4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义
4.1 任意角的正弦函数和余弦函数的定义
P
图6
y
（2）求出角 的终边与单位圆的交点坐标；
（3）求出角 的正弦、余弦函数值。
解： （2）由于 ,点P在第四象限，
4
M
o
1
4
P
所以点P的坐标为( 2 , 2 )
图6
22
（3）根据任意角的三角函数定义，易得sin( ) 2 ,cos( ) 2 .
y sin x y cos x
正弦、余弦函数的定义告诉我们，三角函数在各象限
内的符号，取决于u, v的符号，当点P在第一、二象限
时，纵坐标 y＞0；点P在第三、四象限时，纵坐标 y＜0。所以，正弦函数值对于第一、二象限角是正的，
对于第三、四象限角是负的。 同样地，余弦函数值 在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的。
o
x
sin y
r
2m 5m
25
5 （2）当
m＜0时，r
op
5m
cos x m 5 .
r 5m 5
sin y 2m 2 5
r 5m 5
cos x m 5 .
r 5m 5
例3求证：当且仅当不等式组
sin 0, cos 0.①
22
32
32
y
5
3
x
o
A
B
图7
例2如图8角 终边与单位圆交于 p (u, v,) p '(x0, y0为)
终边上不同于P的任意一点，试用x0 , y0表示 的正弦和
余弦。解：过 p, p '分别作 PH x轴
y
p '(x0 , y0 )
任意角的正弦函数、余弦函数的定义
周期性
总结词
正弦函数和余弦函数都是周期函数，这意味 着它们的图像会重复出现。
详细描述
周期函数的定义是，如果存在一个非零常数 $T$，使得对于定义域内的所有$x$，都有 $f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$是周期函数， $T$是它的周期。对于正弦函数和余弦函数， 它们的周期是$2pi$。这意味着无论角度是 多少，正弦和余弦函数的值都会在一定的周 期内重复。
04
在$0^circ$到 $360^circ$之间，余弦 函数在$0^circ$、 $180^circ$处取得最大 值1和最小值-1。
正弦函数与余弦函数的比较
正弦函数和余弦函数有许多相似之处，如它们 都是周期函数，其值域也都为$[-1,1]$。
然而，它们在图像上呈现出不同的形态。正弦 函数的图像呈现正弦波的形状，而余弦函数的 图像呈现余弦波的形状。
正弦函数的周期性
正弦函数具有周期性，其周期 为2π。
在一个周期内，正弦函数呈 现出波形变化的特点，即随 着角度的增加，正弦值在-1
和1之间循环变化。
正弦函数的周期性是三角函数 的一个重要性质，在解决实际
问题中具有广泛的应用。
02
任意角的余弦函数定义
定义
1
任意角α的余弦函数定义为：cosα = x/r，其中x 是余弦函数在单位圆上对应的横坐标，r是单位圆 的半径。
乘积公式
总结词
乘积公式是正弦函数和余弦函数之间的另一种重要关 系，用于将两个角的正弦或余弦值的乘积转换为其他 角度的正弦或余弦值。
详细描述
乘积公式是三角函数中另一个重要的公式，它表示两个 角的正弦或余弦值的乘积可以通过已知的两个角的三角 函数值计算出来。具体来说，对于任意角α和β，有： sin α cos β=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]；cos α cos β=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]；sin α sin β=1/2[cos(αβ)-cos(α+β)]。这些公式在解决实际问题时也非常有用， 例如在信号处理和振动分析等领域。
任意角的三角函数及基本公式
任意角的三角函数及基本公式三角函数是数学中的一个重要概念，它们描述了角度与三角比之间的关系。
任意角的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
下面将详细介绍这些函数的定义、基本公式以及它们之间的关系。
1. 正弦函数（sine function）：在单位圆上，从x轴正向到射线与单位圆的交点之间的弧度即为角的弧度。
正弦函数将给定角度的正弦值映射到数轴上。
其定义如下：sin(θ) = y/r其中θ为角度，y为对边，r为斜边。
2. 余弦函数（cosine function）：余弦函数表示角的余弦值在数轴上的投影长度。
其定义如下：cos(θ) = x/r其中θ为角度，x为邻边，r为斜边。
3. 正切函数（tangent function）：正切函数表示角的正切值在数轴上的投影比。
其定义如下：tan(θ) = y/x其中θ为角度，y为对边，x为邻边。
4. 余切函数（cotangent function）：余切函数表示角的余切值在数轴上的投影比。
其定义如下：cot(θ) = x/y其中θ为角度，y为对边，x为邻边。
5. 正割函数（secant function）：正割函数表示角的正割值在数轴上的投影长度。
其定义如下：sec(θ) = r/x其中θ为角度，x为邻边，r为斜边。
6. 余割函数（cosecant function）：余割函数表示角的余割值在数轴上的投影长度。
其定义如下：csc(θ) = r/y其中θ为角度，y为对边，r为斜边。
这些函数在不同的角度上有不同的值，可以通过查表或计算器得到具体数值。
同时，它们之间存在一些基本公式和关系，如下：1. 互余关系（co-function identities）：sin(θ) = cos(90° - θ)cos(θ) = sin(90° - θ)tan(θ) = cot(90° - θ)cot(θ) = tan(90° - θ)sec(θ) = csc(90° - θ)csc(θ) = sec(90° - θ)2.三角函数的平方和差：sin²(θ) + cos²(θ) = 1tan²(θ) + 1 = sec²(θ)cot²(θ) + 1 = csc²(θ)3.三角函数的倒数：sec(θ) = 1/cos(θ)csc(θ) = 1/sin(θ)cot(θ) = 1/tan(θ)4.符号关系：根据角度的位置和象限，三角函数的值可能为正或负。
1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义
sinθ ).
3.已知角α 终边经过点( 3 ,1),则角α 的最小正值是__________.
【解析】 r 3 2 12 2，sin y 1 ,
所以α的最小正值为 .
r2
6 答案:
6
4.当角α =0时,sinα =____________;若角α =-3,则sinα 的符号为 ____________(填“正”或“负”). 【解析】当角α =0时,sinα =0;若角α =-3,则角α 是第三象限角,所 以sinα <0. 答案:0 负
【方法技巧】正余弦函数符号的确定 (1)终边在坐标轴上的角 终边在坐标轴上的角可以利用单位圆,如终边在x轴负半轴上的角与单 位圆的交点为(-1,0),故sinα =0,cosα <0. (2)终边在各个象限的角 终边在各个象限的角的符号规律:只记住为正值的即可,“一象全,二 正弦,四余弦”.
【补偿训练】(2015·新余高一检测)如果点P(sinθ cosθ ,2cosθ )
【典例】1.(2015·汉中高一检测)已知角α 与单位圆的一个交点坐标
是 (a,－1 )，则cosα 等于 ( ) 2
A. 3 2
B.－1 2
C.－ 3 2
D.不确定
2.(2015·临川高一检测)已知点P(-8,6)是角终边上一点,则2sinα + cosα 的值等于 ( )
A. 1
B. 1
C. 2
方法二:注意到角的终边为射线,所以应分两种情况来处理,取射线上
任一点坐标(a,b),则对应角的正弦值sinα = b ,余弦值cosα =
a.
a2 b2
a2 b2
(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的实际
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北师大版高二数学必修4目录第一章三角函数1.周期现象习题1—12.角的概念与推广习题1—23.弧度制习题1—34.正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性4.3单位圆与诱导公式习题1—45.正弦函数的性质与图像5.1从单位圆看正弦函数的性质5.2正弦函数的图像5.3正弦函数的性质习题1—56.余弦函数的图像和性质6.1余弦函数的图像6.2余弦函数性质习题1—67.正切函数7.1正切函数定义7.2正切函数的图像与性质7.3正切函数的诱导公式习题1—78.函数y=A sin(ωx+ψ)的图像习题1—89.三角函数的简单应用习题1—9阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究y=A sin(ωx+ψ)（A＞0，ω＞0）的图像本章小结建议复习题一第二章平面向量1.从位移、速度、力到向量1.1位移、速度和力1.2向量的概念习题2—12.从位移的合成到向量的加法2.1向量的加法2.2向量的减法习题2—23.从速度的倍数到数乘向量3.1数乘向量3.2平面向量基本定理习题2—34.平面向量的坐标4.1平面向量的坐标表示4.2平面向量线性运算的坐标表示4.3向量平行的坐标表示习题2—45.从力做的功到向量的数量积习题2—56.平面向量数量积的坐标表示习题2—67.向量应用举例7.1点到直线的距离公式7.2向量的应用举例习题2—7阅读材料向量与中学数学本章小结建议复习题二第三章三角恒等变形1.同角三角函数的基本关系习题3—12.两角和与差的三角函数2.1两角差的余弦函数2.2两角和与差的正弦、余弦函数2.3两角和与差的正切函数习题3—23.二倍角的三角函数习题3—3阅读材料三角函数叠加问题课题学习摩天轮中的数学问题本章小结建议复习题三探究活动升旗中的数学问题附录1 部分数学专业词汇中英文对照表附录2 信息检索网址导引。
任意角三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
任意角三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式正弦函数和余弦函数是任意角三角函数中两个最基本的函数。
它们的定义可以通过单位圆来得出，并且它们之间存在着重要的诱导公式。
首先，我们来看正弦函数的定义。
对于一个给定的角度θ，我们可以在单位圆上找到对应的点 P。
那么，我们定义正弦函数sin(θ) 为点P 的纵坐标值。
也就是说，sin(θ) = y / r，其中 y 是点 P 的纵坐标，r 是单位圆的半径。
接下来，我们来看余弦函数的定义。
与正弦函数类似，对于一个给定的角度θ，我们可以在单位圆上找到对应的点 P。
那么，我们定义余弦函数cos(θ) 为点 P 的横坐标值。
也就是说，cos(θ) = x / r，其中x 是点 P 的横坐标，r 是单位圆的半径。
正弦函数和余弦函数的定义可以用下图来表示：```θr * cos(θ) ， r----------------，--------------------r * sin(θ)```在上图中，θ 是角度，r 是单位圆的半径，P 是对应的点。
点 P 的横坐标为r * cos(θ)，纵坐标为r * sin(θ)。
接下来我们来讨论正弦函数和余弦函数的诱导公式。
诱导公式是指，如果我们知道一个角度的正弦值或余弦值，我们可以通过其他角度的正弦函数和余弦函数来计算。
首先，我们来看正弦函数的诱导公式。
对于任意角度θ，我们可以通过一个有用的等式来计算sin(θ)。
这个等式叫做“和差化积公式”或者“诱导公式”。
根据这个公式，我们有 sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b)。
如果我们令a = θ 和b = 90°，那么我们可以得到sin(θ +90°) = sin(θ) * cos(90°) + cos(θ) * sin(90°)。
根据单位圆上的图像，我们知道cos(90°)=0，sin(90°)=1，所以这个等式简化为sin(θ + 90°) = cos(θ)。
集体备课《三角函数的定义、诱导公式》
诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为 之间角的正弦、余弦、正切。
【注意】：运用公式时，注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用，如写成
， 是不对的
【讨论】：利用诱导公式（一），将任意范围内的角的三角函数值转化到 角后，又如何将 角间的角转化到 角呢？
除此之外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称、关于原点对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢？
三.教学方法
启发式，利用计算机多媒体辅助教学.
四.教学过程
(一)复习引入：
初中锐角的三角函数是如何定义的？
在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦依次为 ．角推广后，这样的三角函数的定义还适用吗？
(二)讲授新课：
自学阅读：
让学生阅读，回答下列问题？
1、三角函数定义的角是角度制还是弧度制？为什么？
3课堂练习：
（1）设角 的值等于
（2）当 时， 的值为
（3）P.18练习1
4、作业：
高一集体备课材料
§4.3.2单位圆与诱导公式
主备课人:谢勇
一.教学目标
1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题
问题3：我们学习了 的诱导公式，那么 的诱导公式呢？
变式训练1：将下列三角函数化为 到 之间的三角函数：
（1） （2） （3）
问题4： ， 又有怎样的诱导公式呢？
例2已知方程sin(3) = 2cos(4)，求 的值
四、课堂练习
P.20练习2
五、反思总结
备课札记
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义
任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义
正弦函数：
1、正弦函数又称三角函数之一，用来描述某个角（通常用弧度制来表示）对应的正弦值。
其定义为：sinθ=y/r，其中θ是一个角、y表示线
段OP（P是原点O与某角θ之间所成的角）的竖直高度，r为OP线段
的长度。
2、正弦函数在数学和科学研究中被广泛使用，可以描述很多自然现象，如波形、格林函数、化学反应的振荡及循环等。
3、由于定义中引入了角θ，因此正弦函数也被称为周期函数，其拥有
可预测的周期性，其周期性就受到了角θ的周期性所控制，其周期
T=2π/θ。
余弦函数：
1、余弦函数也是三角函数之一，与正弦函数正交，从定义上来看：
cosθ=x/r，其中θ是一个角、x表示线段OP（P是原点O与某角θ之间
所成的角）的水平宽度，r为OP线段的长度。
2、余弦函数也被人们广泛使用，用来描述很多自然现象，如电磁场的
振荡、微波加热、声反射、图像处理、建筑设计、数控加工中的刀具
轨迹等。
3、余弦函数具有预测的可重复性，其周期T=2π/θ。
正切函数：
1、正切函数也可以称为三角函数之一，定义为：tanθ=y/x，其中θ是一个角，y表示线段OP（P是原点O与某角θ之间所成的角）的竖直高度，x为OP线段的水平宽度。
2、正切函数也被广泛应用于数学和科学研究中，可以用来描述很多自然现象，如太阳辐射、抛物线分布、圆周运动及天文学等。
3、正切函数也具有可预测的周期性，其周期T=2π/θ。
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y 那么:（1） 叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin y ；
（2）x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x ；
y
（3） 叫做
的正切，记作tan ，即 tan y (x 0)
x
x
y
Px, y﹒
O
所以，正弦，余弦，正切都 是以角为自变量，以坐标的比值 A1,0 x 或单位圆上点的坐标为函数值的 函数，我们将他们称为三角函数.
复习回顾
1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
a
P sin c
b
c
cos c
a
a
tan b
O bM
锐角三角函数是 以什么为自变量， 以什么为函数值 的函数？
新课 导入 2.在直角坐标系中如何用角的终边上点的坐标来表 示锐角三角函数呢？
P
y
Ox M y
x
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
2、角的终边落在y=-x上，则sin =______
变式3：已知角α的终边在直线 y 2x ，求角α的正弦、
余弦、正切值．
解：1当角的终边在第一象限时，
在角的终边上取点1, 2，则r= 12 22 5
sin 2 2 5 , cos 1 5 , tan 2 2
55
55
1
2当角的终边在第三象限时，
解析： r 3 m2
m
13
3 m2
13
13m2 m2 3
m2 1 4
化归思想
归纳总结
本节课主要学习了哪些内容?
任意角三角函数的概念及简单的应用
课后作业
必做题
课本P15 练习 P20 习题1.2 A组
第1题 第2题
选做题
1、若点P 3, y是角终边上的一点，且sin 4，
5 则y ______
cos x 12a 12 , tan y 5
r 13a 13
x 12
当a 0时，
sin y 5a 5
r 13a 13
cos x 12a 12 , tan y 5
r 13点p( 3，m）是角终边上的一点，
且sin
13 13
,
则m
1
___2___________
其中: OM x
sin MP y
OP r
MP y OP r x2 y2
cos OM x
OP r
y
﹒Px, y tan MP y
OM x
﹒
o
Mx
锐角三角函数可以用 点的坐标比值来表示
1.任意角三角函数的定义：
设角 是一个任意角，P(x, y) 是终边上的任意一点，
点 P 与原点的距离 r x2 y2 0 .
x 12
诱思 探究
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
OMP ∽ OM P
P
﹒ P(x,y)
sin MP
OP
cos OM
M P OP
OM
OP OP
O
M M x tan MP M P
OM OM
任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的
终边上的位置无关.
2.锐角三角函数（在单位圆中）
那么① y 叫做 的正弦，即 sin y
r
r
y
﹒Px, y
②
x r
叫做
的余弦，即
cos x
r
﹒
③
y x
叫做
的正切，即
tan y x 0 M
x
ox
例1.已知角 的终边经过点 P0 (3,4) ，求角
的正弦、余弦和正切值 .
解:由已知可得 OP0 r (3)2 (4)2 5.
sin y 4 ;
r5
cos x 3 ;
r5
tan y sin 4 . x cos 3
巩固 提高
练习: 已知角 的终边过点 P12,5，
求 的三个三角函数值.
解：由已知可得：
r x2 y2 122 52 13
于是，sin y 5 , cos x 12
r 13
r 13
tan y 5
6
2
cos 7 3 ,
6
2
tan 7 3
63
典例剖析
应用概念
例3：已知角α的终边经过点P(12a,-5a)(a 0)，求角α的正
弦、余弦、正切值． 解：x 12a, y 5a，
分类讨论思想
r (12a)2 (5a)2 13 a
当a 0时， sin y 5a 5
r 13a 13
若OP r 1，则
以原点O为圆心，以单位 长度为半径的圆，称为单位圆.
y
P(x, y)
sin MP y OP
1 OM
cos OM x
x
OP
tan MP y
锐角三角函数可以用单
OM x
位圆上点的坐标来表示
3.任意角的三角函数定义：
设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y)
在角的终边上取点1, 2，则r 12 22 5
sin 2 2 5 ,cos 1 5 , tan 2 2
55
55
1
例2.求
5
3
的正弦、余弦和正切值.
实例 剖析
解：在直角坐标系中，作 AOB 5 ，易知 AOB
3
的终边与单位圆的交点坐标为 (1 , 3 ).
22
所以 sin 5 3 , cos 5 1 , tan 5 3.
32
32
3
y
思考：若把角 5 改为 7 呢?
5
sin
3
7
1
6 ,
3
o
﹒
A
x
﹒B