 差为 0，那么， P ( X = c ) = 1 ，其中 c = EX ； （2） D ( kX + c ) = k 2 D ( X ) ； （3）
概率论第七章课件
小概率事件在 一次试验中基 本上不会发生 .
19
得否定域
W: |t |>4.0322
第四步：
将样本值代入算出统计量 t 的实测值, | t |=2.997<4.0322
没有落入 拒绝域
故不能拒绝H0 .
这并不意味着H0一定对，只是差异 还不够显著, 不足以否定H0 .
2
假设检验的内容
参数检验 非参数检验 总体均值, 均值差的检验 总体分布已知， 检验关于未知 总体方差, 方差比的检验 参数的某个假设 分布拟合检验 总体分布未知时的 符号检验 假设检验问题 秩和检验
假设检验的理论依据
假设检验所以可行,其理论背景为 实际推断原理,即“小概率原理”
3
罐装可乐的容量按标准应在 350毫升和360毫升之间. 生产流水线上罐装可 乐不断地封装，然后装箱 外运. 怎么知道这批罐装 可乐的容量是否合格呢？ 把每一罐都打开倒入量 杯, 看看容量是否合于标准？ 这样做 显然不行！
1 0.083 0.04 12
若不采用假设检验, 按理不能够出厂.
28
例4某厂生产的螺钉,按标准强度为68/mm2, 而实际生产的强度X 服N(,3.62 ).若E(X) ==68,则认为这批螺钉符合要求,否则认为 不符合要求. 现从生产的螺钉中抽取容量 为36的样本,其均值为 x 68.5 ,问原假设 是否正确?
解 假设
H0 : = 68
H1 : 68
29
3.6 若原假设正确, 则 X ~ N (68 , ) 36
2
因而 E ( X ) 68 ,即 X 偏离68不应该太远, 偏离较远是小概率事件,由于
概率论第7章
频率分布直方图
步骤如下: (1)决定组距与组数
选取起点与终点。起点a选得比最小值略小些， 终点b选得比最大值略大些，确定组距:d=(b－a)/m
将［a，b］进行等分，即在［a，b］内插入 m－1个分点:
a x1' x2' xm' 1 b
把［a，b］分成m个组（即小区间）。 通常在试验数据较多（即样本容量n较大）
时，可分成10～20组，数据在100以内可分成 5～12组。这里的起点、终点、组距、组数可视 具体情况来定。
（2）数出频数，列出分组频率分布 数出样本值x1，x2，…，xn 落在每个组的数目，
计算每个组的频数与频率。
（3）绘出频率分布直方图 以样本值为横轴，以（频率÷组距）为纵轴，
在横轴上标出各分组的点，以各组的组距为底， 画出高度等于（频率÷组距）的小矩形。整个图 形称为频率分布直方图，简称为直方图。
F n1
n2
服从第一自由度为n1、第二自由度为n2的F分布。 记为F～F(n1,n2)。
如F～F(n1,n2)，则其密度函数为
f
(x)
( n1
n2 2
)
(
n1 2
)(
n2 2
)
(
n1
)
n1 2
n2
n1 1
x 2 (1
n1 n2
n1 n2
x) 2
0
x0 x0
下图描绘了F(10,50)，F(10,10)，F(10,4)的密度曲线。
数理统计研究的是：一个随机变量所服从的分布是 未知的，或者知其分布而不知其中所含的参数，需 要确定这个随机变量的分布或参数。 数理统计的研究方法是归纳法，同概率论相反。
例如，通过检查某厂家一批产品中的１００个产品， 从而设法估计这批产品的合格率。
概率论第七章
即得 的矩估计量为 ˆ 2 X
设总体 X 的概率密度函数为 1 ( x ) / ,x e f ( x) 0 , 其它 其中 0 , , 是未知参数,( X 1 ,, X n )是总体 X 的样本,求 , 的矩估计量.
当总体 X 是连续型时,它是样本 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 的 联合概率密度函数在( x1 , x2 ,, xn )的值,可以看成是
( X 1 , X 2 ,, X n ) 取可能值( x1 , x 2 ,, xn )的概率的“密
度” （在一个单位量纲上的概率）.总之,它是与试验结 果相联系的概率有关.
1 2 n 1 2 n
H 取值的可能范围○内与 的真值“看起来最像”(这正 是“极大似然”这四个字在字面上的意思)的那个值, ˆ 因此,一个自然的想法就是用 ( x1 , x 2 ,, x n ) 作为 的
估计值.
定义 设 L( ) L( ; x1 , x2 ,, xn ) 是似然函数,若存 ˆ ˆ 在 ( x , x ,, x ) 使得
是 0 的估计量,称 T ( x1 , x2 ,, xn ) 是 0 的估计值.
注释 1
为了简单起见,我们将不再区分“流动”
的 参 数 及 真 值 0 , 即 统 一 地 都 说 成 , 并 称
T T ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是 的估计量.上述定义明
1 n k P Ak X i k . 即有 n i 1 也就是说,当样本的容量趋于无穷时,样本 k 阶矩依概 率收敛于相应的总体 k 阶矩.
因此当样本容量n较大时可以用样本的r阶矩来作为总 体的r阶矩的一个估计,这时所得到的估计就是矩法估计.
概率论与数理统计教程(茆诗松)第7章
第七章 假设检验
第18页
对单侧检验 H0 : 0 vs H1 : 0是类似的， 只是拒绝域变为: W {u u1 } 其势函数为 g n 0 u 对双侧检验问题(7.2.3)，拒绝域为 W { u u1 2} 其势函数为
5(c 110) g (110) 0.05 4
成立即可。这给出c 的值为 c 110 0.8u0.05 110 0.8 1.645=108.684 检验的拒绝域为 W {x 108.684}
16 July 2013
华东师范大学
第七章 假设检验
第七章 假设检验
第1页
第七章 假设检验
§7.1 §7.2 §7.3 §7.4 假设检验的基本思想与概念 正态总体参数假设检验 其它分布参数的假设检验 分布拟合检验
16 July 2013
华东师范大学
第七章 假设检验
第2页
§7.1
假设检验的基本思想与概念
7.1.1 假设检验问题
例7.1.1 某厂生产的合金强度服从 N ( ,16)，其中 的设计值 为不低于110(Pa)。为保证质量，该 厂每天都要对生产情况做例行检查，以判断生 产是否正常进行,即该合金的平均强度不低于 110(Pa)。某天从生产中随机抽取25块合金，
x 0 u / n
三种假设的拒绝域形式分别见下图：
16 July 2013
华东师范大学
第七章 假设检验
第15页
W {u c}
W {u c} W {u c1 或 u c2}
(a) H1 : 0
16 July 2013
(b) H1 : 0