第10讲 几何图形的认知—完整版

第10讲几何图形的认知兴趣篇1.正三角形，正方形和正五边形中，哪个图形的内角最大？答案：正五边形解答：三角形的内角和是180。

，那么正三角形内角是0。

÷3—60。

；正方形的内角和是360。

，那么正方彤角是360。

÷4—90。

；正五边形的内角和是540。

，那正五边形内角是540。

÷5—108。

，所以正五边形内最大，2.★请在图10 -1中分别画出三角形、长方形、正方形、平行四边形和梯形，其中每个图形的两条边已经画出.缺3★根据图10 -2中的几个图形的变化规律，在横线上画出适当的图形．答案：解答：观察发现，第一个图形中有3条边，第二个图中有4条边，第三个图形中有5条边，第五个图形有7条边，由此可以断定，第四个未画出的图形有6条边，又每个图形中各个角都相等，已经画出的是正三角形、正四边形、正五边形和正七边形，那么未画出的就是正六边形．4．★如图10 -3，数一数，图中共有多少个角？答案：8解答：角是由同一个顶点出发的两条射线组成．各个角如下图所示：因此原图中一共有8个角．5．★如图10 -4，将一个边长为4厘米的正方形对折，再沿折线剪开，得到两个长方形，请问：这两个长方形的周长之和比原来正方形的周长多几厘米？答案：8解答：方法一：正方形的边长为4厘米，周长为4×4=16（厘米）．折叠后形成的长方形长为4厘米，宽为2厘米，周长为(4+2)×2=12(厘米)．因此两个长方形周长之和与正方形周长相差12×2 -16=8（厘米）．方法二：不难看出，沿着折痕（原图中的虚线）把正方形剪开后，折痕就是剪开的图形中周长新增的部分，而且折痕同时出现在剪开的两个长方形中，还要计算两次．因此周长新增的长度就是折痕长度的两倍．显然折痕与正方形边长相等，也是4厘米，那么周长新增的长度就是4×2=8（厘米）．6．★★用7根长度都是1寸的火柴棒拼成了一个三角形．请问：这个三角形的三条边长分别是多少？答案：3寸、3寸、1寸或3寸、2寸、2寸解答：7根火柴棒拼成一个兰角形，那么三角形的周长就等于7根火柴棒的总长，即1×7=7（寸）．注意到三角形的两边之和大于第三边，那么它的最长边的长度一定不超过3，否则最长边长度不小于4，而另两边长度之和不超过3，不能构成三角形，容易看出，最长边的长度也不能比3短，否则三条边的长度都不超过2，周长不超过2×3=6，也不合题意．因此最长边的长度一定是3，此时另外两边长度之和是7-3=4．当最短边的长度为1时，第三边的长度是7-1-3=3，三角形三边长分别为3寸、3寸、1寸；当最短边的长度为2时，第三边的长度是7-2-3=2，三角形三边长分别为3寸、2寸、2寸，最短边的长度显然不能超过2，否则三边之和将超过2+2+3=7．因此，三角形的三边长有3寸、3寸、1寸，以及3寸、2寸、2寸这2种情况．7．★★有两个相同的直角三角形纸片，三条边分别为3厘米、4厘米和5厘米．不许折叠，用这两个直角三角形可以拼成几种平行四边形（经过旋转或翻转后相同的平行四边形算同一种）?答案：3解答：要把2个三角形粘成平行四边形，就必须把其中长度相同的2条边粘在一起．①把2条长为3厘米的边粘在一起，可以得到：其中图1是一个三角形，不是题目所求；图2是平行四边形，对边长分别是4厘米和5厘米．通过类似的尝试可知，把2条长为4厘米的边粘在一起，或2条长为5厘米的边粘在一起，能拼成如下2个平行四边形：其中图3是对边长分别是3厘米和5厘米的平行四边形，图4是长和宽分别为4厘米和3厘米的长方形，是特殊的平行四边形．因此2个三角形一共能拼成3种平行四边形．8．★图10 -j中哪些是三角形？哪些是长方形？哪些是平行四边形？哪些是菱形？答案：三角形有2个：④⑦；长方形也有2个：①②；平行四边形有4个：①②③⑥；菱形有2个：①⑥解答：用示意图来表示三角形与特殊三角形，四边形与特殊四边形之间的关系：9.图10 -6的“金字塔”和图10 -7的正八面体各有几条棱，几个面？答案：“金字塔”有8条棱，5个面；正八面体有12条棱，8个面解答：把“金字塔”与正八面体的棱和面都用数字标号：从图1中看出，“金字塔”有8条棱，其中编号蔓4、7、8的棱不能直接看到；从图2中看出，“金字塔”有5个面，其中编号蔓3、4、5的面不能直接看到．从图3中看出，正八面俸有12条棱，其中编号蔓4、7、8、12的棱不能直接看到；从图4中看出，正八面体有8个面，其中编号蔓3、4、7、8的面不能直接看到．10．A一个正方体的六个面上分别写着A、B、C、D、E、F六个字母．请你根据图10 -8的三种摆放情况，判断每个字母的对面是什么？答案：B与D相对，E与A相对．C与F相对解答：由于正方体的6个面上写了6个不同的字母那么每个字母在正方体的面上只能出现1次，如果，个字母在相邻的面上出现，那么它们一定不能相对．第一步，先看前2种摆放情况：在这2种摆放情况中，只有字母B出现了2次，那么由第一种摆放可知，B不与A相对，也不与F相对；由第二种摆放司知，B不与C相对，也不与E相对．那么在所有的字点中，B只能与D相对．第二步，再看后2种摆放情况：在这2种摆放情况中，只有字母E出现了2次，那么由第二种摆放可知，E不与B相对，也不与C相对；由第三种摆放可知，E不与D相对，也不与F相对．那么在所有的字母中，E只能与A相对，正方体有三个对面，因B与D相对，E与A相对，那么第三组对面上一定是C与F相对．拓展篇1．如图10 -9，数一数，图中共有多少个直角？多少个锐角？多少个钝角？答案：8；12.6解答：如果一个角的两边在一条直线上，则这个角是平角，两个直角组成一个平角，大于直角但小于平角的是钝角，小于直角的是锐角，直角一共有8个，如图1所示；锐角一共有12个，如图2所示；钝角一共有6个，如图3所示．2．★如图10 -10，数一数，图中共有多少个正方形？答案：5解答：易看出，图中有4个小正方形．又4个小正方形正好组成1个大正方形．因此，一共有5个正方形，3．★★用两个完全相同的，各边长分别为3、4、5的直角三角形纸片，可以拼成多少种不同的(1)等腰三角形？(2)平行四边形？答案：(1)2；(2)3解答：把2个三角形纸片拼在一起，得到一个三角形或四边形，那么必须让这2个三角形纸片的其中一条边完全重合．①斜边重合，有如下两种方法：图1既不是等腰三角形，也不是平行四边形；图2是长方形，自然也是平行四边形。

②长度为3的直角边重合，有如下2种拼法。

图3是等腰三角形，两腰长为5.图4是平行四边形。

③长度为4的直角边重合，有如下2种拼法：图5是等腰三角形，两腰长为5；图6是平行四边形，综上所述，一共能拼成2种等腰三角形，3种平行四边形，4．★★如图10 - 11，一张长方形纸片，长为2，宽为1，A点是长边上的中点，沿着图中虚线将这张纸片剪成两块，再将这两块重新组合（不能重叠），可以拼成哪些你熟悉的图形？请将它们画出来．答案：可以拼成等腰直角三角形、等腰梯形、平行四边形和长方形解答：长方形的长为2，宽为1，那么剪下来的三角形就是直角边长为1的等腰直角三角形。

余下的部分就是上低位2，下底为1，高也为1的直角梯形。

把剪下来的三角形的直角边拼接在直角梯形长为1的底边上，得到一个等腰直角三角形，它的直角边长是2，如图1.把剪下来的三角形的直角边拼接在直角梯形与底边垂直的腰上，得到上底为1，下底为3，高为1的等腰梯形，如图2；底为2高为1的平行四边形，如图3把剪下来的三角形的斜边拼接在直角梯形的斜腰上，得到原图中长为2宽为1的长方形，如图4．因此，一共可以拼出上面的4种图形．5．如图10 - 12，将正方形纸片沿对角线对折一次，得到一个等腰直角三角形；再对折一次，得到一个较小的三角形；最后，再对折一次，然后将所得的小等腰直角形用剪刀沿斜边上的高线剪开，那么展开后，原来的正方形纸片一共被剪成了几片？都是什么图形？答案：5片；4个等腰直角三角形和1个正方形解答：把最后得到的小三角形一步步展开，把剪痕用虚线表示，而折痕用实线表示：③这些正方形排成三行，每行4个，可以拼成一3的长方形（如图3），它的周长是(3+4）×2=14由于宽不能比长还长，因此不必考虑这些正方形排成四行或四行以上的情况．综上所述，长方形的周长有26、16和14三种可能，其中周长最小者是14，对应12个正方形排成三行，每行4个的情形．6．★★用12个边长为1的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是多少？缺7．★★如图10 - 13，用4个完全相同的边长分别为5、12、13的直角三角形拼成一个“风车”，求这个风车的周长．答案：80解答：方法一：风车的外沿由8条直线段组成，这8条直线段中有4长4短．长线段就是直角三角形的斜边，长度为13;短线段是直角三角形两直角边的差，长度为12 -15=7．因此风车的周长是4×13+4×7=52+28=80.方法二：由题意，风车是由4个完全相同的直角三角形拼成．三角形三边长为5、12、13，周长就是5 +12+13 =30，那么4个三角形的周长和是30×4=120.但发现风车的周长是不包括虚线部分的，也就是说，在求风车周长时4个三角形重叠的边的长度并没有计算在内，重叠的部分是每令三角形中长为5的直角边，以及长为12的直角边上长为5的一段，因此每个三角形的周长中总长为5+5 =10的部分都没有计算在内，那么风车的周长就是120 - 10×4= 80.8．★★一个等腰三角形的两条边的长度分别是3和4，那么这个三角形的周长可能是多少？另外一个等腰三角形的两条边的长度分别是4和9．这个三角形的周长可能是多少？答案：10或11；22解答：(1)等腰三角形的两边长是3和4．和是3+3—6，大于第三边的长度4，可以组成三角形，此时三角形的周长为3+3+4=10.②如果腰长为4，底边长为3，则两条短边长度之和是3+4=7，大于第三边的长度4，可以组成三角形，此时三角形的周长为3+4+4 =11．因此，三角形的周长可能是10或11．(2)等腰三角形的两边长是4和9．①如果腰长为4，底边长为9，则两条短边长度之和是4+4=8，小于第三边的长度9，不能组成三角形，②如果腰长为9，底边长为4，则两条短边长度之和是4+9=13，大于第三边的长度9，可以组成三角形，此时三角形的周长为4+9+9=22.因此，三角形的周长只能是22.9．★★周长是12，各边长都是整数的等腰三角形有几种？长方形有几种？答案：2；3解答：在等腰三角形中,由于两边之和大于第三边,那么三条边的长度都要小于6．腰长是整数，那么两腰长度之和就是偶数，由于周长12也是偶数，则底边的长度也是偶数，因此只能是2或者4．当底边为2时，腰长为(12 -2)÷2=5；当底边为4时，腰长为( 12-4)÷2=4．这两种情况都能组成三角形，因此周长是12，边长都是整数的等腰三角形有2种．长方形的周长是长与宽之和的两倍，由周长是12，可知长与宽的和是12÷2=6．由于长不能比宽短，那么长方形的长与宽可能是5和1,或4和2，或3和3．因此，周长是12，各边长都是整数的长方形有3种．10．图10 - 14中的四个正方体标字母的方式是完全相同的，请你利用图中已知的信息，判断A、J8、C的对面分别标的是哪个字母？答案：A的对面标有D，B的对面标有F，C的对面标有E解答：由已知条件，标有C、D的两个面不能相对，那么或A的对面标有D，或B的对面标有D．①如果标有D、A的两个面相对，那么“标有C、D的两个面不能相对”，“标有E、A的两个面也不能相对”这两个条件都可以满足．注意到当D在朝右的面，E在朝上的面时，F在朝前的面上，那么只能是标有E、C的两个面相对，而标有F. B的两个面相对．经检验’这种情况满足题目要求．②如果标有D、B的两个面相对，那么由于标有E、A的两个面也不能相对，于是标有A的对面就是标有F的面，而标有C的对面就是标有E的面．此时D在朝后的面上，E在期左的面上，F在朝下的面上．我们把六面体旋转，把D转到朝右的面，并把E转虱朝上的面，此时朝前的面上标的是A，而朝后的面上标的是F，与题意不符，综上所述，满足题意的答案只有一个：A的对面标有D，B的对面标有F，C的对面标有E.11．如图10 - 15，第1个方格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着ABCDEF六个字母，其中A与D相对，B与E相对，C与F相对，现在将木块标有字母A的那个面朝上，标有字母D的那个面朝下放在第1个方格内，然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动．当木块滚到2l格时，木块向上的面上写的是哪个字母？答案：A解答：发现木块向左滚4格后，各个面上标的字母与，初始时的情况完全一致．那么木块朝其他方向滚时也4有类似的情况，即木块向任意方向连滚4格，它的各个面上标的字母不变，所以木块向左滚4格到第5格时，各个面上标的字母与在第1格时的情况完全一致，再向下滚4格到第9格，再向右滚4格到第13格，再向下滚4格到第17格，最后向左滚4格到第21格，每次都是朝同一方向滚4格，因此在第5格，第9格，第13格，第17格和第21格木块向上的面上总是写着字母A.12．如图10 - 16，在一个正方体的表面上写着l～6这6个自然数，并且1对着4，2对着5，3对着6．现在将正方体的一些棱剪开，使它的表面展开图如图10 - 17所示，如果只知道1和2所在的面，那么6应该在哪个面上（写出字母代号）?答案：A解答：对于立方体展开图，我们可以把任一个面当作底面，把它还原成立方体的表面．如图1，观察虚线圈住的部分，可以发现写有1、A、B的三个面两两相邻；再观察图2的虚线圈住的部分，发现写有A、B、C的三个面也两两相邻．此时，写有1的面与A面、B面都相邻，C面也与A面、B面都相邻，因此写有1的面与C面相对，即C面上写的是4．观察图3中的虚线圈住的部分，容易看出写有2的面与B面相对，因此B 面上写的是5，则立方体展开图就如图4所示。