6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质(含答案)
6.1(8)正弦函数和余弦函数的图像和性质
第六章 三角比
一、性质总结
三角函数 定义域 值 域 奇偶性 周期性 单调性 最 值
Hale Waihona Puke ysin xy cosx
y[1,1] 偶函数 T 2
R
y[1,1] 奇函数 T 2
R
k Z
在[2k ， 2k ]上递增 在[2k ， 2k ]上递增 2 2 在[2k ， 2k 3 ]上递减 在[2k， 2k ]上递减 2 2
例3、若函数 y 2 sin( kx )，k 0的最小正周期为 T， 3 1 5 T ( ， )，求整数 k的值． 2 2
2 2 1 5 解： T ( ，) k k 2 2 1 2 5 2 k 4 2 k 4 2 k 2 5 2 5
k 所求充要条件是： 5 k ,即 ，k Z 2 5 10
解：f ( x)为偶函数
三、练习
ex2、已知f ( x) 2 cos( x ) 5的最小正周期不大于 4 3 2，求正整数k的最小值．
3 2 2 ex1 、 求函数 y 3 cos( 2 x) cos x sin x的 2 (1)周期； (2)单调减区间； (3)最值． k
解：y cos 2 x 3 sin 2 x 1 2 sin( 2 x) 1 6 2 (1)T 2 sin( 2 x ) 1 2 6 (2)由2k 2 x 2k k x k 2 6 2 6 3 所求单调减区间是[k ，k ]，k Z 6 3 (3)当2 x 2k ,即x k (k Z )时，ymax 3 6 2 6 当2 x 2k ,即x k (k Z )时，ymin 1 6 2 3 求三角函数的单调区间、周期、最值时，先将函数 转化成y A sin( x ) B或y A cos(x ) B 的形式，再进行求解．
正弦函数和余弦函数的图像与性质
例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值 时的自变量 x 的值. (2) y 3sin x cos x (1) y sin(2 x )
4 解:(1)视为 y sin u , u 2 x 4
8 3 当 u 2k ，即 x k , k Z 时， 2 8 ymin 1 2
二、正弦函数与余弦函数的周期
对于任意 x R 都有
sin( x 2k ) sin x, k Z cos( x 2k ) cos x, k Z
正弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2
周期，最小正周期是 2 余弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2 周期，最小正周期是 2
注：一般三角函数的周期都是指最小正周期
1 (1) f ( x) cos 2 x (2) f ( x) sin( x ) 2 6 解: (1)设 f ( x)的周期为 T f ( x T ) f ( x)
即 cos[2( x T )] cos 2 x 即 cos(2 x 2T ) cos 2 x 即 对任意 u 都成立：cos(u 2T ) cos u 因此 2T 2 ，从而 T 解毕
第六章 三角函数
5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质
一、正弦函数和余弦函数的概念 实数集与角的集合可以建立一一对应的关系， 每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦)值. 因此，任意给定一个实数 x ，有唯一确定的值
sin x(cos x) 与之对应.
函数 y sin x 叫做正弦函数 函数 y cos x 叫做余弦函数 正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]
6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质
知识回顾; ： (1)在一个三角形中各边和它的对边 的正弦比相等，即： (2) 运用正弦定理可以解决一些怎样 的解三 角形问题呢？ 由
，可以解决“已知两角及其一边可 以求其他
边。”“已知两边及其一边的对角 可以求其他角。” 等解三角形问题
•余弦定理，的求得第出三及边推c 导：
先让学生进尝而试，具改体为问字题母：：①②已已知知三三角角形形ABACB中C中，，a=B5C，=ab，=1A，C=Cb=，∠ACB=C，试用a，b及C表示第三边c
设想：学生可能把图形加以分割转化为已有知识直角三角形进行解决。
60
小组合作探讨：
A
证明：学生可能想法有B
方法（1）化归为直角三角形，作BD⊥AC于D，
D
C
教师引导：问题5：怎样把未知量用已知量表示出来呢？（直角三角形边角关系）化归思想
AB2 BD2 AD2 BD2 (AC CD)2 (a sin C)2 (b a cosC)2 a2 方b2法（2a2b）cosC BC B教A师 引AC导：在证明正弦定理时
两边同时乘以
AD 推出正弦定理
那么三角形中还有其他方法将向量数量化吗？（平方）
向量法
AB AC CB
2
AB
( AC CB)2
2
AC
2
CB
2AC CB
2
2
AC CB 2 AC CB cos( C)
c2 a2 b2 2abcosC
，
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cosB
问题1：
ABC
a 7,b，解5,这c 个3三角形。
正弦函数和余弦函数的图像与性质
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
6.1(4)(5)正弦函数和余弦函数的图像和性质
三、课堂小结
今天这节课你学到了什么？
1、求三角函数的最值或值域．
(1)将函数化为y=Asin(ωx+ψ)+B 的形式； 方法：利用三角恒等式将函数化为y=Asin(ωx+φ)+B 或y=Acos(ωx+φ)+B的形式即可求出函数的最值 或值域，尤其较多利用辅助角公式和降次公式． (2)换元法，转化为给定闭区间求二次函数的最值问题； (3)给定角的范围求三角函数的最值．
5. y sin x sin x ，x R 3 2
二、新课讲解
2 sin x 1 例1.求函数 y 的值域 . 2 sin x 1 y 1 解 : sin x 2y 2
y 1 由 1 sin x 1 1 2y 2
1 3 y 10 y 3 0 y 3或y 3 y 1 y 1 1 1 y 3或y 所求值域为(， ] [3， )． 3 3
2
y 1 2 y 2 y2 2 y 1 4 y2 8y 4 y 1 2 y 2 0
cos x 求函数 y 的值域 . cos x 2
二、新课讲解
例2.求下列函数的值域 . 2
1y sin x, x
3
,
“图像, x 0,
已知函数 （Ⅱ）求
（Ⅰ）求 f x 的最小正周期；
例3 、 矩形ABCD的四个顶点分别在矩形 A' B' C ' D'的 四条边上， AB a, BC b，若AB与A' B'的夹角 为 , 则当为何值时矩形 A' B' C ' D'的周长最大？
6.1正弦函数和余弦函数
作正弦函数 y = sin x(x ∈ R) 的图象 y 1
-2π π
-π π
o -1
π
2π π
3π π
x
4π π
正弦函数 y = sin x( x ∈ R)的图象叫正弦曲线
正弦函数
性质:
定义域 值域 奇偶性 单调性 图像
x∈R
y ∈ [ 1,1]
奇函数
余弦函数
任意一个实数x都对应着唯一确定的弧度角, 而这个角又对应着唯一确定的余弦值cosx. 这样,对任意一个实数x都有唯一确定的值 cosx与它对应.按照这个对应法则所建立的 函数,表示为y=cosx,它叫做余弦函数.它 的定义域是实数集R.
[ 1,5]
3 0, 4
二次型 一次型
最大值和最小值 例3:求下列函数的最大值和最小值
π (1) y = 3 2sin 2 x 4
3π x = kπ + , k ∈ Z时,ymin = 1 8
x = kπ
π
8
, k ∈ Z时,ymax = 5
定义法
(2) y = cos 2 x 2sin x
x = 2 kπ +
π
2
, k ∈ Z时,ymin = 2 , k ∈ Z时,ymax = 2
x = 2 kπ
π
2
二次型
(3) y = sin x + cos x
3π x = 2 kπ , k ∈ Z时,ymin = 2 4 x = 2 kπ +
π
4
, k ∈ Z时,ymax = 2
一次型
(4) y = sin x + cos x + sin x cos x
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
61正弦函数和余弦函数的图像与性质.docx
6. 1正弦函数和余弦函数的图像与性质一、复习引入1、复习（1）函数的概念在某个变化过程中有两个变量x、y,若对于兀在某个实数集合£＞内的每一个确定的值，按照某个对应法则/, y都有唯一确定的实数值与它对应，则y就是兀的函数，记作y = /&），XG Do（2）三角函数线设任意角Q的顶点在原点0,始边与兀轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P（x,y）,过P作兀轴的垂线，垂足为M；过点4（1,0）作单位圆的切线，设它与角G的终边（当©在第一、四象限角时）或其反向延长线（当Q为第二、三象限角时）相交于7\ 规定：当0M与兀轴同向时为正值，当0M与兀轴反向时为负值；当MP与y轴同向时为正值，当MP与y轴反向时为负值；当AT与y轴同向时为正值，当AT与y轴反向时为负值；根据上面规定，则0M=x,MP=yj由止弦、余弦、正切三角比的定义有:sin心丿r 1 y = MP；x xcosa = — = — = x = OM ；r 1ta^ = 2=MP = AT = AT；x 0M 0A这几条与单位圆有关的有向线段MP^OM^AT叫做角a的正弦线、余弦线、正切线。
二、讲授新课【问题驱动1】一一结合我们刚学过的三角比，就以正弦（或余弦）为例，对于每一个给定的角和它的正弦值（或余弦值）之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由.1、正弦函数、余弦函数的定义（1）正弦函数：y = sinx,xwR；（2）余弦函数：y = cosx,xwR【问题驱动2】如何作出正弦函数y = sinx,A：w/?、余弦函数y = cosx,xe R的函数图象？2、正弦函数y = sinx,xe R的图像（1） y = sinx,xe [0,2^]的图像【方案1】一一几何描点法步骤1：等分、作正弦线一一将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；【方案2】一一五点法步骤1:列表一一列出对图象形状起关键作用的五点坐标; 步骤2：描点一一定出五个关键点；小结：y = sin ［0,2^］的五个关键点是（0,0）.（2） y = sinx,xe /?的图像由 sin （2^ + x ） = sin x.ke Z ,所以函数 y = sinx 在区间［2R 龙,23 + 2龙］ （展Z,kH0）上的图像与在区间［0,2龙］上的图像形状一样，只是位置不同.于是我们只要将函数y = sinx,^G ［0,2龙］的图像向左、右平行移动（每次平行移动2龙 个单位长度），就可以得到正弦函数y = sinx,xe /?的图像。
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【课堂例题】
例1.试画出正弦函数在区间[0,2]π上的图像.
例2.试画出余弦函数在区间[0,2]π上的图像.
课堂练习
1.作函数sin y x =-与sin 1y x =+在区间[0,2]π上的大致图像.
2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数cos ,[,]y x x ππ=∈-的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos sin ,[,]x x x ππ≥∈-
【知识再现】
正弦函数：y = ，x ∈ ； 余弦函数：y = ，x ∈ . 正弦函数和余弦函数在[0,2]π上的大致图像:
【基础训练】
1.(1)若MP 和OM 分别是角
76
π
的正弦线和余弦线，则( ) A.0MP OM <<；B.0OM MP >>； C.0OM MP <<；D.0MP OM >>.
(2)正弦函数与余弦函数在区间[,]ππ-内的公共点的个数是( )
A.1；
B.2；
C.3；
D.4. 2.我们学过的诱导公式中，
(1)说明余弦函数cos ,y x x R =∈的图像关于y 轴对称的是 ； (2)说明正弦函数sin ,y x x R =∈的图像关于直线2
x π
=
对称的是 .
3.(1)函数cos 3,y x x R =+∈的值域是 ； (2)函数24sin 2,(0,)y x x π=-∈的值域是 .
4.函数cos ,[0,2]y x x π=∈和1y =的图像围成的封闭的平面图形的面积为 .
5.利用“五点法”,画出下列函数的大致图像：(步骤：列表、描点、联线) (1)1sin ,[,]y x x ππ=+∈-;
(2)cos ,[0,2]y x x π=-∈.
O
y
x
6.要使下列各式有意义，参数应满足什么条件？
(1)1sin 2m x m -=+; (2)22
cos 2a b x ab
+=
7.已知函数()|sin |,[,3]f x x x ππ=∈， (1)作函数()f x 的大致图像; (2)求直线1
3
y =
的图像与()f x 图像的所有公共点的横坐标的和.
【巩固提高】
8.作函数cot sin y x x =⋅在区间[2,2]ππ-内的大致图像.
9.作函数1
sin ,[0,2]2
y x x π=-∈的大致图像， 并分别写出使0y >与0y <的x 的取值范围.
(选做)10.已知()sin ,,()cos ,f x x x R g x x x R =∈=∈，
sin ,()()
()cos ,()()x f x g x M x x f x g x ≥⎧=⎨
<⎩
， (1)画出函数()M x 在[2,2]ππ-内的大致图像；
(2)指出()M x 的最大值与最小值，及取到最值时的相应的自变量的值.
【温故知新】
11.已知tan 22
α
=--α的终边过点()P y ，则y = ．
3.(1)[2,4];(2)(2,2]-
4.2π
6.(1)1
m ≥-;(2)0a b =±≠ 7.(1)
(2)8π
共有四个公共点1234358x x x x πππ+++=+= 8.cos ,,y x x k k Z π=≠∈
提示：cos sin cos ,(sin 0)sin x
y x x x x
=⋅=≠ 9.0y >时，5[0,)
(
,2]6x πππ∈；0y <时，5(,)x ππ
∈ O 2πππ-2π-
123π2
πO
2
π
1
1
2π
32
πy O 2
ππ
12π
52
π3π
x
32
πy O 2
ππ
12π
52
π3π
x
13
y =
1x 2x 3x 4
x 32
πO 2
π
-π
1
2πx
π-32
π
-2π-2
π1
-
10.(1)如下图，蓝线部分
(2)max 1,2M x k π==或2,2
x k k Z π=+
∈
min 32,24
M x k k Z π
π=-
=-∈ 11.1-。