等腰三角形的证明习题及答案
等腰三角形证明题
1、在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，添加一个条件，使DE=DF．2．如图，已知∠AOB=30°，0C平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥0A交OB于D，PE⊥OA于E，如果OD=4，求PE的长.3、如图，△ABC是等边三角形，三角形BCD是等腰直角三角形，其中∠BCD=90°，求∠BAD的度数．4、E为等边三角形ABC边AC上的点，∠1=∠2，CD=BE，判断△ADE的形状．5、如图所示，已知：在△ABC中，∠A=80°，BD=BE，CD=CF．求∠EDF的度数．6、已知点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H．(1)说明：△BCE≌△ACD；(2)说明：CF=CH；(3)判断△CFH的形状并说明理由．1. 如图, 已知：点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证：BD=CE2. 如图：△ABC中,AB=AC,PB=PC．求证：AD⊥BC3. 已知：如图,BE和CF是△ABC的高线,BE=CF,H是CF、BE的交点．求证：HB=HC4. 如图,在△ABC中,AB=AC,E为CA延长线上一点,ED⊥BC于D交AB于F.求证:△AEF为等腰三角形.5. 如图,△ABC中,D在BC延长线上,且AC=CD,CE是△ACD的中线,CF平分∠ACB,交AB于F,求证:(1)CE⊥CF;(2)CF∥AD.6.如图：Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=22.5°,DC=BC, DE⊥AB．求证：AE=BE．7.已知:如图，△BDE是等边三角形，A在BE延长线上，C在BD的延长线上，且AD=AC。
求证：DE+DC=AE。
等腰三角形一个性质的证明及其应用
等腰三角形一个性质的证明及其应用等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高是由等腰三角形定义导出的一个重要性质，它的证明方法包括截长补短法和面积法.本文就这个性质的证明及应用略谈浅见.等腰三角形是一种特殊的三角形，因此它具备一般三角形不具备的特殊性质，譬如等腰三角形最典型的一个特性，就是在这个三角形中有两条边相等.我们运用等腰三角形的这个特性可以进一步研究探讨，从而得到如下一个性质.一、性质等[WTBX]腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.三、性质的两个推论推论1：等腰三角形底边延长线上的一点到两腰的距离之差等于一腰上的高.推论2：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于一边上的高.上述两结论的证明仍然可以用上面的面积法证明，这里略去证明过程.四、性质的应用对于等腰三角形的这个性质和推论，在解决某些填空或选择题是可以直接应用，在解决某些解答题时需要先进行性质的证明.分析：根据矩形的性质可知△AOD是等腰三角形，所以本题即求其底边上任意一点到两腰的距离之和，结合原始结论知这里的EG+EH就等于Rt△ADC中AC边上的高，由此可以迅速得到本题的答案是2.4.应用2：如图3，在正方形ABCD的对角线BD上取BE=BC，连接CE，P是CE上任意一点，PQ⊥BC，PR⊥BD，Q、R是垂足.求证：PQ+PR=12BD.分析：本题初次入手感觉很困难，但如果根据BE=BC，可知△BEC是等腰三角形，因为PQ⊥BC，PR⊥BD，则PQ+PR即为底边上任意一点到两腰的距离之和，结合性质可以知道PQ+PR=CO，而CO又是等腰直角△BCD斜边上的高，所以CO=12BD，由此PQ+PR=12BD得证.五、反思教者在教学过程中，通过对上述问题的研究，充分挖掘基本图形的性质，发挥习题功能，深入剖析，引导学生探究发现相关重要结论，为解决其他问题提供思路，找到解决问题的突破口.作为教者要不断给学生提供创造性因素，开展尝试和探究，经历“再发现，再创造”的过程，这样才能有利于发展和提高学生的解题能力及触类旁通的能力.。
八年级数学竞赛例题专题讲解17：等腰三角形的判定(含答案)
专题17 等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结．1．等腰三角形的判定：⑴从定义入手，证明一个三角形的两条边相等； ⑵从角入手，证明一个三角形的两个角相等． 2．证明线段相等的方法：⑴当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明； ⑵当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明； ⑶寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等．善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧．常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线．如图所示：例题与求解【例1】如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则CF 的长为____________．（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M ”．【例2】如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是（ ） A ．AC ＞2AB B ．AC ＝2AB C ．AC ≤2AB D ．AC ＜2AB(山东省竞赛试题)解题思路：如何条件∠B =2∠C ，如何得到2AB ，这是解本题的关键．ABCABDM FC【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E 、A 、C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 中点M ，连结ME ，MC ，试判断△EMC 的形状，并说明理由．（山东省中考试题）解题思路：从△ADE ≌△BAC 出发，先确定△ADB 的形状，为判断△EMC 的形状奠定基础．【例4】如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE =AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF =EF ．（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明∠F AE =∠AEF ，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形．【例5】如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =200，在边AB 上取点D ，使AD =BC ，求∠BDC 度数．（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口．如图1，以BC 为边在△ABC 内作等边△BCO ；如图②，以AC 为边作等边△ACE ．BCA D图2B CA D图1O ABCMD EEA BDCFBCAD能力训练A 级1．已知△ABC 为等腰三角形，由顶点A 所引BC 边的高线恰等于BC 边长的一半，则 ∠BAC =__________．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =900，∠ABC =660，△ABC 以点C 为中点旋转到△A ′B ′C 的位置，顶点B 在斜边A ′B ′上，A ′C 与AB 相交于D ，则∠BDC =_________．3．如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，DE ⊥BC 于E ，EF ⊥AC 于F ，FD ⊥AB 于D ，则AD =_______．（天津市竞赛试题）4．如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1cm ，9cm ，9cm ，5cm ，那么这个六边形的周长是____________cm ．（“祖冲之杯”邀请赛试题）5．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠B =360，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE =∠AED =2∠BAD ，则图中等腰三角形共有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6．若△ABC 的三边长是a ，b ，c ，且满足44422a b c b c =+-，44422b ac a c =+-，44422c a b a b =+-，则△ABC （）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形（“希望杯”邀请赛试题）7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ） A ．300 B ．300或1500 C ．1200或1500 D ．300或1200或1500（“希望杯”邀请赛试题）8．如图，已知Rt △ABC 中，∠C =900，∠A =300，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△P AB 是等腰三角形，则符合条件的P 点有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个（江苏省竞赛试题）第5题图 第8题图 第9题图ACDBB ′A ′(第2题)AB CDEF (第3题)(第4题)9915BACBCABCADFG E9．如图在等腰Rt △ABC 中，∠ACB =900，D 为BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF 交AD 于G ．⑴ 求证：AD ⊥CF ；⑵ 连结AF ，度判断△ACF 的形状，并说明理由．10．如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠B =2∠C ，求证：AB +BD =CD ．（天津市竞赛试题）11．如图，已知△ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得△CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点，求证：△CMN 是等边三角形．（江苏省竞赛试题）12．如图1，Rt △ABC 中，∠ACB =900，CD ⊥AB ，垂足为D ，AF 平分∠CAB ，交CD 于点E ，交CB 于点F ．⑴ 求证：CE =CF ；⑵ 将图1中的△ADE 沿AB 向右平移到△A ′D ′E 的位置，使点E ′落在BC 边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE ′与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．（山西省中考试题）B ACDA BDFE C图1A B D FE C图2A ′E ′D ′C ENMBDB 级1．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB +BD =AC ，则∠B ：∠C 的值=__________．2．如图，△ABC 的两边AB 、AC 的垂直平分线分别交BC 于D 、E ，若∠BAC +∠DAE =1500，则∠BAC 的度数是____________．3．在等边△ABC 所在平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有_________个．4．如图，在△ABC 中，∠ABC =600，∠ACB =450，AD 、CF 都是高，相交于P ，角平分线BE 分别交AD 、CF 于Q 、S ，则图中的等腰三角形的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．如图，在五边形ABCDE 中，∠A =∠B =1200，EA =AB =BC =12DC =12DE ，则∠D =（ ） A ．300B ．450C ．600D ．67.50（“希望杯”竞赛试题）6．如图，∠MAN =160，A 1点在AM 上，在AN 上取一点A 2，使A 2A 1=AA 1，再在AM 上取一点A 3，使A 3A 2=A 2A 1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（ ）A ．A 5B ．A 6C ．A 7D ．A 8 7．若P 为△ABC 所在平面内一点，且∠APB =∠BPC =∠CP A =1200，则点P 叫作△ABC 的费尔马点，如图1．⑴若点P 为锐角△ABC 的费尔马点，且∠ABC =600，P A =3，PC =4，则PB 的值为_____．⑵如图2，在锐角△ABC 外侧作等边△ACB ′，连结BB ′．求证：BB ′过△ABC 的费尔马点P ，且BB ′=P A +PB +PC ．（湖州市中考试题）ABC(第1题)(第2题)ABD E CA BPACBB ′图1图2A BD CEF PQS (第4题)A B CED第5题AA 1NMA 2A 3(第6题)8．如图，△ABC 中，∠BAC =600，∠ACB =400，P 、Q 分别在BC 、AC 上，并且AP 、BQ 分别是∠BAC 、∠ABC 的角平分线，求证：BQ +AQ =AB +BP ．（全国初中数学联赛试题）9．如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过M 作ME ∥AD 交BA 延长线于E ，交AC 于F ，求证：BE =CF =12(AB +AC )． （重庆市竞赛试题）10．在等边△ABC 的边BC 上任取一点D ，作∠DAE =600，DE 交∠C 的外角平分线于E ，那么△ADE 是什么三角形？证明你的结论．（《学习报》公开赛试题）ABQCABD CFE11．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：12y x m=-+与x轴、y轴的正半轴分别相交于点A、B，过点C(－4，－4)作平行于y轴的直线交AB于点D，CD=10．⑴求直线l的解析式；⑵求证：△ABC是等腰直角三角形；⑶将直线l沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x，y轴分别相交于点A′、B′，在直线CD上存在点P，使得△A′B′P是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．（宁波市江东区模拟题）12．如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A(4，4)．⑴求B点坐标；⑵如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=900，连接OD，求∠AOD度数；⑶如图3，过点A作y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连接FM，等式AM FMOF-=1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．图1 图2 图3。
等腰三角形的三种证明(作高)
人教 版八年级数学上 第十三章 《轴对称》
AD=AD
A
A 等腰三角形的
A
底边上的中线、 底边上的高、
B
互相重合
AD是顶 角的平分 线
B D C B D C 顶角的平分线 D C 0 ∠ ADB= ∠ ADC=90 BD=CD ∠BAD=∠CAD
(AD⊥BC)
等腰三角形的性质
性质 1
性质 2
用几何语言表述?
等腰三角形的两个底角相等.(简写成等边对等角)
D C
B
探究应用．拓展新知
全等
作高
• 通过本节课的学习，你知道了什么？ 学到了什么？（思想）还有什么疑 惑？
七：检测反思，强化新知
一、填空 1.一个等腰三角形的两边分别为5cm，11cm，它的周长是 27 cm 2.一个等腰三角形的一个内角为1000，另两个内角是 。 二、解答题 如图，在△ABC中，AB=AC， ∠A＝400，CD是 ， AB边上的高，求∠BCD 的度数 ，
∵ AB=AC （已知） ∴ ∠B=∠C （等边对等角）
等边对等角 三线合一
① ∵ AB=AC ， ∠BAD=∠CAD （已知） ∴ BD=CD AD⊥BC （三线合一） ② ∵ AB=AC , BD=CD （已知） ∴ ∠BAD=∠CAD ,AD⊥BC （∠ADB=∠ADC= 900） （三线合一） ③ ∵ AB=AC ， AD⊥BC （已知） ∴ BD=CD , ∠BAD=∠CAD （三线合一）
等腰三角形计算和证明题集 锦(全)
一、计算题：1. 如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A的度数2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD求∠A的度数3. 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠EDF=70°，求∠AFD的度数ABCDFE4. 如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD=ED=EA求∠A的度数5. 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上,∠BAD=30°,在AC上取点E，使AE=AD,求∠EDC的度数6. 如图，△ABC中，∠C=90°，D为AB上一点，作DE⊥BC于E，若BE=AC,BD=1/2，DE+BC=1,求∠ABC的度数7. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，若AC=AB+BD求∠B：∠C的值二、证明题8、如图，△ABC中，∠ABC,∠CAB的平分线交于点P，过点P作DE∥AB，分别交BC、AC于点D、E求证：DE=BD+AE9、如图，△DEF中，∠EDF=2∠E，FA⊥DE于点A，问：DF、AD、AE间有什么样的大小关系。
10、如图，△ABC中，∠B=60°，角平分线AD、CE交于点O求证：AE+CD=ACABCDEF11、11. 如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=100°，BD平分∠ABC,求证：BC=BD+AD12、12. 如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点，且∠ABD=∠ACD =60°求证：CD=AB-BD13、13.已知：如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB边上的中线求证：CD=1/2 CE14、如图，△ABC中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC求证：BD=ED15、如图，△ABC中，AB=AC,BE=CF,EF交BC于点G求证：EG=FG16、如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD求证：AF=FC17、如图，△ABC中，AB=AC,AD和BE两条高，交于点H，且AE=BE求证：AH=2BD18、如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°，BD=AB，∠ABD=30°求证：AD=DC19、如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E，延长BC至点D，使AE=BD求证：EC=ED20、如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延长线交于点E，∠E、∠F的平分线交于点H求证：EH⊥FH。
等腰三角形证明题
1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。
求证：M 是BE 的中点。
之马矢奏春创作2. 如图，已知：ABC ∆中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。
3. 已知：如图，ABC ∆中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。
求证：DCB 2BAC ∠=∠。
4.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足。
求证：AE ＝AF 。
5.如图，ABC ∆是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠， ，求1∠的度数6.已知：如图, △ABC 中, ∠ABC=2∠ACB, AD ⊥BC 于D ． 求证：DC=AB+BD ．7. 已知：如图，AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD 交BC 延长线于F ，连结AF ． 求证：∠B=∠CAF.已知：如图, △ABC 是等边三角形, D是BC 的中点, DF ⊥AC 于F, 延长DF 到E, 使EF=DF, 连结AE,求：∠E 的度数． 一、选择题：1．如图1，在△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=30︒，∠CAD=65︒，则∠ACD 等于 （ ）A ．50︒B ．65︒C ．80︒D ．95︒ 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:ABC ACD S S ∆∆= （ ）A ．3:4B ．4:3C ．16:19D ．不克不及确定3．如图3，在△ABC 中，∠C=90︒，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。
其中正确的有 （ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90︒，AP 平分∠DAB ，PB 平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是 （ ）A ．PD>PCB ．PD<PC C ．PD=PCD ．无法判断5、在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（ ）A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点；C 、三角形三条中线的交点；D 、三角形三条高的交点。
第一章 等腰三角形的证明
小明在证明时，先假设命题的结论不成立，然 后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛 盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证 明方法称为反证法(reduction to absurdity).
例3：用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知： △ABC 求证： ∠A， ∠ B， ∠C中不能有两个角是直角. 证明： 假设∠A， ∠ B， ∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直 角，即∠A=90°， ∠B=90°. 于是 ∠A+∠ B+ ∠C=90°+90°+ ∠C ＞180°. 这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角” 的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
A
21
B
C
D
几何语言：
等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形
（简称：等角对等边）.
A
几何语言：
如图：在△ABC中
∵∠B＝∠C（已知）， B
C
∴AB=AC（等角对等边）.
例2：
已 知 ： 如 图 ， AB=DC ， A
D
BD=CA.
E
求证明证：：△AED是等腰三角形.
∵AB=DC，BD=CA，AD=DA，
60°
30° 60°
3、已知五个正数的和等于1，用反证法证明：这五个数 中至少有一个大于或等于1/5.
证明: 设这五个正数为a1、a2、a3、a4、a5 假设这五个数中没有一个大于或等于1/5,即都小于1/5, 那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1. 这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾. 因此, 假设不成立，即这五个数中至少有一个大于或等于 1/5成立.
2020年秋人教版八年级数学上册第13章《等腰三角形》(讲义、随堂测试、习题及答案)
人教版八年级数学上册第13章等腰三角形（讲义）➢ 课前预习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ．（1）若∠1=∠2，则BD ____DC （填“>”，“<”或“=”）； （2）若BD =CD ，则AD ____BC （填“⊥”或“∥”）； （3）若AD ⊥BC ，则∠1____∠2（填“>”，“<”或“=”）．D CB A 212. 已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个三角形的周长为_________．➢ 知识点睛1. ______________的三角形叫做等腰三角形．2. 等腰三角形是_________图形．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“__________”），它们所在的直线都是等腰三角形的_________．3. 等腰三角形的两个底角________，简称______________．如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称_________________．4. 三边都______的三角形是等边三角形．等边三角形三边都相等，三个内角都是________． 5. “三线合一”模块书写：已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．求证：BD =CD ． 证明：➢ 精讲精练1. 在下面的等腰三角形中，∠A 是顶角，请分别将它们底角的度数标注在相应的图上．CB C B C B AAA108°60°2. 如图，在△ACD 中，AD =BD =BC ，若∠C =25°，则∠ADB =____．D CB ADCBAEDCBA第2题图第3题图3. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BD 平分∠ABC ，BD =BE ，∠A =100°，则∠DEC =________．4. 如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 为边BC 上一点，CD =AC ，AD =BD ，则∠BAC =______．CD B AABCE第4题图第5题图5. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AC 上，AD =AE ，若∠BAD =50°，则∠CDE =________．6. 如图，在△ABC 中，已知AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，过点D 作DE ∥AB 交AC 于点E ．求证：AE =ED ．7. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD于点D ，12CD BC．求证：∠ACD =∠B ． E CB AAB CD8. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，DF ⊥AC 于F ，延长DF 到E ，使EF =DF ，连接AE ．求∠E 的度数．FE DCBA9. 若等腰三角形的周长为13 cm ，其中一边长为3 cm ，则该等腰三角形的底边长为_______________．10. 若等腰三角形的一个内角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．11.若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．12.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上（AB与l不垂直），请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．13.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角为60°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请你找出所有符合条件的点．➢课前预习1.（1）=（2）⊥（3）=2.18或21➢知识点睛1.有两边相等2.轴对称，三线合一，对称轴3.相等，等边对等角相等，等角对等边4.相等，60°5.证明：如图∵AB=AC，AD平分∠BAC∴D为BC的中点（等腰三角形三线合一）∴BD=CD➢精讲精练1.60°，60°；45°，45°；36°，36°2.80°3.100°4.108°5.25°6.证明略提示：根据等腰三角形三线合一可得∠BAD=∠CAD，再由平行可以得到∠CAD=∠BAD=∠ADE，从而AE=DE7.证明略提示：过点A作AE⊥BC于点E，根据等腰三角形三线合一可得BE=CD，再证△ABE≌△ACD即可．8.∠E=60°提示：连接AD，利用垂直平分线定理得AD=AE，从而∠E=∠ADE9.3cm10.40°或100°11.50°或130°12.这样的点能找4个，作图略13.这样的点能找2个，作图略等腰三角形（随堂测试）1.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=BD=BC．若∠A=40°，则∠DBC=______．CDB 2.已知等腰三角形的周长为28cm，其中一边长为10cm，则该等腰三角形的底边长为_______________．3. 已知：如图，在△ABC 中，E 为BC 边上一点，连接AE ，D 为AE 的中点，连接BD ，∠BAD =∠EAC +∠C ．求证：AD ⊥BD ．【参考答案】1. 20°2. 10cm 或8cm3. 证明略提示：利用外角可以得到∠AEB =∠BAD ，根据等角对等边，得BA =BE ，因为D 是AE 的中点，利用等腰三角形三线合一，可以得到AD ⊥BD等腰三角形（习题）➢ 例题示范E DCB A例1：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在△ABC 外，CD ⊥AD 于点D ，12CD BC =．求证：∠ACD =∠B ． 【思路分析】 ① 读题标注：② 梳理思路：由条件12CD BC =，可尝试取BC 的中点E ，此时结合等腰构造三线合一的线AE ，如图所示．要证∠ACD =∠B ，可以证明△ABE ≌△ACD ．【过程书写】证明：如图，取BC 的中点E ，连接AE ．∵E 是BC 的中点∴12BE BC =∵12CD BC = ∴BE =CD∵AB =AC ，E 是BC 的中点 ∴AE ⊥BC ∴∠AEB =90° ∵CD ⊥AD ∴∠D =90°∴∠AEB =∠D =90°在Rt △ABE 和Rt △ACD 中 AB AC BE CD =⎧⎨=⎩（已知）（已证）∴Rt △ABE ≌Rt △ACD （HL ） ∴∠ACD =∠B例2：等腰三角形的周长为12cm ，其中一边长为5cm ，则该等腰三角形的底边长为__________cm ．【思路分析】ACDEA B C D A CD等腰三角形一边长为5cm ，这一边可能是底，也可能是腰，故需分类讨论： ① 如果5cm 为底，则根据周长为12cm ，可知腰长为3.5cm ．此时两边之和大于第三边，这个三角形存在．② 如果5cm 为腰，则根据周长为12cm ，可知底边长为2cm ．此时两边之和大于第三边，这个三角形存在．综上，该等腰三角形的底边长为5cm 或2cm ． ➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =80°，求∠C 的度数．2. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，BE ∥AC ，∠BDE =100°，∠BAD =70°，则∠E =______．第2题图第3题图3. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为AB 边上一点，若CD =AD =BC ，则∠A =_________．4. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线和∠ACB 的平分线相交于点E ，过点E作MN ∥BC ，交AB 于点M ，交AC 于点N ．若BM +CN =9，则线段MN 的长为（）CBAED CB ADB AA ．6B ．7C ．8D ．95. 已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，点P 在AD 上．求证：PB=PC ．6. 已知：如图，B ，D ，E ，C 在同一直线上，AB =AC ，AD =AE ．求证：BD =CE ．N M EC BADCBAPA B CD E7.已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则该等腰三角形的周长为_________________．8.若等腰三角形的一个角比另一个角大30°，则该等腰三角形的顶角的度数为_____________．9.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹角是30°，请在直线l上另找一点C，使△ABC是等腰三角形．这样的点能找几个？请找出所有符合条件的点．➢思考小结1.要证明边相等或角相等，可以考虑两种思路：①如果边或者角在两个三角形里面，则证明两个三角形__________；②如果边或角在一个三角形里面，证明三角形是_______三角形．2.将两个含30°角的三角板如图放置，则△ABD是_________三角形（“等腰”或“等边”），故AB_____BD，BC=____BD，所以BC=____AB，从而得到对于含有30°角的直角三角形，30°角所对的直角边是斜边的_______．【参考答案】➢巩固练习 1.50° 2.50° 3.36° 4. D5. 证明略提示：利用等腰三角形三线合一的性质，得AD 垂直平分BC ，从而得到PB =PC6. 证明略提示：根据等边对等角可得∠B =∠C ，∠ADE =∠AED ，进而可得∠BAD =∠CAE ，从而证明△ABD ≌△ACE ，根据全等三角形对应边相等，可得BD =CE7. 20 D C B A8.80°或40°9.这样的点能找4个，作图略➢思考小结1.①全等②等腰2.等边，=，12，12，一半。
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等腰三角形一、选择题 1.如图，边长为4的等边△ ABC 中，DE 为中位线，则四边形 BCED 的面积为( (A ) 2 3 ( B ) 3.、3 (C ) 4.3 ( D ) 6 3 (B) 3.、3 2.如图，"ABC 和"CDE 均为等腰直角三角形， 点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点, BC F 列结论：①tan /AEC= ②S 」ABC +S 」CDE 仝S ^ACE ;③BM 丄DM;④BM=DM.正确结论的个 CD 数是() (A ) 1 个 (B ) 2 个 (C ) 3 个 (D ) 4 个 3.如果一个等腰三角形的两边长分别是 5cm 形的周长是 A . 15cm B . 16cm C . 17cm 二、填空题 1. 边长为6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为 ____________ . 2. 等腰三角形的周长为 14，其一边长为4,那么，它的底边为 ___________________ .3. 在等腰Rt A ABC 中，/ C=90 ° AC = 1，过点C 作直线I // AB , F 是I 上的一点，且 AB = AF , 则点F 到直线BC 的距离为 ___________.4. 已知等边厶ABC 中，点D,E 分别在边AB,BC 上，把△ BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B x 处，DB X,EB /分别交边 AC 于点F , 5. 如图6,在厶ABC 中，AB=AC , 贝卩AD= _____ . 和6cm ，那么此三角 D . 16cm 或 17cm G,若/ ADF=80o ，则/ EGC 的度数为 ______________ / BAC 的角平分线交BC 边于点D , AB=5 , BC=6, 6.如图(四)所示，在△ ABC 中, AB=AC , / B=50。
，则 / A=7.如图，已知△ ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG = CD , DF = DE, 则/ E= __________________ 度.三、解答题1. 如图(1), △ ABC 与厶EFD 为等腰直角三角形，AC 与DE重合，AB=AC=EF=9 , / BAC= / DEF=90o，固定△ ABC，将△ DEF绕点A顺时针旋转，当DF边与AB边重合时，旋转中止.现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE , DF(或它们的延长线)分别交BC(或它的延长线)于G , H点，如图(2)(1) ____________________________________ 问：始终与△ AGC相似的三角形有及;(2)设CG=x, BH=y，求y关于x 的函数关系式(只要求根据图(2)的情形说明理由)题1图(1)(3)问：当x为何值时，△ AGH是等腰三角形.E 题1图(2)2、如图AB=AC, CD丄AB于D, BE丄AC于E, BE与CD相交于点O.(1)求证AD=AE;⑵连接OA, BC,试判断直线OA, BC的关系并说明理由.点，且CE= CA.(1) 求证：DE平分/ BDC ;(2) 若点M在DE上，且DC=DM ,求证：ME=BD .3.如图，已知点D为等腰直角△ ABC内一点，/ CAD = Z CBD = 15 °E为AD延长线上的一4.如图，在等腰三角形ABC中，/ ABC=90 ° , D为AC边上中点，过D点作DE丄DF，交AB 于E,交BC 于F，若AE=4 , FC=3，求EF 长.5.数学课上，李老师出示了如下框中的题目.在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D 在CB的延长线上，且ED=EC ,如图.试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答:（1 ）特殊情况？探索结论当点E为AB的中点时，如图1 ,确定线段AE与的DB大小关系.请你直接写出结论：AE_DB （填、”，或“=”.（2 ）特例启发，解答題目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE _______ DB （填、”，Z ”或“=）.理由如下：如图2,过点E作EF // BC,交AC于点F,（请你完成以下解答过程）（3 ）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC .若△ ABC的边长为1, AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）.等腰三角形答案一、 选择题 BDD二、 填空题 1、3v3 ------------ 2、4 或 6 3、 4、80 5、4 6、807、15三、 解答题(3) ①当/ GAH= 45°是等腰三角形•的底角时，如图BC 9 -可知x CG2。
2 2②当/ GAH= 45。
是等腰三角形•的顶角时，如图2, 在厶HGA 和厶AGC 中•••/ AGH= / CGA ，/ GAH= / C=450,「.A HGAAGC 。
•/ AG=AH ,• x CG AC 9 9 —•••当x 2或x 9时，△ AGH 是等腰三角形。
2【考点】 三角形外角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理， 几何问题列函数关系式，等腰三角形的判定。
【分析】(1)在厶AGC 和厶HAB 中，•••/ AGC= / B+ / BAG= / B+900—/ GAC=135GAC ,/ BAH= / BAC+ / EAF —/ EAC=90 °+45°—/ GAC ，• / AGC= / BAH 。
又•••/ ACG= / HBA=45 0 , • △ AGC HAB 。
在厶AGC 和厶HGA 中，•••/ CAG= / EAF — Z CAF=45 CAF ,/ H=180°-Z ACH —Z CAH=180 0— 1350—Z CAF=45 0 — Z CAF ,CAG= Z H 。
又T Z AGC= Z HGA ,• △ AGC HGA 。
(2)利用△ AGCHAB 得对应边的比即可得。
(3) 考虑Z GAH 是等腰三角形•底角和顶角两种情况分别求解即可。
2、( 2011山东德州19,8分)(1 )证明：在 △ ACD 与厶ABE 中，T Z A= Z A , Z ADC = Z AEB=90 ° , AB=AC ,• △ ACD △ABE .(2)互相垂直在Rt △ADO 与厶AEO 中，•/ OA=OA , AD=AE , • △ ADO △ AEO .【答案】 解：(HAB ，△ HGA 。
AC GC ，即 9 x(2)T ^ AGCHB AB y 9又T BC= ,92929.2 , 0< x< 9 2<• y 关于x 的函数关系式为 81门 y= 0 x < x< 92。
1,1.1 (2011广东东莞，21 , 9分) 81• • y=——。
@1A ( D)• Z DAO= Z EAO. 即卩OA 是Z BAC 的平分线.又T AB=AC,「. OA丄BC .AD=AE .3、( 2011山东日照，23 , 10分) 证明：(1)在等腰直角△ ABC中，•/ Z CAD= / CBD=15°,「. / BAD= / ABD=45°-15°=30o,二BD=AD，丄 BDCADC ,••• Z DCA= Z DCB=45°.由Z BDM = Z ABD+ Z BAD =30°+30°=60°, Z EDC= Z DAC+ Z DCA=15o+45o=60o,• Z BDM = Z EDC ,• DE 平分Z BDC;(2)如图，连接MC, •/ DC=DM，且Z MDC=60 ° ,•△ MDC是等边三角形，即CM=CD . 又••• Z EMC=180 °-Z DMC=180 °-60 °=120 ° , Z ADC=180°-Z MDC =180°-60 °=120°,• Z EMC= Z ADC.又••• CE=CA , • Z DAC = Z CEM=154、(2011湖北鄂州，18, 7分)【解题思路】连结BD，证△ BED CFD和厶AED BFD , 得BF=4 , BE=3，再运用勾股定理求得EF= BE2BF2 5 【答案】连结BD，证△ BED CFD和厶AED BFD，求得EF=5【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，三角形全等的判定和性质和勾股定理。
只要抓住等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定，解决起来并不困难。
5、(2011?绍兴)考点：全等三角形判定与性质；三角形内角和定理；等边三角形判定与性质。
专题：计算题；证明题；分类讨论。
分析：(1)根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出Z D= Z DEB=30，推出DB=BE=AE 即可得到答案；(2)作EF// BC,证出等边三角形AEF，再证△ DBE◎△ EFC即可得到答案；(3)分为两种情况：一是如上图在AB边上，在CB的延长线上，求出CD=3，二是在BC上求出CD=1，即可得到答案.解答：解(1)故答案为：=.(2)故答案为：=.证明：在等边△ ABC 中，Z ABC= Z ACB= Z BAC=60 , AB=BC=AC ,•/ EF // BC,「.Z AEF= Z AFE=60 = Z BAC , • AE=AF=EF , • AB - AE=AC - AF，即BE=CF , vZ ABC= Z EDB+ Z BED=60 , Z ACB= Z ECB+ Z FCE=60 ,•/ ED=EC ,•••/ EDB= Z ECB ,•/ BED= Z FCE,•△DBE ◎△ EFC,• DB=EF , • AE=BD .(3)答：CD的长是1或3.点评：本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.。