北师大版八年级下册数学 1.2 直角三角形 同步测试题(含答案)·
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1.2 直角三角形 同步测试题
一．选择题 1．如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则 ∠1+∠2 等于( ) A．270° B．135° C．90° D． 315°
2．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若 DE＝ a ，则下列
说法正确的个数有（ ）
A
A
D
是
三角形。
5．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C．AE＝AF，给出下列结论：①∠1=∠2； ②BE=CF；③△ACN≌△ABM。其中正确的结论是 （注：将你认为正确的结论都填上）．
6．如图， ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，
BD 平分∠ABC，若 AD=6，则 CD=
。
2/9
7．“有两角和其中一边对应相等的两个三角形全等”的逆命题是 ．是
1/9
7．如图，△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 边上，且 BD=BC=AD，则∠A 的度数为（ ） A．30° B．36° C．45° D．70° 8．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线 BC 或 AC 上取一点 P， 使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点 P 共有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 9．边长为 2 的等边三角形的内有一点 0，那么 0 到三角形各边的距离之和为 ( )
A P
点停止运动．设点 P 的运动时间为 t（s），解答下面的问题：
当 t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?
BQ
C
4/9
6．如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA，PB，PC ，以 BP 为边作 PBQ = 60 ， 且 BQ = BP ，连结 CQ ． （1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论． （2）若 PA : PB : PC = 3 : 4 : 5 ，连结 PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．
A
P
B
C
Q
拓展延伸
7．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么
情况下，它们会全等？
（1）阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）．
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知： △ABC ， △A1B1C1 均为锐角三角形， AB = A1B1 ， BC = B1C1 ， C = C1 ． 求证： △ABC ≌△A1B1C1 ． （请你将下列证明过程补充完整．）
当∠BQP＝90°时，BQ＝ 1 BP． 2
即 t＝ 1 (3－t )，t＝1 (秒)． 2
当∠BPQ＝90°时，BP＝ 1 BQ．3－t＝ 1 t，t＝2 (秒)．
2
2
答：当 t＝1 秒或 t＝2 秒时，△PBQ 是直角三角形．
6．解：（1）猜想： AP = CQ
证明：在△ABP 与 △CBQ 中，
证明：分别过点 B，B1 作 BD ⊥ CA 于 D ， B1D1 ⊥ C1A1 于B D1 ，
B1
则 BDC = B1D1C1 = 90 ，
BC = B1C1 ， C = C1 ，
C
5/9 D
A C1
D1
A1
△BCD ≌△B1C1D1 ， BD = B1D1 ． （2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论．
∴△PBQ 为正三角形
∴ PQ = 4a
于是在 △PQC 中，∵ PQ2 + QC 2 = 16a2 + 9a2 = 25a2 = PC 2 ∴△PQC 是直角三角形
7．解：（1）又 AB = A1B1 ， ADB = A1D1B1 = 90 ， △ADB ≌△A1D1B1 ， A = A1 ， 又 C = C1，BC = B1C1 ，
7/9
Rt△ APN ≌ Rt△ DCN 、Rt△ DEF ≌ Rt△ DBP 、Rt△ EPM ≌ Rt△ BFM ．
5．解：根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm．
△ABC 中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝(3－t ) cm．
△PBQ 中，BP＝3－t，BQ＝t，
若△PBQ 是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°．
∵ AB = CB ， BP = BQ ， ABC = PBQ = 60 ∴ABP = ABC − PBC = PBQ − PBC = CBQ
∴△ABP ≌△CBQ
∴ AP = CQ
（2）由 PA : PB : PC = 3 : 4 : 5 可设 PA = 3a ， PB = 4a ， PC = 5a 连结 PQ ，在 △PBQ 中，由于 PB = BQ = 4a ，且 PBQ = 60
A． 3
源自文库
B．2 3
C．2
D．4 3
10．如图，△ABC 中，AD⊥BC 于 D，BE⊥AC 于 E，AD 与 BE 相交于 F，若
BF=AC，则∠ABC 的大小是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
二．填空题
1．如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，∠A=40°，AC 的垂直平分线 MN
下右图的形式，使点 B 、 F 、 C 、 D 在同一条直线上．
（1）求证： AB ⊥ ED ；
（2）若 PB = BC ，请找出图中与此条件有关的一．对．全等三角形，并给予证明．
EA
C
A
EP
F
DB
N M
BF
C
D
5．已知：如图，△ABC 是边长 3cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时 从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 方向匀速移动，它们的速度都是 1cm/s，当点 P 到达点 B 时，P、Q 两
8/9
△ABC ≌△A1B1C1 ． （2）若 △ABC ，△A1B1C1 均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，AB = A1B1 ， BC = B1C1 ， C = C1 ，则 △ABC ≌△A1B1C1 ．
9/9
4．（1）证明：由题意得 A + B = 90 ，A = D ，
∴D + B = 90 ． ∴ AB ⊥ DE ． （2）若 PB = BC ，则有 Rt△ ABC ≌ Rt△ DBP ． ∵B = B，A = D，BP = BC ， ∴ Rt△ ABC ≌ Rt△ DBP ．
说明：图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对：
(2)当∠B＝60°时，过 AB 的中点 G，作 GH∥BD，
求证：GH= 1 AB． 4
命题。（真
2．如图，△ABC 中，∠ACB = 90 ， AC = BC ，CO 为中线．现将一直角三角板的直角
顶点放在点 O 上并绕点 O 旋转，若三角板的两直角边分别交 AC，CB 的延长线于点 G，H ． （1）试写出图中除 AC = BC，OA = OB = OC 外其他所有相等的线段；
或假）
8．如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点 F，过 F 作 DE∥BC，
分别交 AB、AC 于 D、E，已知△ADE 的周长为 24cm，且 BC = 8cm，则△ABC
的周长=
。
三．解答题
1．如图，已知 AB=AC，AD 是中线，BE=CF．
(1)求证：△BDE≌△COF；
4．如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D 为 AB 中点，有以下结论： (1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。其中结论正确的 是（ ） A．(1)，(3) B．(2)，(3) C．(3)，(4) D．(1)，(2)，(4) 5．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，BA 的垂直平分线交 CB 边于 D，若 AB=10， AC=5，则图中等于 60°的角的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6 等腰三角形底边长为 7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为 3， 则腰长是（ ） A．4 B．10 C．4 或 10 D．以上答案都不对
10．B
BD=CD ∠B=∠C
BE=CF
所以△BDE≌△CDF
(2)因为 G 是 AB 的中点，且 GH∥BD，所以 GH 是△ABD 的中位线，所以 GH= 1 DB，根据直角 2
三角形中 30°对的直角边等于斜边的一半可知，BE= 1 DB，BD= 1 AB，所以 GH= 1 AB．
2
2
4
6/9
与 AB 交于 D 点，则∠BCD 的度数为
。
2．如图，△ABC 中，∠C=Rt∠，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，BD∶DC=2∶
1，BC=7.8cm，则 D 到 AB 的距离为
cm。
3．一辆汽车沿 30°角的山坡从山底开到山顶，共走了 4000 米，那么这座山的高度为
米．
4．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，则△DEF
（2）请任选一组你写出的相等线段给予证明．
我选择证明
=
．
A
证明：
D
C
H B
G
3/9
3．如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足
分别为 E、F，添加一个条件，使 DE= DF，并说明理由．
解： 需添加条件是
．
理由是：
4．将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如
B
CB
EC
B
C
EC
′
①DC′平分∠BDE；②BC 长为 ( 2 + 2)a ；③△B C′D 是等腰三角形；④△CED 的周长
等于 BC 的长。 A． 1 个； B．2 个； C．3 个； D．4 个。
3．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠CAB 交 BC 于点 D，DE⊥AB，垂足为 E，且 AB=6cm，则△DEB 的周长为（ ） A．4cm B．6cm C．8 cm D．10cm
参考答案 一．选择题 1．A 2．C 3．B 4．D 5．C 6．C 7．B 8．D 9．A 二．填空题 1．10° 2．2．6cm 3．2000 4．等腰直角 5．①②③ 6．3 7．三边对应相等的三角形是全等三角形，是真命题。 8．32cm 三．解答题 1．证明：(1)因为 AB=AC，所以∠B=∠C， 在△BDE 和△CDF 中
2．解：（1） CG = BH，AG = CH，OG = OH （2） ∠ACB = 90 ，AC = BC，AO = BO ，
CO = OB，CO ⊥ AB，∠ABC = 45 ．
∠COG +∠GOB = 90 ，∠BOH +∠GOB = 90 ， ∠COG = ∠BOH ． 又 ∠ABC = ∠OCB = 45 ，∠OBH = 180 − 45 = 135 ，∠GCO = 90 + 45 = 135 ， ∠GCO = ∠OBH ． △GCO ≌△HBO CG = BH ． 3．解：需添加的条件是：BD=CD，或 BE=CF． 添加 BD=CD 的理由： 如图，因为 AB=AC，所以∠B=∠C． 又因为 DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠BED=∠CFD． 所以△BDE≌△CDF (AAS)． 所以 DE= DF． 添加 BE=CF 的理由： 如图，因为 AB=AC， 所以∠B=∠C． 因为 DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠BED=∠CFD． 又因为 BE=CF，所以△BDE≌△CDF (ASA)． 所以 DE= DF．
一．选择题 1．如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则 ∠1+∠2 等于( ) A．270° B．135° C．90° D． 315°
2．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若 DE＝ a ，则下列
说法正确的个数有（ ）
A
A
D
是
三角形。
5．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C．AE＝AF，给出下列结论：①∠1=∠2； ②BE=CF；③△ACN≌△ABM。其中正确的结论是 （注：将你认为正确的结论都填上）．
6．如图， ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，
BD 平分∠ABC，若 AD=6，则 CD=
。
2/9
7．“有两角和其中一边对应相等的两个三角形全等”的逆命题是 ．是
1/9
7．如图，△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 边上，且 BD=BC=AD，则∠A 的度数为（ ） A．30° B．36° C．45° D．70° 8．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线 BC 或 AC 上取一点 P， 使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点 P 共有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 9．边长为 2 的等边三角形的内有一点 0，那么 0 到三角形各边的距离之和为 ( )
A P
点停止运动．设点 P 的运动时间为 t（s），解答下面的问题：
当 t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?
BQ
C
4/9
6．如图，P 是等边三角形 ABC 内的一点，连结 PA，PB，PC ，以 BP 为边作 PBQ = 60 ， 且 BQ = BP ，连结 CQ ． （1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系，并证明你的结论． （2）若 PA : PB : PC = 3 : 4 : 5 ，连结 PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．
A
P
B
C
Q
拓展延伸
7．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么
情况下，它们会全等？
（1）阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）．
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知： △ABC ， △A1B1C1 均为锐角三角形， AB = A1B1 ， BC = B1C1 ， C = C1 ． 求证： △ABC ≌△A1B1C1 ． （请你将下列证明过程补充完整．）
当∠BQP＝90°时，BQ＝ 1 BP． 2
即 t＝ 1 (3－t )，t＝1 (秒)． 2
当∠BPQ＝90°时，BP＝ 1 BQ．3－t＝ 1 t，t＝2 (秒)．
2
2
答：当 t＝1 秒或 t＝2 秒时，△PBQ 是直角三角形．
6．解：（1）猜想： AP = CQ
证明：在△ABP 与 △CBQ 中，
证明：分别过点 B，B1 作 BD ⊥ CA 于 D ， B1D1 ⊥ C1A1 于B D1 ，
B1
则 BDC = B1D1C1 = 90 ，
BC = B1C1 ， C = C1 ，
C
5/9 D
A C1
D1
A1
△BCD ≌△B1C1D1 ， BD = B1D1 ． （2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论．
∴△PBQ 为正三角形
∴ PQ = 4a
于是在 △PQC 中，∵ PQ2 + QC 2 = 16a2 + 9a2 = 25a2 = PC 2 ∴△PQC 是直角三角形
7．解：（1）又 AB = A1B1 ， ADB = A1D1B1 = 90 ， △ADB ≌△A1D1B1 ， A = A1 ， 又 C = C1，BC = B1C1 ，
7/9
Rt△ APN ≌ Rt△ DCN 、Rt△ DEF ≌ Rt△ DBP 、Rt△ EPM ≌ Rt△ BFM ．
5．解：根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm．
△ABC 中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝(3－t ) cm．
△PBQ 中，BP＝3－t，BQ＝t，
若△PBQ 是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°．
∵ AB = CB ， BP = BQ ， ABC = PBQ = 60 ∴ABP = ABC − PBC = PBQ − PBC = CBQ
∴△ABP ≌△CBQ
∴ AP = CQ
（2）由 PA : PB : PC = 3 : 4 : 5 可设 PA = 3a ， PB = 4a ， PC = 5a 连结 PQ ，在 △PBQ 中，由于 PB = BQ = 4a ，且 PBQ = 60
A． 3
源自文库
B．2 3
C．2
D．4 3
10．如图，△ABC 中，AD⊥BC 于 D，BE⊥AC 于 E，AD 与 BE 相交于 F，若
BF=AC，则∠ABC 的大小是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
二．填空题
1．如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，∠A=40°，AC 的垂直平分线 MN
下右图的形式，使点 B 、 F 、 C 、 D 在同一条直线上．
（1）求证： AB ⊥ ED ；
（2）若 PB = BC ，请找出图中与此条件有关的一．对．全等三角形，并给予证明．
EA
C
A
EP
F
DB
N M
BF
C
D
5．已知：如图，△ABC 是边长 3cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时 从 A、B 两点出发，分别沿 AB、BC 方向匀速移动，它们的速度都是 1cm/s，当点 P 到达点 B 时，P、Q 两
8/9
△ABC ≌△A1B1C1 ． （2）若 △ABC ，△A1B1C1 均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，AB = A1B1 ， BC = B1C1 ， C = C1 ，则 △ABC ≌△A1B1C1 ．
9/9
4．（1）证明：由题意得 A + B = 90 ，A = D ，
∴D + B = 90 ． ∴ AB ⊥ DE ． （2）若 PB = BC ，则有 Rt△ ABC ≌ Rt△ DBP ． ∵B = B，A = D，BP = BC ， ∴ Rt△ ABC ≌ Rt△ DBP ．
说明：图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对：
(2)当∠B＝60°时，过 AB 的中点 G，作 GH∥BD，
求证：GH= 1 AB． 4
命题。（真
2．如图，△ABC 中，∠ACB = 90 ， AC = BC ，CO 为中线．现将一直角三角板的直角
顶点放在点 O 上并绕点 O 旋转，若三角板的两直角边分别交 AC，CB 的延长线于点 G，H ． （1）试写出图中除 AC = BC，OA = OB = OC 外其他所有相等的线段；
或假）
8．如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线交于点 F，过 F 作 DE∥BC，
分别交 AB、AC 于 D、E，已知△ADE 的周长为 24cm，且 BC = 8cm，则△ABC
的周长=
。
三．解答题
1．如图，已知 AB=AC，AD 是中线，BE=CF．
(1)求证：△BDE≌△COF；
4．如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA=AB=2BC，D 为 AB 中点，有以下结论： (1)DE=AC；(2)DE⊥AC；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE。其中结论正确的 是（ ） A．(1)，(3) B．(2)，(3) C．(3)，(4) D．(1)，(2)，(4) 5．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，BA 的垂直平分线交 CB 边于 D，若 AB=10， AC=5，则图中等于 60°的角的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6 等腰三角形底边长为 7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为 3， 则腰长是（ ） A．4 B．10 C．4 或 10 D．以上答案都不对
10．B
BD=CD ∠B=∠C
BE=CF
所以△BDE≌△CDF
(2)因为 G 是 AB 的中点，且 GH∥BD，所以 GH 是△ABD 的中位线，所以 GH= 1 DB，根据直角 2
三角形中 30°对的直角边等于斜边的一半可知，BE= 1 DB，BD= 1 AB，所以 GH= 1 AB．
2
2
4
6/9
与 AB 交于 D 点，则∠BCD 的度数为
。
2．如图，△ABC 中，∠C=Rt∠，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，BD∶DC=2∶
1，BC=7.8cm，则 D 到 AB 的距离为
cm。
3．一辆汽车沿 30°角的山坡从山底开到山顶，共走了 4000 米，那么这座山的高度为
米．
4．如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，则△DEF
（2）请任选一组你写出的相等线段给予证明．
我选择证明
=
．
A
证明：
D
C
H B
G
3/9
3．如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足
分别为 E、F，添加一个条件，使 DE= DF，并说明理由．
解： 需添加条件是
．
理由是：
4．将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如
B
CB
EC
B
C
EC
′
①DC′平分∠BDE；②BC 长为 ( 2 + 2)a ；③△B C′D 是等腰三角形；④△CED 的周长
等于 BC 的长。 A． 1 个； B．2 个； C．3 个； D．4 个。
3．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠CAB 交 BC 于点 D，DE⊥AB，垂足为 E，且 AB=6cm，则△DEB 的周长为（ ） A．4cm B．6cm C．8 cm D．10cm
参考答案 一．选择题 1．A 2．C 3．B 4．D 5．C 6．C 7．B 8．D 9．A 二．填空题 1．10° 2．2．6cm 3．2000 4．等腰直角 5．①②③ 6．3 7．三边对应相等的三角形是全等三角形，是真命题。 8．32cm 三．解答题 1．证明：(1)因为 AB=AC，所以∠B=∠C， 在△BDE 和△CDF 中
2．解：（1） CG = BH，AG = CH，OG = OH （2） ∠ACB = 90 ，AC = BC，AO = BO ，
CO = OB，CO ⊥ AB，∠ABC = 45 ．
∠COG +∠GOB = 90 ，∠BOH +∠GOB = 90 ， ∠COG = ∠BOH ． 又 ∠ABC = ∠OCB = 45 ，∠OBH = 180 − 45 = 135 ，∠GCO = 90 + 45 = 135 ， ∠GCO = ∠OBH ． △GCO ≌△HBO CG = BH ． 3．解：需添加的条件是：BD=CD，或 BE=CF． 添加 BD=CD 的理由： 如图，因为 AB=AC，所以∠B=∠C． 又因为 DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠BED=∠CFD． 所以△BDE≌△CDF (AAS)． 所以 DE= DF． 添加 BE=CF 的理由： 如图，因为 AB=AC， 所以∠B=∠C． 因为 DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠BED=∠CFD． 又因为 BE=CF，所以△BDE≌△CDF (ASA)． 所以 DE= DF．